第03講二次函數(shù)與一元二次方程(3大考點)(原卷版+解析)

第03講二次函數(shù)與一元二次方程（3大考點）一、拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．二、圖像法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．三、二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．考點精講考點精講考點考向拋物線與x軸的交點1.（2021春?臺江區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解為A．， B．， C．， D．，2.在平面直角坐標系中，已知函數(shù)，，．設函數(shù)，，的圖象與軸的交點個數(shù)分別為，，，則A．，， B．，， C．，， D．，，3.（2020秋?元陽縣期末）關于二次函數(shù)，下列說法正確的是A．圖象的對稱軸為直線 B．圖象與軸的交點坐標為 C．圖象與軸的交點坐標為和 D．的最小值為4.（2021?金堂縣模擬）二次函數(shù)的部分對應值如表，則方程的解是0120343A． B．， C．， D．，5.（2021?禪城區(qū)校級一模）二次函數(shù)，，為常數(shù)，且中的與的部分對應值如表：013353下列結論：①該拋物線的開口向下；②該拋物線的頂點坐標為；③當時，隨的增大而減少；④3是方程的一個根．其中正確的個數(shù)為A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、圖像法求一元二次方程的近似根6.（2019秋?宜昌期中）已知二次函數(shù)中和的值如下表0.100.110.120.130.140.91.8則的一個根的范圍是A． B． C． D．7.（2018秋?伍家崗區(qū)期末）下表是一組二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應值：11.11.21.31.40.591.16已知方程的一個近似根是1.2，則可能值范圍為A． B． C． D．8.（2021?南崗區(qū)校級二模）將拋物線經(jīng)過下面的平移可得到拋物線的是A．向左平移3個單位，向上平移4個單位 B．向左平移3個單位，向下平移4個單位 C．向右平移3個單位，向上平移4個單位 D．向右平移3個單位，向下平移4個單位9.（2021?蘇州）已知拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點，則的值是A．或2 B． C．2 D．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·臺州市書生中學九年級開學考試）二次函數(shù)對于x的任何值都恒為負值的條件是（）A． B． C． D．2．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．23．（2021·山東日照市·）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結論：①；②；③若和是拋物線上的兩點，則當時，；④拋物線的頂點坐標為，則關于的方程無實數(shù)根．其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2021·廣州市黃埔華南師范大學附屬初級中學九年級期中）已知二次函數(shù)與軸交于點與，其中，方程的兩根為，，下列結論：①；②；③；④；⑤，正確的個數(shù)有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2021·廣州市第五中學九年級期中）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，其部分圖象如圖所示．下列結論：①方程的兩個根是，；②；③；④當時，的取值范圍是．其中結論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·四川省宜賓市第二中學校九年級三模）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，當x＜﹣1時，y隨x增大而減小，下列結論：①abc＞0；②a+b＜0；③若點A（﹣3，y1），B（3，y2）在拋物線上，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c-2=0必有兩個不相等實數(shù)根；⑤c≤﹣1時，則b2﹣4ac≤4a．其中結論正確的有（）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題7．（2021·江蘇常州市·常州實驗初中九年級二模）已知拋物線與軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為直線，則關于的一元二次方程的根是_______．8．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·九年級二模）對于二次函數(shù)，圖象的對稱軸為____________，當自變量x滿足時，函數(shù)值y的取值范圍為，則a的取值范圍為________．9．（2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學九年級期中）若拋物線y＝x2﹣2x與x軸分別交于A、B兩點，則線段AB的長為_____．10．（2021·湖南長沙市·九年級開學考試）如圖，已知二次函數(shù)（a≠0（的圖象，且關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，有下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號有_________．11．