專題08與角有關(guān)的計(jì)算(原卷版+解析)

08與角有關(guān)的計(jì)算1．請(qǐng)把下列解題過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，射線OC平分．若，求的度數(shù)；解：∵，（已知）∴______=_______°．∵平分（已知）∴______=_______°（角平分線定義）∵（已知）∴______=______°．2．已知，如圖，從點(diǎn)引出，，，四條射線，，分別是，的角平分線．(1)如圖1，若，，，求的度數(shù)．①依題意補(bǔ)全圖1；②完成下面解答過(guò)程．解：如圖1，平分，平分，，．，，，，，，．．(2)如圖2，若，，，則的度數(shù)是．(3)如圖2，若，，則的度數(shù)是．（用含，的式子表示）3．如圖，是的平分線，是的平分線．如果，，那么是多少度？4．如圖，已知∠AOD＝80°，∠AOB＝30°，OB是∠AOC的平分線，求∠AOC和∠COD的度數(shù)．5．如圖，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分線，求∠AOB的度數(shù)．6．如圖所示，已知，從點(diǎn)出發(fā)的一條射線滿足，是的平分線，是的平分線，請(qǐng)補(bǔ)全圖形（畫(huà)出符合題意的草圖即可），并求出的大?。?．如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如果，，則的度數(shù)為；(2)如果，求的度數(shù)．8．己知，(1)如圖1，平分，平分，若，則是__________°；(2)如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)．(3)若、分別平分和，，則的度數(shù)是__________（直接填空）．9．如圖，已知點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)．10．如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．11．如圖，BD是∠ABC的平分線，∠ABE+∠BCF＝180°(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度數(shù)：(2)若CB是∠ACF的平分線，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．12．如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．13．如圖，О為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分線．∠DOE＝90°．(1)圖中小于平角的角的個(gè)數(shù)是個(gè)；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)猜想OE是否平分∠BOC，并說(shuō)明理由．14．如圖，點(diǎn)O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)．15．已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分線．（注：本題中所說(shuō)的角都是指小于平角的角）(1)如圖1，當(dāng)∠COE＝40°時(shí)，求∠AOB的度數(shù)；(2)當(dāng)∠AOE＝90°時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出射線OE，OB，并直接寫(xiě)出∠AOB的度數(shù)．16．已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，，OF平分，，求的度數(shù)．17．如圖，∠AOC＝∠BOC＝50°，OD平分∠AOB，求∠AOB和∠COD的度數(shù)．18．如圖，已知，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是內(nèi)任意一條射線，求的度數(shù)．19．已知、分別平分、，若，，求的度數(shù)．20．如圖，是內(nèi)的一條射線，、分別平分、．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，試猜想與、的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．21．如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合．(1)寫(xiě)出以為頂點(diǎn)的相等的角；(2)若，求度數(shù)；(3)寫(xiě)出與之間所具有的數(shù)量關(guān)系；(4)當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，你所寫(xiě)出的（3）中的關(guān)系是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，OB，OD分別平分∠AOC，∠COE．∠AOE＝160°，∠AOB＝36°．求∠AOD的度數(shù)．23．如圖，OE為∠AOD的平分線，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大?。?2)∠AOC的大?。?4．如圖，，，平分，平分，(1)求的度數(shù)=___________．(2)如果將題目條件中“”改為“”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．(3)如果將題目條件中“”改為“（為銳角）”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．(4)從（1）（2）（3）所求的結(jié)果中你能看出與的關(guān)系___________．25．如圖，直線相交于點(diǎn)O。已知，在內(nèi)部引一條射線，且，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)度數(shù)是___________；度數(shù)是___________；(2)將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①如圖2，當(dāng)平分時(shí)，說(shuō)明平分；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出α的度數(shù)26．已知O是直線AB上的一點(diǎn)，，OE平分．(1)如圖①，若，則___________．(2)如圖①，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，那么（2）中所求出的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．27．(1)如圖1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，請(qǐng)判斷∠AOD和∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)已知：如圖2，點(diǎn)O在直線AD上，射線OC平分∠BOD．求證：∠AOC與∠BOC互補(bǔ)；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射線PM平分∠EPQ，射線PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接寫(xiě)出銳角∠MPN的度數(shù)是．28．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作射線，，使得．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作射線，使為的角平分線，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，求的度數(shù)；(3)過(guò)點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．29．如圖1，已知，，在內(nèi)，在內(nèi)，，．（本題中所有角均大于且小于等于(1)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，則；(2)如圖3，當(dāng)從圖2中的位置繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（即時(shí)，求的度數(shù)；(3)當(dāng)從圖2中的位置繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（即，且，其中為正整數(shù)）時(shí)，則．30．已知：點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，，射線平分．