專題05解題技巧專題：特殊平行四邊形中定值、最小值、最大值、動點、中點四邊形問題之五大考點(原卷版+解析)

專題05解題技巧專題：特殊平行四邊形中定值、最小值、最大值、動點、中點四邊形問題之五大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一特殊平行四邊形中求定值問題】 1【考點二特殊平行四邊形中求最小值問題】 5【考點三特殊平行四邊形中求最大值問題】 8【考點四特殊平行四邊形中動點問題】 15【考點五特殊平行四邊形中點四邊形問題】 23【典型例題】【考點一特殊平行四邊形中求定值問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，則菱形的面積是____，若點O是線段上的動點，于E，于F．則____．【變式訓練】1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點O，點E為邊上的一個動點，，，垂足分別為點F，G，則___________．

2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形是正方形，，點E為對角線上一動點，連接．過點E作，交射線點F，以為鄰邊作矩形．連接．(1)連接，求證：．(2)求證：矩形是正方形．(3)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【考點二特殊平行四邊形中求最小值問題】例題：（2023春·河南開封·九年級金明中小學?？茧A段練習）如圖，菱形的對角線，相交于點，點為邊上一動點（不與點，重合），于點，于點，若，，則的最小值為________．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在矩形中，，，點、分別在、上，則的最小值是___．2．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知菱形的邊長為，，為的中點，若為對角線上一動點，則的最小值為___________．3．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，G是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為_____．【考點三特殊平行四邊形中求最大值問題】例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在正方形中，，與交于點O，N是的中點，點M在邊上，且，P為對角線上一點，則的最大值為_____________．【變式訓練】1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，，點E為邊的中點，點P在對角線上運動，且，則長的最大值為_________．2．（2023春·江蘇常州·八年級常州實驗初中?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC為斜邊在矩形的外部作直角三角形BEC，點F是CD的中點，則EF的最大值為__．3．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

4．（2023春·四川南充·八年級四川省南充高級中學?？茧A段練習）如圖，在菱形中，，為正三角形，在菱形的邊上．(1)證明：．(2)當點分別在邊上移動時(保持為正三角形)，請?zhí)骄克倪呅蔚拿娣e是否發(fā)生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．(3)在(2)的情況下，請?zhí)骄康拿娣e是否發(fā)生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．【考點四特殊平行四邊形中動點問題】例題：（2023春·四川自貢·八年級四川省榮縣中學校?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，動點從點出發(fā)，以的速度向點B運動，同時動點從點出發(fā)，以的速度向點運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為秒．(1)當四邊形是平行四邊形時，求的值；(2)當為多少秒時，四邊形是矩形；(3)在點運動過程中，若四邊形能夠成為菱形，求的長度．【變式訓練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）已知，如圖，O為坐標原點，四邊形為矩形，，點D是中點，動點P在線段上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設動點P運動時間為t秒．

（1）當t為___________時，四邊形是平行四邊形．（2）若M為線段上一點，且，當P運動______秒時，四邊形的周長最小，它的最小值為_______．2．（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于點E，且DE=，AD=18，∠C=60°；（1）BC=________（2）若動點P從點D出發(fā)，速度為2個單位/秒，沿DA向點A運動，同時，動點Q從點B出發(fā)，速度為3個單位/秒，沿BC向點C運動，當一個動點到達端點時，另一個動點同時停止運動，設運動的時間為t秒．①t=_______秒時，四邊形PQED是矩形；②t為何值時，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由．3．（2023春·福建廈門·八年級廈門市蓮花中學?？计谥校┰谡叫沃校cE是邊上一動點，點F是邊上一動點．(1)如圖1，過點E作的平行線，過點F作的平行線，兩條線交于點G．①若，求證：四邊形是菱形；②若，，，求四邊形的面積．(2)如圖2，若點M在線段上，，且，，的延長線相交于點N，問：在點E運動過程中，的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若有改變，請說明理由．【考點五特殊平行四邊形中點四邊形問題】例題：（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是．(2)如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足條件時，四邊形EFGH是矩形；證明你的結論．(3)你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？說明理由．【變式訓練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習）閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形．如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形．(1)判斷圖1中的中點四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，在四邊形中，點M在上且和為等邊三角形，E、F、G、H分別為、、、的中點，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．2．（2023春·全國·八年級專題練習）【猜想結論】如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，可以根據(jù)度量或目測猜想結論：DEBC，且DEBC．(1)【驗證結論】如圖2，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，延長DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DEBC，DEBC．(2)【應用結論】如圖3，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點四邊形．應用上述驗證結論，求解下列問題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當AC、BD滿足時，四邊形EFGH是矩形；③當AC、BD滿足時，四邊形EFGH是正方形．3．（2023春·安徽合肥·八年級校聯(lián)考期中）問題情境：在數(shù)學活動課上，我們給出如下定義：順次連按任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．如圖（1），在四邊形中，點，，，分別為邊，，，的中點．試說明中點四邊形是平行四邊形．探究展示：勤奮小組的解題思路：

