河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試卷（解析）

高中數(shù)學精編資源~2023學年新鄉(xiāng)市高二期末（下）測試數(shù)學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用共軛復數(shù)的定義結(jié)合復數(shù)的除法可化簡復數(shù).【詳解】因為，則.故選：C.2.設全集，集合，，則（）A B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補運算即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由題意可得,,或，對于A,或，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D錯誤，故選：B3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除B，C，求函數(shù)的零點，再取特殊點排除D可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除B，C；令，可得，所以或，所以或，，當時，，排除D；故選：A.4.某高校現(xiàn)有400名教師，他們的學歷情況如圖所示，由于該高校今年學生人數(shù)急劇增長，所以今年計劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹活動，樹苗共1500棵，若樹苗均按學歷的比例進行分配，則該高校本科生教師共分得樹苗的棵數(shù)為（）A.100 B.120C.200 D.240【答案】B【解析】【分析】設招聘名碩士生，然后根據(jù)題意結(jié)合扇形統(tǒng)計圖列方程可求出的值，再根據(jù)比例可求得結(jié)果.【詳解】設招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹苗棵．故選：B5.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)可得，，，即可得答案.【詳解】因為，，，所以．故選：C.6.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】若，，則，而，所以“”推不出“”；若，又，則，所以，即“”可以推出“”．所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B7.在長方體中，底面為正方形，平面，E為的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C.平面 D.平面平面【答案】D【解析】【分析】由條件，結(jié)合線面垂直定義判斷A，連接，設，證明，由線面垂直定義證明，由此判斷B，由線面平行判定定理證明平面，判斷C，建立空間直角坐標系，求平面，平面的法向量，判斷兩向量是否存在，判斷D.【詳解】因為平面，平面，所以，A正確；連接，設，則為的中點，因為平面，平面，所以，又為中點，為的中點，所以，所以，B正確；因為，又平面，平面，所以//平面，C正確；由已知兩兩垂直，以為原點，為的正方向，建立空間直角坐標系，設，因為底面為正方形，所以，由長方體性質(zhì)可得四邊形為矩形，又，所以四邊形為正方形，故，所以，所以，因為平面，所以為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，所以，取，則，所以為平面的一個法向量，因為，所以向量不垂直，所以平面，平面不垂直，D錯誤；故選：D.8.弘揚國學經(jīng)典，傳承中華文化，國學乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國學經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準備學習“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進行學習且每天學習一種，每天學習的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學習，《周易》不能安排在第一天學習，則不同安排的方式有（）A.32種 B.48種C.56種 D.68種【答案】D【解析】【分析】利用排列組合分別討論不排《周易》，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個，三種情況，再利用分類加法計數(shù)原理將所有情況相加即可.【詳解】①若《周易》不排，先將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個，先在《詩經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線：與圓：相交于，兩點，則（）A.圓心到直線的距離為1 B.圓心到直線的距離為2C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離公式計算可知A錯誤，B正確；利用幾何法求出弦長可知C錯誤，D正確．【詳解】因為圓心到直線的距離，所以A錯誤，B正確．因為，所以C錯誤，D正確．故選：BD10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的極值點為C.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由正弦函數(shù)的最小正周期的計算公式可判斷A；對求導，令可判斷B；由三角函數(shù)的平移變換可判斷C；由，求出或可判斷D.【詳解】的最小正周期為，所以A錯誤；由，得，由三角函數(shù)的性質(zhì)可驗證的極值點為，所以B正確；將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，所以C正確；若，則，所以，則或，則或，所以D錯誤．故選：BC.11.已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為，為上一點，下列說法正確的是（）A.的離心率為B.的最小值為C.若，為的左、右頂點，與，不重合，則直線，的斜率之積為D.設的左焦點為，若的面積為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意列關于的等式，從而可得雙曲線的方程，計算離心率，的最小值，結(jié)合動點滿足的方程，列式計算，在焦點三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計算出.【詳解】由已知可得，，所以，則的方程為，離心率為，A正確；因為的最小值為，所以B錯誤；設，則，，，所以C正確；設，由可得，得，則，所以D正確．故選：ACD12.若關于x的不等式對任意恒成立，則整數(shù)m的取值可能為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】AB【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，進而將問題轉(zhuǎn)為，即可由一元二次不等式求解.