第1章二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試(原卷版+解析)

第1章二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【知識(shí)梳理】一．二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．二．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．三．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．五．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．六．圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．七．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．八．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．九．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問題在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測(cè)量問題或其他問題．十．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．十一．二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．對(duì)y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0時(shí)，當(dāng)﹣≥q，則x＝q時(shí)，y取得最小值；x＝p時(shí)，y取得最大值當(dāng)﹣≤p，則x＝q時(shí)，y取得最大值；x＝p時(shí)，y取得最小值當(dāng)q≥﹣≥時(shí)，x＝﹣時(shí)，y取得最小值，x＝p時(shí)，y取最大值當(dāng)≥﹣≥p時(shí)，x＝﹣，y取得最小值，x＝q時(shí)，y取得最大值a＜0時(shí)，同樣進(jìn)行分類討論．【考點(diǎn)剖析】一．二次函數(shù)的定義（共4小題）1．（2022秋?金華期末）若y＝（m﹣2）x是二次函數(shù)，則m的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±2．（2022秋?諸暨市期末）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±13．（2022秋?東陽市期中）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x4．（2023?天臺(tái)縣一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC上的點(diǎn)，DE，AF交于點(diǎn)G，AE＝BF＝x．若四邊形CDGF與△AEG的面積分別為S1，S2，則S1﹣S2與x的函數(shù)關(guān)系為（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）5．（2023?拱墅區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+1和一次函數(shù)y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．6．（2023?寧波模擬）下列圖象中，函數(shù)y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（）A． B． C． D．三．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）7．（2023?臺(tái)州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限8．（2023?甌海區(qū)四模）已知兩點(diǎn)A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y0≤y1＜y2，則x0的取值范圍是（）A．x0≤﹣2 B．x0＜1 C．﹣2＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜49．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)，a≠0），下列選項(xiàng)正確的是（）A．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，8），則a＜0 B．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（3，1），則a＜0 C．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣5，5），則a＞0 D．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，﹣8），則a＞0四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）10．（2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)）其中正確結(jié)論有（）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．511．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2（m為實(shí)數(shù)，且m≠2），當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x增大而減小，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2五．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共4小題）12．（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b＝（x?x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2為常數(shù)），若1＜x1＜x2＜3，記t＝a+b，則（）A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜313．（2023?溫州模擬）已知二次函數(shù)上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）滿足x1＝3+x2，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則y1＞y2＞﹣1 B．若，則y2＞0＞y1 C．若x1＜﹣，則y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，則y2＞y1＞014．（2023?衢州二模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象經(jīng)過（0，4），（8，5）兩點(diǎn)，若a＜0，0＜h＜8，則h的值可能為（）A．1 B．2 C．4 D．615．（2023?永嘉縣二模）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過三個(gè)不同的點(diǎn)A（0，4），B（m，4），C（3，n），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若m＝4，則n＜4 B．若m＝2，則n＜4 C．若m＝﹣2，則n＞4 D．若m＝﹣4，則n＞4六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共4小題）16．（2023?甌海區(qū)二模）將拋物線y＝3x2先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣217．（2023?紹興模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x﹣3）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣218．（2023?紹興模擬）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后得到新的拋物線，此拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（）A．先向左平移8個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位 B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位 C．先向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位 D．先向左平移7個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位19．（2023?