反思交流：(1)①上述解題思路中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是什么？依據(jù)；依據(jù)；②連接，若時，則中點四邊形的形狀為；并說明理由；創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)探究：(2)如圖（2），點是四邊形內(nèi)一點，且滿足，，，點，，，分別為邊，，，的中點，猜想中點四邊形的形狀為，并說明理由；(3)若改變（2）中的條件，使，其它條件不變，則中點四邊形的形狀為．

專題05解題技巧專題：特殊平行四邊形中定值、最小值、最大值、動點、中點四邊形問題之五大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一特殊平行四邊形中求定值問題】 1【考點二特殊平行四邊形中求最小值問題】 5【考點三特殊平行四邊形中求最大值問題】 8【考點四特殊平行四邊形中動點問題】 15【考點五特殊平行四邊形中點四邊形問題】 23【典型例題】【考點一特殊平行四邊形中求定值問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，則菱形的面積是____，若點O是線段上的動點，于E，于F．則____．【答案】【分析】連接，交于點，利用勾股定理求出的長，進而求出的長，利用菱形的面積公式求出菱形的面積；連接，利用等積法，即可得解．【詳解】解：連接，交于點，∵邊長為10的菱形，對角線，∴，∴，∴，∴菱形的面積是，連接，∵于E，于F，∴，即：，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對角線與交于點O，點E為邊上的一個動點，，，垂足分別為點F，G，則___________．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接，

