2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十三：圖形折疊引起的綜合探究(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十三：圖形折疊引起的綜合探究典例分析例.（2022河南中考）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．專題過關(guān)1.（2022天津中考）將一個矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點，點P在邊上（點P不與點O，C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點P，并與x軸的正半軸相交于點Q，且，點O的對應(yīng)點落在第一象限．設(shè)．（1）如圖①，當(dāng)時，求的大小和點的坐標(biāo)；（2）如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，分別與邊相交于點E，F(xiàn)，試用含有t的式子表示的長，并直接寫出t的取值范圍；（3）若折疊后重合部分的面積為，則t的值可以是___________（請直接寫出兩個不同的值即可）．2.（2022紹興中考）如圖，在矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿邊，向點運(yùn)動，，關(guān)于直線的對稱點分別為，，連結(jié)．（1）如圖，當(dāng)在邊上且時，求的度數(shù)．（2）當(dāng)在延長線上時，求的長，并判斷直線與直線的位置關(guān)系，說明理由．（3）當(dāng)直線恰好經(jīng)過點時，求的長．3.（2022深圳中考）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，為邊上三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．4.（2022貴陽中考）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．

（1）問題解決：如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點與點重合，則______；（2）問題探究：如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；（3）拓展延伸：當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．5.（2022長春中考）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在上，點B的對應(yīng)點為點E，折痕為；再沿過點F的直線折疊，使點C落在上，點C的對應(yīng)點為點H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點D與點F重合，進(jìn)而猜想．

【問題解決】（1）小亮對上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】（2）的度數(shù)為________度，的值為_________；（3）在圖①的條件下，點P在線段上，且，點Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）6.（2022運(yùn)城二模）將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點A落在EF上的點處，并使得折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，連接，如圖1，問題解決：（1）試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由；（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，與BG相交于點N，點P是BN的中點，連接AP并延長交于點Q，求的值．7.（2022鄭州一模）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．8.（2022許昌一模）問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，6世紀(jì)時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點P．則點P為AB的三等分點，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．（1）CM的長為______；（2）請通過計算AP的長度，說明點P是AB的三等分點．類比探究（3）將長方形紙片按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2，若折出的點P也為AB的三等分點，請直接寫出的值．9.（2022太原二模）綜合與實踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點B的對應(yīng)點E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF與BD相交于點G，然后展平，連接GE，EF．問題解決（1）的度數(shù)是______；（2）如圖2，請判斷四邊形BGEF的形狀，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖3，若，將正方形ABCD折疊，使點A和點F重合，折痕分別與AB，DC相交于點M，N．求的值．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十三：圖形折疊引起的綜合探究典例分析例.（2022河南中考）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．【答案】（1）或或或（2）①15，15；②，理由見解析（3）cm【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解；（3）由（2）可得，設(shè)由勾股定理即可求解；【小問1詳解】解：【小問2詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②【小問3詳解】，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，設(shè)，即解得：∴【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022天津中考）將一個矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點，點P在邊上（點P不與點O，C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點P，并與x軸的正半軸相交于點Q，且，點O的對應(yīng)點落在第一象限．設(shè)．（1）如圖①，當(dāng)時，求的大小和點的坐標(biāo)；（2）如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，分別與邊相交于點E，F(xiàn)，試用含有t的式子表示的長，并直接寫出t的取值范圍；（3）若折疊后重合部分的面積為，則t的值可以是___________（請直接寫出兩個不同的值即可）．【答案】（1），點的坐標(biāo)為（2），其中t的取值范圍是（3）3，．（答案不唯一，滿足即可）【解析】【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案；（2）根據(jù)題意先表示，再根據(jù)，表示QE，然后根據(jù)表示即可，再求出取值范圍；（3）求出t=3時的重合部分的面積，可得從t=3之后重合部分的面積始終是，再求出P與C重合時t的值可得t的取值范圍，問題得解．【小問1詳解】在中，由，得．根據(jù)折疊，知，∴，．∵，∴．如圖，過點O′作，垂足為H，則．∴在中，得．由，得，則．由，得，．∴點的坐標(biāo)為．【小問2詳解】∵點，∴．又，∴．同（Ⅰ）知，，．∵四邊形是矩形，∴．在中，，得．∴．又，∴.如圖，當(dāng)點O′與AB重合時，，，則，∴，∴，解得t=2，∴t的取值范圍是；【小問3詳解】3，．（答案不唯一，滿足即可）當(dāng)點Q與點A重合時，，，∴，則.∴t=3時，重合部分的面積是，從t=3之后重合部分的面積始終是，當(dāng)P與C重合時，OP＝6，∠OPQ＝30°，此時t＝OP·tan30°＝，由于P不能與C重合，故，所以都符合題意．【點睛】這是一道關(guān)于動點的幾何綜合問題，考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等．2.（2022紹興中考）如圖，在矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿邊，向點運(yùn)動，，關(guān)于直線的對稱點分別為，，連結(jié)．（1）如圖，當(dāng)在邊上且時，求的度數(shù)．（2）當(dāng)在延長線上時，求的長，并判斷直線與直線的位置關(guān)系，說明理由．（3）當(dāng)直線恰好經(jīng)過點時，求的長．【答案】（1）∠AEM＝90°；（2）DE＝；MN∥BD，證明見解析；（3）DE的長為或．【解析】【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知∠AEB＝∠MEB＝45°，從而得出答案；（2）根據(jù)對稱性得，∠ENC＝∠BDC，則cos∠ENC＝，得EN＝，利用SSS證明△BMN≌△DCB，得∠DBC＝∠BNM，則MN∥BD；（3）當(dāng)點E在邊AD上時，若直線MN過點C，利用AAS證明△BCM≌△CED，得DE＝MC；當(dāng)點E在邊CD上時，證明△BMC∽△CNE，可得，從而解決問題．【小問1詳解】解：∵DE=2，∴AE＝AB＝6，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，由對稱性知∠BEM＝45°，∴∠AEM=∠AEB+∠BEM＝90°；【小問2詳解】如圖1，∵AB=6，AD=8，∴由勾股定理得BD=10，∵當(dāng)N落在BC延長線上時，BN＝BD＝10，∴CN＝2．由對稱性得，∠ENC＝∠BDC，∴cos∠ENC＝，∴EN＝，∴DE＝EN＝；直線MN與直線BD的位置關(guān)系是MN∥BD．由對稱性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，又∵BN＝BD，∴△BMN≌△DCB（SSS），∴∠DBC＝∠BNM，所以MN∥BD；【小問3詳解】①情況1：如圖2，當(dāng)E在邊AD上時，直線MN過點C，∴∠BMC＝90°，∴MC＝．∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∠BMC＝∠EDC＝90°，∴△BCM≌△CED（AAS），∴DE＝MC＝；②情況2：如圖3，點E在邊CD上時，∵BM＝6，BC＝8，∴MC＝，CN＝8-，∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＋∠ECN＝90°，∵∠BCM＋∠MBC＝90°，∴∠ECN＝∠MBC，∴△BMC∽△CNE，∴，∴EN，∴DE＝EN＝．綜上所述，DE的長為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，根據(jù)題意畫出圖形，并運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．3.（2022深圳中考）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，為邊上三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或【解析】【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．4.（2022貴陽中考）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．