(1)如圖1所示，若，則(2)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試判斷和的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；(3)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，和的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖4的位置，繼續(xù)探究和的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出和之間的數(shù)量關(guān)系：．08與角有關(guān)的計(jì)算1．請(qǐng)把下列解題過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，射線OC平分．若，求的度數(shù)；解：∵，（已知）∴______=_______°．∵平分（已知）∴______=_______°（角平分線定義）∵（已知）∴______=______°．【答案】，，，，，【詳解】解：∵，（已知）∴．∵平分（已知）∴（角平分線定義）∵（已知）∴．故答案為：，，，，，．2．已知，如圖，從點(diǎn)引出，，，四條射線，，分別是，的角平分線．(1)如圖1，若，，，求的度數(shù)．①依題意補(bǔ)全圖1；②完成下面解答過(guò)程．解：如圖1，平分，平分，，．，，，，，，．．(2)如圖2，若，，，則的度數(shù)是．(3)如圖2，若，，則的度數(shù)是．（用含，的式子表示）【答案】(1)①見(jiàn)解析；②角平分線的定義；；；(2)；(3)【詳解】（1）①補(bǔ)全圖形如圖1，②如圖1，平分，平分，，．（角平分線的定義），，，，，，．．故答案為：角平分線的定義；；；（2）平分，平分，，．（角平分線的定義），，，，，，．．故答案為：；（3）平分，平分，，．（角平分線的定義），，，，，．．3．如圖，是的平分線，是的平分線．如果，，那么是多少度？【答案】【詳解】解：是的平分線，是的平分線，，，，，．4．如圖，已知∠AOD＝80°，∠AOB＝30°，OB是∠AOC的平分線，求∠AOC和∠COD的度數(shù)．【答案】∠AOC＝60°，∠COD＝20°【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，∠AOB＝30°，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°，∵∠AOD＝80°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°．5．如圖，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分線，求∠AOB的度數(shù)．【答案】25°【詳解】∵∴∵OB是∠AOC的平分線∴6．如圖所示，已知，從點(diǎn)出發(fā)的一條射線滿足，是的平分線，是的平分線，請(qǐng)補(bǔ)全圖形（畫(huà)出符合題意的草圖即可），并求出的大?。敬鸢浮繄D見(jiàn)解析，或【詳解】解：如圖1所示．，是的平分線，．，是的平分線，．；如圖2所示．，是的平分線，．，是的平分線，．．等于或．7．如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如果，，則的度數(shù)為；(2)如果，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，，是平分線，，故答案為：；（2）平分，平分，，，，，．8．己知，(1)如圖1，平分，平分，若，則是__________°；(2)如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)．(3)若、分別平分和，，則的度數(shù)是__________（直接填空）．【答案】(1)11；(2)；(3)【詳解】（1）∵平分，平分，∴，∴∵，∴，∵平分，∴；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）①若或至少有一個(gè)在內(nèi)部時(shí)，如下圖，則；②若和都在外部時(shí)，如下圖，則，綜上的度數(shù)為或．故答案為：或．9．如圖，已知點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)．【答案】135°【詳解】解：∵點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，∴∠EOF的度數(shù)為：90°＋45°＝135°．10．如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．【答案】108°【詳解】解：設(shè)，則，∵平分，∴，又∵，∴，解得，，∴．11．如圖，BD是∠ABC的平分線，∠ABE+∠BCF＝180°(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度數(shù)：(2)若CB是∠ACF的平分線，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．【答案】(1)40°；(2)k=2【詳解】（1）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分線，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠BCF＝40°．（2）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，∵CB是∠ACF的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，∴∠ADB＝2∠ABD，∴k=2．12．如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)30°.(2)45°．【詳解】（1）∵∠AOD=2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°.∴∠BOD＝×180°＝60°.∵OE平分∠BOD.∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°.（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°.∵OF平分∠COE.∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°.由（1）得，∠BOE＝30°，∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．13．如圖，О為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分線．∠DOE＝90°．(1)圖中小于平角的角的個(gè)數(shù)是個(gè)；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)猜想OE是否平分∠BOC，并說(shuō)明理由．【答案】(1)9；(2)145°；(3)OE平分，理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：小于平角的角有∠AOD，∠DOC，∠COE，∠EOB，∠AOC，∠AOE，∠DOE，∠DOB，∠COB共9個(gè)，故答案為：9；（2）∵，OD是的平分線，∴，∴；答：的度數(shù)為145°；（3）OE平分，理由如下：∵，∴，∴∴OE平分．14．如圖，點(diǎn)O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)．【答案】(1)20°；(2)144°【詳解】（1）解：，．平分，．，．（2）解：，．平分，．，．．．．15．已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分線．（注：本題中所說(shuō)的角都是指小于平角的角）(1)如圖1，當(dāng)∠COE＝40°時(shí)，求∠AOB的度數(shù)；(2)當(dāng)∠AOE＝90°時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出射線OE，OB，并直接寫(xiě)出∠AOB的度數(shù)．【答案】(1)110°；(2)150°【詳解】（1）解：∵OE是∠COB的平分線（已知），∴∠COB＝2∠COE（角平分線定義）．∵∠COE＝40°，∴∠COB＝80°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝110°．（2）解：射線OE，OB為所求作的射線，如圖所示：∵∠AOC＝30°，∠AOE＝90°，∴∠COE＝90°-30°=60°，∵OE是∠COB的平分線，∴∠COB＝2∠COE＝120°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝150°．16．已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，，OF平分，，求的度數(shù)．