（2021·福建廈門市·廈門雙十中學思明分校九年級月考）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，若2b＋c＝﹣2，b＝﹣2﹣t，且AB的長為kt，其中t＞0，k的值為___．12．（2021·四川德陽市·德陽五中九年級月考）已知函數(shù)y＝的圖象如圖所示，觀察圖象，則當函數(shù)值y≥﹣6時，對應的自變量x的取值范圍是______．13．（2020·江蘇省江陰市第一中學九年級月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線過原點；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤當x＜2時，y隨x的增大而增大，你認為其中正確的是_____.（填序號）14．（2021·浙江衢州市·九年級期末）定義：若拋物線與x軸有兩個交點，且這兩個交點與它的頂點所構成的三角形是直角三角形，則把這種拋物線稱作“和美拋物線”．如圖，一組拋物線的頂點B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn)（n為正整數(shù)）依次是直線y上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是A1(a1，0)，A2(a2，0)，A3(a3，0)，…An+1(an+1，0)（0＜a1＜1，n為正整數(shù)）．若這組拋物線中存在和美拋物線，則a1＝___．15．（2021·北京交通大學附屬中學九年級開學考試）已知二次函數(shù)，它的圖象與x軸的交點坐標為________．三、解答題16．（2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學九年級期中）拋物線的圖象如圖所示，（1）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍；（2）求此拋物線的解析式．17．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知拋物線y＝x2﹣4x+3．（1）求該拋物線與x軸的交點坐標；（2）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍．18．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知拋物線C1：y＝（x+2）2﹣1，拋物線C1，的頂點為A，與y軸的交點為B．（1）點A的坐標是________，點B的坐標是_______；（2）在平面直角坐標系中畫出C1的圖象（不必列表）；（3）將拋物線C1向下平移3個單位，向右平移2個單位后得到拋物線C2，畫出平移后的拋物線C2并寫出拋物線C2的解析式．19．（2021·浙江紹興市·浣江教育九年級期中）二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，最小值為，且函數(shù)的圖象與拋物線的形狀相同、方向相反．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）如果函數(shù)圖象與x軸交于A，B（A在B的左邊）兩點，交y軸于C點，你能求出的面積嗎？（3）利用二次函數(shù)的圖象，寫出x為何值時，．20．（2021·廣州市第七中學九年級月考）已知拋物線．（1）求這個函數(shù)的最大值或最小值，并寫出函數(shù)取得最大值或最小值時相應的自變量的值．（2）求該拋物線與軸的交點坐標，并直接寫出當時相應的的取值范圍．21．（2021·湖南師大附中博才實驗中學九年級一模）定義：若一次函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）滿足，則我們把函數(shù)稱為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“附中函數(shù)”．（1）一次函數(shù)與反比例函數(shù)是否存在“附中函數(shù)”？如果存在，寫出其“附中函數(shù)”，如果不存在，請說明理由．（2）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）存在“附中函數(shù)”，且該“附中函數(shù)”的圖象與直線有唯一交點，求b，c的值．（3）若一次函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）的“附中函數(shù)”的圖象與x軸有兩個交點分別是A（，0），B（，0），其中，點C（3，4），求△ABC的面積S△ABC的變化范圍．第03講二次函數(shù)與一元二次方程（3大考點）考點考向考點考向一、拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．二、圖像法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．三、二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．考點精講考點精講拋物線與x軸的交點1.（2021春?臺江區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解為A．， B．， C．， D．，【考點】拋物線與軸的交點【專題】推理能力；一元二次方程及應用【分析】關于的一元二次方程的根即為二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標．【解答】解：根據(jù)圖象知，拋物線與軸的一個交點是，對稱軸是直線．設該拋物線與軸的另一個交點是．則，解得，，即該拋物線與軸的另一個交點是．所以關于的一元二次方程的根為，．故選：．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點．