專題11圓周角壓軸題七種模型全攻略(原卷版+解析)

專題11圓周角壓軸題七種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一圓周角的概念辨析】 1【考點二圓周角定理】 2【考點三同弧或等弧所對的圓周角相等】 5【考點四半圓(直徑)所對的圓周角是直角】 7【考點五90度的圓周角所對的弦是直徑】 10【考點六已知圓內接四邊形求角度】 13【考點七求四邊形外接圓的直徑】 15【過關檢測】 18【典型例題】【考點一圓周角的概念辨析】例題：（2023秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，是圓周角的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）．A． B． C． D．【考點二圓周角定理】例題：（2023·廣東梅州·校考一模）如圖，是上的三個點，，則度數(shù)是．

【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為．【考點三同弧或等弧所對的圓周角相等】例題：（2022秋·浙江嘉興·九年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）如圖，為⊙O的直徑，，則的度數(shù)為．【變式訓練】1．（2023春·北京東城·八年級景山學校?？计谀┤鐖D，為的外接圓的直徑，若，則

2．（2023春·江西上饒·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，是的直徑，點，在上，且，的延長線與的延長線交于點，連接，若，則的度數(shù)是．

【考點四半圓(直徑)所對的圓周角是直角】例題：（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則．

【變式訓練】1．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點C，D是上的點，且，分別與，相交于點E，F(xiàn)．

(1)求證：點D為弧的中點；(2)若，，求的直徑．【考點五90度的圓周角所對的弦是直徑】例題：（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，動點P在矩形的內部，連接、，若，則的最小值是．【變式訓練】1．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，D為線段上的動點，連接，過點B作交于點E，則在點D的運動過程中，求線段的最小值為．

2．（2023春·浙江·九年級專題練習）在矩形中，，，點F是邊上的一個動點，連接，過點B作于點G，交射線于點E，連接，則的最小值是．【考點六已知圓內接四邊形求角度】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內接于，延長至點，已知，那么．

【變式訓練】1．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知四邊形內接于，，則的度數(shù)是．

2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點，在圓上，，若，則的度數(shù)為．【考點七求四邊形外接圓的直徑】例題：（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學考試）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【變式訓練】1．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，為正方形的外接圓，若，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內接于，，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，是圓周角的是（）A． B． C． D．2．（2023春·吉林松原·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知為的直徑，點、點在圓上，且位于異側．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是內接四邊形的一個外角，若，那么的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·山東泰安·九年級東平縣實驗中學校考期末）如圖，的直徑是，，圓的半徑是4，則弦的長是（

）．

A． B． C． D．5．（2023秋·山西呂梁·九年級?？计谀┤鐖D，為的直徑，一塊含有角的直角三角板按如圖所示的位置放置，其中銳角頂點C在上，斜邊經(jīng)過點A，一條直角邊與交于點D，連接，若，則的半徑為（

）

A．2 B． C． D．1二、填空題6．（2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點，，在上，，則

7．（2022秋·湖北武漢·九年級?？计谥校┲?，，，則外接圓半徑長為．8．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形內接于，，，，對角線平分，則邊的長為．

9．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學?？计谥校┤鐖D，為的直徑，點E是延長線上的一點，交于點D、C，，，則的度數(shù)為．

10．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，兩點是線段的三等分點，以為直徑作，點為上一點，連接，交于點，連接，若點恰為線段中點且，則周長為．

三、解答題11．（2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，．是的外接圓，為弧的中點，為延長線上一點．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．12．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）如圖，已知，為的直徑，過點A作弦垂直于直徑于點F，點B恰好為的中點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．13．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校?）如圖1，是的直徑，C、D是上的兩點，若，，求①的度數(shù)②的度數(shù)（2）如圖2，的弦垂直平分半徑，若的半徑為4，求弦的長．

14．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．15．（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）【特例感知】（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點D，連接．已知，，則的度數(shù)為______°，點D到直線的距離為______；【類比遷移】（2）如圖②，是的圓周角，平分交于點D，過點D作，垂足為M，探索線段之間的數(shù)量關系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，四邊形為的內接四邊形，，平分，，求線段的長．

