第二十三章旋轉(知識歸納+題型突破)(八大題型134題)(原卷版+解析)-2023-2024學年九年級數(shù)學上冊單元速記·巧練(人教版)

第二十三章旋轉（知識歸納+題型突破）1.通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質(zhì):一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.2.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì);成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì).4.認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形.1、旋轉把一個平面圖形繞著平面內(nèi)的一點O轉動一個角度。（旋轉中心：O點，旋轉角：轉動的角度）2、性質(zhì)①對應點到旋轉中心的距離相等②對應點到旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角③旋轉前后的圖形全等3、中心對稱把一個圖形繞著某一點O旋轉180度，如果它能夠與另一個圖形重合，這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱4、性質(zhì)①對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心所平分②中心對稱的圖形是全等圖形5、中心對稱把一個圖形繞著某一點o旋轉180度后能與原圖形重合,主體：一個圖形，而中心對稱指的是兩個4、關于原點對稱的坐標P(x，y)→P（-x，-y）題型一旋轉三要素【例1】如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是______；（3）請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數(shù)______.鞏固訓練：1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，圖中陰影部分的兩個圖形是一個經(jīng)過旋轉變換得到另一個的，其旋轉中心可能是（

）

A．點A B．點 C．點 D．點2．（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點3．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點運動到了點，若，則秋千旋轉的角度為（）

A． B． C． D．4．（2021秋·廣東江門·九年級臺山市新寧中學校考期中）如圖，將中，，將其繞點順時針方向旋轉到的位置，使得在同一條直線上，那么旋轉角的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，如果將正方形甲旋轉到正方形乙的位置，可以作為旋轉中心的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉得到，則可以作為旋轉中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C7．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，繞某點旋轉一定的角度得到，則旋轉中心的坐標是．

8．（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B都在格點上．線段AB繞著某一定點順時針旋轉一個角度后，得到線段（點、分別是A、B的對應點，也都在格點上），則的大小是．

9．（2022秋·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中的位置，且，將其繞點P順時針旋轉得到，則點P的坐標是，旋轉角是度.

10．（2023春·福建福州·八年級福州日升中學?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標為，，，繞原點逆時針旋轉，得到，向右平移6個單位，再向上平移2個單位得到．

(1)畫出和；(2)是的上一點，經(jīng)旋轉、平移后點P的對應點為，則點的坐標是．(3)若直接旋轉得到，則旋轉點M坐標是．11．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，有一個，且，，，已知是由旋轉得到的．

(1)請寫出旋轉中心的坐標是___________，旋轉角是___________度；(2)以（1）中的旋轉中心為中心，分別畫出逆時針旋轉、后的三角形；(3)設兩直角邊，，斜邊，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理．12．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學考試）如圖，直線、相交于點，且所成的銳角為，畫出關于直線的對稱圖形，然后畫出關于直線n的對稱圖形，你能發(fā)現(xiàn)與有什么關系嗎？若是平移，指出平移的方向和距離；若是旋轉，指出旋轉的中心和角度．

題型二圖形旋轉性質(zhì)的應用【例2】（2022秋·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，逆時針旋轉一定角度后與重合，且點C恰好成為的中點．

(1)指出能轉中心，并求出旋轉的度數(shù)；(2)求出的度數(shù)和的長．【例3】如圖，在等腰中，分別為上的點，且，將繞點逆時針旋轉．

(1)如圖，當時，求證：；(2)若，求的長；(3)在旋轉過程中，直接寫出的最大值．鞏固訓練1．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉，得到，若點在線段的延長線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為2，將正方形繞原點O逆時針旋轉，則點B的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·河北保定·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，．將矩形繞點A逆時針旋轉，得到矩形．點的對應點落在上，且．則的長為（

）A． B．4 C．5 D．34．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉得到，此時點恰好在邊上，與交于點，則長為（

）

A．2 B． C． D．5．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點在上，且．連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．則的面積是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯(lián)考期末）在《數(shù)學知識PK賽》上，天逸同學給競爭對手拋出了一道旋轉題，做為觀賽選手，請大家都來挑戰(zhàn)一下：如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，若點在線段的延長線上，則的大小是（

）

A． B． C． D．7．（2023秋·新疆和田·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點P在內(nèi)，，將繞點A逆時針旋轉得到，則PQ的長等于（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022秋·廣東深圳·九年級校考開學考試）如圖，正方形的邊長為6，點E、F分別在上，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．9．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學校考階段練習）如圖，在菱形中，，，把菱形繞點順時針旋轉得到菱形，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C．3 D．10．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，將繞點逆時針旋轉得到，點和點是對應點，若，，則的長為（

）

A．2 B． C．4 D．11．（2023春·天津北辰·九年級?？茧A段練習）如圖，將繞點順時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，點的對應點為，連接．下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．12．（2022秋·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）如圖，繞點A順時針旋轉某個角度得到．已知，，、相交于點F，、相交于點G，則的度數(shù)為.

13．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，．將矩形沿翻折，使點恰好落在邊上的處，再將四邊形繞點逆時針旋轉得到四邊形，交于點，則的面積為．

14．（2022秋·河北保定·九年級校聯(lián)考期中）如圖，將繞點按順時針旋轉一定角度得到，點的對應點恰好落在邊上．（1）是等腰三角形嗎?（選填“是”或“否”）；（2）若，則．15．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，將繞點A逆時針旋轉得，點D，C分別對應點E，F(xiàn)，連接，若，則的度數(shù)為．

16．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，；，繞點順時針旋轉，點，的對應點分別為，，過作的垂線，垂足為，若，則．

17．（2022秋·遼寧鐵嶺·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在正方形內(nèi)作，交于點交于點，連接，過點作，垂足為，將繞點順時針旋轉得到，若，，則的長為．

18．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，將矩形繞點旋轉一定角度后得矩形，交于點，且，則的長為．

