專題15分式方程和實際應用-原卷版+解析

專題15分式方程和實際應用【思維導圖】◎考點題型1分式方程的概念分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程例．（2022秋·上海·七年級專題練習）下列各式中屬于分式方程的是（）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·九年級專題練習）下列關于的方程，是分式方程的是（

）A． B． C． D．變式2．（2020春·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習）在下列各式①x2﹣x+；②﹣3＝a+4；③+5x＝6；④中，是分式方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式3．（2020春·八年級?？颊n時練習）下列方程中哪些是可以化為一元二次方程的分式方程（

）A． B． C． D．◎考點題型2解分式方程分式方程解方程的步驟：=1\*GB3①利用等式的性質去分母，將分式方程轉換為整式方程=2\*GB3②解整式方程=3\*GB3③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程=4\*GB3④作答例．（2023春·江蘇·八年級專題練習）解方程：(1)；(2)．變式1．（2023秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）解方程(1)(2)變式2．（2022秋·云南昆明·八年級昆明市第三中學校考階段練習）解下列方程：(1)(2)(3)變式3．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）解方程◎考點題型3根據(jù)解的情況求值（1）方程無解，即方程的根為增根；（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；（3）方程的解為負值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍例．（2023秋·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）若關于的分式方程有增根，則的值為（

）A．1 B．3 C． D．變式1．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）已知關于的分式方程的解是負數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．且變式2．（2023秋·河北邯鄲·八年級?？计谀┮阎P于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且變式3．（2022秋·重慶江北·八年級?？计谀┤絷P于x的不等式組有解，且關于x的分式方程的解為非負數(shù)，則滿足條件的整數(shù)a的值的和為（

）A． B． C． D．◎考點題型4無解問題方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據(jù)題意求解出其他字母的值。例．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）若分式方程無解，則k的值為(

)A． B． C． D．變式1．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）已知關于x的方程無解，則m的取值為（）A．2 B．5 C． D．2或5變式2．（2023春·八年級單元測試）若分式方程無解，則的值是（

）A．4 B． C． D．變式3．（2022秋·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）若分式方程無解，則a的值為（