解題時，注意拋物線與關于的一元二次方程間的轉(zhuǎn)換．2.在平面直角坐標系中，已知函數(shù)，，．設函數(shù)，，的圖象與軸的交點個數(shù)分別為，，，則A．，， B．，， C．，， D．，，【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與軸的交點【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力【分析】根據(jù)拋物線與軸交點個數(shù)由的符號決定即可判斷．【解答】解：在中，，拋物線與軸沒有交點，；在中，，拋物線與軸有1個交點，；在中，，拋物線與軸有2個交點，；故選：．【點評】本題主要考查了拋物線與軸的交點情況，熟練掌握的符號決定了拋物線與軸的交點情況是解題的關鍵．3.（2020秋?元陽縣期末）關于二次函數(shù)，下列說法正確的是A．圖象的對稱軸為直線 B．圖象與軸的交點坐標為 C．圖象與軸的交點坐標為和 D．的最小值為【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；拋物線與軸的交點【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；數(shù)據(jù)分析觀念【分析】對于，令，解得或，令，則，即可求解．【解答】解：對于，令，解得或，令，則，故拋物線和軸的交點坐標為、，函數(shù)的對稱軸為直線，，則拋物線有最小值為，故選：．【點評】本題考查的是拋物線與軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．4.（2021?金堂縣模擬）二次函數(shù)的部分對應值如表，則方程的解是0120343A． B．， C．， D．，【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與軸的交點【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力【分析】方程的解為時二次函數(shù)的的值，根據(jù)圖表即可得出此方程的解．【解答】解：根據(jù)圖表可得：拋物線的對稱軸為直線，點關于對稱軸的對稱點為，方程的解是，．故選：．【點評】本題主要考查了拋物線與軸的交點，明確方程的解為時二次函數(shù)的的值是解題的關鍵．5.（2021?禪城區(qū)校級一模）二次函數(shù)，，為常數(shù)，且中的與的部分對應值如表：013353下列結論：①該拋物線的開口向下；②該拋物線的頂點坐標為；③當時，隨的增大而減少；④3是方程的一個根．其中正確的個數(shù)為A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與軸的交點【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；數(shù)據(jù)分析觀念【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)確定拋物線的對稱軸和開口方向，進而求解．【解答】解：①由表格數(shù)據(jù)可知，和的函數(shù)值都是3，二次函數(shù)的對稱軸為直線，從表格看，對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，故拋物線開口向下，故①正確，符合題意；②拋物線的對稱軸為直線，故②錯誤，不符合題意；③由①知，時，隨的增大而減小，故當時，隨的增大而減小，正確，符合題意；④方程可化為方程，由表格數(shù)據(jù)可知，時，，則3是方程的一個根，從而也是方程的一個根，故本選項正確，符合題意；故選：．【點評】本題考查的是拋物線與軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．二、圖像法求一元二次方程的近似根6.（2019秋?宜昌期中）已知二次函數(shù)中和的值如下表0.100.110.120.130.140.91.8則的一個根的范圍是A． B． C． D．【考點】：二次函數(shù)的性質(zhì)；：拋物線與軸的交點；：圖象法求一元二次方程的近似根【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；67：推理能力【分析】由表格可發(fā)現(xiàn)的值和0.9最接近0，再看對應的的值即可得．【解答】解：由表可以看出，當取0.12與0.13之間的某個數(shù)時，，即這個數(shù)是的一個根．的一個解的取值范圍為．故選：．【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似解，正確估算是建立在對二次函數(shù)圖象和一元二次方程關系正確理解的基礎上的．7.（2018秋?伍家崗區(qū)期末）下表是一組二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應值：11.11.21.31.40.591.16已知方程的一個近似根是1.2，則可能值范圍為A． B． C． D．【考點】：圖象法求一元二次方程的近似根【專題】523：一元二次方程及應用【分析】觀察表格可得更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，觀察表格得：方程的一個近似根為1.2，，故選：．【點評】此題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關鍵．三、二次函數(shù)圖象與幾何變換8.（2021?南崗區(qū)校級二模）將拋物線經(jīng)過下面的平移可得到拋物線的是A．向左平移3個單位，向上平移4個單位 B．向左平移3個單位，向下平移4個單位 C．向右平移3個單位，向上平移4個單位 D．向右平移3個單位，向下平移4個單位【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力【分析】拋物線的平移問題，實質(zhì)上是頂點的平移，原拋物線的頂點為，平移后的拋物線頂點為，由頂點的平移規(guī)律確定拋物線的平移規(guī)律．