2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0解集ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于或等于0的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于或等于0的自變量x的取值集合注意事項(xiàng)：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數(shù)，并且這個未知數(shù)是唯一的，但這并不意味著不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，則把其他字母看成常數(shù).(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2，且最高次項(xiàng)的系數(shù)不為0.二.“三個二次”的關(guān)系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)根x1，x2，且x1<x2有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??一元二次不等式的解法一元二次不等式，a為正值來定形；對應(yīng)方程根求好，心中想想拋物線；大于異根取兩邊，小于異根夾中間；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于無根取全體，小于無根不可能！注意事項(xiàng)：“大于”“小于”指的是當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后的不等號．因此，為了避免出現(xiàn)錯誤，在求解一元二次不等式時，通常是將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)(即將不等式兩邊同時乘以－1，不等號也隨之改變方向)．四.一元二次不等式恒成立問題1.當(dāng)未說明不等式為一元二次不等式時，有①不等式ax2＋bx＋c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))②不等式ax2＋bx＋c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}時恒成立，等價(jià)于當(dāng)m≤x≤n時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸的上方，而非等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))3.分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.一．解不含參數(shù)的一元二次不等式的方法1.若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠分解因式，即能夠轉(zhuǎn)化為兩個一次因式的乘積形式，則可以直接由因式分解法或不等式的性質(zhì)得到不等式的解集.2.若不等式對應(yīng)的一元二次方程不能分解因式，則可對式子進(jìn)行配方，化為完全平方式，再開根號求解.二．解含參數(shù)的一元二次不等式的方法1.討論二次項(xiàng)系數(shù)：二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)，應(yīng)討論是小于0，還是大于0，若小于0，則將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；2.判斷方程的個數(shù)：判斷方程根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系；3.寫出解集：確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式注意事項(xiàng)：對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計(jì)算．考點(diǎn)一解不含參數(shù)的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2).(3)(4)【解析】（1），即，配方可得，解得（2），即，解得；（3），即，而，從而不等式無解，即解集為；（4）且同時成立.由解得，由，即，解得.于是【一隅三反】（2023·內(nèi)蒙古赤峰）解下列不等式：；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)；(8)；(9)；(10).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】（1），，，即不等式的解集為；，，解得或；即不等式的解集為；（3），或解得，即不等式的解集為；（4），整理得，解得，即不等式的解集為.（5）由可得，所以或，即解集為；（6）由可得，所以，即解集為；（7）可化為，解得，所以不等式的解集為.（8）可化為，即，解得，所以不等式的解集為.（9）可化為，解得或，所以不等式的解集為.（10）可化為，因?yàn)椴坏仁綄?yīng)的方程的判別式，所以不等式的解集為．考點(diǎn)二解含參數(shù)的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列關(guān)于的不等式【答案】答案見解析【解析】由，可得或，則：當(dāng)時，原不等式解集為；當(dāng)時，原不等式解集為；當(dāng)時，原不等式解集為；【例2-2】（2023·安徽）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【解析】原不等式變?yōu)?，①?dāng)時，原不等式可化為，所以當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解得②當(dāng)時，原不等式等價(jià)于，即.③當(dāng)時，，原不等式可化為，解得或.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為或.【例2-3】（2023·廣東深圳）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【解析】不等式對應(yīng)方程的判別式，（1）當(dāng)，即或時，由于方程的根是，所以不等式的解集是或}；（2）當(dāng)，即時，不等式的解集為且；（3）當(dāng)，即時，不等式的解集為R，故或時，不等式的解集是或}；時，不等式的解集為且；時，不等式的解集為R.【例2-4】（2023·湖南長沙）若關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式化為，即，當(dāng)時，不等式化為，得，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時，由關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，可知，不等式的解為，由題意，，解得；當(dāng)時，不等式的解為或，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C【一隅三反】1．（2022秋·四川阿壩·高一?？计谥校╆P(guān)于x的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式化為，當(dāng)時，不等式無解，當(dāng)時，不等式解為，這里有且只有2個整數(shù)，則，當(dāng)時，不等式解為，這里有且只有2個整數(shù)，則，綜上的取值范圍是．故選：.2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式【答案】答案見解析【解析】原不等式可化為.當(dāng)，即時，或；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，或.綜上，當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【解析】當(dāng)時，原不等式為，解集為；當(dāng)時，原不等式為，解集為；當(dāng)時，原不等式為，若，即時，解集為或；若，即時，解集為；若，即時，解集為或；綜上，解集為；解集為；解集為或；解集為；解集為或.4．