專題11圓周角壓軸題七種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一圓周角的概念辨析】 1【考點二圓周角定理】 2【考點三同弧或等弧所對的圓周角相等】 5【考點四半圓(直徑)所對的圓周角是直角】 7【考點五90度的圓周角所對的弦是直徑】 10【考點六已知圓內接四邊形求角度】 13【考點七求四邊形外接圓的直徑】 15【過關檢測】 18【典型例題】【考點一圓周角的概念辨析】例題：（2023秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角的定義判斷即可．【詳解】解：選項A和選項B中的角的頂點沒有在圓上，選項D中的角的一邊沒有與圓相交，均不是圓周角，選項C中的角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交，是圓周角．故選C．【點睛】本題考查圓周角的識別，解題的關鍵是掌握圓周角的定義，即：角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角．【變式訓練】1．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，是圓周角的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)圓周角定義：可得是圓周角的有：B，不是圓周角的有：A，C，D．故選B．【點睛】此題考查了圓周角定義．此題比較簡單，解題的關鍵是理解圓周角的定義．2．（2022秋·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的定義解答即可．【詳解】解：A．圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項不符合題意；B．圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項不符合題意；C．圖中既有圓心角，也有圓周角，選項符合題意；D．圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的識別，掌握圓周角和圓心角的定義是解答本題的關鍵．頂點在圓周上，角的兩邊與圓相交的角是圓周角；圓心角的定義：頂點在圓的角是圓心角．【考點二圓周角定理】例題：（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，是上的三個點，，則度數(shù)是．

【答案】【分析】由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則．【答案】20【分析】連接，由圓周角定理可得，由等腰三角形的性質可得，再由結合等腰三角形的性質即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，，，，，，故答案為：20．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質，熟練掌握圓周角定理、等腰三角形的性質，是解題的關鍵．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為．【答案】1【分析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結合已知條件，利用直角三角形中角對的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查圓與直角三角形性質的綜合應用，結合已知條件求得是解題的關鍵．【考點三同弧或等弧所對的圓周角相等】例題：（2022秋·浙江嘉興·九年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）如圖，為⊙O的直徑，，則的度數(shù)為．【答案】65°/65度【分析】先根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計算出的度數(shù)；【詳解】為⊙O的直徑，故答案為：【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．【變式訓練】1．（2023春·北京東城·八年級景山學校校考期末）如圖，為的外接圓的直徑，若，則

【答案】/40度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理的推論得出，，然后根據(jù)角的和差計算即可．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，又∵，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角是解題的關鍵．2．（2023春·江西上饒·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，是的直徑，點，在上，且，的延長線與的延長線交于點，連接，若，則的度數(shù)是．

【答案】/43度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得，再根據(jù)等邊對等角得出，最后根據(jù)三角形的外角的性質即可得出答案．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：【點睛】本題考查圓周角定理，等邊對等角，三角形的外角，正確理解題意是解題的關鍵．【考點四半圓(直徑)所對的圓周角是直角】例題：（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則．

【答案】/61度【分析】如圖，連接，證明，求出，可得結論．【詳解】解：如圖，連接．

∵是直徑，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．【變式訓練】1．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余可計算出的度數(shù)；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關系求解．【詳解】（1）解：是的直徑，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點C，D是上的點，且，分別與，相交于點E，F(xiàn)．

(1)求證：點D為弧的中點；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，再由平行線的性質可得，從而可得，再根據(jù)垂徑定理即可得出結論；（2）根據(jù)垂徑定理可得，再利用勾股定理進行計算即可．【詳解】（1）證明：∵是直徑∴，∵，∴，∴，∴，∴點D為的中點；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直徑為20．【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵．【考點五90度的圓周角所對的弦是直徑】例題：（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，動點P在矩形的內部，連接、，若，則的最小值是．【答案】/【分析】由，可知在以為直徑的上運動，如圖，當三點共線時，最小，勾股定理求的長，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴在以為直徑的上運動，如圖，∴當三點共線時，最小，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，勾股定理．解題的關鍵在于確定的運動軌跡．【變式訓練】1．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，D為線段上的動點，連接，過點B作交于點E，則在點D的運動過程中，求線段的最小值為．