舟山二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點(diǎn)M（m，y1），N（m+1，y2）為圖形G上兩點(diǎn)，若y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．七．二次函數(shù)的最值（共3小題）20．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時(shí)，p有最小值 B．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時(shí)，p有最大值 C．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時(shí)，p有最小值 D．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時(shí)，p有最大值21．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣822．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤0八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共10小題）23．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點(diǎn)在x軸，則c＝．24．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達(dá)式為．25．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．26．（2023?臨平區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是實(shí)數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4），（0，﹣3）．①求該二次函數(shù)表達(dá)式；②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是拋物線上的點(diǎn)，且s＝x1+x2，求t的值；（2）若該二次函數(shù)滿足當(dāng)x≥0時(shí)，總有y隨x的增大而減小，且過點(diǎn)（1，3），當(dāng)a＜b時(shí)，求4a+b的取值范圍．27．（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點(diǎn)A，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)．①求證：m＝ab；②若y2y1的另一個(gè)交點(diǎn)B為二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)，求b的值．28．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．29．（2023?錢塘區(qū)三模）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（其中b、c為常數(shù)）．（1）當(dāng)c＝﹣1，且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，k），且經(jīng)過另一點(diǎn)（k，m），求m﹣k的值．（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過A（x1，y1），B（x1﹣t，y2），C（x1﹣2t，y3）三個(gè)不同點(diǎn)，記M＝y(tǒng)2﹣y1，N＝y(tǒng)3﹣y2，求證：M＜N．30．（2023?舟山三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，3）．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若﹣1≤x≤d時(shí)，﹣1≤y≤8，則d的取值范圍是．（3）點(diǎn)P和點(diǎn)A之間（包括端點(diǎn)）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時(shí)，求m的值．31．（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式為y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4．（1）若此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若（x1，y1）（x2，y2）為此二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)，當(dāng)x1+x2＝2時(shí)，y1＝y(tǒng)2，求a的值．（3）若點(diǎn)（﹣1，t）在此二次函數(shù)圖象上，且當(dāng)x≥﹣1時(shí)y隨x的增大而增大，求t的范圍．32．（2023?龍灣區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，8），求該二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)0≤x≤m時(shí)，1≤y≤9，求a和m的值．九．二次函數(shù)的三種形式（共1小題）33．（2023?定海區(qū)模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5化為y＝（x﹣h）2+k的形式為．一十．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共2小題）34．（2023?余杭區(qū)校級(jí)模擬）已知，二次函數(shù)y＝x2+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若圖象上另有一點(diǎn)P（m，n），則（）A．當(dāng)n＞0時(shí)，m＜x1 B．當(dāng)n＞0時(shí)，m＞x2 C．當(dāng)n＜0時(shí)，m＜0 D．當(dāng)n＜0時(shí)，x1＜m＜x235．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，3）．（1）求b，c的值；（2）結(jié)合圖象，求當(dāng)y＞0時(shí)x的取值范圍；（3）平移該二次函數(shù)圖象，使其頂點(diǎn)為A點(diǎn)．請(qǐng)說出平移的方法，并求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．一十一．圖象法求一元二次方程的近似根（共1小題）36．（2022秋?嘉興期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5mm﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，則下面敘述正確的是（）A．該函數(shù)圖象開口向上 B．該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方 C．對(duì)稱軸是直線x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正數(shù)解，則2＜x1＜3一十二．二次函數(shù)與不等式（組）（共2小題）37．（2023?余杭區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b為常數(shù)，且ab≠0），則下列判斷正確的是（）A．若ab＜1，當(dāng)x＞1時(shí)，則y1＞y2 B．若ab＞1，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，則y1＞y2 C．若ab＜﹣1，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，則y1＞y2 D．若ab＞﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，則y1＞y238．（2022秋?嘉興期末）我們規(guī)定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函數(shù)叫做“M型”函數(shù)．如圖是“M型”函數(shù)y＝﹣x2+4|x|﹣3的圖象，根據(jù)圖象，以下結(jié)論：①圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；③方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)k＜﹣3．正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③一十三．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式（共3小題）39．（2022秋?西湖區(qū)期末）在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為x（0＜x＜1）的小正方形，如果設(shè)剩余部分的面積為y，那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x40．