19．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考期末）圖中和是兩個等邊三角形，其中，，如圖①，(1)將兩三角形按圖1放置（點A，，在同一條直線上），連接線段，，求線段的長；(2)將繞點A逆時針旋，如圖2所示，直線，相交于點，連接．求證：；(3)以圖1的位置為起點，將繞點A逆時針旋轉，當點，，恰好在一條直線上時，直接寫出線段的長度．20．（2023秋·山西陽泉·九年級?？计谀┌褍蓚€全等的等腰直角三角板和（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板的直角頂點G與三角板的斜邊中點O重合，現(xiàn)將三角板繞點O按順時針方向旋轉（旋轉角α滿足條件：），四邊形是旋轉過程中兩三角形的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉過程中．

(1)與有怎樣的數(shù)量關系?(2)四邊形的面積有何變化?請證明你的發(fā)現(xiàn)．21．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，等腰直角三角形中，，，點D是邊上的一點，將線段繞點C逆時針旋轉得到線段，連結．

(1)①填空：線段與的數(shù)量關系是_________，位置關系是__________．②證明上述結論成立．(2)如圖2，F(xiàn)是的中點，連結交于H，若，時，求的長．22．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，點F是延長線上一點，連接，將繞點A旋轉一定角度后得到．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．23．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，，，點D是內(nèi)一點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉，得到線段，連接、．求證：．

24．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，繞點按逆時針方向旋轉后到達的位置，設與、分別交于點、．

(1)若的周長為，，，求的長；(2)若，，求的大?。?5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點是等邊內(nèi)一點，，將繞點按順時針方向旋轉得，連接．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出為多少度時，是等腰三角形？26．（江西省贛州市2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，和都是等邊三角形，且點B、C、E在一條直線上，連接和相交于點P填空：①線段與的數(shù)量關系是______；②的度數(shù)為______．

（2）深入探究如圖2，將繞點C逆時針旋轉一定的角度，其他條件與（1）中相同，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．

（3）拓展應用如圖3，四邊形中，，，，，，求邊的長度．

27．（2023秋·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐如圖①，為直線上一點，在點處將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放．

(1)將圖①中的直角三角板繞點順時針旋轉一定的角度得到圖②，使邊恰好平分，問是否平分？請說明理由．(2)如果將圖①中的直角三角板繞點順時針旋轉一定的角度得到圖③．①使邊在內(nèi)部，那么與之間存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．②若繼續(xù)旋轉三角板，直到與重合，請直接寫出與之間的數(shù)量關系．28．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，，，，將繞點逆時針旋轉得到．在旋轉過程中：

(1)旋轉中心是什么，為多少度？(2)與線段相等的線段是哪一條？(3)的面積是多少？題型三圖形旋轉的規(guī)律探究【例4】（1）（2022秋·全國·九年級專題練習）等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點逆時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉，翻轉第1次后，點C所對應的數(shù)為0，則翻轉2023次后，點C所對應的數(shù)是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024（2）（2023·全國·九年級專題練習）如圖是一個裝飾連續(xù)旋轉閃爍所成的四個圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023·全國·九年級專題練習）依次觀察三個圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個圖形是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·全國·九年級專題練習）有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉，每次均旋轉45°，第1次旋轉后得到圖①，第2次旋轉后得到圖②，……，則第2021次旋轉后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（

）A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個邊長為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，小正方形箭頭的方向是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·九年級課時練習）第一次：將點繞原點逆時針旋轉得到；第二次：作點關于軸的對稱點；第三次：將點繞點逆時針旋轉得到；第四次：作點關于軸的對稱點…，按照這樣的規(guī)律，點的坐標是（

）A． B． C． D．5．（2020秋·浙江·七年級期中）圖1是正方體的平面展開圖，六個面的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6，將點數(shù)朝外折疊成一枚正方體骰子，并放置于水平桌面上，如圖2所示，若骰子初始位置為圖2所示的狀態(tài)，將骰子向右翻滾，則完成1次翻轉，此時骰子朝下一面的點數(shù)是2，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成2次翻折后，骰子朝下一面的點數(shù)是3；則連續(xù)完成2020次翻折后，骰子朝下一面的點數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？计谀┤鐖D1，將一個正三角形繞其中心最少旋轉，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個正方形繞其中心最少施轉，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個正六邊形繞其中心最少旋轉，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長為2，則所得正八邊形的面積為．7．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，一個機器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走，然后逆時針轉動一個角度，每次轉動的角度增加．第一次直走后轉動，第二次直走后轉動，第三次直走后轉動，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米．8．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，將邊長為1的正三角形沿軸正方向作無滑動的連續(xù)反轉，點依次落在點，，的位置，則點的坐標為．9．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，把正方形鐵片置于平面直角坐標系中，頂點的坐標為（3，0），點在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉至圖②位置，…，則正方形鐵片連續(xù)旋轉2019次后，則點的坐標為.題型四坐標系內(nèi)的圖形旋轉【例5】（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，，，將線段繞點順時針旋轉到，則點坐標為（

）

A． B． C． D．【例6】（2023春·江蘇·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是，，把線段繞點A旋轉后得到線段，使點B的對應點落在x軸上，則點的坐標是（

）A． B． C．或 D．或鞏固訓練1．（2022秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，把點向右平移5個單位長度得到點，再將點繞原點旋轉得到點，則點的坐標是（

）A． B． C．或 D．或2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，平行四邊形中，，，對角線交于點P，將平行四邊形繞點O順時針旋轉，旋轉后點P的坐標為（

）

A． B． C． D．3．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中．將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．58．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，的各頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，其中點A的坐標為，將繞點逆時針旋轉后，得到，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．4．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線分別與軸，軸交于點，，將繞著點順時針旋轉得到，則點的對應點的坐標是（）

A． B． C． D．5．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）如圖，的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標是，將繞點A逆時針旋轉，每次旋轉，則第2023次旋轉結束時，點B的坐標為（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河南南陽·八年級校考階段練習）如圖，已知菱形的頂點，若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為（