【解答】解：拋物線的頂點坐標為，拋物線的頂點坐標為，點需要先向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到點．拋物線先向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到拋物線．故選：．【點評】此題考查二次函數(shù)與幾何變換問題，在尋找圖形的平移規(guī)律時，往往需要把圖形的平移規(guī)律理解為某個特殊點的平移規(guī)律．9.（2021?蘇州）已知拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點，則的值是A．或2 B． C．2 D．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力【分析】根據(jù)拋物線平移規(guī)律寫出新拋物線解析式，然后將代入，求得的值．【解答】解：拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，，．拋物線．將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線的表達式是：，將代入，得，解得（舍去），．故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是寫出平移后拋物線解析式．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·臺州市書生中學九年級開學考試）二次函數(shù)對于x的任何值都恒為負值的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函數(shù)對于x的任何值都恒為負值，拋物線開口向下，，二次函數(shù)與x軸沒有交點，方程沒有實數(shù)根，即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)對于x的任何值都恒為負值，∴拋物線開口向下，，二次函數(shù)與x軸沒有交點，方程沒有實數(shù)根，∴，∴．故選擇D．【點睛】本題考查拋物線的函數(shù)值符號問題，掌握拋物線開口方向，以及拋物線與x軸的交點情況是解題關鍵．2．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【答案】A【分析】把（m，0）代入拋物線解析式即可求得答案．【詳解】解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，故選A．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，二次函數(shù)與x軸的交點問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．3．（2021·山東日照市·）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結論：①；②；③若和是拋物線上的兩點，則當時，；④拋物線的頂點坐標為，則關于的方程無實數(shù)根．其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點位置判斷，，符號．②把分別代入函數(shù)解析式，結合圖象可得的結果符號為負．③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點值越大．④由拋物線頂點縱坐標為可得，從而進行判斷無實數(shù)根．【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，，對稱軸在直線軸左側(cè)，，同號，，拋物線與軸交點在軸下方，，，故①正確．②，當時，由圖象可得，當時，，由圖象可得，，即，故②正確．③，，，點，到對稱軸的距離大于點，到對稱軸的距離，，故③錯誤．④拋物線的頂點坐標為，，，無實數(shù)根．故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)中，，與函數(shù)圖象的關系．4．（2021·廣州市黃埔華南師范大學附屬初級中學九年級期中）已知二次函數(shù)與軸交于點與，其中，方程的兩根為，，下列結論：①；②；③；④；⑤，正確的個數(shù)有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】把方程的兩根為m、n（），理解為二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標分別為、，利用二次函數(shù)交點與方程根的關系，即可得出它們之間的關系．【詳解】解：根據(jù)題意及二次函數(shù)與方程解得關系可得：，，∵方程有兩個不相等的根，且，∴根據(jù)判別式得：，∴①錯誤；根據(jù)（1）可得：，∴②錯誤；∵，∴③④錯誤；∵且，∴，∴⑤正確．綜上可得：只有1個正確，故選：A．【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程根的聯(lián)系，解答本題的關鍵是準確理解二次函數(shù)與x軸交點與一元二次方程根的關系．5．（2021·廣州市第五中學九年級期中）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，其部分圖象如圖所示．下列結論：①方程的兩個根是，；②；③；④當時，的取值范圍是．