（1）問題解決：如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點與點重合，則______；（2）問題探究：如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；（3）拓展延伸：當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．【答案】（1）（2）（3）作圖見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點在邊上，當(dāng)時，取得最小值，最小值為；（3）連接，設(shè)，則，，在中，，延長交于點，在中，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【小問1詳解】，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，【小問2詳解】，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點在邊上，當(dāng)時，取得最小值，最小值為；【小問3詳解】如圖，連接，

，則，設(shè)，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長交于點，如圖，

，，，，，在中，，，．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．5.（2022長春中考）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在上，點B的對應(yīng)點為點E，折痕為；再沿過點F的直線折疊，使點C落在上，點C的對應(yīng)點為點H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點D與點F重合，進(jìn)而猜想．

【問題解決】（1）小亮對上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】（2）的度數(shù)為________度，的值為_________；（3）在圖①的條件下，點P在線段上，且，點Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析（2）22.5°，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，，由HL可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得證明是等腰直角三角形，可求出GF的長，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知點F與點D關(guān)于AG對稱，連接PD，則PD為PQ+FQ最小值，過點P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：四邊形矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．由折疊得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴【小問2詳解】由折疊得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴設(shè)則∴∴∴【小問3詳解】如圖，連接

∵∴AG是FD的垂直平分線，即點F與點D關(guān)于AG軸對稱，連接PD交AG于點Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長；過點P作交AD于點R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值為【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．6.（2022運(yùn)城二模）將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點A落在EF上的點處，并使得折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，連接，如圖1，問題解決：（1）試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由；（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，與BG相交于點N，點P是BN的中點，連接AP并延長交于點Q，求的值．【答案】（1）是等邊三角形，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）等邊三角形，解法一利用垂直平分線性質(zhì)得出AA′=BA′，利用折疊得出即可，解法二：根據(jù)折疊得出，，然后利用銳角三角函數(shù)定義得出，求出即可；（2）解法一：過點N作交AP于H，先證（AAS），再證，得出即可解法二：由折疊可知，由點P是BN的中點，得出，利用平行線等分性質(zhì)得出，，證出即可．【小問1詳解】解：是等邊三角形．解法一：理由是：由折疊可知EF垂直平分AB；∴AA′=BA′，∵△ABG折疊得△A′BG，∴，∴；∴是等邊三角形；解法二：理由是：由折疊可知，，，∴，∴，∴是等邊三角形；【小問2詳解】解法一：過點N作交AP于H，∴，，又∵點P是BN的中點，∴，在△PHN和△PQB中，，∴（AAS），∴，又∵，∴，，∴，由折疊可知，∴，∴，∴；解法二：由折疊可知，又∵點P是BN的中點，∴，過點N作交于M，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7.（2022鄭州一模）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．【解析】【分析】（1）如圖，分別延長，相交于點P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【詳解】（1）．如圖，分別延長，相交于點P，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，,∵為的中點，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即為的中點，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵將沿著所在直線折疊，點的對應(yīng)點為，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵為的中點，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，DC=AB，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴．（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，∵的面積為20，邊長，于點，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵將沿過點的直線折疊，點A的對應(yīng)點為，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于點，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．8.（2022許昌一模）問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，6世紀(jì)時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點P．則點P為AB的三等分點，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．（1）CM的長為______；（2）請通過計算AP的長度，說明點P是AB的三等分點．類比探究（3）將長方形紙片按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2，若折出的點P也為AB的三等分點，請直接寫出的值．【答案】（1）（2）說明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，進(jìn)而得出的長；（2）先證△AEP∽△DME，由（1）可知：，再求得，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，，，由勾股定理可得：，∽，，即，解得，從而得到解得，得到，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，則，，

在中，由勾股定理可得：，

即，

解得，∴,故答案為；【小問2詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝2，∴∠DEM＋∠DME