【答案】22°【詳解】解：∵，，∴，又∵平分，∴，，∵，∴，∵，，∴，．17．如圖，∠AOC＝∠BOC＝50°，OD平分∠AOB，求∠AOB和∠COD的度數(shù)．【答案】∠AOB＝150°，∠COD＝25°【詳解】解：∵∠AOC＝∠BOC＝50°，∴∠BOC＝100°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝150°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB＝75°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝75°﹣50°＝25°．18．如圖，已知，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是內(nèi)任意一條射線，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因?yàn)槠椒?，平分，所以，．因?yàn)椋裕裕裕?）解：因?yàn)槠椒?，平分，所以，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以?9．已知、分別平分、，若，，求的度數(shù)．【答案】【詳解】∵、分別平分、，且，∴，∴∴20．如圖，是內(nèi)的一條射線，、分別平分、．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，試猜想與、的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，，，、分別平分、，，，，；（2），，，、分別平分、，，，．21．如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合．(1)寫(xiě)出以為頂點(diǎn)的相等的角；(2)若，求度數(shù)；(3)寫(xiě)出與之間所具有的數(shù)量關(guān)系；(4)當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，你所寫(xiě)出的（3）中的關(guān)系是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)與互補(bǔ)；(4)不變，見(jiàn)解析【詳解】（1）解：根據(jù)同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°?90°＝60°，∴∠DCE＝90°?∠ACE＝90°?60°＝30°．（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．（4）解：不變化．∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴無(wú)論如何旋轉(zhuǎn)，∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．22．如圖，OB，OD分別平分∠AOC，∠COE．∠AOE＝160°，∠AOB＝36°．求∠AOD的度數(shù)．【答案】116°【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，∴∠AOB=∠COB=∠AOC，∵OD是∠COE的平分線，∴∠DOE=∠DOC=∠COE，∴∠DOB=∠COB+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=×160°=80°，∵∠AOB=36°，∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=80°+36°=116°．23．如圖，OE為∠AOD的平分線，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大??；(2)∠AOC的大?。敬鸢浮?1)60°；(2)105°．【詳解】（1）解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；（2）解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．∵OE為∠AOD的平分線，∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．24．如圖，，，平分，平分，(1)求的度數(shù)=___________．(2)如果將題目條件中“”改為“”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．(3)如果將題目條件中“”改為“（為銳角）”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．(4)從（1）（2）（3）所求的結(jié)果中你能看出與的關(guān)系___________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．（3）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．（4）解：設(shè)，（為銳角），∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案為：．25．如圖，直線相交于點(diǎn)O。已知，在內(nèi)部引一條射線，且，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)度數(shù)是___________；度數(shù)是___________；(2)將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①如圖2，當(dāng)平分時(shí)，說(shuō)明平分；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出α的度數(shù)【答案】(1)；；(2)①見(jiàn)解析；②當(dāng)時(shí)，α的度數(shù)為或者【詳解】（1）解：∵，，∴；∵，∴；故答案為：；；（2）解：①當(dāng)平分時(shí)，∵，又∵∴，∴平分．∴當(dāng)平分時(shí)是平分．②當(dāng)時(shí)，且OF在下方時(shí)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，且在上方時(shí)，相當(dāng)于比在下方時(shí)多旋轉(zhuǎn)了，∴．綜上所述：當(dāng)時(shí)，α的度數(shù)為或者．26．已知O是直線AB上的一點(diǎn)，，OE平分．(1)如圖①，若，則___________．(2)如圖①，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，那么（2）中所求出的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)成立，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）∵，∴，∵OE平分，∴，∴，故答案為：；（2），∴，∴，∵OE平分，∴；∴．（3）成立，理由如下：設(shè)，∴，∵OE平分，∴；∴．∴（2）中所求出的結(jié)論還成立．27．(1)如圖1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，請(qǐng)判斷∠AOD和∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)已知：如圖2，點(diǎn)O在直線AD上，射線OC平分∠BOD．求證：∠AOC與∠BOC互補(bǔ)；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射線PM平分∠EPQ，射線PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接寫(xiě)出銳角∠MPN的度數(shù)是．【答案】(1)∠AOD+∠BOD＝90°，理由見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)45°或|β﹣45°|【詳解】（1）解：（1）∠AOD+∠BOD＝90°，理由如下：∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠BOC＝26°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，∴∠AOD+∠BOD＝64°+26°＝90°．（2）（2）∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC與∠BOC互補(bǔ)；（3）（3）如圖，∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，即∠EPF＝90°，∴∠MPN＝45°；如圖：∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NP