（2023·上海）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【解析】由題意知，①當(dāng)，即或時，方程的兩根為，所以解集為；②若，即時，當(dāng)時，原不等式可化為，即，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，即，所以；③當(dāng)，即時，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)或時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.考點(diǎn)三三個“二次”之間的關(guān)系【例3-1】（2023春·河南）已知，且，關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椴坏仁?，的解集為，所以且即，不等式等價(jià)于，即，，解得或，所以不等式的解集為：，故選：C．【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若一元二次不等式的解集是，則一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由一元二次不等式的解集是可得是的兩個根，且所以，所以可化為，即，解得或.故選：C2．（2023·湖南）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（）A．和 B．C． D．和【答案】A【解析】若不等式的解集為，則方程的兩個根為且，，解得，則函數(shù)，令，解得或，故函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為和.故選：A.3．（2022秋·天津）已知不等式和不等式的解集相同，則實(shí)數(shù)的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，解得，因?yàn)?，不等式和不等式的解集相同，故的兩根?2或，且，由韋達(dá)定理得：，解得：，故選：B.考點(diǎn)四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023貴州省安順市）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】命題“，”的否定為：“，”，該命題為真命題.所以，應(yīng)有，所以.故選：A.【例4-2】（2023·云南紅河）不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】①當(dāng)時，成立，②當(dāng)時，只需，解得，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B．【例4-3】（2023·河南）若不等式對于恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，函數(shù)有最小值為2.因?yàn)楹愠闪?，所?故選：C.【一隅三反】1．（2023·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥校┤裘}“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由命題“”為真命題，即不等式在上恒成立，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.2．（2023·西藏）命題，使得成立.若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槊}，使得成立，所以命題的否定為：，成立，而是假命題，故命題的否定為真命題．所以在上恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即.故選：A.3．（2022秋·高一校考單元測試）任意，使得不等式恒成立.則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閷θ我猓坏仁胶愠闪?所以，其中，設(shè)，，因?yàn)?，所以?dāng)時，函數(shù)，取最小值，最小值為，所以，故選：B.4．（2023春·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)?？计谥校┤?，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因?yàn)閷ΨQ軸為，，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.考點(diǎn)五一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例5】（2022秋·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素．在一個限速50km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離小于12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車的剎車距離s（單位：m）與車速x（單位：km/h）之間分別有如下關(guān)系：，，問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？【答案】甲車未超過規(guī)定限速，乙車超過規(guī)定限速．【解析】由題意得，對于甲車，，即，而，解得，甲車未超過規(guī)定限速，同理對于乙車，，，而，解得，乙車超過規(guī)定限速．答：甲車未超過規(guī)定限速，乙車超過規(guī)定限速．【一隅三反】1．（2023·陜西）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【答案】B【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤為y元，則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由題意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日銷量x的取值范圍是20≤x≤45．故選：B．2．（2023·浙江溫州）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測得這種車剎車距離大于40，則這輛汽車剎車前的車速至少為（

）（精確到1）A．76 B．77 C．78 D．80【答案】B【解析】設(shè)這輛汽車剎車前的車速為，根據(jù)題意，有，移項(xiàng)整理，得，解得．所以這輛汽車剎車前的速度至少為77．故選：B3．（2022秋·天津?yàn)I海新·高一?？计谥校┠澄木叩曩忂M(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】結(jié)合題意易知，,即，解得，因?yàn)?，所以，這批臺燈的銷隹單價(jià)的取值范圍是，故選：A.考點(diǎn)六根的分布【例6】（2023·湖北）關(guān)于的方程滿足下列條件，求的取值范圍．(1)有兩個正根；(2)一個根大于，一個根小于；(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；(4)一個根小于，一個根大于；(5)兩個根都在內(nèi)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）令，設(shè)的兩個根為.由題得，解得.（2）若方程的一個根大于，一個根小于，則，解得（3）若方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，則，解得（4）若方程的一個根小于，一個根大于，則，解得（5）若方程的兩個根都在內(nèi)，則，解得【一隅三反】1．（2023·江蘇南京）（多選）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知關(guān)于的方程，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根之和為0B．方程無實(shí)數(shù)根的一個必要條件是C．方程有兩個不相等的正根的充要條件是