浙江省紹興市陽明中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE20-浙江省紹興市陽明中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?依據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可干脆求解.【詳解】直線變形為所以設(shè)傾斜角為則因為所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程中傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2.若，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到的值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合角的范圍，即可得答案.【詳解】∵，又，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實力和運(yùn)算求解實力，求解時留意符號問題.3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】列出自變量應(yīng)滿意的不等式，它的解集即為函數(shù)的定義域.【詳解】自變量滿意，故，故函數(shù)的定義域為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的判定定理可推斷A，由線面平行的性質(zhì)定理可推斷B，由面面平行的性質(zhì)定理可推斷C，由線面平行的性質(zhì)定理可推斷D.【詳解】解：對于A，由線面垂直的判定定理可知當(dāng)直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線時，才成立，所以A不正確；對于B，若，，則或，異面，所以B不正確；對于C，由面面平行的性質(zhì)定理可知是正確的，對于D，若，，則，有可能相交、平行或異面，所以D不正確，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象實力和推理實力，屬于基礎(chǔ)題.5.實數(shù)x，y滿意，則整點(diǎn)的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，畫出可行域，然后依據(jù)的取值范圍，進(jìn)行驗證，可得結(jié)果.【詳解】如圖依據(jù)圖形可知：則滿意區(qū)域的整點(diǎn)有：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃整點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于圖形描繪以及的取值范圍，屬基礎(chǔ)題.6.在中，“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件，必要條件的定義即可求出．【詳解】當(dāng)時，即，∴，即，所以為直角三角形；當(dāng)為直角三角形時，直角不肯定是角，當(dāng)直角不是角時，；所以“”是“為直角三角形”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，以及向量數(shù)量積的定義的理解，屬于基礎(chǔ)題．7.已知，且滿意，則的最小值為（）A4 B.2 C.16 D.8【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可得，即，變形可得，進(jìn)而可得，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，已知，且滿意，則有，則，變形可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，留意分析、的關(guān)系，屬于中檔題．8.定點(diǎn)，動點(diǎn)Q在圓上，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則動點(diǎn)M的軌跡是（）A.圓 B.直線 C.雙曲線 D.橢圓【答案】D【解析】【分析】依據(jù)中垂線的定義可知，，再依據(jù)，即可依據(jù)橢圓的定義可知動點(diǎn)M的軌跡是橢圓．【詳解】如圖所示：因為，所以，因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為，焦距為的橢圓．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用橢圓的定義求軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．9.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)M既在雙曲線上，又在拋物線上，設(shè)的左、右焦點(diǎn)分別為、，若的焦點(diǎn)為，且是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)的左、右焦點(diǎn)分別為、，的焦點(diǎn)為，得到拋物線的準(zhǔn)線方程，為：，過M作MA垂直準(zhǔn)線，利用拋物線的定義得到，則四邊形是正方形，從而是等腰直角三角形，然后再利用雙曲線的定義結(jié)合離心率公式求解.【詳解】因為的左、右焦點(diǎn)分別為、，的焦點(diǎn)為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，又因為是以為底邊的等腰三角形，過M作MA垂直準(zhǔn)線，如圖所示：則，所以四邊形是正方形，則是等腰直角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)以及平面幾何的學(xué)問，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實力，屬于中檔題.10.已知函數(shù)，，若有且只有兩個不等的實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)選項特點(diǎn)運(yùn)用解除法，分進(jìn)行探討，然后簡潔計算以及推斷可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，則所以無解，故，解除當(dāng)時，，令則則，不符合題意，故，解除D故選：B【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個數(shù)求解參數(shù)，對于選填，可以運(yùn)用解除法、特別值法等小技巧，使困難問題簡潔化，達(dá)到解決問題的目的，屬中檔題.11.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________；漸近線方程是___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程可知，，再結(jié)合雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)即可求出．【詳解】依據(jù)雙曲線的方程可知，，因為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程是．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)向量，，則的坐標(biāo)為________，=____________【答案】(1).(2).5【解析】【分析】依據(jù)向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算可得，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得.【詳解】向量，，則由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，故答案為：；5【點(diǎn)睛】本題考查了平面對量坐標(biāo)加法運(yùn)算，平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.13.如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體中，E、F分別為、的中點(diǎn)，則異面直線、所成角的大小為_______；平面與平面所成銳二面角的余弦值為__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得的坐標(biāo)，利用空間向量的線線角公式求解；求得平面的一個法向量，易知平面一個法向量為：，由求解.【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間之間坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)異面直線、所成角的大小為，所以，因為，所以.