）

A． B． C． D．7．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，將含有角的直角三角板按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系中，在x軸上，若，將三角板繞原點O逆時針旋轉，每秒旋轉，則第2023秒時，點B的對應點的坐標為（）

A． B． C． D．8．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖在平面直角坐標系中，正方形的頂點的坐標是，，頂點的坐標是，，對角線、的交點為將正方形繞著原點逆時針旋轉，每次旋轉，則第次旋轉結束時，點的坐標為(

)A． B． C． D．9．（2023·山東東營·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標系中，邊長為2個單位長度的正方形繞原點O逆時針旋轉，再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點的坐標為（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·九年級專題練習）平面直角坐標系內(nèi)一點，點繞著原點逆時針旋轉后的坐標是；11．（2023春·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，將點繞原點O逆時針旋轉得到點，則．12．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學?？茧A段練習）如圖，將繞點旋轉得到，設點的坐標為，則點A的坐標為．

13．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為，點A的坐標為，將點A繞點C順時針旋轉90°得到點B，則點B的坐標為．

14．（2022秋·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形，繼續(xù)旋轉至2019次得到正方形，則點的坐標是．15．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知三個頂點坐標分別是，，．

(1)請畫出繞著點逆時針旋轉后得到的；(2)請畫出關于軸對稱的；(3)若內(nèi)部一點在中的對稱點，在中的對稱點為，則點，的坐標分別為_______，________16．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標系后的頂點均在格點上，點C的坐標為．

(1)以原點O為旋轉中心，將繞點O順時針方向旋轉后得到，畫出，并寫出的坐標．(2)計算的面積．17．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上，點C的坐標為．

(1)寫出A、B兩點的坐標；(2)畫出繞點C旋轉后得到的．(3)直接寫出的面積______．18．（2023秋·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線向右平移1個單位得到拋物線，回答下列問題：

(1)拋物線的頂點坐標__________；(2)陰影部分的面積__________；(3)若再將拋物線繞原點旋轉得到拋物線，求拋物線的解析式．題型五圖形中心對稱的性質(zhì)應用【例7】（2023秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，和關于點成中心對稱．

(1)找出它們的對稱中心；(2)若，求的周長；鞏固訓練：1．（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與關于點成中心對稱，連接、，以下結論錯誤的是（

）

A． B．C． D．2．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，已知圖形和圖形中關于點A中心對稱，都是線段，是一段圓?。午鲗ζ溥M行測量后得到以下四個結論，其中一定錯誤的是（）

A． B．圖形的內(nèi)角和是 C． D．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，與關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是（

）A．點A與點是對稱點 B．C． D．4．（2023·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中有A，B，三個點，點B的坐標是，點A，點關于點B中心對稱，若將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與重合，則點A的坐標是．5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，與關于點O成中心對稱，有以下結論：①點A與點是對稱點；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)為個．

6．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，△ABC與△DBE關于點B成中心對稱，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，則AB的長為．7．（2022秋·九年級單元測試）如圖，與成中心對稱，是的中位線，是的中位線，已知，則．8．（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，邊長為8的正方形和邊長為12的正方形排放在一起，和分別是兩個正方形的對稱中心，則陰影部分的面積為．9．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，與關于點成中心對稱，，則的長是．10．（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，是邊上的中點，已知，．

(1)畫出關于點的中心對稱圖形；(2)求線段長的取值范圍．11．（2023春·江蘇南京·八年級南京五十中校聯(lián)考期中）（1）如圖①，等邊三角形ABC的3個頂點都在上，僅用無刻度的直尺畫出關于點O的中心對稱圖形.

（2）如圖②，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，連接AF、DE，△ABF按順時針方向旋轉后得到△DAE，僅用無刻度的直尺畫出旋轉中心．

12．（2023春·河北滄州·八年級校考階段練習）一次函數(shù)的兩組x、y的對應值如圖，在平面直角坐標系中畫出了它的圖象為直線l（如圖14-1），王英為觀察k、b對圖象的影響，將上面函數(shù)中的k與b交換位置后得到另一個一次函數(shù)，設其圖象為直線.

(1)求直線的解析式；(2)直接寫出直線的表達式為___________，并在圖1中畫出直線；(3)若）是x軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別交直線l、于點M、N，當時，求m的值；(4)若是y軸上的一個動點，過點Q作x軸的平行線，分別與直線l、及y軸有三個不同的交點，且其中兩點關于第三點對稱，直接寫出n的值___________.

題型六中心對稱圖形【例8】（2023秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）剪紙，作為中國傳統(tǒng)文化藝術，象征納福吉祥，寄托人們對美好生活的向往．下列剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

鞏固訓練：1．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）下列卡通圖標分別是“星球”、“宇航員”、“星系”和“黑洞”，其中是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的有（

）個①三角形的一個外角大于它的任何一個內(nèi)角②若一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)的比為，則這個三角形是直角三角形③長方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形④如圖，圖形繞著中心旋轉或或后能與自身重合

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）下面四個圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023春·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學?？计谀┭┗?、風車…展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質(zhì)，請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）A．菱形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．矩形6．（2022秋·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史，2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaGo進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）下列手機手勢解鎖圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·浙江金華·八年級?？计谥校┰趯嵤├诸愡^程中，下列圖形分別是有害垃圾、可回收物、廚余垃圾及其它垃圾的標志，以下標志是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯(lián)考期末）在學習《圖形的平移和旋轉》時，愛思考的博涵同學發(fā)現(xiàn)在下列幾種著名的數(shù)學曲線中，有一種既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，請同學們找出是哪一個？（

）A．

笛卡爾愛心曲線 B．蝴蝶曲線C．費馬螺線曲線 D．

科赫曲線10．（2023秋·河北滄州·八年級校考期末）下列圖形均表示醫(yī)療或救援的標識，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．11．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）古希臘哲學家畢達哥拉斯曾說：“美的線型和其他一切美的形體，都必須有對稱形式．”下面的圖形中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