其中結論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），則可對①進行判斷；由對稱軸方程得到b=-2a，然后根據(jù)x=-1時函數(shù)值為0可得到3a+c=0，則可對③進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=1，而點（-1，0）關于直線x=1的對稱點的坐標為（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=-1，x2=3，所以①正確；當x=-1時，y=0，即a-b+c=0；故②正確，∵x=-=1，即b=-2a，而x=-1時，y=0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∴5a＜0，∴8a+c＜0；故③正確；當y＞0時，函數(shù)圖象在x軸的上面，∴x的取值范圍是-1＜x＜3；故④正確；故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是掌握對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．6．（2021·四川省宜賓市第二中學校九年級三模）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，當x＜﹣1時，y隨x增大而減小，下列結論：①abc＞0；②a+b＜0；③若點A（﹣3，y1），B（3，y2）在拋物線上，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c-2=0必有兩個不相等實數(shù)根；⑤c≤﹣1時，則b2﹣4ac≤4a．其中結論正確的有（）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①由拋物線開口方向、對稱軸位置以及拋物線與y軸的交點位置即可判斷；②根據(jù)拋物線的對稱性和對稱軸方程得到，變形可得a+b>0，即可判斷；③利用開口方向和點A(-3，y1)和點B(3，y2)到對稱軸的距離的大小即可判斷；④拋物線與直線y=2有兩個交點，可得到有兩個不相等的實數(shù)根，即可判斷；⑤根據(jù)頂點的縱坐標公式和拋物線對稱軸的位置得到，變形即可判斷．【詳解】當x＜﹣1時，y隨x增大而減小，可知拋物線開口向上，圖像如下圖所示，①拋物線開口向上，a>0，拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，b<0，拋物線與y軸的交點在x軸下方，c<0，abc>0，所以①的結論正確；②拋物線過點(-1,0)和(m,0)，且1<m<2，a+b>0，所以②的結論錯誤；③點A(-3,y1)到對稱軸的距離比點B(3,y2)到對稱軸的距離遠，拋物線開口向上，，所以③的結論錯誤；④ax2+bx+c-2=0，，拋物線與直線y=2有兩個交點，有兩個不相等的實數(shù)根，所以④的結論正確；⑤,,,所以⑤的結論錯誤，①④是正確的，正確的選項有兩個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，有一定綜合性和難度，能夠綜合運用二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．二、填空題7．（2021·江蘇常州市·常州實驗初中九年級二模）已知拋物線與軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為直線，則關于的一元二次方程的根是_______．【答案】3或-1【分析】根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，設另一個交點為（x，0），可得，解得x的值即可．【詳解】解：設拋物線與x軸的另一個交點坐標為：（x，0），∵拋物線與x軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，∴，解得：x=-1，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為：（-1，0）．所以關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3．故答案是3或-1．【點睛】本題考查了求拋物線與x軸的交點問題，關鍵是掌握拋物線與x軸的兩交點關于對稱軸對稱．8．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·九年級二模）對于二次函數(shù)，圖象的對稱軸為____________，當自變量x滿足時，函數(shù)值y的取值范圍為，則a的取值范圍為________．【答案】直線【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式代入，可得到對稱軸；利用配方法求出頂點坐標，令，可得到點A，B的坐標分別為，畫出圖形，觀察圖形，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對稱軸為直線；∵，∴當時，函數(shù)有最小值，最小值為，當時，有，解得：，∴如圖所示，點A，B的坐標分別為，∴當時，，∵時，函數(shù)值y的取值范圍為，從圖象中可得到時，．故答案為：直線；．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握函數(shù)與坐標軸的交點、頂點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征是解題的關鍵．9．（2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學九年級期中）若拋物線y＝x2﹣2x與x軸分別交于A、B兩點，則線段AB的長為_____．【答案】2【分析】根據(jù)拋物線解析式求得A、B兩點坐標，然后由兩點間的距離公式求線段AB的長度．【詳解】解：由拋物線y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）知，A（0，0），B（2，0），則AB＝2．故答案是：2．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時，運用了拋物線解析式的兩種形式間的轉(zhuǎn)換，難度不大．