專題4角的平分線的性質(zhì)和判定常考題型(原卷版+解析)

專題4角的平分線的性質(zhì)和判定?？碱}型（原卷版）題型一角的平分線的作法1．（2022?資陽）如圖所示，在△ABC中，按下列步驟作圖：第一步：在AB、AC上分別截取AD、AE，使AD＝AE；第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長（大于DE的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；第三步：作射線AF交BC于點(diǎn)M；第四步：過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N．下列結(jié)論一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA2．（2023春?西城區(qū)校級期中）已知：鈍角△ABC．分別畫出AC邊上的高BD、BC邊上的中線AE及△ABC中∠ACB的平分線CF．3．（2022春?來賓期末）在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別截取OA＝OB，再分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，2），則a的值是題型二利用角的平分線的性質(zhì)求線段的長、角度度數(shù)、面積等4．如圖，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，點(diǎn)E是射線OB上的動點(diǎn)，則PE的最小值為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm5．（2020秋?朝陽期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE平分∠ADB，則∠DBA等于（）A．22.5° B．30° C．25° D．40°6．（2023?王益區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，則△DBE的周長是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm7．（2021秋?古冶區(qū)期中）如圖，已知△ABC的周長是34，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，則△ABC的面積是（）A．17 B．34 C．38 D．688．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為30、40、15，點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，將△ABC分成三個(gè)三角形，則S△APB：S△BPC：S△CPA等于（）A．1：1：1 B．6：8：3 C．5：8：3 D．4：5：39．如圖，△ABC中，∠B＝30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC的度數(shù)為．題型三角平分線的判定10．（2023秋?武城縣期末）△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等；∠A＝40°，則∠BOC＝（）A．110° B．120° C．130° D．140°11．（2021秋?新城區(qū)校級月考）如圖所示，平面內(nèi)三條直線a、b、c兩兩相交，在平面內(nèi)找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到三條直線的距離相等，那么符合條件的點(diǎn)P有處．題型四角平分線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用12．（2023春?永州期末）如圖，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P且與直線AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．213．（2022秋?大興區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分線與外角∠BCD的平分線相交于點(diǎn)M，作AB的延長線得到射線AE，作射線BM，有下面四個(gè)結(jié)論：①∠MCD＞∠MAB；②BM＝CM；③射線BM是∠EBC的角平分線；④∠BMC＝90°?12∠所有正確結(jié)論的序號是．14．（2022秋?忠縣校級月考）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H．（1）求∠APB的度數(shù)為；（2）證明：AH+BD＝AB．15．（2020秋?饒平縣校級期末）在△ABC中，AE、BF是角平分線，交于O點(diǎn)．（1）如圖1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．（2）如圖2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度數(shù)．（3）如圖3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．誤點(diǎn)警示：易錯點(diǎn)：忽視點(diǎn)的位置有兩種情況而導(dǎo)致漏解16．（2021秋?齊河縣期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，PN⊥OB于點(diǎn)N，點(diǎn)M是線段ON上一點(diǎn)．已知OM＝3，ON＝5，點(diǎn)D為OA上一點(diǎn)，若滿足PD＝PM，則OD的長度為．

專題4角的平分線的性質(zhì)和判定?？碱}型（解析版）題型一角的平分線的作法1．（2022?資陽）如圖所示，在△ABC中，按下列步驟作圖：第一步：在AB、AC上分別截取AD、AE，使AD＝AE；第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長（大于DE的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；第三步：作射線AF交BC于點(diǎn)M；第四步：過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N．下列結(jié)論一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意可知，AM平分∠CAB，即可得出正確答案．【解答】解：由題意可知，AM平分∠CAB，∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A選項(xiàng)不符合題意；∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B選項(xiàng)不符合題意；∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C選項(xiàng)符合題意；∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖方法是本題的關(guān)鍵．2．（2023春?西城區(qū)校級期中）已知：鈍角△ABC．分別畫出AC邊上的高BD、BC邊上的中線AE及△ABC中∠ACB的平分線CF．【思路引領(lǐng)】分別根據(jù)角平分線作法以及中線作法和高線作法得出即可．【解答】解：如圖所示：【總結(jié)提升】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確得出鈍角三角形高線作法是解題關(guān)鍵．3．（2022春?來賓期末）在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別截取OA＝OB，再分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，2），則a的值是【思路引領(lǐng)】由題意可得，∠AOB＝90°，點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)P到x軸和y軸的距離相等，即|a|＝2，即可得a的值．