又，設(shè)平面的一個法向量為：，則，即，令，則，平面一個法向量為：，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.故答案為：①；②【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量法求異面直線所成的角和二面角問題，還考查了運(yùn)算求解的實力，屬于中檔題.14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________，表面積是________．【答案】(1).5(2).15+．【解析】由三視圖還原可知，原圖形是一個長方體左右兩邊各切去了一個角，所以體積為15.數(shù)列且，若為數(shù)列的前項和，則_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)通項公式為分段函數(shù)的特點(diǎn)，將前2024項的和分組，分別計算奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，其中奇數(shù)項可采納裂項相消法求和，偶數(shù)項利用周期求和即可.【詳解】數(shù)列且，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，所以：，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和中的裂項相消法，分組法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實力和轉(zhuǎn)化實力，屬于中檔題．16.已知點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是1，則k的值為__________.【答案】【解析】【分析】先求圓的半徑，四邊形的最小面積是1，轉(zhuǎn)化為三角形的面積是，求出切線長，再求的距離也就是圓心到直線的距離，可解的值．【詳解】解：圓的圓心，半徑是，由圓的性質(zhì)知：，四邊形的最小面積是1，是切線長）圓心到直線的距離就是的最小值，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式等學(xué)問，屬于中檔題．17.不等式對隨意的是恒成立的，則實數(shù)a取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用肯定值不等式可化，整理即可得出結(jié)果.【詳解】不等式可化為：對隨意的恒成立，，，故，解得：或.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查肯定值不等式.屬于較易題.18.已知直線，直線.（1）若，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)兩直線垂直的等價條件列式求解即可；（2）依據(jù)兩直線平行，分類探討斜率不存在和斜率存在且相等的狀況，檢驗即可求出．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴或．（2）當(dāng)時，，，∴；當(dāng)時，由解得：，此時，，，即，兩直線不重合．綜上得：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查依據(jù)兩直線垂直和平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，在梯形ABCD中，，，，矩形ACFE中，，.（1）求證：平面ACFE；（2）求直線BD與平面BEF所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）在梯形中，通過計算得出，由勾股定理逆定理得，從而證線面平行；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．【詳解】證明：（1）在梯形中，，，∴四邊形是等腰梯形，∴，，∴，∴又∵矩形中，，又有，，∴，又∵∴平面，（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系：，，，，.所以，，設(shè)平面的法向量為，所以∴，令，則，，∴，，，∴直線與平面所成角的正弦值是．【點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直，考查用空間向量法求直線與平面所成的角．駕馭線面垂直的判定定理是解題基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為計算問題．屬于中檔題.20.若是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，，，成等比數(shù)列.（1）求等比數(shù)列，，的公比；（2）若，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對全部都成立的最小正整數(shù)m.【答案】（1）4；（2）；（3）30.【解析】【分析】（1）利用數(shù)列為等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．可求出首項與公差的關(guān)系，即可求得公比；（2）由，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求的通項公式；（3）利用裂項法求數(shù)列的前項和，確定，從而可得不等式，即可求得使得對全部都成立的最小正整數(shù)．詳解】解：（1）數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，，成等比數(shù)列，，，公差不等于0，；（2），，又，，，．（3）要使對全部恒成立，，，，的最小值為30．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合，考查數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，正確求和是關(guān)鍵，屬于中檔題．21.拋物線，拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離為3.（1）求拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)Q為拋物線C上的動點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線距離的最小值以及取得最小值時點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)與的面積之和取得最小值時，求直線l的方程.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】分析】（1）利用拋物線的定義可得，即可得出結(jié)果；（2）先求出與直線且與拋物線相切的直線方程，利用平行線間的距離公式求出，即可得出結(jié)果；（3）分直線的斜率存在和不存在兩種狀況推斷，聯(lián)立直線與拋物線的方程消得到關(guān)于的式子，利用韋達(dá)定理，寫出面積，比較取最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線，由于，則，即，即拋物線C的方程為：.（2）設(shè)平行于直線且與拋物線相切的直線為，則，又，則直線與直線的距離，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為：，易得；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，設(shè)，由消去并整理得：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以或，所以，解得：，，所以當(dāng)與的面積之和取得最小值時，直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用定義求拋物線的方程以及利用直線與拋物線的位置關(guān)系解決最值問題.屬于中檔題.22.已知函數(shù)對隨意、且有恒成立，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形.（1）推斷函數(shù)在R上的單調(diào)性、奇偶性，并說明理由；（2）解不等式；（3）已知函數(shù)是，，中的某一個，令，求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，奇函數(shù)，（2），（3）當(dāng)時，函數(shù)在上最小值為，當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為.【解析】【分析】（1）可得隨意、且時，有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，即函數(shù)是奇函數(shù)；（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以不等式，等價于，即可求解；（3）由（1）得，函數(shù)，令，在上，函數(shù)，分探討.【詳解】解：（1）因為函數(shù)對隨意、且有