專題02特殊的平行四邊形中的最值模型-胡不歸模型(原卷版+解析)

專題02特殊的平行四邊形中的最值模型--胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系。【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對(duì)角線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．例2．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．例3．（2023秋·山東日照·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4例4．（2022·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L(zhǎng)為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．例5.

（2023.綿陽市八年級(jí)期中）P是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為。例6．（2022·山東濟(jì)寧·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長(zhǎng)和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．變式1．（2022·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．變式2．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．變式3．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．變式4．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為______．變式5．（2022春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則()的最小值是____________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．52．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．3．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．4．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，，邊長(zhǎng)為3，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______．8．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．9．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．10．（2022·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．11．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．12．（2021·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．13．（2023·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，菱形中，，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，．(1)求的長(zhǎng)；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．

14．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．15．（2022··達(dá)州市九年級(jí)期中）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點(diǎn)、、，，并且滿足，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值．16．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn).（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn),①求證：；②若，，求的度數(shù)．（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出的最小值．17．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第七中學(xué)?？计谥校┰诹庑沃?，．(1)如圖1，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，若，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接．點(diǎn)Q是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求的最小值．

專題02特殊的平行四邊形中的最值模型--胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系?！灸Ｐ徒庾x】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對(duì)角線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖：過點(diǎn)E作，過點(diǎn)B作，連接,由菱形的性質(zhì)結(jié)合題意可得結(jié)合可得，則,即；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得,則當(dāng)時(shí)，即F與重合時(shí)，有最小值，最后解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)E作，過點(diǎn)B作，連接．

∵在菱形中，，∴，∵，∴，，即．∴．∴．∵∴當(dāng)時(shí)，即F與重合時(shí)，有最小值∴的最小值．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，找到有最小值的位置是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023·四川宜賓·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．【答案】【分析】過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，然后利用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】過點(diǎn)P作PQ⊥AD，垂足為Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD?sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，∴的最小值為，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，線段之和最短問題，正確添加輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.例3．（2023秋·山東日照·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4【答案】B【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進(jìn)而得出最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)P，∵在矩形中，，，∴，∴，則，∴，∴，．即的最小值為6．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．例4．（2022·廣東佛山·校考一模）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】0【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作于，∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，∵，∴的最小值為0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段．例5.

（2023.綿陽市八年級(jí)期中）P是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為。解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）連接AC交BD于O，作BE使∠PBE=30°，過點(diǎn)P作PF⊥BE，PF=PB.顯然A、P、F共線時(shí)PA+PB最小。此時(shí)

PA+PB=AF∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=利用等面積法:×AF×BE=×AE×BO解得：AF=注意：本題也可以利用費(fèi)馬點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)作圖）來解決。例6．（2022·山東濟(jì)寧·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長(zhǎng)和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②和走完全程所需時(shí)間為．【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）①構(gòu)造直角三角形求即可；②先確定點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間．【詳解】（1）四邊形是矩形，，與交于點(diǎn)O,且關(guān)于對(duì)稱，，，四邊形是菱形；（2）①連接,直線分別交于點(diǎn),交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為，，在矩形中，為的中點(diǎn)，且O為AC的中點(diǎn)，為的中位線，

