北京市朝陽三里屯2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題

北京市三里屯一中2016—2017學(xué)年第二學(xué)期一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列求導(dǎo)①；②；③；④，正確的有（）．A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)【答案】B【解析】，故①錯(cuò)誤；，故②錯(cuò)誤；，故③正確；，故④錯(cuò)誤．正確的有一個(gè)．本題選擇B選項(xiàng).2.下列推理過程是演繹推理的是（）．A.由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì)B.某校高二班有人，班有人，由此得高二所有班人數(shù)都超過人C.兩條直線平行，同位角相等，若與是兩條平行直線的同位角，則D.在數(shù)列中，，，由此歸納出的通項(xiàng)公式【答案】C【解析】試題分析：A是類比推理；B是歸結(jié)推理；C是演繹推理：大前題是：兩條直線平行，同位角相等；小前題是：與是兩條平行直線的同位角；結(jié)論為：．故選：C．考點(diǎn)：推理與證明．3.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（）．A.假設(shè)，，都是偶數(shù)B.假設(shè)，，都不是偶數(shù)C.假設(shè)，，至多有一個(gè)是偶數(shù)D.假設(shè)，，至多有兩個(gè)是偶數(shù)【答案】B【解析】用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)要證的命題的否定成立，本題選擇B選項(xiàng).4.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】由，可得，∴復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是．本題選擇D選項(xiàng).5.個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有（）種．A.B.C.D.【答案】A【解析】個(gè)人排成一排，要求甲、乙兩人不相鄰，先安排其他人，有種不同的排法，排好后，有個(gè)空位，在個(gè)空位中，任選個(gè)，安排甲、乙，有種不同的方法，因此，個(gè)人排成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種．

本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．6.函數(shù)的部分圖像可能是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．結(jié)合所給的選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)符合題意.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．7.若命題在時(shí)命題成立，則有時(shí)命題成立，現(xiàn)知命題對時(shí)命題成立，則有（）．A.命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于的正整數(shù)不成立，對大于或等于的正整數(shù)都成立C.命題對小于的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于的正整數(shù)都成立D.以上說法都不正確【答案】C【解析】由已知可得時(shí)命題成立，則有時(shí)命題成立，在時(shí)命題成立的前提下，可推得時(shí)命題也成立，以此類推可知命題對大于或等于的正整數(shù)都成立，但命題對小于的正整數(shù)成立與否不能確定．本題選擇C選項(xiàng).8.用，，，，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字之間恰有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】把兩個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列有種方法，從三個(gè)奇數(shù)中選取一個(gè)插入兩個(gè)偶數(shù)之間，共有種方法，把選取好的三個(gè)數(shù)捆綁在一起與其它兩個(gè)奇數(shù)全排列，共有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，滿足條件的五位數(shù)共有個(gè)．本題選擇A選項(xiàng).9.直線過拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直，則與所圍成的圖形的面積等于（）．A.B.C.D.【答案】C考點(diǎn)：積分的幾何意義．10.已知函數(shù)，其中是常數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，令，得或，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，，∴是上的增函數(shù)，∴方程在上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)，即時(shí)，令得，令，得，∴在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴在上的最小值為，又，且當(dāng)時(shí)，有，∴要使方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則．本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)換為函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷，具體方法包括：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上）11.計(jì)算__________．【答案】【解析】試題分析：考點(diǎn)：定積分點(diǎn)評：定積分用于求曲邊梯形的面積。若，則。12.曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．【答案】【解析】由得，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是__________．【答案】【解析】試題分析：對于函數(shù)易得其定義域?yàn)閧x|x＞0}，令又由x＞0，則可得0＜x≤1，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1].考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性14.從名骨科、名腦外科和名內(nèi)科醫(yī)生中選派人組成一個(gè)抗震救災(zāi)小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】從名醫(yī)生中選出名，選法由種，其中只不選骨科醫(yī)生的有種，只不選腦外科醫(yī)生的有種，只不選內(nèi)科醫(yī)生的有種，同時(shí)不選骨科和腦外科的選法有種，故各科至少有人的選法種數(shù)為．點(diǎn)睛：解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏．解組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義．15.設(shè)方程有個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，對函數(shù)求導(dǎo)，，令，即，得或，令，得，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，，∴可作出的大致圖像，如圖所示：要使方程有個(gè)不等的實(shí)根，則與的圖像有個(gè)交點(diǎn)，∴，即常數(shù)的取值范圍是．16.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如，，，等，顯然位回文數(shù)有個(gè)：，，，，，位回文數(shù)有個(gè)：，，，，，，，．（）位回文數(shù)有__________個(gè)．（）位回文數(shù)有__________個(gè)．【答案】(1).90(2).【解析】（）位回文數(shù)的特點(diǎn)為中間兩位相同，千位和個(gè)位數(shù)字相同但不能為零，

第一步，選千位和個(gè)位數(shù)字，共有種選法，

第二步，選中間兩位數(shù)字，有種選法，

故位回文數(shù)有個(gè)．

（）第一步，選左邊第一個(gè)數(shù)字，有種選法，

第二步，分別選左邊第、、、、、個(gè)數(shù)字，共有種選法，

故位回文數(shù)有個(gè).三、解答題（本大題共3小題，共38分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿足，且．（）求，，，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式．（）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】(1)，，，猜想；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（）由題意結(jié)合首項(xiàng)和遞推關(guān)系式可得，，，，，，據(jù)此可猜想；（）證明：當(dāng)時(shí)，等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，結(jié)合遞推關(guān)系式可證得當(dāng)時(shí)，，利用數(shù)學(xué)歸納法可得對任意，有．試題解析：（）∵數(shù)列滿足，且，∴，∴，，，猜想．（）證明：當(dāng)時(shí)，，等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式成立，故對任意，有．點(diǎn)睛：“歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性．18.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（）若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（）由題意可得，原問題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．（）原問題等價(jià)于在時(shí)恒成立，令，則，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．試題解析：（）由函數(shù)，得，∵函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，∴，即在區(qū)間上恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，∴．（）在時(shí)恒成立等價(jià)于在時(shí)恒成立，令，則，∵，∴在上單調(diào)遞減，∵在區(qū)間上的最大值，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.已知函數(shù)，，其中．（）若在處取得極值，求的值．（）求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)；(2)答案見解析.【