【答案】/【分析】根據(jù)，得到，進而得到點在以為直徑的圓上，設的中點為，連接，交于點，連接，則：，當且僅當三點共線時，取得最小值，即點與點重合時，取得最小值，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴點在以為直徑的圓上，設的中點為，連接，交于點，連接，則：，

∴當且僅當三點共線時，取得最小值，此時點與點重合，∵，，，∴，∴的最小值為：；故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，求一點到圓上的距離的最小值．解題的關鍵是確定點在以為直徑的圓上．2．（2023春·浙江·九年級專題練習）在矩形中，，，點F是邊上的一個動點，連接，過點B作于點G，交射線于點E，連接，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)題意可得點G的運動軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓?。擟、G、H三點共線時，CG取最小值，根據(jù)勾股定理進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴點G的運動軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓?。擟、G、H三點共線時，CG取最小值，如圖，∴CG最小值為：，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理以及勾股定理，根據(jù)題意得出點G的運動軌跡是解本題的關鍵．【考點六已知圓內接四邊形求角度】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內接于，延長至點，已知，那么．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓內接四邊形性質和平角的定義即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形內接于，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理，熟記圓內接四邊形的性質、圓周角定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知四邊形內接于，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內接四邊形的對角互補求出，的度數(shù)．【詳解】解∶，又四邊形內接于圓，在四邊形中，，，故答案為∶．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質，求出圓周角的度數(shù)是解題的關鍵．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點，在圓上，，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】利用等腰三角形的性質可得，從而利用三角形內角和定理可得，然后根據(jù)圓內接四邊形對角互補求出，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，四邊形是的內接四邊形，，，是的直徑，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．【考點七求四邊形外接圓的直徑】例題：（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學考試）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓內接四邊形的性質求出∠A=60°，得出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得出OD=OA=AD=2，求出直徑AB即可．【詳解】解：連接OD，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故選：D．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質和等邊三角形的性質和判定，能根據(jù)圓內接四邊形的性質得出∠A+∠C=180°是解此題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，為正方形的外接圓，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質，得出，，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)正方形的性質，得出，進而得出的半徑為，再根據(jù)圓的面積公式，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，解得：，∴，∴的半徑為，∴的面積為：．故選：A【點睛】本題考查了求正方形外接圓的直徑、正方形的性質、勾股定理、圓的面積，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理．2．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內接于，，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)圓內接四邊形的外角等于其內對角可得∠D＝∠CBE＝60°，根據(jù)等邊對等角以及三角形內角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，點C為的中點，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，進而得出∠ABD=90°，AD為直徑，可得出AD=2AB=4，再根據(jù)面積公式計算得出結論；【詳解】解：連接BD，∵ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE為等邊三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵點C為的中點，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD為直徑∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面積是=故答案選：D【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，三角形內角和定理，掌握相關性質及公式是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，是圓周角的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角的概念：頂點在圓周上，且兩邊都與圓相交的角叫圓周角就可判斷．【詳解】解：A、B頂點沒在圓上，C雖然頂點在圓上，但一條邊沒有與圓相交，D符合圓周角的概念，故選：D．【點睛】此題考查了圓周角的概念，解題的關鍵是熟練掌握圓周角的概念．2．（2023春·吉林松原·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知為的直徑，點、點在圓上，且位于異側．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鄰補角得出，進而根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是內接四邊形的一個外角，若，那么的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓內接四邊形的性質證得，再根據(jù)圓周角定理求出即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質以及圓周角定理，解題的關鍵是準確應用圓的有關性質和定理．4．（2023秋·山東泰安·九年級東平縣實驗中學校考期末）如圖，的直徑是，，圓的半徑是4，則弦的長是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖：連接，由圓周角定理可得、，然后再說明，最后根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接，∵，∴，∵的直徑是，圓的半徑是4，∴，∴，∴，∴,∵，∴，解得：．故選B．