題型七坐標系內(nèi)的關于原點的對稱問題【例9】如果，那么點關于原點的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）已知點與點關于原點對稱，則的值是（

）A．2 B． C． D．42．在平面直角坐標系中，點繞原點逆時針旋轉180°得到點，則點的坐標是（）A． B． C． D．3．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）若點關于原點的對稱點，那么．4．（2023·全國·九年級專題練習）平面直角坐標系內(nèi)一點關于軸對稱的點是，點向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度到點，點關于原點的對稱點是點，則點的坐標是．5．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，則．6．（2023春·甘肅白銀·八年級校考期中）在平面直角坐標系下，將點向上平移3個單位，對應的點為，點與點關于原點對稱，則點的坐標為．7．（2023秋·重慶開州·九年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系內(nèi)與點關于原點對稱的點的坐標是，則．8．（2022秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）已知、兩點，若A、B兩點關于原點對稱，則．9．（2022秋·遼寧盤錦·九年級?？计谥校┮阎c與點關于原點對稱，則的值為．10．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）已知平行四邊形的兩條對角線相交于平面直角坐標系中的原點O，點，，則點D的坐標為．題型八二次函數(shù)圖象綜合問題【例9】（2023春·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，將繞點順時針旋轉得到，連接．(1)求證：；(2)若，證明：直線與互相垂直．【例10】（2022秋·吉林白城·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，點是內(nèi)一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接、．求證：．鞏固訓練：1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，將矩形繞點A逆時針旋轉至矩形，旋轉角為，當點C，和三點共線時，的長為（

）．

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學?？茧A段練習）對于題目：“如圖，平面上，正方形內(nèi)有一長為、寬為的矩形，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉即平移或旋轉的方式，自由地從橫放移轉到豎放，求正方形邊長的最小整數(shù)”甲、乙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長，再取最小整數(shù)．甲：如圖，思路是當為矩形對角線長時就可移轉過去；結果?。遥喝鐖D，思路是當為矩形的長與寬之和的倍時就可移轉過去：結果?。铝姓_的是（

）A．甲的思路對，他的值錯 B．乙的思路錯，他的值對C．甲和乙的思路都對 D．甲和乙的值都對3．（2023春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，邊長為1的正方形繞點A逆時針旋轉45度后得到正方形，邊與交于點，則四邊形的周長是（）．A．3 B． C． D．4．（2023春·遼寧鞍山·七年級?？茧A段練習）將一副直角三角板按如圖1所示位置擺放，其中，，．若將三角板繞點A按每秒的速度順時針旋轉，如圖2，在此過程中，設旋轉時間為t秒，當線段與三角板的一條邊平行時，．

5．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）小明遇到一個問題：個同樣大小的正方形紙片，邊長是，排列形式如圖所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形．他的做法是：按圖所示的方法分割后，將三角形紙片①繞的中點旋轉至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形．則新正方形的面積是；如圖，在面積為的平行四邊形中，點分別是邊的中點，分別連接得到一個新的平行四邊形．則平行四邊形面積的大小是．6．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）如圖，是等邊內(nèi)的一點，．若的面積為，則邊的長為．

7．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知直線，點、分別在、上，射線自射線的位置開始，以每秒的速度繞點逆時針旋轉至便立即順時針回轉，旋轉至后停止運動，射線自射線的位畳開始，以每秒的速度繞點順時針嫙轉至后停止運動，若射線先旋轉秒，射線才開始轉動，當射線，互相平行時，射線的旋轉時間（）為秒．8．（2023春·八年級課時練習）如圖，平行四邊形繞點逆時針旋轉32°，得到平行四邊形，點恰好落在邊上，和交于點，則的度數(shù)是．9．（2022秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚波中學校考期中）已知：中，，，將繞點B按順時針方向旋轉．

(1)當轉到邊上點位置時，轉到，（如圖1所示）直線和相交于點，試判斷線段和線段之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)將Rt繼續(xù)旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．10．（2023·全國·九年級專題練習）將一副直角三角板和如圖（1）放置，此時四點在同一條直線上，點在邊上，其中，，．

(1)求的度數(shù)；(2)將圖（1）中的三角板繞點A以每秒10°的速度，按順時針方向旋轉一定的角度后，記為三角板，設旋轉的時間為t秒．①如圖（2），當旋轉至，求a的值；②若在旋轉過程中，三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，直接寫出t的值．11．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）將一副直角三角板與疊放在一起，如圖1，，，，．在兩三角板所在平面內(nèi)，將三角板繞點O順時針方向旋轉（）度到位置，使，如圖2．

(1)求的值；(2)如圖3，繼續(xù)將三角板繞點O順時針方向旋轉，使點E落在邊上點處，點D落在點處．設交于點G，交于點H，若點G是的中點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．12．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙壷楹Ｊ凶锨G中學桃園校區(qū)?？计谥校┮阎?如圖和都是等邊角形．是延長線上一點，與相交于點．、相交于點，、相交于點．

(1)在圖①中，求證:；(2)當繞點沿逆時針方向旋轉到圖②時，________．13．（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習）問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設和結論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化．

問題提出：如圖1，是邊長為1的等邊三角形，P為內(nèi)部一點，連接、、，求的最小值．方法分析：通過轉化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2，將繞點逆時針旋轉至，連接，記與交于點，易知．由，可知為正三角形，有．故．因此，當共線時，有最小值是．學以致用：(1)如圖3，在中，為內(nèi)部一點，連接，則的最小值是________．(2)如圖4，在中，為內(nèi)部一點，連接，求的最小值．14．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）在中，，，點D在邊上（不與點B，C重合），將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接．