【解答】解：由題意可得，∠AOB＝90°，點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，∴點(diǎn)P到x軸和y軸的距離相等，即|a|＝2，解得a＝±2，∴點(diǎn)P在第一或第二象限，∴a的值為2或﹣2．故答案為：2或﹣2．【總結(jié)提升】本題考查作圖﹣基本作圖、角平分線的性質(zhì)，明確題中的作圖方法及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二利用角的平分線的性質(zhì)求線段的長、角度度數(shù)、面積等4．如圖，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，點(diǎn)E是射線OB上的動點(diǎn)，則PE的最小值為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠AOP＝30°，則PD=1【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴PD=1過點(diǎn)P作PE'⊥OB于點(diǎn)E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值為3cm．故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了垂線段最短以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，以及垂線段最短．5．（2020秋?朝陽期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE平分∠ADB，則∠DBA等于（）A．22.5° B．30° C．25° D．40°【思路引領(lǐng)】利用全等直角三角形的判定定理HL證得Rt△ACD≌Rt△AED，則對應(yīng)角∠ADC＝∠ADE；然后根據(jù)已知條件“DE平分∠ADB”、平角的定義證得∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°；最后由直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)求得∠B＝30°．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，∴CD＝ED．在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=ED∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠ADC＝∠ADE．∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．∴∠B+∠EDB＝90°，∴∠B＝30°．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?王益區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，則△DBE的周長是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝CD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周長＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，又∵AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周長＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB＝7cm，∴△DBE的周長＝7cm．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)求出△DBE的周長＝AB是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?古冶區(qū)期中）如圖，已知△ABC的周長是34，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，則△ABC的面積是（）A．17 B．34 C．38 D．68【思路引領(lǐng)】過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE＝OD＝OF＝4，根據(jù)△ABC的面積等于△ACO的面積、△BCO的面積、△ABO的面積的和，即可求出答案．【解答】解：過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝4，∴△ABC的面積是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=12×AB×OE+12×AC=12×4×（AB+AC=1＝68，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形的面積，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．8．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為30、40、15，點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，將△ABC分成三個(gè)三角形，則S△APB：S△BPC：S△CPA等于（）A．1：1：1 B．6：8：3 C．5：8：3 D．4：5：3【思路引領(lǐng)】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)P到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的AB、BC、AC的高相等，利用面積公式即可求解．【解答】解：過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∵P是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴PD＝PE＝PF，∵AB＝30，BC＝40，AC＝15，∴S△APB：S△BPC：S△CPA＝30：40：15＝6：8：3．故選：B．【總結(jié)提升】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法，難度不大，熟記角平分線的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，∠B＝30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC的度數(shù)為75°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠BCA，求出∠DAC+∠FCA，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∴∠BAC+∠BCA＝150°，∴∠DAC+∠FCA＝210°，∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∴∠EAC+∠ECA＝105°，∴∠AEC＝180°﹣105°＝75°，故答案為：75°．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的定義，掌握三角形內(nèi)角和定義180°是解題的關(guān)鍵．題型三角平分線的判定10．（2019秋?武城縣期末）△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等；∠A＝40°，則∠BOC＝（）A．110° B．120° C．130° D．