專題11圓周角壓軸題七種模型全攻略(原卷版+解析)

專題11圓周角壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一圓周角的概念辨析】 1【考點(diǎn)二圓周角定理】 2【考點(diǎn)三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】 5【考點(diǎn)四半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角】 7【考點(diǎn)五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】 10【考點(diǎn)六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】 13【考點(diǎn)七求四邊形外接圓的直徑】 15【過關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一圓周角的概念辨析】例題：（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中，是圓周角的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）．A． B． C． D．【考點(diǎn)二圓周角定理】例題：（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，是上的三個(gè)點(diǎn)，，則度數(shù)是．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接，則的長度為．【考點(diǎn)三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】例題：（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，為⊙O的直徑，，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京東城·八年級(jí)景山學(xué)校校考期末）如圖，為的外接圓的直徑，若，則

2．（2023春·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，且，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是．

【考點(diǎn)四半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角】例題：（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，連接，．若，則．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)校考期末）如圖，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)若，，求的直徑．【考點(diǎn)五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】例題：（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接、，若，則的最小值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，D為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段的最小值為．

2．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)E，連接，則的最小值是．【考點(diǎn)六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點(diǎn)，已知，那么．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是．

2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點(diǎn)，在圓上，，若，則的度數(shù)為．【考點(diǎn)七求四邊形外接圓的直徑】例題：（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為正方形的外接圓，若，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長AB、DC交于點(diǎn)E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是圓周角的是（）A． B． C． D．2．（2023春·吉林松原·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)、點(diǎn)在圓上，且位于異側(cè)．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，若，那么的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，的直徑是，，圓的半徑是4，則弦的長是（

）．

A． B． C． D．5．（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)校考期末）如圖，為的直徑，一塊含有角的直角三角板按如圖所示的位置放置，其中銳角頂點(diǎn)C在上，斜邊經(jīng)過點(diǎn)A，一條直角邊與交于點(diǎn)D，連接，若，則的半徑為（

）

A．2 B． C． D．1二、填空題6．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)，，在上，，則

7．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)校考期中）中，，，則外接圓半徑長為．8．（2022秋·山西忻州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，對(duì)角線平分，則邊的長為．

9．（2022秋·湖北十堰·九年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)E是延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)D、C，，，則的度數(shù)為．

10．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，以為直徑作，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)且，則周長為．

三、解答題11．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，．是的外接圓，為弧的中點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．12．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）如圖，已知，為的直徑，過點(diǎn)A作弦垂直于直徑于點(diǎn)F，點(diǎn)B恰好為的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．13．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校?）如圖1，是的直徑，C、D是上的兩點(diǎn)，若，，求①的度數(shù)②的度數(shù)（2）如圖2，的弦垂直平分半徑，若的半徑為4，求弦的長．

14．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．

知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．15．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【特例感知】（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，連接．已知，，則的度數(shù)為______°，點(diǎn)D到直線的距離為______；【類比遷移】（2）如圖②，是的圓周角，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為M，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，平分，，求線段的長．

專題11圓周角壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一圓周角的概念辨析】 1【考點(diǎn)二圓周角定理】 2【考點(diǎn)三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】 5【考點(diǎn)四半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角】 7【考點(diǎn)五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】 10【考點(diǎn)六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】 13【考點(diǎn)七求四邊形外接圓的直徑】 15【過關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一圓周角的概念辨析】例題：（2023秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角的定義判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A和選項(xiàng)B中的角的頂點(diǎn)沒有在圓上，選項(xiàng)D中的角的一邊沒有與圓相交，均不是圓周角，選項(xiàng)C中的角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交，是圓周角．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角的定義，即：角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中，是圓周角的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)圓周角定義：可得是圓周角的有：B，不是圓周角的有：A，C，D．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義．2．（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的定義解答即可．【詳解】解：A．圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；B．圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；C．圖中既有圓心角，也有圓周角，選項(xiàng)符合題意；D．圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的識(shí)別，掌握?qǐng)A周角和圓心角的定義是解答本題的關(guān)鍵．頂點(diǎn)在圓周上，角的兩邊與圓相交的角是圓周角；圓心角的定義：頂點(diǎn)在圓的角是圓心角．【考點(diǎn)二圓周角定理】例題：（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，是上的三個(gè)點(diǎn)，，則度數(shù)是．

【答案】【分析】由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則．【答案】20【分析】連接，由圓周角定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再由結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，，，，，，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接，則的長度為．【答案】1【分析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結(jié)合已知條件，利用直角三角形中角對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查圓與直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】例題：（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，為⊙O的直徑，，則的度數(shù)為．【答案】65°/65度【分析】先根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出的度數(shù)；【詳解】為⊙O的直徑，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京東城·八年級(jí)景山學(xué)校?？计谀┤鐖D，為的外接圓的直徑，若，則

【答案】/40度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理的推論得出，，然后根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，又∵，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，且，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是．

【答案】/43度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出，最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形的外角，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角】例題：（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，連接，．若，則．

【答案】/61度【分析】如圖，連接，證明，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．

∵是直徑，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余可計(jì)算出的度數(shù)；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】（1）解：是的直徑，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)若，，求的直徑．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，再由平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理可得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵是直徑∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的直徑為20．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】例題：（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接、，若，則的最小值是．【答案】/【分析】由，可知在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，勾股定理求的長，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，如圖，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了的圓周角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于確定的運(yùn)動(dòng)軌跡．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，D為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段的最小值為．