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，靈活運用勾股定理成為解答本題的關鍵．5．（2023秋·山西呂梁·九年級?？计谀┤鐖D，為的直徑，一塊含有角的直角三角板按如圖所示的位置放置，其中銳角頂點C在上，斜邊經(jīng)過點A，一條直角邊與交于點D，連接，若，則的半徑為（

）

A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出結果．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，又，∴，故選B．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是利用圓周角定理得出．二、填空題6．（2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點，，在上，，則

【答案】/度【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．7．（2022秋·湖北武漢·九年級校考期中）中，，，則外接圓半徑長為．【答案】3【分析】根據(jù)題意作出圖像，利用圓周角定理求出，再根據(jù)等邊三角形的性質求出的外接圓半徑．【詳解】解：如圖，設的外接圓為，連接、，

∵，∴根據(jù)圓周角定理可知，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的外接圓半徑是3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查三角形的外接圓、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質，屬于綜合題型，解題的關鍵是證明是等邊三角形．8．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形內接于，，，，對角線平分，則邊的長為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，利用直角三角形的性質得到，利用勾股定理求出，繼而求出結果．【詳解】解：連接，，是的直徑，，對角線平分，，，，，，，，，．故答案為：．

【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．9．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學?？计谥校┤鐖D，為的直徑，點E是延長線上的一點，交于點D、C，，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】連接,則,設,利用三角形的外角和圓內接四邊形的性質解題即可．【詳解】如圖所示：

連接,∵是的直徑,∴,設,∵∴∵四邊形內接于,∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴，故答案為：.【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是直角，以及圓內接四邊形的性質和三角形的外角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．10．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，兩點是線段的三等分點，以為直徑作，點為上一點，連接，交于點，連接，若點恰為線段中點且，則周長為．

【答案】【分析】連接，交于點，先證明為的中位線，則，，再根據(jù)圓周角定理得出，則，為的中位線，從而得到，利用勾股定理計算出，則，最后再利用勾股定理計算出即可得到答案．【詳解】解：連接，交于點，

，兩點是線段的三等分點，，點恰為線段中點，為的中位線，，，為直徑，兩點是線段的三等分點，，在中，，，，為的中位線，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質，添加適當?shù)妮o助線，是解題的關鍵．三、解答題11．（2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，．是的外接圓，為弧的中點，為延長線上一點．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，可得；（2）先求解，可得，再利用圓的內接四邊形的性質可得答案．【詳解】（1）解：∵為弧的中點，∴，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為的內接四邊形，∴，∴．【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，圓的內接四邊形的性質，等腰三角形的性質，熟記圓周角定理與圓的內接四邊形的性質并靈活應用是解本題的關鍵．12．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）如圖，已知，為的直徑，過點A作弦垂直于直徑于點F，點B恰好為的中點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接、，為的直徑可得得到兩個直角及兩條線段相等，再根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到角相等，最后證明兩個三角形全等即可證明結論；（2）連接，根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到圓周角圓心角的關系，結合平角，求出的度數(shù)，在中根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接，

∵，為的直徑，∴，，∵點B是的中點，∴，∴，在與中，∵，，，∴≌，∴．（2）解：連接，

∵點B是的中點，∴，∴，，∵垂直于直徑于F，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，解得：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識點，作出輔助線構建直角三角形和全等三角形是解題的關鍵．13．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校?）如圖1，是的直徑，C、D是上的兩點，若，，求①的度數(shù)②的度數(shù)（2）如圖2，的弦垂直平分半徑，若的半徑為4，求弦的長．

【答案】（1），；（2）【分析】（1）①根據(jù)圓周角定理得到，可得，根據(jù)圓內接四邊形的性質即可求出；②根據(jù)得到，利用三角形內角和定理計算即可；（2）連接，根據(jù)弦垂直平分半徑可求出的長，再由勾股定理求出的長，進而可得出結論．【詳解】解：（1）①是直徑，，，，，②∵，∴，∴；（2）連接，弦垂直