（2022秋?南湖區(qū)校級(jí)期中）某商店購(gòu)進(jìn)某種商品的價(jià)格是7.5元/件，在一段時(shí)間里，單價(jià)是13.5元，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元就可多售出200件，當(dāng)銷售價(jià)為x元/件時(shí)，獲利潤(rùn)y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系為（）A．y＝（6﹣x）（500+x） B．y＝（13.5﹣x）（500+200x） C．y＝（6﹣x）（500+200x） D．以上答案都不對(duì)41．（2023?洞頭區(qū)二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)打印圖紙方案？素材1如圖1，正方形ABCD是一張用于3D打印產(chǎn)品的示意圖，它由三個(gè)區(qū)塊（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）構(gòu)成．已知AB＝20cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和AB上，且BE＝BF，設(shè)BE＝xcm（0＜x＜20）．素材2為了打印精準(zhǔn)，擬在圖2中的BC邊上設(shè)置一排間距為1cm的定位坐標(biāo)（B為坐標(biāo)原點(diǎn)），計(jì)算機(jī)可根據(jù)點(diǎn)E的定位坐標(biāo)精準(zhǔn)打印出圖案．問題解決任務(wù)1確定關(guān)系用含x的代數(shù)式表示：區(qū)塊Ⅰ的面積＝、區(qū)塊Ⅱ的面積＝、區(qū)塊Ⅲ的面積＝．任務(wù)2擬定方案為美觀，擬將區(qū)塊Ⅲ分割為甲、乙兩個(gè)三角形區(qū)域，并要求區(qū)域乙是以DE為腰的等腰三角形，求所有方案中區(qū)域乙的面積或函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)3優(yōu)化設(shè)計(jì)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)區(qū)域乙的面積為范圍內(nèi)的整數(shù)時(shí)，此時(shí)的E點(diǎn)為最佳定位點(diǎn)，請(qǐng)寫出所有的最佳定位點(diǎn)E的坐標(biāo)．一十四．二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）42．（2023?麗水）一個(gè)球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過t（秒）時(shí)球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．243．（2023?定海區(qū)模擬）如圖，C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向上作正方形ACDE、BCFG，連結(jié)EG交DC于K．已知AB＝10，設(shè)AC＝x（5＜x＜10），記△EDK的面積為S1，記△EAC的面積為S2．則與x的函數(shù)關(guān)系為（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系44．（2023?路橋區(qū)一模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時(shí)，小球飛行的高度是飛行時(shí)間的二次函數(shù)．現(xiàn)以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個(gè)質(zhì)地一樣的小球，小球在各自擊出后1秒到達(dá)相同的最大飛行高度，若整個(gè)過程中同時(shí)出現(xiàn)在空中的小球個(gè)數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再?gòu)椘穑?，則t的取值范圍是（）A．0＜t＜1 B．1≤t＜2 C． D．一十五．二次函數(shù)綜合題（共4小題）45．（2023?永嘉縣校級(jí)模擬）對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，規(guī)定函數(shù)y＝是它的相關(guān)函數(shù)．已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（﹣，1），（，1），連接MN，若線段MN與二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為（）A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤ C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥146．（2023?金東區(qū)二模）定義：若n為常數(shù)，當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)和為n的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于n的“恒值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)（1，2）是函數(shù)y＝2x圖象關(guān)于3的“恒值點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)（1，3），（2，8），（3，7）是否為函數(shù)y＝5x﹣2圖象關(guān)于10的“恒值點(diǎn)”．（2）如圖1，拋物線y＝2x2+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示．①求翻折后A，B之間的拋物線解析式．（不必寫出x的取值范圍）②當(dāng)新圖象上恰好有3個(gè)關(guān)于c的“恒值點(diǎn)”時(shí)，請(qǐng)用含b的代數(shù)式表示c．47．（2023?浙江）在二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點(diǎn)（2，1），則t的值為多少？（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．48．（2023?金華模擬）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)兩倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“倍值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)（2，1）是函數(shù)y＝x﹣1的圖象的“倍值點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)y＝x+1，y＝x2﹣x的圖象上是否存在“倍值點(diǎn)”？如果存在，求出“倍值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)y＝（x＞0），y＝﹣x+b的圖象的“倍值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為2時(shí)，求b的值；（3）若函數(shù)y＝x2﹣3（x≥m）的圖象記為W1，將其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“倍值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出m的取值范圍．【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共8小題）1．拋物線y＝5（x﹣2）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）2．若A（a，b），B（a﹣2，c）兩點(diǎn)均在函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2021的圖象上，且1≤a＜2，則b與c的大小關(guān)系為（）A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1，x2滿足|x1|+|x2|＝2．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值4，則a的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．24．拋物線y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3個(gè)單位，那么平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．已知二次函數(shù)的圖象（0≤x≤3.4）如圖．關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A．