四邊形是矩形，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形是正方形，，點E為對角線上一動點，連接．過點E作，交射線點F，以為鄰邊作矩形．連接．(1)連接，求證：．(2)求證：矩形是正方形．(3)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的值是定值，定值為4．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及邊角邊的關系證明即可得到結論；（2）作出輔助線，得到，然后判斷，得到，則有即可證明矩形是正方形；（3）同（法判斷出得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵點E是正方形對角線上的點，∴，，，∴，∴；（2）證明：如圖，作，∴，∵點E是正方形對角線上的點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．∴矩形是正方形；（3）解：的值是定值，定值為4．理由：∵四邊形、都是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的全等的性質(zhì)和判定，解本題的關鍵是作出輔助線，判斷三角形全等．【考點二特殊平行四邊形中求最小值問題】例題：（2023春·河南開封·九年級金明中小學?？茧A段練習）如圖，菱形的對角線，相交于點，點為邊上一動點（不與點，重合），于點，于點，若，，則的最小值為________．【答案】【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接，四邊形是菱形，，，，，于點，于點，，四邊形是矩形，，當取最小值時，的值最小，當時，最小，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂線段最短是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在矩形中，，，點、分別在、上，則的最小值是___．【答案】6【分析】作關于直線的對稱點，過作于，則的最小值，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：作關于直線的對稱點，過作于，則的最小值，四邊形是矩形，，，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求線段和的最小值問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知菱形的邊長為，，為的中點，若為對角線上一動點，則的最小值為___________．【答案】【分析】連接，，，交于，依據(jù)，可得，依據(jù)是等邊三角形，即可得到，當點，，在同一直線上時，即點在點處時，的最小值為的長，的最小值為【詳解】解：如圖，連接，，，交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，又是的中點，菱形的邊長為，，，，中，，當點，，在同一直線上時，即點在點處時，的最小值為的長，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，軸對稱求線段和的最值問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線．3．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，G是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為_____．【答案】5【分析】作G關于的對稱點，在上截取，然后連接交于E，在上截取，此時的值最小，利用已知可以得出長度不變，求出最小時即可得出四邊形周長的最小值，利用軸對稱得出E，F(xiàn)位置，即可求出．【詳解】解：如圖，作G關于的對稱點，在上截取，然后連接交于E，在上截取，此時的值最小，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，G為邊的中點，∴，由勾股定理得∶，即的最小值為5．故答案為：5．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，確定最小時E，F(xiàn)位置是解題關鍵．【考點三特殊平行四邊形中求最大值問題】例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在正方形中，，與交于點O，N是的中點，點M在邊上，且，P為對角線上一點，則的最大值為_____________．【答案】1【分析】作N關于BD的對稱點E，連接PE，ME，過點M作MQ⊥AC，垂足為Q，可判定當點P，E，M三點共線時，PM-PE的值最大，為ME的長，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分線的性質(zhì)得到EM=CM=1即可．【詳解】解：如圖：作N關于BD的對稱點E，連接PE，ME，過點M作MQ⊥AC，垂足為Q，∴PN=PE，則PM-PN=PM-PE，∴當點P，E，M三點共線時，PM-PE的值最大，為ME的長，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=，∵N是AO的中點，點N和E關于BD成軸對稱，∴點E是OC中點，∴CE=AC=，∵BC=4，BM=3，∴CM=1=BC，∵∠BCQ=45°，∴△MCQ為等腰直角三角形，∴CQ==，∴EQ=，∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．【變式訓練】1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，，點E為邊的中點，點P在對角線上運動，且，則長的最大值為_________．【答案】【分析】連接、、，由已知條件得出（當點P是和的交點是取等號），再利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進而求出最大值即可．【詳解】解：連接、、交于點O，∵四邊形是菱形，，,，，,，，,∴是等邊三角形，∵點E為邊的中點，,，，，，，即長的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，正確作出輔助線，構造等邊三角形得出是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇常州·八年級常州實驗初中?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC為斜邊在矩形的外部作直角三角形BEC，點F是CD的中點，則EF的最大值為__．【答案】【分析】取BC中點O，連接OE，OF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可求OC，CF的長，根據(jù)勾股定理可求OF的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求OE的長，根據(jù)三角形三邊關系可求得當點O，點E，點F共線時，EF有最大值，即．【詳解】解：如圖，取BC中點O，連接OE，OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，∵點F是CD中點，點O是BC的中點，∴，，∴，∵點O是Rt△BCE的斜邊BC的中點，∴，∵根據(jù)三角形三邊關系可得：，∴當點O，點E，點F共線時，EF最大值為．故答案為：．【點睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及三角形三邊關系，作出輔助線及熟知三級形三邊關系是解題關鍵．3．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

【答案】【分析】作的對稱點，連接并延長交于點，根據(jù)三角形三邊關系可得到，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：作的對稱點，連接并延長交于點，∴，∴，當在同一條直線上時，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵點為的中點，∴為的中點，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，中點的定義，三角形的三邊關系，掌握等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2023春·四川南充·八年級四川省南充高級中學?？茧A段練習）如圖，在菱形中，，為正三角形，在菱形的邊上．(1)證明：．(2)當點分別在邊上移動時(保持為正三角形)，請?zhí)骄克倪呅蔚拿娣e是否發(fā)生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．(3)在(2)的情況下，請?zhí)骄康拿娣e是否發(fā)生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）先求證，進而證為等邊三角形，得進而證，即可得；（2）根據(jù)可得，故根據(jù)即可解題；（3）當正三角形的邊與垂直時，邊最短．的面積會隨著的變化而變化，且當最短時，正三角形的面積會最小，又根據(jù)，則的面積就會最大．【詳解】（1）證明：連接,則，∵，∴，∵，∴，