140°【思路引領(lǐng)】由已知，O到三角形三邊距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵O到三角形三邊距離相等，∴O是內(nèi)心，即三條角平分線交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，∴∠CBO＝∠ABO=12∠ABC，∠BCO＝∠ACO=1∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故選：A．【總結(jié)提升】此題主要考查學(xué)生對角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．11．（2021秋?新城區(qū)校級月考）如圖所示，平面內(nèi)三條直線a、b、c兩兩相交，在平面內(nèi)找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到三條直線的距離相等，那么符合條件的點(diǎn)P有4處．【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)P到三條直線的距離相等，∴點(diǎn)P是三條直線a、b、c所形成的角的角平分線的交點(diǎn)，如圖所示，圖中點(diǎn)P、點(diǎn)P′、點(diǎn)P′′、點(diǎn)P′′′即為所求，故答案為：4．【總結(jié)提升】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型四角平分線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用12．（2023春?永州期末）如圖，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P且與直線AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．2【思路引領(lǐng)】過P作PE⊥BC于E，求出AD⊥CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PA＝PD＝PE，根據(jù)AD求出即可．【解答】解：過P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PE＝PD，即PA＝PD＝PE，∵AD＝PA+PD＝8，∴PA＝PD＝PE＝4，即點(diǎn)P到BC的距離是4，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．14．（2022秋?大興區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分線與外角∠BCD的平分線相交于點(diǎn)M，作AB的延長線得到射線AE，作射線BM，有下面四個(gè)結(jié)論：①∠MCD＞∠MAB；②BM＝CM；③射線BM是∠EBC的角平分線；④∠BMC＝90°?12∠所有正確結(jié)論的序號是①③④．【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線的定義和性質(zhì)，三角形的邊角不等關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵∠MCD是△ACM的外角，∴∠MCD＞∠MAC，∵AM平分∠BAC，∴∠MAB＝∠MAC，∴∠MCD＞∠MAB，因此①正確；如圖，過點(diǎn)M分別作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分別為N、P、Q，∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，∴MN＝MQ，MP＝MQ，∴MN＝MP，∴BM平分∠CBE，因此③正確；∵AB＜AC，∴∠ACB＜∠ABC，∴∠MBC＜∠MCB，∴MB＞MC，因此②不正確；由上述證明可知，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分線的交點(diǎn)，∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB＝180°?12（∠BCD+∠＝180°?12（∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠＝180°?12（180°+∠＝90°?12∠因此④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故答案為：①③④．【總結(jié)提升】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的定義和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提．15．（2022秋?忠縣校級月考）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H．（1）求∠APB的度數(shù)為135°；（2）證明：AH+BD＝AB．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAB+∠CBA＝90°，根據(jù)角平分線的定義可得PAB+∠PBA＝45°，即可求出∠APB的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得∠BPD＝45°，易證△APB≌△FPB（SAS），可得∠F＝∠BAP，AP＝FP，AB＝FB，進(jìn)一步可證△APH≌△FPD（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH＝FD，進(jìn)一步即可得證．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBA=1∴∠PAB+∠PBA=12（∠CAB+∠∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，故答案為：135°；（2）證明：∵∠APB＝135°，∴∠BPD＝45°，∵PF⊥AD，∴∠BPF＝90°+45°＝135°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠FBP，在△APB和△FPB中，∠ABP=∠FBPBP=BP∴△APB≌△FPB（SAS），∴∠F＝∠BAP，AP＝FP，AB＝FB，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∴∠F＝∠CAP，∵PF⊥AD，∴∠APH＝∠FPD，在△APH和△FPD中，∠APH=∠FPDAP=FP∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝FD，∴AH+BD＝FD+BD＝BF＝AB．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2020秋?饒平縣校級期末）在△ABC中，AE、BF是角平分線，交于O點(diǎn)．（1）如圖1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．（2）如圖2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度數(shù)．（3）如圖3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABO＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）連接OC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OM＝ON，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EOM＝∠FOH，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）連接OC，過O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD＝OG＝OH，根據(jù)三角形的面積公式即可得的結(jié)論．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）連接OC，∵AE、BF是角平分線，交于O點(diǎn)，∴OC是∠ACB的角