10．（2021·湖南長沙市·九年級開學考試）如圖，已知二次函數(shù)（a≠0（的圖象，且關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，有下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號有_________．【答案】①③④【分析】由拋物線與x軸有兩個不同交點，可判斷①；根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸及與y軸交點的位置，可得出a＞0、b＜0、c＜0，進而即可得出abc＞0，即可判斷②；由拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝?3有一個交點，即可判斷③；由a＞0、b＝?2a，可得出3a＋b＝a＞0，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＝b2?4ac＞0，①正確；∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，與y軸交于負半軸，∴a＞0，?＝1，c＜0，∴b＝?2a＜0，∴abc＞0，②錯誤；∵方程ax2＋bx＋c?m＝0沒有實數(shù)根，∴m＜?3，③正確；∵a＞0，b＝?2a，∴3a＋b＝a＞0，④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系以及拋物線與x軸的交點，觀察函數(shù)圖象，逐一分析四條結論的正誤是解題的關鍵．11．（2021·福建廈門市·廈門雙十中學思明分校九年級月考）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，若2b＋c＝﹣2，b＝﹣2﹣t，且AB的長為kt，其中t＞0，k的值為___．【答案】2【分析】由題意得拋物線為y＝x2+（﹣2﹣t）x+（2t+2），設拋物線與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），則x1+x2＝4+2t，x1x2＝4t+4，由AB的長為kt，得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2t2，即（4+2t）2﹣4（4t+4）＝k2t2，進而即可求得k的值．【詳解】解：∵2b+c＝﹣2，b＝﹣2﹣t，∴c＝2t+2，∴拋物線為y＝x2+（﹣2﹣t）x+（2t+2），設拋物線與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），則x1+x2＝＝4+2t，x1x2＝＝4t+4，∵AB的長為kt，∴|x1﹣x2|＝kt，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2t2，即（4+2t）2﹣4（4t+4）＝k2t2，整理得：4t2＝k2t2，∴k2＝4，∵kt＞0，t＞0，∴k＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點，交點坐標和系數(shù)的關系是解題的關鍵．12．（2021·四川德陽市·德陽五中九年級月考）已知函數(shù)y＝的圖象如圖所示，觀察圖象，則當函數(shù)值y≥﹣6時，對應的自變量x的取值范圍是______．【答案】﹣2≤x≤3【分析】根據(jù)圖象以及不等式解法，分別解不等式，得出自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵y＝，∴當函數(shù)值y≥﹣6時，分兩種情況：①x≤2時，﹣x2+2≥﹣6，x2≤8，結合圖象可以得出：﹣2≤x≤2，此時x≤2，所以﹣2≤x≤2，②x＞2時，當函數(shù)值y≥﹣6時，﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，此時x＞2，所以2＜x≤3．綜上所述，y≥﹣6時，對應的自變量x的取值范圍是：﹣2≤x≤3，故答案為﹣2≤x≤3．【點睛】此題考查依據(jù)圖象及函數(shù)值求自變量的取值范圍，列一元一次不等式解決問題，正確理解題意及函數(shù)圖象是解題的關鍵．13．（2020·江蘇省江陰市第一中學九年級月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線過原點；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤當x＜2時，y隨x的增大而增大，你認為其中正確的是_____.（填序號）【答案】①②④【分析】①由拋物線的對稱軸結合拋物線與x軸的一個交點坐標，可求出另一交點坐標，結論①正確；②由拋物線對稱軸為2以及拋物線過原點，即可得出b＝﹣4a，即4a+b＝0，結論②正確；③根據(jù)拋物線的對稱性結合當x＝1時y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，結論③錯誤；④根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，所以，即有b2＞4ac，結論④正確；⑤觀察函數(shù)圖象可知，當x＜2時，y隨x增大而減小，結論⑤錯誤．綜上即可得出結論．【詳解】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），∴拋物線與x軸的另一交點坐標為（0，0），結論①正確；②∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝2，且拋物線過原點，∴＝2，c＝0，∴b＝﹣4a，c＝0，∴4a+b＝0，結論②正確；③∵當x＝﹣1時，y值為正，∴a﹣b+c＞0，結論③錯誤；④根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，即有兩個不等的實數(shù)根，所以，即有b2＞4ac，結論④正確；⑤當x＜2時，y隨x的增大而減小，結論⑤錯誤．