有最大值2，無最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值﹣2 D．有最大值1.5，有最小值﹣26．下列函數(shù)中，其圖形與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的為（）A．y＝﹣20（x﹣11）2﹣2011 B．y＝20（x﹣11）2+2011 C．y＝20（x+11）2+2011 D．y＝﹣20（x+11）2+20117．由二次函數(shù)y＝2x2﹣12x+20，可知正確的是（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對(duì)稱軸為直線x＝﹣3 C．其最小值為2 D．當(dāng)x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大8．已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向下，與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤﹣；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共7小題）9．如果將拋物線y＝x2+2向左平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是．10．已知a，b，c滿足a+c＝b，4a+2b+c＝0，則關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為．11．如圖，反比例函數(shù)y＝（a≠0）的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y＝ax2+bx圖象的頂點(diǎn)（﹣，m）（m＞0），則m＝．12．已知x＝a和x＝a+b（b＞0）時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣3的值相等，則當(dāng)x＝6a+3b﹣2時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣3的值等于．13．合肥市2013年平均房?jī)r(jià)為6500元/m2．若2014年和2015年房?jī)r(jià)平均增長(zhǎng)率為x，則預(yù)計(jì)2015年的平均房?jī)r(jià)y（元/m2）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．14．二次函數(shù)y＝x2+x+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，點(diǎn)P（m，n）是圖象上一點(diǎn)，有如下結(jié)論：①當(dāng)n＜0時(shí)，m＜0；②當(dāng)m＞x2時(shí)，n＞0；③當(dāng)n＜0時(shí)，x1＜m＜x2；④當(dāng)n＞0時(shí)，x＜x1；⑤當(dāng)m時(shí)，n隨著m的增大而減小，其中正確的有．15．直線y＝x+b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，則b的值是．三．解答題（共7小題）16．若二次函數(shù)y＝﹣x2+2（k﹣1）x+2k﹣k2的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求：（1）二次函數(shù)的解析式；（2）它的圖象與x軸交點(diǎn)O、Q及頂點(diǎn)C組成的△OAC的面積．17．已知關(guān)于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若拋物線y＝mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；（溫馨提示：整數(shù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）（3）若點(diǎn)P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在（2）中拋物線上（點(diǎn)P、Q不重合），且y1＝y(tǒng)2，求代數(shù)式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值．18．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（0，3）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△APO的面積等于4？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．19．一個(gè)圓形噴水池的中心豎立一根高為2.25m頂端裝有噴頭的水管，噴頭噴出的水柱呈拋物線形．當(dāng)水柱與池中心的水平距離為1m時(shí)，水柱達(dá)到最高處，高度為3m．（1）求水柱落地處與池中心的距離；（2）如果要將水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高處與池中心的水平距離以及落地處與池中心的距離仍保持不變，那么水管的高度應(yīng)是多少？20．某商店購(gòu)進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為40元/件的日用商品，第一個(gè)月，按進(jìn)價(jià)提高50%的價(jià)格出售，售出600件；第二個(gè)月，商店準(zhǔn)備在不低于原售價(jià)的基礎(chǔ)上進(jìn)行加價(jià)銷售，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少．銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)的關(guān)系如圖所示．(1)請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式：；自變量x的取值范圍為；(2)第二個(gè)月的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？21．三、求直線y＝2x＋8與拋物線y＝x2的交點(diǎn)坐標(biāo)A、B及△AOB的面積．22．已知二次函數(shù)的圖象與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)D位于第三象限且在二次函數(shù)的圖象上，求的面積最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

第1章二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【知識(shí)梳理】一．二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．二．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．三．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．五．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．六．圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．七．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．八．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．九．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問題在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測(cè)量問題或其他問題．十．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．十一．二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．對(duì)y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0時(shí)，當(dāng)﹣≥q，則x＝q時(shí)，y取得最小值；x＝p時(shí)，y取得最大值當(dāng)﹣≤p，則x＝q時(shí)，y取得最大值；x＝p時(shí)，y取得最小值當(dāng)q≥﹣≥時(shí)，x＝﹣時(shí)，y取得最小值，x＝p時(shí)，y取最大值當(dāng)≥﹣≥p時(shí)，x＝﹣，y取得最小值，x＝q時(shí)，y取得最大值a＜0時(shí)，同樣進(jìn)行分類討論．【考點(diǎn)剖析】一．二次函數(shù)的定義（共4小題）1．（2022秋?金華期末）若y＝（m﹣2）x是二次函數(shù)，則m的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±【分析】利用二次函數(shù)定義可得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，再計(jì)算出m的值即可．