【詳解】令，則，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又，所以當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以當時，取極小值也是最小值，故，對于不等式對任意恒成立，則，所以，故整數(shù)m的取值可能為0，1，2，故選：AB【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3.根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示列方程求，可得結(jié)論.【詳解】因為，，，所以，所以，所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】##【解析】【分析】利用誘導公式和二倍角公式由條件求值.【詳解】因為，又，所以.故答案為：.15.如圖，某圓柱與圓錐共底等高，圓柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，則圓柱母線與圓錐母線所成角的正切值為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖為正方形得出，然后根據(jù)題意找到圓柱母線與圓錐母線所成的角即可求得.【詳解】因為圓柱母線與圓錐旋轉(zhuǎn)軸平行，所以圓柱母線與圓錐母線所成角的大小等于．因為圓柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，所以，所以．故答案為：.16.已知拋物線上存在兩點（異于坐標原點），使得，直線AB與x軸交于M點，將直線AB繞著M點逆時針旋轉(zhuǎn)與該拋物線交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為________．【答案】【解析】【分析】設直線的方程為，聯(lián)立方程組，由條件證明，由此可得，再求，求四邊形ACBD面積的解析式，求其最小值即可.【詳解】由已知直線的斜率存在，且不為，故可設直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，設，則，所以因為，所以，所以，所以，又異于坐標原點，所以，所以，所以，所以直線的方程為，且所以直線與軸的交點為，所以點的坐標為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，設，則，所以，由已知，所以四邊形ACBD面積，設，則，，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，此時，設，可得，，所以當時，即時，取最小值，最小值為，所以四邊形ACBD面積的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，若，求m的最大值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解首項和公差，（2）根據(jù)裂項求和求解，即可解不等式求解.【小問1詳解】設公差和首項為，由，得，解得，所以【小問2詳解】，因此，故，則，解得，故的最大值為818.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量，，且．（1）求角C的大?。唬?）若，，D為邊BC上一點，且，若，的面積分別為，，求的值．【答案】（1）；（2）的值為或1．【解析】【分析】（1）由條件，根據(jù)向量垂直的坐標表示可得的關系，再結(jié)合余弦定理求角C的大??；（2）根據(jù)，得到進而得到，，然后由正弦定理求得a，再利用余弦定理和三角形面積公式求解.【小問1詳解】因為，，，所以，所以，所以，又，所以；【小問2詳解】因為，，所以，所以，，，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得：，即，故，所以或，當時，，，當時，，，所以的值為或1．19.投壺是中國古代士大夫宴飲時做的一種投擲游戲，也是一種禮儀，在戰(zhàn)國時期較為盛行，尤其是在唐朝，得到了發(fā)揚光大．投壺是把箭向壺里投，投中多的為勝．某校開展“健康體育節(jié)”活動，其間甲、乙兩人輪流進行定點投壺比賽（每人各投一次為一輪，且不受先后順序影響），在相同的條件下，甲、乙兩人每輪在同一位置，每人投一次．若兩人有一人投中，投中者得分，未投中者得分；若兩人都投中，兩人均得分；若兩人都未投中，兩人均得分．設甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，且各次投壺互不影響．（1）用表示經(jīng)過第輪投壺累計得分后甲得分等于乙得分的概率，求與；（2）經(jīng)過輪投壺，記甲、乙的得分之和為，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1），（2）分布列答案見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式結(jié)合互斥事件的概率加法公式可求得、的值；（2）分析可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【小問1詳解】解：由題意可知，，.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，.20.如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，為等邊三角形．（1）若，證明：．（2）在（1）條件下，若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可得答案；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，結(jié)合夾角的求解公式，可得答案.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，．因為為等邊三角形，所以．又，，平面，所以平面，因為平面，所以，即是線段的中垂線，所以．【小問2詳解】由（1）知，又，所以，且平面．以為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，．在中，，，由余弦定理易得∠POC為120°，所以點的坐標為，所以，，．設是平面的法向量，可得令，得．設是平面的法向量，可得令，得．設平面與平面所成二面角為，則．21.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，且橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程．（2）設、是橢圓上關于軸對稱的不同兩點，在橢圓上，且點異于、兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出橢圓上任意一點到其焦點距離的最大值，結(jié)合離心率可得出、的值，進而求出的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設點，，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出，同理可得出的另外一個表達式，利用等量關系可得出關于、的等式，討論、兩種情形，可求出的定值.【小問1詳解】解：設點為橢圓上任意一點，其中，易知點，，所以，橢圓上的點到焦點的距