∵四邊形是菱形，∴，∴為等邊三角形∴，∴在和中，，∴∴．（2）解：由（1）得，則．故，是定值．作于點，則，；（3）解：由“垂線段最短”可知，當正三角形的邊與垂直時，邊最短．故的面積會隨著的變化而變化，且當最短時，正三角形的面積會最小，又，則的面積就會最大．由（2）得，，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的證明和全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，三角形面積的計算，本題中求證是解題的關鍵．【考點四特殊平行四邊形中動點問題】例題：（2023春·四川自貢·八年級四川省榮縣中學校?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，動點從點出發(fā)，以的速度向點B運動，同時動點從點出發(fā)，以的速度向點運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為秒．(1)當四邊形是平行四邊形時，求的值；(2)當為多少秒時，四邊形是矩形；(3)在點運動過程中，若四邊形能夠成為菱形，求的長度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出解出即可得出答案．（2）由矩形的性質(zhì)得出解出即可得出答案．（3）由菱形的性質(zhì)可求求出由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）當四邊形是平行四邊形時，（2）∵在梯形中，∴當時，四邊形是矩形，∴當時，四邊形是矩形．（3）如圖，若四邊形是菱形，則在中，【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練運用方程的思想方法是解此題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）已知，如圖，O為坐標原點，四邊形為矩形，，點D是中點，動點P在線段上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動．設動點P運動時間為t秒．

（1）當t為___________時，四邊形是平行四邊形．（2）若M為線段上一點，且，當P運動______秒時，四邊形的周長最小，它的最小值為_______．【答案】12【分析】（1）先求出，進而求出，再根據(jù)平行四邊形對邊相等列出方程求解即可；（2）如圖所示，作點O關于的對稱點E，過點E作，連接，則，四邊形是平行四邊形，，推出當A、M、F三點共線時，最小，即此時四邊形的周長最小，由勾股定理得，則四邊形的周長最小的最小值為12，求出直線解析式為，則當時，，建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，，∴，∵點D是中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，解得，∴當時，四邊形是平行四邊形；故答案為：；（2）如圖所示，作點O關于的對稱點E，過點E作，連接，∴，四邊形是平行四邊形，，∴，∴四邊形的周長，∴當A、M、F三點共線時，最小，即此時四邊形的周長最小，由勾股定理得，∴四邊形的周長最小的最小值為12，設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，當時，，∴此時，∴，解得，∴當秒時，四邊形的周長最小，它的最小值為12，故答案為：，12．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對稱最短路徑問題等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．2．（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于點E，且DE=，AD=18，∠C=60°；（1）BC=________（2）若動點P從點D出發(fā)，速度為2個單位/秒，沿DA向點A運動，同時，動點Q從點B出發(fā)，速度為3個單位/秒，沿BC向點C運動，當一個動點到達端點時，另一個動點同時停止運動，設運動的時間為t秒．①t=_______秒時，四邊形PQED是矩形；②t為何值時，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）26；（2）①；②當t=或時，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，理由詳見解析.【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函數(shù)值可求CE，進而可求CD，再利用等腰梯形的性質(zhì)可求BC；（2）①先畫圖，由于四邊形PQED是矩形，那么矩形的對邊相等，于是PD=QE，再根據(jù)路程=速度×時間，可得2t=26-4-3t，進而可求t；②有兩種情況：（i）是PQ與AB構成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，可得AP=BQ，再根據(jù)路程=速度×時間，可得3t=18-2t，進而可求t；（ii）是PQ與CD構成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，可得PD=CQ，再根據(jù)路程=速度×時間，可得2t=26-3t，進而可求t；③根據(jù)②中的兩種情況，分別求出BQ、DP的值，再與鄰邊AB、CD比較，從而可判斷不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形．【詳解】∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，又∵∠C=60°，∴CE==4，∠EDC=30°，∴CD=2CE=8，∵AD∥BC，AB=CD，∴四邊形ABD是等腰梯形，∴BC=2CE+AD=8+18=26；故答案為26；（2）①設運動時間為t時，四邊形PQED是矩形，如圖，

∵四邊形PQED是矩形，∴PD=QE，∴2t=26-4-3t，解得t=；故答案為；②有兩種情況：（i）設運動時間為t時，線段PQ與AB構成平行四邊形，如圖，

∵四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP=BQ，∴3t=18-2t，解得t=，（ii）設運動時間為t時，線段PQ與CD構成平行四邊形，如圖，