(1)根據(jù)題意補全圖形，并證明：；(2)過點C作的平行線，交于點F，用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．15．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：，，分別是射線，上的點，連接，以點為旋轉中心，將線段繞著點逆時針旋轉，得到線段，連接，．(1)如圖1，當時，求證：；

(2)當時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．

16．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學校考期中）如圖，和均為等腰直角三角形，，，．現(xiàn)將繞點B旋轉．(1)如圖1，若A、M、N三點共線．①若，，求．②若，求點C到直線的距離；(2)如圖2，連接、，點H為線段的中點，連接．求證：．17．（2023春·北京東城·九年級北京市第一六六中學校考開學考試）如圖，在中，，，點在邊上（不與點，重合），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉得到線段，連接．(1)______°；(2)取中點，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．18．（2022春·湖南婁底·八年級婁底一中校考階段練習）在中，，，直線經(jīng)過點C，且于點D．于點E．(1)當直線繞點C旋轉到如圖所示位置時，求證：；(2)當直線繞點C旋轉到與線段相交（交點不是中點）時，畫出相應的圖形，探求線段，與之間的等量關系，并寫出其關系式．19．（2022秋·上海閔行·七年級?？茧A段練習）如圖，是直角三角形，，將繞點A逆時針旋轉，得到（點B與點D是對應點，點C與點E是對應點），設．(1)畫出；(2)連接，用含a、b的式子表示的面積為___________（直接寫出化簡后的答案）；(3)若，的面積為，求的面積．20．（2022秋·河北邯鄲·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖①所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構成一個大的長方形．現(xiàn)將小長方形繞點C順時針旋轉至長方形，旋轉角為．(1)當點恰好落在邊上時，求旋轉角的值；(2)如圖②，G為中點，且，求證：；(3)小長方形繞點C順時針旋轉一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉角的值；若不能，說明理由．

第二十三章旋轉（知識歸納+題型突破）1.通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質(zhì):一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.2.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì);成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì).4.認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形.1、旋轉把一個平面圖形繞著平面內(nèi)的一點O轉動一個角度。（旋轉中心：O點，旋轉角：轉動的角度）2、性質(zhì)①對應點到旋轉中心的距離相等②對應點到旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角③旋轉前后的圖形全等3、中心對稱把一個圖形繞著某一點O旋轉180度，如果它能夠與另一個圖形重合，這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱4、性質(zhì)①對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心所平分②中心對稱的圖形是全等圖形5、中心對稱把一個圖形繞著某一點o旋轉180度后能與原圖形重合,主體：一個圖形，而中心對稱指的是兩個4、關于原點對稱的坐標P(x，y)→P（-x，-y）題型一旋轉三要素【例1】如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是______；（3）請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數(shù)______.【答案】（1）；（2）.點、點或者線段的中點；（3）【分析】(1)因為和有公共邊AC，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉后與重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉中心；（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉，以AC中點旋轉時旋轉180.【詳解】(1)∵和都是等邊三角形，∴和是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填AC;(2)將△ABC旋轉后與重合，則可以以點A為旋轉中心逆時針旋轉60或以點C為旋轉中心順時針旋轉60，或以AC的中點為旋轉中心旋轉180即可；（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉，以AC中點旋轉時旋轉180.【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉中心確定的方法，依照平移、旋轉的性質(zhì)來確定即可.鞏固訓練：1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，圖中陰影部分的兩個圖形是一個經(jīng)過旋轉變換得到另一個的，其旋轉中心可能是（

）

A．點A B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)，作兩組對應點所連線段的垂直平分線，交點即為旋轉中心，即可得．【詳解】解：如圖所示，兩組對應點所連線段的垂直平分線的交點B即為旋轉中心，

故選：B．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)．2．（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】A【分析】先確定點A與點E為對應點，點B和點F為對應點，則根據(jù)旋轉的性質(zhì)得旋轉中心在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，所以作的垂直平分線和的垂直平分線，它們的交點即為旋轉中心．【詳解】解：∵甲經(jīng)過旋轉后得到乙，∴點A與點E為對應點，點B和點F為對應點，∴旋轉中心在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，作的垂直平分線和的垂直平分線，它們的交點為M點，如圖，

即旋轉中心為M點．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．3．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點運動到了點，若，則秋千旋轉的角度為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉角的定義、旋轉的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進行解答．【詳解】∵，小剛的位置從A點運動到了點，∴，∴，，∴，∴秋千旋轉的角度為故選C．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2021秋·廣東江門·九年級臺山市新寧中學?？计谥校┤鐖D，將中，，將其繞點順時針方向旋轉到的位置，使得在同一條直線上，那么旋轉角的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到即可解答．【詳解】解：∵在中，，在同一條直線上，∴，故選．【點睛】本題考查了平角的定義，旋轉性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，找到旋轉角并掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，如果將正方形甲旋轉到正方形乙的位置，可以作為旋轉中心的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)，即可得出，分別以A,B,C為旋轉中心即可從正方形甲旋轉到正方形乙的位置．【詳解】解：如圖，繞A點逆時針旋轉90°，可到正方乙的位置；繞C點順時針旋轉90°，可到正方乙的位置；繞AC的中點B旋轉180°，可到正方乙的位置；故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等；特別注意容易忽略點B．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉得到，則可以作為旋轉中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【詳解】試題分析：若以M為旋轉中心，把正方形ABCD順時針旋轉90°，A點對應點為H，B點對應點為E，C點對應點為F，D點對應點為G，則可得到正方形EFGH；若以O為旋轉中心，把正方形ABCD旋轉180°，A點對應點為G，B點對應點為H，C點對應點為E，D點對應點為F，則可得到正方形EFGH；若以N為旋轉中心，把正方形ABCD逆時針旋轉90°，A點對應點為F，B點對應點為G，C點對應點為H，D點對應點為E，則可得到正方形EFGH．故選A．7．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，繞某點旋轉一定的角度得到，則旋轉中心的坐標是．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知，對應點到旋轉中心的距離相等，則對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心．【詳解】如圖，連接，，分別作線段，的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點，點即為旋轉中心．

故答案為：．【點睛】本題主要考查圖形旋轉的性質(zhì)，牢記旋轉中心的確定方法（對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心）是解題的關鍵．8．（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B都在格點上．線段AB繞著某一定點順時針旋轉一個角度后，得到線段（點、分別是A、B的對應點，也都在格點上），則的大小是．

【答案】/90度【分析】首根據(jù)旋轉的性質(zhì)確定旋轉中心為點O，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接,由網(wǎng)格作的垂直平分線，交于點O，∴點O為旋轉中心，∴，即旋轉角為，

故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉角度的確定，畫出圖形能快速解決問題．9．（2022秋·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中的位置，且，將其繞點P順時針旋轉得到，則點P的坐標是，旋轉角是度.