【答案】/【分析】根據(jù)，得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，連接，則：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，連接，則：，

∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵，，，∴，∴的最小值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，求一點(diǎn)到圓上的距離的最小值．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)在以為直徑的圓上．2．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)E，連接，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓弧．當(dāng)C、G、H三點(diǎn)共線時(shí)，CG取最小值，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AB為直徑，H為圓心的圓?。?dāng)C、G、H三點(diǎn)共線時(shí)，CG取最小值，如圖，∴CG最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及勾股定理，根據(jù)題意得出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點(diǎn)，已知，那么．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和平角的定義即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出，的度數(shù)．【詳解】解∶，又四邊形內(nèi)接于圓，在四邊形中，，，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出圓周角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點(diǎn)，在圓上，，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，是的直徑，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七求四邊形外接圓的直徑】例題：（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A=60°，得出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OD=OA=AD=2，求出直徑AB即可．【詳解】解：連接OD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為正方形的外接圓，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出的半徑為，再根據(jù)圓的面積公式，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，解得：，∴，∴的半徑為，∴的面積為：．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求正方形外接圓的直徑、正方形的性質(zhì)、勾股定理、圓的面積，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．2．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長AB、DC交于點(diǎn)E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角可得∠D＝∠CBE＝60°，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，進(jìn)而得出∠ABD=90°，AD為直徑，可得出AD=2AB=4，再根據(jù)面積公式計(jì)算得出結(jié)論；【詳解】解：連接BD，∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE為等邊三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD為直徑∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面積是=故答案選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是圓周角的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角的概念：頂點(diǎn)在圓周上，且兩邊都與圓相交的角叫圓周角就可判斷．【詳解】解：A、B頂點(diǎn)沒在圓上，C雖然頂點(diǎn)在圓上，但一條邊沒有與圓相交，D符合圓周角的概念，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角的概念．2．（2023春·吉林松原·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知為的直徑，點(diǎn)、點(diǎn)在圓上，且位于異側(cè)．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，若，那么的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得，再根據(jù)圓周角定理求出即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)和定理．4．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，的直徑是，，圓的半徑是4，則弦的長是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖：連接，由圓周角定理可得、，然后再說明，最后根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接，∵，∴，∵的直徑是，圓的半徑是4，∴，∴，∴，∴,∵，∴，解得：．故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用勾股定理成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，為的直徑，一塊含有角的直角三角板按如圖所示的位置放置，其中銳角頂點(diǎn)C在上，斜邊經(jīng)過點(diǎn)A，一條直角邊與交于點(diǎn)D，連接，若，則的半徑為（

）

A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，又，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用圓周角定理得出．二、填空題6．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)，，在上，，則

【答案】/度【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谥校┲?，，，則外接圓半徑長為．【答案】3【分析】根據(jù)題意作出圖像，利用圓周角定理求出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出的外接圓半徑．【詳解】解：如圖，設(shè)的外接圓為，連接、，

∵，∴根據(jù)圓周角定理可知，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的外接圓半徑是3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外接圓、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，屬于綜合題型，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．8．（2022秋·山西忻州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，對(duì)角線平分，則邊的長為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，利用直角三角形的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，繼而求出結(jié)果．【詳解】解：連接，，是的直徑，，對(duì)角線平分，，，，，，，，，．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·湖北十堰·九年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)E是延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)D、C，，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】連接,則,設(shè),利用三角形的外角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解題即可．【詳解】如圖所示：

連接,∵是的直徑,∴,設(shè),∵∴∵四邊形內(nèi)接于,∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的外角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，以為直徑作，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)且，則周長為．

【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，先證明為的中位線，則，，再根據(jù)圓周角定理得出，則，為的中位線，從而得到，利用勾股定理計(jì)算出，則，最后再利用勾股定理計(jì)算出即可得到答案．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，

，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)，為的中位線，，，為直徑，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，在中，，，，為的中位線，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，．是的外接圓，為弧的中點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，可得；（2）先求解，可得，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵為弧的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．12．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）如圖，已知，為的直徑，過點(diǎn)A作弦垂直于直徑于點(diǎn)F，點(diǎn)B恰好為的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接、，為的直徑可得得到兩個(gè)直角及兩條線段相等，再根據(jù)弧的中點(diǎn)得到弧相等，從而等到角相等，最后證明兩個(gè)三角形全等即可證明結(jié)論；（2）連接，根據(jù)弧的中點(diǎn)得到弧相等，從而等到圓周角圓心角的關(guān)系，結(jié)合平角，求出的度數(shù)，在中根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接，

∵，為的直徑，∴，，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴，∴，在與中，∵，，，∴≌，∴．（2）解：連接，

∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴，∴，，∵垂直于直徑于F，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校?）如圖1，是的直徑，C、D是上的兩點(diǎn)，若，，求①的度數(shù)②的度數(shù)（2）如圖2，的弦垂直平分半徑，若的半徑為4，求弦的長．

【答案】（1），；（2）【分析】（1）①根據(jù)圓周角定理得到，可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出；②根據(jù)得到，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）連接，根據(jù)弦垂直平分半徑可求出的長，再由勾股定理求出的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①是直徑，，，，，②∵，∴，∴；（2）連接，弦垂直