∵四邊形PQCD是平行四邊形，∴PD=CQ，∴2t=26-3t，解得t=，綜上，當t=或時，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，（i）當t=時，BQ=3t=，而AB=CD=8，所以BQ≠AB，∴四邊形ABQP不是菱形，（ii）當t=時，DP=2t=，而AB=CD=8，所以DP≠AB，∴四邊形PQCD不是菱形．【點睛】本題考查了平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解題的關鍵是畫出相關的圖，根據(jù)圖找出等量關系，進而求出t．3．（2023春·福建廈門·八年級廈門市蓮花中學?？计谥校┰谡叫沃?，點E是邊上一動點，點F是邊上一動點．(1)如圖1，過點E作的平行線，過點F作的平行線，兩條線交于點G．①若，求證：四邊形是菱形；②若，，，求四邊形的面積．(2)如圖2，若點M在線段上，，且，，的延長線相交于點N，問：在點E運動過程中，的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若有改變，請說明理由．【答案】(1)①見解析；②30(2)不變，【分析】（1）①先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明得到即可證得結論；②在圖1中，延長到H，使，連接、，分別證明和得到，，，設，則，在中，由勾股定理求得，進而求得，利用三角形的面積公式求得即可求解；（2）在圖2中，設與相交于點O，連接、，∵四邊形是正方形，先證明，得到，，進而證得是等腰直角三角形，得到，再根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)證得，可得到，可得結論．【詳解】（1）①證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是正方形，∴，，又，∴，∴，∴四邊形是菱形；②在圖1中，延長到H，使，連接、，∵四邊形是正方形，∴，，又∴，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，，設，則，在中，，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，由（1）知四邊形是平行四邊形，∴四邊形的面積為；（2）解：不變，且．理由為：在圖2中，設與相交于點O，連接、，∵四邊形是正方形，∴，，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)等知識，解答的關鍵是添加輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【考點五特殊平行四邊形中點四邊形問題】例題：（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是．(2)如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足條件時，四邊形EFGH是矩形；證明你的結論．(3)你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？說明理由．【答案】(1)平行四邊形(2)AC⊥BD，證明見解析(3)菱形，見解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EH//BD，EH=BD，F(xiàn)G//BD，F(xiàn)G=BD，推出EH//FG，EH=FG，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足的條件時，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點四邊形是矩形，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得EH∥FG，EH＝FG，進而得出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)證明EH⊥HG，可得平行四邊形EFGH是矩形．【詳解】（1）解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖1，連結BD．∵E、H分別是AB、AD中點，∴EH∥BD，EH＝BD，同理FG∥BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：如圖2，連結AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．（3）菱形的中點四邊形是矩形．理由如下：如圖3，連結AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形．【點睛】本題考查中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關知識，正確作出輔助線是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習）閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形．如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形．(1)判斷圖1中的中點四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，在四邊形中，點M在上且和為等邊三角形，E、F、G、H分別為、、、的中點，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．【答案】(1)中點四邊形是平行四邊形，理由見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）連接，，利用三角形中位線定理可得，，，，則，，從而證明結論；（2）連接與，首先利用證明，得，然后由（1）同理可得答案．【詳解】（1）解：中點四邊形是平行四邊形，理由如下：連接，，∵，分別是，的中點，∴，，同理，，，∴，，∴中點四邊形是平行四邊形；（2）四邊形是菱形，證明如下：連接與，∵與為等邊三角形，∴，，，則，∴，在與中，，∴，∴，∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，，的中點，∴是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是菱形．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用前面得出的結論解決新問題是解題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）【猜想結論】如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，可以根據(jù)度量或目測猜想結論：DEBC，且DEBC．(1)【驗證結論】如圖2，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，延長DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DEBC，DEBC．(2)【應用結論】如圖3，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點四邊形．應用上述驗證結論，求解下列問題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當AC、BD滿足時，四邊形EFGH是矩形；③當AC、BD滿足時，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②垂直；③垂直且相等【分析】（1）先根據(jù)“SAS”證明，得出，，根據(jù)平行線的判定