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，∴m＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2．（2022秋?諸暨市期末）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為y＝（m﹣2）x|m|，則m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1【分析】根據(jù)形如y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0），可得|m|＝2且m﹣2≠0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：|m|＝2且m﹣2≠0，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的一般形式是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?東陽市期中）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)可得答案．【解答】解：A、y＝x2是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；B、y＝x+1是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、y＝是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、y＝2x是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．4．（2023?天臺(tái)縣一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC上的點(diǎn)，DE，AF交于點(diǎn)G，AE＝BF＝x．若四邊形CDGF與△AEG的面積分別為S1，S2，則S1﹣S2與x的函數(shù)關(guān)系為（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【分析】連接DF，根據(jù)AB＝3，AE＝BF＝x，得BC＝CD＝3，F(xiàn)C＝3﹣x，設(shè)△ADG的面積為m，所以S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF＝9﹣m﹣x，S2＝S△ADE﹣S△ADG＝x﹣m，S1﹣S2＝﹣3x+9，即可得S1﹣S2與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系．【解答】解：如圖，連接DF，∵AB＝3，AE＝BF＝x，∴BC＝CD＝3，F(xiàn)C＝3﹣x，設(shè)△ADG的面積為m，∴S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF＝×3×3﹣m+×3（3﹣x）＝4.5﹣m+4.5﹣x＝9﹣m﹣x，S2＝S△ADE﹣S△ADG＝×3×x﹣m＝x﹣m，∴S1﹣S2＝9﹣m﹣x﹣x+m＝﹣3x+9，∴S1﹣S2與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的定義，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是利用圖形的面積公式表示出S1與S2．二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）5．（2023?拱墅區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+1和一次函數(shù)y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分別根據(jù)選項(xiàng)中二次函數(shù)的開口方向判斷a的正負(fù)，然后根據(jù)a的正負(fù)判斷對(duì)稱軸的位置以及一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限即可得出答案．【解答】解：A：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向上，則a＞0，此時(shí)一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象經(jīng)過一三四象限，而圖中是經(jīng)過一次函數(shù)圖象是經(jīng)過一二四象限，故選項(xiàng)A不符合題意；B：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向上，則a＞0，對(duì)稱軸x＝＝＞0，對(duì)稱軸在y軸的右邊，圖象符合要求，此時(shí)此時(shí)一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象經(jīng)過一三四現(xiàn)象，圖中所給符合要求，故選項(xiàng)B符合題意；C：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向上，則a＞0，對(duì)稱軸x＝＝＞0，對(duì)稱軸在y軸的右邊，而圖中所給對(duì)稱軸在y軸左邊，故選項(xiàng)C不符合題意；D：根據(jù)圖象可得二次函數(shù)開口向下，則a＜0，當(dāng)a＜0時(shí)，一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象經(jīng)過一二四象限，圖中所給是經(jīng)過一三四象限，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是判斷a的正負(fù)以及一次函數(shù)經(jīng)過的象限．6．（2023?寧波模擬）下列圖象中，函數(shù)y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】可先根據(jù)a的符號(hào)判斷一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限，然后作出選擇．【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，由二次函數(shù)y＝ax2﹣a可知開，口向上，頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（1，0），由一次函數(shù)y＝ax+a可知過一，二，三象限，交x軸于（﹣1，0）；當(dāng)a＜0時(shí)，由二次函數(shù)y＝ax2﹣a可知，開口向下，頂點(diǎn)在y軸正半軸上，與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（1，0），由一次函數(shù)y＝ax+a可知過二，三，四象限，交x軸于（﹣1，0）；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象的特征．三．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）7．（2023?臺(tái)州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根據(jù)已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，當(dāng)a＞0，k＜0時(shí)，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)a＜0，k＞0時(shí)，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、二、四象限，綜上，直線y＝ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．8．（2023?甌海區(qū)四模）已知兩點(diǎn)A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y0≤y1＜y2，則x0的取值范圍是（）A．x0≤﹣2 B．x0＜1 C．﹣2＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和題意，可知該函數(shù)開口向上，有最小值，從而可以求得x0的取值范圍．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，∴若y2＞y1≥y0，則此函數(shù)開口向上，有最小值，∴＝1＜x0≤3或x0≥3，解得：x0＜1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．9．（2023?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)，a≠0），下列選項(xiàng)正確的是（）A．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，8），則a＜0 B．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（3，1），則a＜0 C．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣5，5），則a＞0 D．