綜上所述，正確的結論有：①②④．故答案是：①②④．【點睛】主要考查拋物線與x軸的交點，圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．14．（2021·浙江衢州市·九年級期末）定義：若拋物線與x軸有兩個交點，且這兩個交點與它的頂點所構成的三角形是直角三角形，則把這種拋物線稱作“和美拋物線”．如圖，一組拋物線的頂點B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn)（n為正整數(shù)）依次是直線y上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是A1(a1，0)，A2(a2，0)，A3(a3，0)，…An+1(an+1，0)（0＜a1＜1，n為正整數(shù)）．若這組拋物線中存在和美拋物線，則a1＝___．【答案】或【分析】由拋物線的對稱性可知：拋物線的頂點與拋物線與x軸的兩個交點構成的三角形必為等腰直角三角形，該等腰直角三角形的高等于斜邊的一半，，該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線頂點縱坐標小于1），由此求解即可．【詳解】解：由拋物線的對稱性可知：拋物線的頂點與拋物線與x軸的兩個交點構成的三角形必為等腰直角三角形，∴該等腰直角三角形的高等于斜邊的一半，∵，∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線頂點縱坐標小于1），∵當時，，當時，，當時，，∴美麗拋物線的頂點只有和，若為頂點，則（1，），∴，同理當為頂點，求得，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸交點，拋物線的對稱性，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．15．（2021·北京交通大學附屬中學九年級開學考試）已知二次函數(shù)，它的圖象與x軸的交點坐標為________．【答案】（5，0）,（-1，0）.【分析】令y=0，可得，解一元二次方程即可求解.【詳解】解：令y=0，可得，，，x1=5，x2=-1，所以二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（5，0）和（-1，0）故答案為：（5，0）和（-1，0）.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與x軸交點，解決本題的關鍵是要熟練掌握二次函數(shù)與x軸交點的計算方法.三、解答題16．（2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學九年級期中）拋物線的圖象如圖所示，（1）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍；（2）求此拋物線的解析式．【答案】（1）﹣2＜x＜6；（2）y＝﹣（x＋2）（x﹣6）【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)求得拋物線與x軸的另一交點坐標，然后結合圖形直接寫出答案；（2）由題意可設y＝a（x＋2）（x﹣6）．然后將（0，6）代入函數(shù)解析式求得a的值即可．【詳解】解：（1）如圖所示，拋物線對稱軸是直線x＝2，則點（﹣2，0）關于對稱軸對稱的點的坐標是（6，0），所以當y＞0時，x的取值范圍是﹣2＜x＜6；（2）設拋物線解析式為y＝a（x＋2）（x﹣6）．把（0，6）代入，得y＝a（0＋2）（0﹣6）＝6．解得a＝﹣．故該拋物線解析式是：y＝﹣（x＋2）（x﹣6）．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，解題時，需要熟悉拋物線解析式的三種形式．17．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知拋物線y＝x2﹣4x+3．（1）求該拋物線與x軸的交點坐標；（2）當y＞0時，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）拋物線與x軸交點坐標為（1，0），（3，0）；（2）x＜1或x＞3．【分析】（1）將y＝0代入函數(shù)解析式求解．（2）由拋物線圖象開口向上，根據(jù)拋物線與x軸交點坐標求解．【詳解】解：（1）把y＝0代入y＝x2﹣4x+3得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，∴拋物線與x軸交點坐標為（1，0），（3，0），（2）∵拋物線圖象開口向上，與x軸交點坐標為（1，0），（3，0），∴當x＜1或x＞3時y＞0．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．18．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知拋物線C1：y＝（x+2）2﹣1，拋物線C1，的頂點為A，與y軸的交點為B．（1）點A的坐標是________，點B的坐標是_______；（2）在平面直角坐標系中畫出C1的圖象（不必列表）；（3）將拋物線C1向下平移3個單位，向右平移2個單位后得到拋物線C2，畫出平移后的拋物線C2并寫出拋物線C2的解析式．【答案】（1）（-2，-1）；（0，3）；（2）見解析；（3）畫圖見解析；y＝x2﹣4．【分析】（1）根據(jù)頂點式即可求得；（2）利用五點法畫出圖象即可；（3）畫出平移后的圖象，根據(jù)圖象即可得到平移方向和距離，從而求得拋物線C2的解析式．【詳解】解：（1）∵拋物線C1：y＝（x+2）2﹣1，∴頂點A的坐標為（﹣2，﹣1），令x＝0，則y＝3，∴與y軸的交點B為（0，3）