）A．1或 B． C．1 D．1或◎考點題型5分式方程的實際應用例．（2022秋·湖北武漢·八年級武漢市卓刀泉中學?？计谀┠成痰暧?000元人民幣購進某種水果銷售，過了一周時間，又用2400元人民幣購進這種水果，所購數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍，但每千克的價格比第一次購進的價格貴了2元．(1)該商店第一次購進這種水果多少千克？(2)假設該商店兩次購進的這種水果按相同的標價銷售，最后剩下的20千克按標價的五折優(yōu)惠銷售，若兩次購進的這種水果全部售完，利潤不低于950元，則每千克這種水果的標價至少是多少元？變式1．（2022秋·八年級課時練習）“菊潤初經(jīng)雨，橙香獨占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含豐維生C．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進了一批數(shù)量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進價比每千克“臍橙”貴8元．求每千克“血橙”和“臍橙”進價各是多少元？變式2．（2017春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級?？计谥校榱顺鞘芯G化建設，某中學初三（2）班計劃組織部分同學義務植樹180棵，由于同學們參與的積極性很高，實際參加植樹活動的人數(shù)比原計劃增加了，結果每人比原計劃少栽了2棵樹，問實際有多少人參加了這次植樹活動？(1)小明設原計劃有人參加植樹活動，請你完成他的求解過程；(2)小紅設原計劃每人栽棵樹，則由題意可得方程為：．（不需要求解）變式3．（2019秋·七年級統(tǒng)考課時練習）依法納稅是每個公民應盡的義務．新稅法規(guī)定：居民個人的綜合所得，以每一納稅月收入減去費用5000元以及專項扣除、專項附加扣除和依法確定的其它扣除后的余額，為個人應納稅所得額．已知李先生某月的個人應納稅所得額比張先生的多1500元，個人所得稅稅率相同情況下，李先生的個人所得稅稅額為76.5元，而張先生的個人所得稅稅額為31.5元．求李先生和張先生應納稅所得額分別為多少元？專題15分式方程和實際應用【思維導圖】◎考點題型1分式方程的概念分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程例．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）下列各式中屬于分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【詳解】解：A、是一元一次方程，不是分式方程，故本選項不合題意；B、是一元二次方程，不是分式方程，故本選項不合題意；C、是分式方程，故本選項符合題意；D、不是方程，故本選項不合題意；故選：C．【點睛】本題考查分式方程，解題的關鍵是熟練運用分式方程的定義，分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．變式1．（2023·全國·九年級專題練習）下列關于的方程，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進行判斷．【詳解】解：．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；．方程分母中含未知數(shù)，故是分式方程，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關鍵是掌握判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．變式2．（2020春·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習）在下列各式①x2﹣x+；②﹣3＝a+4；③+5x＝6；④中，是分式方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程判斷．【詳解】解：①x2﹣x+，不是方程；②﹣3＝a+4，是分式方程；③+5x＝6，是一元一次方程；④，是分式方程；∴是分式方程的有②④，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的判斷，判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．變式3．（2020春·八年級校考課時練習）下列方程中哪些是可以化為一元二次方程的分式方程（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義進行判斷即可；【詳解】解：選項A中，轉化為，不符合題意，故選項A錯誤；選項B中，轉化為，不符合題意，故選項A錯誤；選項C中，轉化為：，不符合題意，故選項C錯誤；選項D中，轉化為：，符合題意，故選項D正確；故選D.【點睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分式方程的定義是解題的關鍵.◎考點題型2解分式方程分式方程解方程的步驟：=1\*GB3①利用等式的性質去分母，將分式方程轉換為整式方程=2\*GB3②解整式方程=3\*GB3③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程=4\*GB3④作答例．（2023春·江蘇·八年級專題練習）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)原方程無解．【分析】（1）按照解分式方程的一般步驟進行解答即可；（2）按照解分式方程的一般步驟進行解答即可．【詳解】（1）解：，，解得：，檢驗：當時，，∴是原方程的根；（2），，解得：，檢驗：當時，，∴是原方程的增根，∴原方程無解．【點睛】本題考查解分式方程，解分式方程的基本思路是“去分母，化分式方程為整式方程”，解分式方程的過程中有可能產(chǎn)生增根，因此求得未知數(shù)的值后，需先檢驗，再作結論．變式1．（2023秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】（1）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、把系數(shù)化為1計算，然后檢驗即可得出結果；（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、把系數(shù)化為1計算，然后檢驗即可得出結果；【詳解】（1）解：去分母，可得：，去括號，可得：，移項，可得：，合并同類項，可得：，把系數(shù)化為1，可得：，檢驗：當時，，∴是原分式方程的解；（2）解：去分母，可得：，去括號，可得：，移項，可得：，合并同類項，可得：，把系數(shù)化為1，可得：，檢驗：當時，，∴原分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，解本題的關鍵在熟練掌握解分式方程的方法，并注意要檢驗．變式2．（2022秋·云南昆明·八年級昆明市第三中學校考階段練習）解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)無解(3)【分析】（1）（2）（3）方程去分母化為整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊都乘，得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解；（2），方程兩邊都乘，得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的增根，故無解；（3），去分母，得，去括號，得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．變式3．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）解方程【答案】【分析】方程兩邊同時乘以，化為整式方程，解方程即可求解．【詳解】解：，方程兩邊同時乘以，得即解得：．經(jīng)檢驗是原方程的解．【點睛】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關鍵．◎考點題型3根據(jù)解的情況求值（1）方程無解，即方程的根為增根；（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；（3）方程的解為負值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍例．（2023秋·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）若關于的分式方程有增根，則的值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式方程的增根的定義得出，然后代入化為整式方程的方程算出的值即可．【詳解】∵關于的分式方程有增根，∴，∴，原分式方程兩邊同時乘以得，將帶入得，解得，故選A．【點睛】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．變式1．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）已知關于的分式方程的解是負數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．且【答案】C【分析】解分式方程用k表示出x，根據(jù)解為正數(shù)及分式有意義的條件得到關于k的不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解得：去分母得：，∴，∵的解為負數(shù)，且分式有意義，∴，解得：，故選：C．【點睛】本題考查分式方程與不等式的綜合應用，解分式方程得到關于k的不等式組是解題關鍵，注意分式有意義的條件，避免漏解．變式2．（2023秋·河北邯鄲·八年級校考期末）已知關于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】解分式方程用m表示x，由關于x的分式方程的解是正數(shù)及分式方程的增根可求解m的取值范圍．【詳解】解：方程兩邊同乘以得，解得，∵x的分式方程的解是正數(shù)，∴，解得，∵，即，解得，∴m的取值范圍為且．故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，分式方程的解法，熟知求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解答此題的關鍵．變式3．（2022秋·重慶江北·八年級?？计谀┤絷P于x的不等式組有解，且關于x的分式方程的解為非負數(shù)，則滿足條件的整數(shù)a的值的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式組，由題意確定出的范圍；分式方程去分母轉化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)題意得不等式，確定的范圍；最后確定符合條件的的值，問題得解．【詳解】解：解不等式組得由不等式組有解，得解得：分式方程去分母得：解得：關于的分式方程的解為非負數(shù)，且，解得且，且，為整數(shù)，則滿足題意的整數(shù)的值的和是故選：C．【點睛】本題是不等式組與分式方程的綜合，考查了解一元一次不等式組，解分式方程，要注意的是，分式方程的增根也是非負數(shù)，此時滿足條件的的值要排除．◎考點題型4無解問題方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據(jù)題意求解出其他字母的值。例．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）若分式方程無解，則k的值為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】去分母，化分式方程為整式方程，根據(jù)分式方程無解，得出，代入整式方程，進而即可求解．【詳解】解：化為整式方程：∵分式方程無解，則，∴，解得：，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程無解問題，分兩種情況：一種是把分式方程化成整式方程后，整式方程無解；一種是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但這個解使分式方程的分母為0，是增根，熟練掌握理解這兩種情況是解題關鍵.變式1．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）已知關于x的方程無解，則m的取值為（）A．2 B．5 C． D．2或5【答案】D【分析】去分母把分式方程化成整式方程，再分整式方程無解和整式方程有解但是分式方程的增根兩種情況進行討論，即可得出答案．【詳解】解：去分母得：，整理為：，當，即時，此方程無解，原分式方程也無解，當時，由得：，把代入得：，解得：，∴或2．故選D．【點睛】本題考查了分式方程的解，掌握整式方程無解和整式方程有解兩種情況進行討論是關鍵．變式2．（2023春·八年級單元測試）若分式方程無解，則的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】解分式方程，可得分式方程的解為，又根據(jù)原分式方程無解，可得，從而求解．【詳解】解：，去分母，得，，分式方程無解，，，；故選：C．【點睛】此題考查了分式方程無解問題、代數(shù)式求值，熟記分式方程無解的條件是解答此題的關鍵．變式3．（2022秋·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）若分式方程無解，則a的值為（