，同理可得：為的中點(diǎn)，，

，；②過點(diǎn)P作交于點(diǎn)，由運(yùn)動(dòng)到所需的時(shí)間為3s，由①可得，，點(diǎn)Q以的速度從P到A所需的時(shí)間等于以從M運(yùn)動(dòng)到A，即：，由O運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是OP+MA和最小.如下圖，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到,即時(shí)，所用時(shí)間最短.，在中，設(shè)，，，解得：，，和走完全程所需時(shí)間為．變式1．（2022·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．變式2．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】連接AC，作，證明當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG，再利用勾股定理，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接AC，作∵是正方形且邊長(zhǎng)為4，∴，，，∵，∴，∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，解得：，設(shè)，則，∵，∴，解得：∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是證明當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG．變式3．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長(zhǎng)線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即有最小值，此時(shí)，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式4．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為______．【答案】【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進(jìn)而得出最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】過點(diǎn)A作，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，∵在矩形中，，∴，∴，則，∵，此時(shí)最小，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．變式5．（2022春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則()的最小值是____________．【答案】【分析】作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即PA+PB+PD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于E點(diǎn)，連接BD∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°∴∠DAB=60°，則△ABD為等邊三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即PA+PB+PD最小∵菱形的邊長(zhǎng)為4∴AB=4，AE=2∴DE=∴2DE=∴PA+PB+PD最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，將多條線段轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由銳角三角函數(shù)可得，即，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，由可求最小值為．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，即最小值為，，．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短和銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．【答案】4【分析】由四邊形是菱形，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度，將轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)P，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為5，，，，，，，，，，，，，，即，，當(dāng)A，P，G三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值，最小值為，菱形的面積，，的最小值是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，以及最短路徑問題，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積公式，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．3．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小為MH，再算出MC的長(zhǎng)度，在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得MH【詳解】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此時(shí)得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時(shí)的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵.4．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，，邊長(zhǎng)為3，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】求兩條線段之和的最小值問題，通常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，在平面中，兩點(diǎn)間的距離最短．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，∴∠ABP=30°，，，由垂線段最短可知，的最小值為的長(zhǎng)，，即的最小值是：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)中的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是：通過等量代換，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離．5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．【答案】3【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點(diǎn)E作ET⊥AM于T，過點(diǎn)C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點(diǎn)E作ET⊥AM于T，過點(diǎn)C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC?sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．6．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動(dòng)點(diǎn)問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的形式是解題的關(guān)鍵.7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______．【答案】3【分析】如圖，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，推出，從而得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段的和最小，利用所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可得解．【詳解】解：如圖，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，以及含的直角三角形．通過添加輔助線，構(gòu)造含的直角三角形，利用垂線段最短進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題是胡不歸模型，平時(shí)多歸納總結(jié)，可以快速解題．8．（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進(jìn)而得出PA+PD最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】過點(diǎn)A作∠CAN=30°，過點(diǎn)D作DM⊥AN于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，則∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此時(shí)PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．9．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】先證明四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，進(jìn)而求出，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時(shí)，為最小，過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，進(jìn)而求解即可．【詳解】?jī)蓮垖挒?cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，即，四邊形ABCD是平行四邊形，，，四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖，，，，，，，，，過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖，，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時(shí)，為最小，如圖，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．10．（2022·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．【解答】解：過E作EH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四邊形ANEM是平行四邊形，∠HME＝∠A＝60°，設(shè)EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，當(dāng)E在點(diǎn)D時(shí)，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值為7.5，故答案為：7.5．11．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等邊三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵M(jìn)D=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．12．（2021·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．【答案】【分析】由題意易得四邊形是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，，進(jìn)而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據(jù)“胡不歸”問題可求解．【詳解】解：∵紙條的對(duì)邊平行，即，∴四邊形是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都為，∴，∴，∴四邊形是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：∴，要使的值為最小，則需滿足為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得：，所以當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小，即為BM的長(zhǎng)，如圖所示：∴，∴，∴的最小值為，即的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．13．（2023·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，菱形中，，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明是等邊三角形，即可求解；（2）延長(zhǎng)至，使得，在上取，連接，證明，可得，，證明四邊形是平行四邊形，可得，即可得出，進(jìn)而證明，即可得證；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，為的中點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)（或者設(shè)其他點(diǎn)為中點(diǎn)，再證明為中點(diǎn)），過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵菱形中，，∴，∵，∴是等邊三角形，又∵，∴；（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)至，使得，在上取，連接，

在與中，∴∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，設(shè)，則在中，，∴，∴∵∴，∴在中，∴，∴，∴；（3）如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，∵是等腰直角三角形，∴，∵三點(diǎn)共線∴，∴，∵為的中點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∴，，則，∴，，∵∴，∵∴又，∴，∴，∴當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)共線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴，在中，，∵，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長(zhǎng)，再由，即可求解；（2）連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．根據(jù)題意可得的最小值等于的長(zhǎng)，再由當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，可得的最小值等于的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長(zhǎng)，再由，即可求解；（3）過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得在，從而得到，繼而得到的最小值等于，再由當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，可得的最小值等于，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴點(diǎn)到的距離為．（2）如圖，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．∵，∴的最小值等于的長(zhǎng)，∵當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)H重合，∴的最小值等于的長(zhǎng)，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值為；故答案為：（3）如圖，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)G重合，∴的最小值等于，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022··達(dá)州市九年級(jí)期中）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊、、軸分別交于點(diǎn)、、，，并且滿足，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求的值；（2）連接，若的面積與四邊形的面積之比為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）首先求出四邊形的面積，再根據(jù)條件求出的面積，即可解決問題；（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，即可轉(zhuǎn)化為求的最小值，作點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交一次函數(shù)于點(diǎn)，即的最小值為，算出長(zhǎng)度即可．【詳解】（1）在中，令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函數(shù)為，，，，，，，的面積與四邊形的面積之比為，的面積與四邊形的面積之比為，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得：，把代入中得：，；（3）如圖所示，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，作點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，且OO’與直線DF交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，，，當(dāng)、、在同一直線時(shí)最小，即的最小值為，，，，，在中，，，在中．，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積，解直角三角形以及胡不歸問題，屬于中考?jí)狠S題．16．（2022·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，若有，則稱點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．（1）如圖2，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上，則點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)B的勾股點(diǎn).（2）如圖3，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn),①求證：；②若，，求的度數(shù)．（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出的最小值．【答案】（2）①證明見解析；②30°；（3）①AE的長(zhǎng)為或；②．【分析】（2）①由矩形性質(zhì)得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根據(jù)勾股數(shù)得BC2+EC2=AC2，又因?yàn)锳D=BC，即得CE=CD．②設(shè)∠CED=α，根據(jù)∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三個(gè)內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和180°為等量關(guān)系列方程，即求出α進(jìn)而求出∠ADE．（3）由條件“點(diǎn)C是△ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)”仍可得CE=CD=5，作為條件使用．①△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫圖再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理計(jì)算，即能求AE的長(zhǎng)．②在CB上截取CH=，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等構(gòu)造△ECH∽△BCE，把BE轉(zhuǎn)化為EH，所以當(dāng)點(diǎn)A、E、H在同一直線上時(shí)，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．【詳解】解：（2）①證明：∵點(diǎn)C是△ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)∴CA2=CB2+CE2∵四邊形ABCD是