【答案】90【分析】根據(jù)旋轉性質(zhì)，對應點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心，據(jù)此可求解．【詳解】解：如圖，點為旋轉中心，旋轉角，

故答案為：，90．【點睛】本題考查坐標與圖形變換-旋轉，解答的關鍵是熟知對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心．10．（2023春·福建福州·八年級福州日升中學校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標為，，，繞原點逆時針旋轉，得到，向右平移6個單位，再向上平移2個單位得到．

(1)畫出和；(2)是的上一點，經(jīng)旋轉、平移后點P的對應點為，則點的坐標是．(3)若直接旋轉得到，則旋轉點M坐標是．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)點繞原點逆時針旋轉坐標變換規(guī)律得出點，再順次連接即可得；根據(jù)坐標平移規(guī)律得出點，然后順次連接即可得；（2）根據(jù)點繞原點逆時針旋轉坐標變換規(guī)律、坐標平移規(guī)律即可得；（3）對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，如圖所示：

；（2）解：由（1）坐標變換規(guī)律得：，；故答案為：；（3）解：若直接旋轉得到，如圖，則旋轉點M坐標是．

故答案為：．【點睛】本題考查了畫旋轉圖形、平移圖形、旋轉中心，掌握點坐標變換規(guī)律是解題關鍵．11．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，有一個，且，，，已知是由旋轉得到的．

(1)請寫出旋轉中心的坐標是___________，旋轉角是___________度；(2)以（1）中的旋轉中心為中心，分別畫出逆時針旋轉、后的三角形；(3)設兩直角邊，，斜邊，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理．【答案】(1)，(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)的垂直平分線交于點，則旋轉中心的坐標是，勾股定理的逆定理可得，進而即可求解；（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)畫出旋轉圖形即可求解；（3）由旋轉的過程可知，四邊形和四邊形是正方形．根據(jù)，進而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

的垂直平分線交于點，則旋轉中心的坐標是，又∵，∴，∴即旋轉角是度．故答案為：，．（2）畫出的圖形如圖所示．

（3）由旋轉的過程可知，四邊形和四邊形是正方形．∵，設兩直角邊，，斜邊，∴，即．∴．【點睛】本題考查了勾股定理，找旋轉中心，旋轉角，畫旋轉圖形，勾股定理的證明，熟練掌握旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．確定旋轉中心的方法：分別作兩組對應點所連線段的垂直平分線，其交點就為旋轉中心.12．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，直線、相交于點，且所成的銳角為，畫出關于直線的對稱圖形，然后畫出關于直線n的對稱圖形，你能發(fā)現(xiàn)與有什么關系嗎？若是平移，指出平移的方向和距離；若是旋轉，指出旋轉的中心和角度．

【答案】作圖見解析，繞點逆時針旋轉得到【分析】利用軸對稱的性質(zhì)畫出和，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，，，從而可判斷繞點逆時針旋轉得到．【詳解】解：如圖，和為所作．和關于直線的對稱，，與直線夾角等于與直線的夾角，和關于直線的對稱，，與直線夾角等于與直線的夾角，，，同理得到，，，，繞點逆時針旋轉得到．

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換：先確定圖形的關鍵點；再利用軸對稱性質(zhì)作出關鍵點的對稱點；然后按原圖形中的方式順次連接對稱點．也考查了旋轉的性質(zhì)．題型二圖形旋轉性質(zhì)的應用【例2】（2022秋·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，逆時針旋轉一定角度后與重合，且點C恰好成為的中點．

(1)指出能轉中心，并求出旋轉的度數(shù)；(2)求出的度數(shù)和的長．【答案】(1)旋轉中心為點A，旋轉的度數(shù)為(2)，【分析】（1）根據(jù)圖形可得旋轉中心為點A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，結合旋轉的性質(zhì)即可得出旋轉角的度數(shù)；（2）【詳解】（1）解：，即，所以旋轉中心為點A，旋轉的度數(shù)為；（2）解：逆時針旋轉一定角度后與重合，，，，，∵點C恰好成為的中點，，．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握旋轉前后對應邊相等，對應角相等，對應邊連線的夾角等于旋轉角．【例3】如圖，在等腰中，分別為上的點，且，將繞點逆時針旋轉．

(1)如圖，當時，求證：；(2)若，求的長；(3)在旋轉過程中，直接寫出的最大值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)的最大值為．【分析】（1）利用旋轉的性質(zhì)得出角度相等，再證明即可；（2）添加輔助線，構造直角三角形，再由勾股定理即可求解；（3）判斷出點在的延長線上時，最大，即可得出結論．【詳解】（1）證明：由旋轉的性質(zhì)可知，，在和中，，∴，∴．（2）過點作于點，

當，即，∵，，，∴，∴，，∵，∴，在中，，，∴由勾股定理得：，（3）如圖，

則有：，∴當點、點、點三點共線時，最大，最大值為．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉的性質(zhì)，判斷出是解本題的關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉，得到，若點在線段的延長線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由旋轉的性質(zhì)可得，，由等邊對等角的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵將繞點A按逆時針方向旋轉，∴，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉，等腰三角形，熟練掌握旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關鍵．2．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為2，將正方形繞原點O逆時針旋轉，則點B的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】點B繞原點O逆時針旋轉后落在x軸負半軸上，根據(jù)的長度即可確定點的坐標．【詳解】解：連接，如圖，

