海南省北京師范大學(xué)萬寧附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGEPAGE7海南省北京師范高校萬寧附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題第I卷（選擇題）一、單選題（共8題，每題5分，共40分）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點重合，則（）A．， B．， C．， D．，3．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛4．若，，則（）A． B．5 C． D．5．為了提升全民身體素養(yǎng)，學(xué)校非常重視學(xué)生體育熬煉，某?；@球運動員進(jìn)行投籃練習(xí)．假如他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；假如他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第球投進(jìn)的概率為，則他第球投進(jìn)的概率為（）A．B．C． D．6．單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛運用成為埃及數(shù)學(xué)重要而好玩的特色，埃及人將全部的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和．例如，，……，現(xiàn)已知可以表示成4個單分?jǐn)?shù)的和，記，其中，，是以101為首項的等差數(shù)列，則的值為（）A．505 B．404 C．303 D．2027．2024年12月1日，大連市起先實行生活垃圾分類管理.某單位有四個垃圾桶，分別是一個可回收物垃圾桶?一個有害垃圾桶?一個廚余垃圾桶?一個其它垃圾桶.因為場地限制，要將這四個垃圾桶擺放在三個固定角落，每個角落至少擺放一個，則不同的擺放方法共有(假如某兩個垃圾桶擺放在同一角落，它們的前后左右位置關(guān)系不作考慮)（）A．種 B．種 C．種 D．種8．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對隨意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．二、多選題（共4題，每題5分，共20分）9．已知(x－1)n的綻開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和是64，則（）A．n＝7B．全部項的系數(shù)和為0C．偶數(shù)項的系數(shù)和為－64D．綻開式的中間項為－35x3和35x410．隨機(jī)變量的分布列為：其中，下列說法正確的是（）012A． B． C．隨的增大而減小 D．有最大值11．某計算機(jī)程序每運行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個五位二進(jìn)制數(shù)（例如10100）其中A的各位數(shù)中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，則當(dāng)程序運行一次時（）A．X聽從二項分布 B．C．X的期望 D．X的方差12．函數(shù)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是（）在上函數(shù)為增函數(shù) 在上函數(shù)為增函數(shù)在上函數(shù)有極大值 是函數(shù)在區(qū)間上的微小值點第II卷（非選擇題）三、填空題（共4題，每題5分，共20分）13．兩個家庭的4個大人與2個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園．為平安起見，首尾肯定要排2個爸爸，另外，2個小孩肯定要排在一起，則這6人入園依次的排法種數(shù)為__________．14．設(shè)口袋中有黑球、白球共7個，從中任取2個球，已知取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為，則口袋中白球的個數(shù)為_______.15．對一個物理量做次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最終結(jié)果．已知最終結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測量_____次（若，則）．16．已知函數(shù)，，函數(shù)圖象上隨意一點的切線的斜率恒成立，則的取值范圍是___________.四、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．(本小題10分)在中，，___________.（1）求；（2）若，求.從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.(注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分)18．（本小題12分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．19．（本小題12分）如圖，在圓柱中，四邊形是其軸截面，為圓的直徑，且.（1）求證：；（2）若，求二面角平面角的余弦值.20．（本小題12分）自“新冠肺炎”爆發(fā)以來，中國科研團(tuán)隊始終在主動地研發(fā)“新冠疫苗”，在科研人員不懈努力下，我國公民領(lǐng)先在2024年年末起先可以運用平安的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權(quán)，研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為試驗對象，進(jìn)行了一些試驗．（1）試驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，試驗結(jié)果發(fā)覺，除2號、3號和7號白兔仍舊感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，現(xiàn)從這10只白兔中隨機(jī)抽取4只進(jìn)行探討，將仍被感染的白兔只數(shù)記作，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）科研人員在另一個試驗中發(fā)覺，疫苗可多次連續(xù)注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效相互不影響，相互獨立，試問，若將試驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達(dá)到96%，如若可以請說明理由，若不行以，請問每支疫苗的有效率至少要達(dá)到多少才能滿意以上要求．21．（本小題12分）已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，且由橢圓上頂點、右焦點及坐標(biāo)原點構(gòu)成的三角形面積為2．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)已知P(0，2)，過點Q(﹣1，﹣2)作直線l交橢圓C于A、B兩點(異于P)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2．試問k1+k2是否為定值？若是，懇求出此定值，若不是，請說明理由．22．（本小題12分）已知函數(shù)f(x)＝x+alnx+1．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若f(x)在[1，e]上的最小值為－a+1，求實數(shù)a的值參考答案選擇題123456789101112BABABACCABCABDABCAC填空題2414.33216.解答題17．解：（1）因為，1分所以2分因為，所以3分即4分因為，5分（2）若選①則在中，由余弦定理，7分得，8分解得或(舍去)，所以10分若選②，則，7分由正弦定理，得，解得，9分所以10分若選③，由余弦定理得7分，解得或(舍去)9分所以10分18．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，1分因為，且．所以，3分解得，4分所以數(shù)列的通項公式．6分，8分所以，9分所以10分．12分19．解：（1）證明：連接，在圓柱中中，平面，又平面，∴，又，2分∴平面，又平面，3分∴，又在中，為的中點，4分5分（2）連接且與該圓柱的底面垂直，以點為坐標(biāo)原點，、、分別為、、軸正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，6分∴，，，，7分設(shè)面的法向量是，由，得，取，得，9分設(shè)面的法向量是，由，得，取，得，10分由圖可知，二面角為銳角，11分∴二面角的余弦值為12分20．解：（1）因為可取，所以2分所以，3分，．4分所以的分布列如下：；6分（2）因為試驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率為，所以注射一次疫苗的有效率為，7分又因為每次注射的疫苗對白兔是否有效相互獨立，所以一只白兔注射兩次疫苗的有效率為：，所以無法保證，9分設(shè)每支疫苗有效率至少達(dá)到才能滿意要求，則，解得11分所以每支疫苗的有效率至少要達(dá)到才能滿意以上要求12分解:(Ⅰ)由題意得，2分解得a2＝8，b2＝4，3分所以橢圓C的方程為＝1．4分(Ⅱ)k1+k2為定值4，證明如下：(ⅰ)當(dāng)直線l斜率不存在時，l方程為x＝﹣1，由方程組易得，，于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4為定值．7分(ⅱ)當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l方程為y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程組，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，8分由韋達(dá)定理得(*)10分∴k1+k2＝＝＝＝2k+(k﹣4)?，將(*)式代入上式得k1+k2＝4為定值12分22．解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為1分當(dāng)時，＞0恒成立，f(x)在上單調(diào)遞增，無極值；2分當(dāng)a＜0時，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，3分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，4分此時f(x)有微小值，無極大值；5分（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，6分①若a≥－1，則x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，7分∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，則a＝－1，符合條件．8分②若a≤－e，則x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此時f