若圖象經(jīng)過（﹣1，1），（8，﹣8），則a＞0【分析】由拋物線解析式可得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∵8﹣1＞1﹣（﹣1），∴（﹣1，1）到對(duì)稱軸的距離小于（8，8）到對(duì)稱軸的距離，若拋物線經(jīng)過（﹣1，1），（8，8），則拋物線開口向上，即a＞0，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）10．（2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)）其中正確結(jié)論有（）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②正確，符合題意；③由圖象知，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正確，符合題意；④對(duì)稱軸為直線﹣＝1，即2a+b＝0，∴a＝﹣，代入b＞a+c，得b＞+c，∴3b＞2c，故④錯(cuò)誤，不符合題意；⑤當(dāng)x＝1時(shí)，y的值最大．此時(shí)，y＝a+b+c，而當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正確，符合題意．故正確的結(jié)論為②③⑤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．11．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2（m為實(shí)數(shù)，且m≠2），當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x增大而減小，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2【分析】根據(jù)當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x的增大而減小，可得拋物線開口方向，進(jìn)而求解．【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向上，∴m﹣2＞0，∴m＞2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．五．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共4小題）12．（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b＝（x?x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2為常數(shù)），若1＜x1＜x2＜3，記t＝a+b，則（）A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3【分析】由二次函數(shù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）；然后由二次函數(shù)解析式與一元二次方程的關(guān)系以及根的判別式得到a2﹣4b＞0；結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x2＝﹣a，x1?x2＝b；最后根據(jù)限制性條件1＜x1＜x2＜3列出相應(yīng)的不等式并解答．【解答】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次項(xiàng)系數(shù)1＞0，∴拋物線開口向上，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），1＜x1＜x2＜3，∴x＝1時(shí)，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，∴t＞﹣1．又對(duì)稱軸x＝﹣，此時(shí)y＝b﹣＜0．∴a+b＜+a＝（a+2）2﹣1．∵1＜﹣＜3，∴﹣6＜a＜﹣2，∴﹣1＜（a+2）2﹣1＜3．綜上所述，t的取值范圍是﹣1＜t＜3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的根本依據(jù)．13．（2023?溫州模擬）已知二次函數(shù)上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）滿足x1＝3+x2，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則y1＞y2＞﹣1 B．若，則y2＞0＞y1 C．若x1＜﹣，則y1＞0＞y2 D．若﹣＜x1＜1，則y2＞y1＞0【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線的開口方向及對(duì)稱軸，將x＝﹣代入解析式可得y的值，通過拋物線的對(duì)稱性及x1＝3+x2求解．【解答】解：∵，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x1＝﹣時(shí)，x2＝﹣3﹣＝﹣，∴＝﹣2，即點(diǎn)P，Q關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，此時(shí)y1＝y(tǒng)2，將x＝﹣代入y＝（x﹣1）2﹣1得y＝0，當(dāng)x1＜﹣時(shí)，y2＞0＞y1，故選項(xiàng)A、C不符合題意，∵x1＝3+x2，∴x2＝x1﹣3，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1，y2＝（x1﹣4）2﹣1，當(dāng)時(shí)，﹣＜x1﹣1＜0，﹣＜x1﹣4＜﹣3，∴﹣1＜（x1﹣1）2﹣1＜0，3＜（x1﹣4）2﹣1＜9，∴y2＞0＞y1．故選項(xiàng)D不符合題意，B符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．14．（2023?衢州二模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象經(jīng)過（0，4），（8，5）兩點(diǎn)，若a＜0，0＜h＜8，則h的值可能為（）A．1 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)拋物線的大致圖象，根據(jù)頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝h，由于拋物線過（0，4）、（8，5）兩點(diǎn)．若a＜0，0＜h＜8，則點(diǎn)（0，4）到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)（8，5）到對(duì)稱軸的距離，所以h﹣0＞8﹣h，然后解不等式后進(jìn)行判斷．【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝h，而（0，4），（8，5）兩點(diǎn)，∴h﹣0＞8﹣h，解得h＞4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023?永嘉縣二模）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過三個(gè)不同的點(diǎn)A（0，4），B（m，4），C（3，n），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若m＝4，則n＜4 B．若m＝2，則n＜4 C．若m＝﹣2，則n＞4 D．若m＝﹣4，則n＞4【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過三個(gè)不同的點(diǎn)A（0，4），B（m，4），C（3，n），∴A（0，4），B（m，4）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸為直線x＝＝，∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而減小，A、若m＝4，則對(duì)稱軸為直線x＝2，∵2＜3＜4，∴n＞4，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B、若m＝2，則對(duì)稱軸為直線x＝1，∵1＜2＜3，∴n＜4，故B正確，符合題意；C、若m＝﹣2，則對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∵﹣1＜0＜3，∴n＜4，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D、若m＝﹣4，則對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，∵﹣2＜0＜3，∴n＜4，故C錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共4小題）16．（2023?甌海區(qū)二模）將拋物線y＝3x2先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝3x2先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為：y＝3（x+1）2﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．