5.1 任意角與弧度制（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學精講精練必修一

5.1任意角與弧度制（精講）一．任意角1．角的定義及分類(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)角的表示：如圖所示，角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：OA，終邊：OB，頂點O.(3)角的分類名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角二．象限角與終邊相同的角1.象限角與終邊相同的角象限角把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和k有三層含義①特殊性：對k每賦一個整數(shù)值就有一個具體對應的角．②一般性：表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身)．③從幾何意義上看，k表示角的終邊按一定的方向轉(zhuǎn)動的圈數(shù)．k取正整數(shù)時，逆時針轉(zhuǎn)動；k取負整數(shù)時，順時針轉(zhuǎn)動；k＝0時，沒有轉(zhuǎn)動．2．象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}3．軸線角的集合表示角α終邊的位置角α的集合表示在x軸的非負半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y軸的非負半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}三．度量角的兩種單位制1.定義角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad2.弧度數(shù)(1)正角：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).(2)負角：負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).(3)零角：零角的弧度數(shù)是0.(4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝eq\f(l,r).3.角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)四.扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝eq\f(απR,180)l＝α·R扇形的面積S＝eq\f(απR2,360)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2一．表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡集合{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.二.已知α所在象限，確定nα或eq\f(α,n)所在象限(1)用不等式表示α的范圍，再確定nα或eq\f(α,n)的范圍，再判斷角所在象限；(2)數(shù)形結(jié)合法，等分象限，確定角所在象限.三．角度與弧度互化在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式πrad＝180°是關鍵，由它可以得到：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)．角度與弧度互化的方法考點一與任意角有關的概念辨析【例1-1】（2023秋·高一課時練習）（多選）下列選項不正確的是（

）A．終邊落在第一象限的角為銳角B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角為鈍角D．小于的角一定為銳角【例1-2】（2023·全國·高一課堂例題）每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時間，鐘表的分針走過的角度是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023福建廈門）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊與始邊都相同的兩個角一定相等C．小于90°的角是銳角D．若，則是第三象限角2．（2023秋·高一課時練習）（多選）下列說法，不正確的是（

）A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角3．（2023上海）給出下列說法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是鈍角、直角和銳角.其中錯誤的序號是.考點二終邊相同的角【例2】（2023秋·吉林長春）下列各角中，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）與405°角終邊相同的角是（

）A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z2．（2023秋·高一課時練習）與角終邊相同的角可表示為（

）A．B．C．D．3．（2023·全國·高一課堂例題）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，作出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在范圍內(nèi)與其終邊相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．考點三象限角和區(qū)間(域)角【例3-1】（2023·全國·高一課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【例3-2】（2023·北京）（多選）已知是銳角，則（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是銳角【一隅三反】1．（2023春·山西朔州·高一懷仁市第一中學校校聯(lián)考期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·河南駐馬店·高一校考階段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

3．（2023秋·高一課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

4．（2023春·四川眉山·高一?？计谥校?）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．5．（2023春·江西宜春·高一江西省豐城中學校考階段練習）（鍍錫）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負半軸上考點四角度與弧度的互化及應用【例4】（2022·廣東廣州）將下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習）把下列角度與弧度進行互化．(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)考點五弧長公式與面積公式【例5-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）已知某扇形的周長為44，圓心角為2，則（

）A．該扇形的半徑為11 B．該扇形的半徑為22C．該扇形的面積為100 D．該扇形的面積為121【例5-2】（2023春·寧夏銀川）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當為多少弧度時，該扇形面積最大并求出最大面積．【例5-3】（2023春·江西宜春·高一校考階段練習）如圖，點是圓上的點.(1)若，，求劣弧的長；(2)已知扇形的周長為，求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小.【一隅三反】1．（2023·廣東）已知扇形的半徑為1，圓心角為，則這個扇形的弧長為（

）A．