江西省吉安市青原區(qū)2024-2025學年九年級上學期第一次月考數學試題

江西省吉安市青原區(qū)2024-2025學年九年級上學期第一次月考數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列方程一定是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．如圖，點F時平行四邊形的邊上一點，直線交的延長線與點E，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形是正方形，已知點的坐標為，則點C的坐標為（

）

A． B． C． D．4．把半徑為的球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OA＝，則點C的坐標為（）A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）6．如圖，已知二次函數，它與軸交于、，且、位于原點兩側，與的正半軸交于，頂點在軸右側的直線：上，則下列說法：①

②

③

④其中正確的結論有（

）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題7．關于x的一元二次方程的一個根是2，則a的值為．8．如圖所示，在寬為米、長為米的矩形地面上，修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為平方米，則道路的寬為米．9．已知、是方程的兩根，則．10．若，則．11．如圖，在正方形中，是上的一點，且，若點在正方形的邊上，當為等腰三角形時，則的長為．

12．如圖，點是等邊三角形內一點，，．將繞點按順時針方向旋轉得到，連接．為度時，是等腰三角形．三、解答題13．解方程．(1)3x2﹣1＝4x；(2)（x＋4）2＝5（x＋4）．14．關于x的一元二次方程(1)求證：方程總有兩個實數根．(2)若方程的一個根為1，求方程的另一個根．15．如圖，的對角線相交于點O，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，四邊形的面積是，求的長．16．如圖，在邊長為1的正方形網格紙中，以O為圓心，為半徑作圓，點O、A、B均在格點上．僅用無刻度直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：(1)在圖①中，作的中點M；(2)在圖②中，作，使得．17．如圖1，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形．（1）設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的代數式表示S1和S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式．18．如圖，中，，點在邊上，過點且分別與邊、相交于、兩點，，點為垂足．(1)求證：直線是的切線；(2)當是等邊三角形，且直線與相切時，直接寫出長度為線段長度2倍的所有線段．19．已知關于x的方程有兩個實數根，．(1)若，是矩形的兩條對角線的長，求a的值；(2)當時，，是菱形的兩條對角線的長，求菱形的周長．20．某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，標價為3000元．(1)若商場連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率．(2)市場調研表明：當每臺售價為2900元時，平均每天能售出8臺，當每臺售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，若商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，則每臺冰箱的定價應為多少元？21．綜合與探究：如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程式“鄰根方程”．例如：一元二次方程的兩個根是，，則方程是“鄰根方程”．(1)通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①；②(2)已知關于的一元二次方程（是常數）是“鄰根方程”，求的值；(3)若關于的一元二次方程（是常數，且）是“鄰根方程”，令，求當為何值時，有最大值．22．將繞點按逆時針方向旋轉度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，得，如圖①所示，，我們將這種變換記為．

(1)如圖①，對作變換得到，則_________；直線與直線所夾的銳角為_________度；(2)如圖②，中，，對作變換得到，使點B、C、在同一直線上，連接且，求和的值；(3)如圖③，中，，對作變換得到，便點在同一直線上，且，求和的值．23．（1）如圖1，在正方形中，為對角線上一點，連接．圖中的全等三角形有________（寫出一對即可，不必證明）．（2）如圖2，為延長線上一點，且交于點．判斷的形狀．并說明理由．（3）如圖3，過點作交的延長線于點．①求證：．②若，請直接寫出的長．

參考答案：1．C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，理解定義：“含有個未知數，并且未知數的最高次數是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化為（）的整式方程是一元二次程．”是解題的關鍵．【詳解】A.方程的左邊是分式，不符合定義，結論錯誤，故不符合題意；B.方程含有兩個未知數，不符合定義，結論錯誤，故不符合題意；C.符合定義，結論正確，故符合題意；D.有可能，不符合定義，結論錯誤，故不符合題意；故選：C．2．C【分析】根據平行四邊形的性質得到，進而證明，，根據相似三角形的性質即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∴，，故A、B不符合題意，C符合題意；∴，∴，即，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，證明，是解題的關鍵．3．A【分析】作軸于點，軸于點，由，得，由正方形的性質得，，所以，即可證明，得，，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：作軸于點，軸于點，則，