∵正方形的邊長為2，∴，，，由勾股定理得：；∵，∴點B繞原點O逆時針旋轉后落在x軸負半軸上，∴，∴點的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形，正方形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，掌握旋轉的性質(zhì)是關鍵．3．（2022秋·河北保定·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，．將矩形繞點A逆時針旋轉，得到矩形．點的對應點落在上，且．則的長為（

）A． B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】由旋轉的性質(zhì)得到，，，由得到，根據(jù)勾股定理得到，即可得到的長．【詳解】∵將矩形繞點A逆時針旋轉，得到矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴，故選：A【點睛】此題考查了旋轉的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握旋轉的性質(zhì)和勾股定理計算是解決本題的關鍵．4．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉得到，此時點恰好在邊上，與交于點，則長為（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】首先證明是等邊三角形，再證明是直角三角形，求出即可解決問題．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵將

繞點C逆時針旋轉得到，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，，，∴，∵，∴．故選：C【點睛】本題考查直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點在上，且．連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．則的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得到，推出為直角三角形，利用的面積等于，進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的面積等于；故選B．【點睛】本題考查旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握旋轉的性質(zhì)，得到三角形全等是解題的關鍵．本題蘊含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結，便于快速解題．6．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯(lián)考期末）在《數(shù)學知識PK賽》上，天逸同學給競爭對手拋出了一道旋轉題，做為觀賽選手，請大家都來挑戰(zhàn)一下：如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，若點在線段的延長線上，則的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，，再利用等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由旋轉的性質(zhì)得，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．7．（2023秋·新疆和田·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點P在內(nèi)，，將繞點A逆時針旋轉得到，則PQ的長等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出，，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出，推出，，求出，得出是等邊三角形，即可求出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，將繞點逆時針旋轉得到，，，，即，是等邊三角形，，故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉的性質(zhì)等知識點，關鍵是得出是等邊三角形，注意“有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的對應邊相等，每個角都等于．8．（2022秋·廣東深圳·九年級校考開學考試）如圖，正方形的邊長為6，點E、F分別在上，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將繞點C逆時針旋轉到，易證與全等得到，利用勾股定理求出，則，設，利用勾股定理建立方程求解，再通過勾股定理求算．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，將繞點C逆時針旋轉到，如圖所示，∴，∴，∴三點共線，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，設，則，，

在中，由勾股定理得：，∴解得：，∴，∴故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等等．正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．9．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學校考階段練習）如圖，在菱形中，，，把菱形繞點順時針旋轉得到菱形，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，三點共線，根據(jù)，可得．【詳解】解：如圖，

連接，相交于，與于點．四邊形是菱形，，，，，，，，，，菱形繞點順時針旋轉得到菱形，，，，，三點共線，，又，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，關鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題．10．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，將繞點逆時針旋轉得到，點和點是對應點，若，，則的長為（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，，進而勾股定理即可求解．【詳解】解：將繞點逆時針旋轉得到，，∴，，在中，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出，，是解題的關鍵．11．（2023春·天津北辰·九年級?？茧A段練習）如圖，將繞點順時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，點的對應點為，連接．下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用旋轉的性質(zhì)得，，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：繞點順時針旋轉得到，，，，；，選項B、C正確，，選項D正確．不一定等于，選項A不一定正確；故選A．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．12．（2022秋·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）如圖，繞點A順時針旋轉某個角度得到．已知，，、相交于點F，、相交于點G，則的度數(shù)為.

【答案】/20度【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，求出即可得出答案．【詳解】解：由旋轉的性質(zhì)得，∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，熟知對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角且旋轉角相等是解題的關鍵．13．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，．將矩形沿翻折，使點恰好落在邊上的處，再將四邊形繞點逆時針旋轉得到四邊形，交于點，則的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得四邊形是正方形，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，將矩形沿翻折，使點恰好落在邊上的處，∴四邊形是正方形，∴，且是等腰直角三角形，∴，，∵，，，∴，，，∴四邊形是矩形，∵將四邊形繞點逆時針旋轉得到四邊形，∴四邊形是矩形，，∴，，，∴，是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形與折疊，等腰三角形的性質(zhì)的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運用是解題的關鍵．14．（2022秋·河北保定·九年級校聯(lián)考期中）如圖，將繞點按順時針旋轉一定角度得到，點的對應點恰好落在邊上．（1）是等腰三角形嗎?（選填“是”或“否”）；（2）若，則．【答案】是【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)，即可達到答案；（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，由，于是可判斷為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，然后利用進行計算．【詳解】解：（1）由旋轉的性質(zhì)，可知：，∴是等腰三角形，故答案為：是；（2）∵，∴∴，由旋轉的性質(zhì)知，，∴是等邊三角形，∴，則．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．15．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，將繞點A逆時針旋轉得，點D，C分別對應點E，F(xiàn)，連接，若，則的度數(shù)為．

【答案】14【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，由旋轉的性質(zhì)可得，，，即可求解．【詳解】解：∵，D是的中點，，∴，，，∵將繞點A逆時針旋轉得，∴，，，∴，∴，故答案為：14．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．16．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，；，繞點順時針旋轉，點，的對應點分別為，，過作的垂線，垂足為，若，則．

【答案】【分析】如圖，設，延長，交延長線與，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)旋轉的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得出，，，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可用分別表示出、、、的長，利用線段的和差關系，結合列方程求出的值，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】如圖，延長，交延長線與，設，∵，，，∴，，∵繞點順時針旋轉，點，的對應點分別為，，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵，，∴，解得：，∴．

