湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙縣第九中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬考試試題文

PAGE12-湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙縣第九中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬考試試題文選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、設(shè)集合，則（）A. B. C. D.答案B2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是（）。A．1 B．-1 C． D．【答案】B【解析】∵，∴復(fù)數(shù)的虛部是，故選：B．3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.答案D4.已知命題p：;命題q：若,則a<b.下列命題為真命題的是A．B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：由時(shí)成立知p是真命題,由可知q是假命題,所以是真命題,故選B.5.函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．答案B6.已知，則=()B.C.D.答案C7.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且短軸的長(zhǎng)為2，離心率等于，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）。A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.短軸長(zhǎng)為，，解得：.離心率，又，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：.8.如圖是棱長(zhǎng)為1的正方體截去部分后的三視圖，則該幾何體的體積為（）俯視圖俯視圖側(cè)視圖正視圖1/21/2A．B．C．D．解析：直觀圖為：故體積為：，選A9．已知實(shí)數(shù)，滿意，則的最大值是（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示：其中，，，平移參照直線3x-y=0,令t=y-3x,平移到處最小平移到處最大故，所以的最大值是10.10.等腰中，點(diǎn)D在底邊BC上，，BD=8，CD=1，則的面積為()B.C.D.答案C11.如圖所示，在梯形中，，，，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，則（）。A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】在梯形中,,則可建立以為原點(diǎn),方向?yàn)檩S正方向的直角坐標(biāo)系,如下圖所示:由題可得,因此,所以,所以,故選:B.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線、分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn)、，，且，則雙曲線的離心率為（）。A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，，，.連接、，依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得為平行四邊形，，，由余弦定理可得，，，故選B.二.填空題【命題意圖】考查古典概型，以生活時(shí)尚為實(shí)例考查考生學(xué)問的實(shí)際運(yùn)用實(shí)力、數(shù)學(xué)建模和運(yùn)算實(shí)力，把生活實(shí)際實(shí)例與數(shù)學(xué)模型相結(jié)合。.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．答案15..已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，若，則的最小值為_________.答案16.兩個(gè)正三棱錐與有共同的外接球，且的體積是的體積的兩倍，則的側(cè)面積是的側(cè)面積的倍。解析：軸截面如圖DDQO1OAP不妨設(shè)球的半徑為3，則,所以，所以，所以，所以側(cè)面積之比為：三.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步（一）必考題（本大題共5小題，共60分）17、已知數(shù)列滿意：，（）（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。解析：（1）證明：且是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。（2）由（1）可得：18.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，且，（1）在棱上是否存在點(diǎn)使，若存在求的位置，若不存在，說明理由；（2）求點(diǎn)到平面的距離。BBB1C1CA解析：（1）假設(shè)存在點(diǎn)使，因?yàn)?，所以平面所以又，所以平面所以所以∽所以所以存在點(diǎn)且是的中點(diǎn)；（2）（等體積法）19.某市教化局為了提高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，對(duì)數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行教改，打破原來題海戰(zhàn)術(shù)，重視學(xué)問點(diǎn)的駕馭，現(xiàn)在記錄某重點(diǎn)中學(xué)以學(xué)生所用時(shí)間（單位：）與駕馭學(xué)問點(diǎn)個(gè)數(shù)x的數(shù)據(jù)如下表所示：學(xué)問點(diǎn)x(個(gè))2345學(xué)習(xí)的時(shí)間y(h)2.53.04.04.5(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明（若，則認(rèn)為y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)為沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）；(2)求出y關(guān)于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，預(yù)料駕馭6個(gè)學(xué)問點(diǎn)須要多少時(shí)間？（3）據(jù)科學(xué)數(shù)據(jù)分析，大腦的遺忘規(guī)律性和學(xué)習(xí)的效率性，一個(gè)人連續(xù)學(xué)習(xí)最好不要超過5個(gè)小時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)功效值z(mì)與x,y近似滿意關(guān)系式，求駕馭多少個(gè)學(xué)問點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)功效值最大？附注：參考數(shù)據(jù)：≈1.414.參考公式：回來直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，相關(guān)系數(shù)【解析】由表中數(shù)據(jù)得：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54,，r＝因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99>0.75，說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回來模型擬合y與x的關(guān)系．（2）∴eq\o(b,\s\up6(∧))＝0.7，eq\o(a,\s\up6(∧))＝1.05，∴eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.7x＋1.05.將x＝6代入回來直線方程，得eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.7×6＋1.05＝5.25(小時(shí))．∴預(yù)料包裝10個(gè)商品包裝須要5.25小時(shí)．（3）由題意可得當(dāng)駕馭學(xué)問點(diǎn)個(gè)數(shù)x=3時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)功效值z(mì)取最大值9.20.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，過作的兩弦與，若，求證:直線過定點(diǎn).【答案】（1）或；（2）證明見解析．【解析】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)的方程為，代人點(diǎn)得，即.當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)的方程為，代人點(diǎn)得，即，綜上可知：的方程為或.············4分（2）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以曲線的方程為.········5分設(shè)點(diǎn)，直線，明顯存在，聯(lián)立方程有：.··········7分,即即.··········9分直線即············11分直線過定點(diǎn).············12分21.已知函數(shù)(1)求函數(shù)在區(qū)間的最小值;(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)且﹐證明:【解】（1）由，令，則在上單調(diào)遞增，又所以存在，使得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，又，所以對(duì)恒成立，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，(2)證明：由（1）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，又所以時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)即與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則，且.要證只需證,又只需證,又,只需證,即證.設(shè)即,所以在單調(diào)遞增,所以,所以成立,故（二）選作題（10分）：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答.多答按所答的首題進(jìn)行評(píng)分．22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的一般方程是，曲線的參數(shù)方程是，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是.寫出及的極坐標(biāo)方程；已知，與交于兩