17．（2023?紹興模擬）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x﹣3）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2【分析】將原二次函數(shù)整理為用頂點(diǎn)式表示的形式，根據(jù)平移的單位可得新拋物線的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3變?yōu)椋簓＝（x﹣1）2﹣4向右平移2個(gè)單位得到的函數(shù)的解析式為：y＝（x﹣1﹣2）2﹣4即y＝（x﹣3）2﹣4再向上平移2個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4+2即y＝（x﹣3）2﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．討論兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．18．（2023?紹興模擬）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后得到新的拋物線，此拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（）A．先向左平移8個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位 B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位 C．先向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位 D．先向左平移7個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位【分析】分別求得平移后的拋物線解析式，代入點(diǎn)（﹣2，﹣2）判斷即可．【解答】解：＝﹣（x﹣4）2+5，A、先向左平移8個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+8）2+5﹣4，即y＝﹣（x+4）2+1，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣1，故此時(shí)拋物線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2），不合題意；B、先向左平移6個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+6）2+5﹣7，即y＝﹣（x+2）2﹣2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣2，故此時(shí)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2），符合題意；C、先向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+4）2+5﹣6，即y＝﹣x2﹣1，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣3，故此時(shí)拋物線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2），不合題意；D、先向左平移7個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣4+7）2+5﹣5，即y＝﹣（x+2）2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝0，故此時(shí)拋物線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2），不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．19．（2023?舟山二模）拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點(diǎn)M（m，y1），N（m+1，y2）為圖形G上兩點(diǎn)，若y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】先求得點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象的單調(diào)性和y1＞y2，分兩種情況：①當(dāng)m≤0時(shí)，②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，∴C（0，3），直線l為y＝3，拋物線的對(duì)稱軸為直線，y軸右側(cè)的部分的拋物線為y＝x2﹣2x+3，∵m＜m+1，∴點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，如圖，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴m＜1；①當(dāng)m≤0時(shí)，∵y1＞y2，∴﹣m2+2m+3＞（m+1）2﹣2（m+1）+3，解得：，又∵m≤0，∴；②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，∵y1＞y2，∴m2﹣2m+3＞（m+1）2﹣2（m+1）+3，解得：，又∵0＜m，∴，綜上，m的取值范圍為，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，注重?cái)?shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．七．二次函數(shù)的最值（共3小題）20．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時(shí)，p有最小值 B．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時(shí)，p有最大值 C．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時(shí)，p有最小值 D．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時(shí)，p有最大值【分析】設(shè)直線y＝kx+p，聯(lián)立直線與拋物線解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的兩根，進(jìn)而根據(jù)a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，則0＜a≤1，即可得出ac＞0，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行判斷即可求解．【解答】解：依題意，過點(diǎn)P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A（a，b），B（c，a）兩點(diǎn)，設(shè)直線y＝kx+p，聯(lián)立即x2﹣kx﹣p＝0，∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的兩根，即ac＝﹣p，a+c＝k，：a＜c，∴B（c，a）在y＝x的下方，聯(lián)立，解得：或，∴0＜c≤1，∵B（c，a）在拋物線上，則a＝c2，∴0＜a≤1，∴ac＞0，當(dāng)ac＞0且a+c＝1，∴x2﹣x﹣p＝0，∴p＝x2﹣x有最小值，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【分析】根據(jù)y＝ax2+2ax+1可得出對(duì)稱軸x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0兩種情況討論計(jì)算．【解答】解：∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2+2ax+1，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為x＝﹣1．①當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)開口向下，x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．②當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)開口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，∴當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)最大值為9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．綜上分析，a的值為﹣8或1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)最值問題，確定對(duì)稱軸，分類討論最值情況是作出本題的關(guān)鍵技巧．22．