）A．1或 B． C．1 D．1或【答案】A【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【詳解】解：方程去分母得：，解得：，當分母時方程無解，即，也就是，所以時，方程無解，當時，，方程無解，故當時，方程無解，故選：A【點睛】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內(nèi)容．◎考點題型5分式方程的實際應用例．（2022秋·湖北武漢·八年級武漢市卓刀泉中學?？计谀┠成痰暧?000元人民幣購進某種水果銷售，過了一周時間，又用2400元人民幣購進這種水果，所購數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍，但每千克的價格比第一次購進的價格貴了2元．(1)該商店第一次購進這種水果多少千克？(2)假設該商店兩次購進的這種水果按相同的標價銷售，最后剩下的20千克按標價的五折優(yōu)惠銷售，若兩次購進的這種水果全部售完，利潤不低于950元，則每千克這種水果的標價至少是多少元？【答案】(1)100千克(2)15元【分析】（1）設該商店第一次購進水果x千克，則第二次購進水果2x千克，然后根據(jù)每千克的價格比第一次購進的價格貴了2元，列出方程求解即可；（2）設每千克水果的標價是y元，然后根據(jù)兩次購進水果全部售完，利潤不低于950元列出不等式，然后求解即可得出答案．【詳解】（1）解：設該商店第一次購進水果x千克，則第二次購進這種水果2x千克．由題意，得，解得．經(jīng)檢驗，是所列方程的解．答：該商店第一次購進水果100千克．（2）設每千克這種水果的標價是y元，則，解得．答：每千克這種水果的標價至少是15元【點睛】此題考查了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，分析題意，找到合適的等量關系與不等關系是解決問題的關鍵．變式1．（2022秋·八年級課時練習）“菊潤初經(jīng)雨，橙香獨占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含豐維生C．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進了一批數(shù)量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進價比每千克“臍橙”貴8元．求每千克“血橙”和“臍橙”進價各是多少元？【答案】每千克“血橙”為18元，每千克“臍橙”為10元【分析】設每千克“臍橙”進價為x元，則每千克“血橙”進價是（x+8）元，根據(jù)題意可以得到關于x的分式方程，解分式方程即可得到問題解答．【詳解】解：設每千克“臍橙”進價為x元，則每千克“血橙”進價是元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，

答：每千克“血橙”為18元，每千克“臍橙”為10元．【點睛】本題考查分式方程的應用，熟練地找出題中數(shù)量關系并列出方程、熟練地求解分式方程是解題關鍵．變式2．（2017春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校考期中）為了城市綠化建設，某中學初三（2）班計劃組織部分同學義務植樹180棵，由于同學們參與的積極性很高，實際參加植樹活動的人數(shù)比原計劃增加了，結果每人比原計劃少栽了2棵樹，問實際有多少人參加了這次植樹活動？(1)小