故答案為：【點睛】本題考查旋轉的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握旋轉的性質(zhì)及30°角所對直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)是解題關鍵．17．（2022秋·遼寧鐵嶺·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在正方形內(nèi)作，交于點交于點，連接，過點作，垂足為，將繞點順時針旋轉得到，若，，則的長為．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，最后利用勾股定理解答即可．【詳解】解：由旋轉的性質(zhì)可知：，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設正方形的邊長為，則，，∴在中，，∴，解得：，（舍去），即，∴AH=AB=6，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)及旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．18．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，將矩形繞點旋轉一定角度后得矩形，交于點，且，則的長為．

【答案】3【分析】設，則，在中，根據(jù)勾股定理列出關于的方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設，，將矩形繞點旋轉一定角度后得矩形，，在中，，，解得：，的長為：3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)，是解題的關鍵．19．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？计谀﹫D中和是兩個等邊三角形，其中，，如圖①，(1)將兩三角形按圖1放置（點A，，在同一條直線上），連接線段，，求線段的長；(2)將繞點A逆時針旋，如圖2所示，直線，相交于點，連接．求證：；(3)以圖1的位置為起點，將繞點A逆時針旋轉，當點，，恰好在一條直線上時，直接寫出線段的長度．【答案】(1)；(2)見詳解；(3)．【分析】（1）由是等邊三角形，，，得到，求出，再證明，得到即可；（2）分別過點作于點，于點，先證明，得到，，由三角形內(nèi)角和定理得到，再證明，得到，則可證明平分，故可知，則問題可證；（3）當，，共線時，過點作于點，分別求出，，在利用勾股定理求出，從而求出，由問題可解．【詳解】（1）∵，，∴∴∴∵和是兩個等邊三角形，∴，，∴，∴．（2）如圖2，分別過點作于點，于點，

∵和是兩個等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵于點，，∴，∴，∴，∴平分，∴，∴．（3）；如圖，當，，共線時，過點作于點，

∵為等邊三角形，，∴，，∴∴，由（2）同理，，，如圖，當，，共線時，

同理，可得，．【點睛】本題是幾何旋轉變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)、勾股定理以及分類思想，解答關鍵是利用數(shù)形結合思想，找到條件之間關聯(lián)．20．（2023秋·山西陽泉·九年級?？计谀┌褍蓚€全等的等腰直角三角板和（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板的直角頂點G與三角板的斜邊中點O重合，現(xiàn)將三角板繞點O按順時針方向旋轉（旋轉角α滿足條件：），四邊形是旋轉過程中兩三角形的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉過程中．

(1)與有怎樣的數(shù)量關系?(2)四邊形的面積有何變化?請證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)(2)四邊形的面積在旋轉過程中沒有變化，始終為4，證明見解析【分析】（1）先由證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出．（2）四邊形的面積不變，面積為4．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：結論：．理由：點是等腰直角三角板斜邊中點，，，由旋轉的性質(zhì)，知，，．（2）四邊形的面積不變，面積為4．理由：，，．【點睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變．21．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，等腰直角三角形中，，，點D是邊上的一點，將線段繞點C逆時針旋轉得到線段，連結．

(1)①填空：線段與的數(shù)量關系是_________，位置關系是__________．②證明上述結論成立．(2)如圖2，F(xiàn)是的中點，連結交于H，若，時，求的長．【答案】(1)①相等（或）；垂直（或）；②見解析(2)【分析】（1）先證明，再證明，推出，，據(jù)此即可證明結論成立；（2）延長到T，使得，連接并延長，與交于M．，推出，，，在中，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：①相等（或）；垂直（或）②證明上述結論成立．由題意可知：，，∵，∴，，∴，在與中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即；（2）解：如圖中，延長到T，使得，連接并延長，與交于M．

在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴∵，，∴，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理：，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．22．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，點F是延長線上一點，連接，將繞點A旋轉一定角度后得到．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用旋轉的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形外角和可求出結果；（2）根據(jù)勾股定理即可解得.【詳解】（1）解：是由旋轉得到，．四邊形是正方形，，．（2）解：是由旋轉得到，，，，．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)、三角形外角和以及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.23．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，，，點D是內(nèi)一點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉，得到線段，連接、．求證：．

【答案】見解析【分析】首先根據(jù)旋轉的性質(zhì)，判斷出，，進而判斷出；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．【詳解】解：由旋轉的性質(zhì)，可得：，，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，旋轉的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等．24．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，繞點按逆時針方向旋轉后到達的位置，設與、分別交于點、．

(1)若的周長為，，，求的長；(2)若，，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)分析求解；（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)及對頂角相等分析求解．【詳解】（1）解：由旋轉性質(zhì)可得，，又∵的周長為，∴的長為；（2）解：由旋轉性質(zhì)可得，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查旋轉的性質(zhì)，理解旋轉前后圖形的對應邊相等，對應角相等是解題關鍵．25．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點是等邊內(nèi)一點，，將繞點按順時針方向旋轉得，連接．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出為多少度時，是等腰三角形？【答案】(1)是等邊三角形，詳見解析(2)是直角三角形，詳見解析(3)當，或時，是等腰三角形【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定解答即可；（2）由旋轉的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可知是等邊三角形，進而解答即可；（3）由旋轉的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定是等邊三角形，最后根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況討論即可解答．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：∵將繞點按順時針方向旋轉得，∴，，∴，∴是等邊三角形；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵將繞點按順時針方向旋轉得，∴，，∴，，∴是等邊三角形；∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵，，∴，∵將繞點按順時針方向旋轉得，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，，當時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：，∴，，．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，掌握旋轉的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．26．（江西省贛州市2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，和都是等邊三角形，且點B、C、E在一條直線上，連接和相交于點P填空：①線段與的數(shù)量關系是______；②的度數(shù)為______．

（2）深入探究如圖2，將繞點C逆時針旋轉一定的角度，其他條件與（1）中相同，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．