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤0【分析】先將點(diǎn)（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出該二次函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)其開口方向，對(duì)稱性和增減性，分析在a≤x≤6時(shí)的最大值和最小值即可．【解答】解：將點(diǎn)（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，得：0＝﹣1+b+5，解得：b＝﹣4，∴二次函數(shù)為y＝﹣x2+6x﹣5，∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝3，函數(shù)有最大值4，把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，∴0≤a≤3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握a＞0時(shí)，函數(shù)開口向上，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a＜0時(shí)，函數(shù)開口向下，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而減小八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共10小題）23．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點(diǎn)在x軸，則c＝9．【分析】頂點(diǎn)在x軸上，根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，列出方程求解．【解答】解：根據(jù)題意，頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即，解得c＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的公式，比較簡(jiǎn)單．24．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），可得可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．【解答】解：∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），∴可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，，∴|a|＝2，∴a＝±2，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等是解題的關(guān)鍵．25．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C（﹣3，﹣2），∴當(dāng)y≤﹣2時(shí)，x的范圍是﹣3≤x≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達(dá)式．26．（2023?臨平區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是實(shí)數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4），（0，﹣3）．①求該二次函數(shù)表達(dá)式；②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是拋物線上的點(diǎn)，且s＝x1+x2，求t的值；（2）若該二次函數(shù)滿足當(dāng)x≥0時(shí)，總有y隨x的增大而減小，且過點(diǎn)（1，3），當(dāng)a＜b時(shí)，求4a+b的取值范圍．【分析】（1）①由題意，將已知兩點(diǎn)代入表達(dá)式分別求出a和b即可得解．②依據(jù)題意，把A，B兩點(diǎn)代入①所求解析式，然后兩式相減，再適當(dāng)變形可得x1+x2的值，再代入①的表達(dá)式式即可求出t．（2）由題意可得a＜0，，再由過點(diǎn)（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．【解答】解：（1）①由題意，∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4），（0，﹣3），∴．∴．∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3．②由題意，∵A、B在拋物線上，∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．上述兩式相減得，﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．顯然A、B是兩個(gè)點(diǎn)，∴x1≠x2．∴x1﹣x2≠0．∴x1+x2＝2．∴s＝2．又C（s，t）是拋物線上的點(diǎn)，∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．即t＝﹣3．（2）由題意，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a滿足當(dāng)x≥0時(shí)，總有y隨x的增大而減小，∴a＜0，．∴b≤0．∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a過點(diǎn)（1，3），∴b＝2a+3≤0．∴a≤．又a＜b，∴a＜2a+3．∴a＞﹣3．∵a≤，∴﹣3＜a≤．又4a+b＝6a+3，∴﹣15＜6a+3≤﹣6．∴﹣15＜4a+b≤﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．27．（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點(diǎn)A，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)．①求證：m＝ab；②若y2y1的另一個(gè)交點(diǎn)B為二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)，求b的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①令y＝0，分別求得兩個(gè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，m的等式，整理即可得出結(jié)論；②利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，再利用①的結(jié)論得到關(guān)于b的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點(diǎn)，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣x；（2）①證明：令y1＝0，則ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴拋物線y1＝ax（x+b）與x軸交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，則ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直線y2＝ax+m與x軸交于（﹣，0），∵若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣，﹣）．∵兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，∴a?（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合題意，舍去）或b＝﹣2．∴若兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，b的值為﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．28．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【分析】（1）先把解析式進(jìn)行配方，再求頂點(diǎn)；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3時(shí)，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點(diǎn)（2，7），∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最小值為：﹣2，∴當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時(shí)，y的最大值為2；x＞0時(shí)，y的最大值為3，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，∵拋物線開口向下，x≤0時(shí)，y的最大值為2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次