，，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，，故選：A．【點睛】此題重點考查圖形與坐標、正方形的性質、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．4．D【分析】本題考查垂徑定理，涉及到圓的基本性質，勾股定理等知識，掌握求弦長通常運用垂徑定理構造直角三角形的方法是解題的關鍵．設球心為，過作交于，交于，連接，結合題意可解得，，根據勾股定理求得，最后由垂徑定理求得結果．【詳解】解：如圖，設球心為，過作交于，交于，連接，由題意可知是矩形，，，，，，，，，，故選：D．5．B【分析】作CD⊥x軸，根據菱形的性質得到OC=OA=，在Rt△OCD中，根據勾股定理求出OD的值，即可得到C點的坐標．【詳解】：作CD⊥x軸于點D，則∠CDO=90°，∵四邊形OABC是菱形，OA=，∴OC=OA=，又∵∠AOC=45°，∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，∴∠DOC=∠OCD，∴CD=OD，在Rt△OCD中，OC=，CD2+OD2=OC2，∴2OD2=OC2=2，∴OD2=1，∴OD=CD=1（負值舍去），則點C的坐標為（1，1），故選：B．【點睛】此題考查了菱形的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理，根據勾股定理和等腰直角三角形的性質求出OD=CD=1是解決問題的關鍵．6．C【分析】先由拋物線解析式得到a=-1＜0，利用拋物線的對稱軸得到b>0，易得c>0，于是可對①進行判斷；由頂點D在y軸右側的直線l：y=4上可得b的范圍，從而可判斷②是否正確；由a=-1及頂點D在y軸右側的直線l：y=4上，可得拋物線與x軸兩交點之間的距離AB為定值，即可求得AB的長度及S△ABD的大?。驹斀狻拷猓骸逜，B兩點位于y軸兩側，且對稱軸在y軸的右側，∴，∵，則b＞0，函數圖像交y軸于C點，則c>0，∴bc>0，即①錯誤；又∵頂點坐標為（），即（）∴=4，即又∵=，即∴AB=4即③正確；又∵A，B兩點位于y軸兩側，且對稱軸在y軸的右側∴＜2，即b＜4∴0＜b＜4，故②正確；∵頂點的縱坐標為4，即△ABD的高為4∴△ABD的面積=，故④正確；故答案為C.【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象與系數的關系，明確二次函數的相關性質是解題的關鍵，本題具有一定的靈活性與難度．7．5【分析】根據一元二次方程根的定義把代入中得到關于a的方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：把代入中得，解得．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知的值是解題的關鍵．8．【分析】將豎直方向的道路平移到矩形地面的右側，將水平方向的道路平移至矩形的下方，從而得到空白部分為矩形，得出矩形的長和寬，運用面積公式得出一元二次方程，求解即可．【詳解】解：將豎直方向的道路平移到矩形地面的右側，將水平方向的道路平移至矩形的下方，設道路的寬為米，草坪的長為米，草坪的寬為米，則，解得：，（舍），故道路的寬為米，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意，運用平移的方式將原圖形進行轉化是解本題的關鍵．9．6【分析】根據根與系數的關系得到x1+x2=2，x1x2=-1，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算出值即可．【詳解】解：∵、是方程的兩根，∴x1+x2=2，x1x2=-1，所以，=．故答案為：6．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1x2=．10．34【分析】本題考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代數式的值，先整理得，則把代入，即可作答．【詳解】解：∵∴∴方程兩邊同時除以得∴則故答案為：11．或2或【分析】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握正方形的性質．分三種情況畫圖，①當點在AD邊上時，②當點在CD邊上時，③當點在邊上時，根據勾股定理和等腰三角形的性質分別求出的長即可．【詳解】解：分三種情況畫圖，如圖所示：

在正方形中，，，，①當點在AD邊上時，，，②當點在CD邊上時，過點作于點，則四邊形是矩形，，，，③當點在邊上時，．綜上所述，的長為或2或，故答案為：或2或．12．110、140或125【分析】由旋轉知：是等邊三角形，故可表示出，，然后分三類分別解方程即可．【詳解】解：∵將繞點C按順時針方向旋轉得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，，當時，，解得，當時，，解得，當時，，解得，綜上：或或．故答案為：110、140或125．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質和三角形內角和定理等知識，表示出，，運用分類思想是解題的關鍵．13．(1)(2)x1=-4，x2=1【分析】（1）先計算判別式的值，然后利用公式法解方程；（2）先移項得到（x+4）2-5（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程．【詳解】（1）解：3x2-4x-1=0，∵a=3，b=-4，c=-1，∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=16+12=28＞0．∴，∴（2）解：（x+4）2=5（x+4），（x+4）2-5（x+4）=0，（x+4）（x+4-5）=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法．14．(1)證明見解析(2)m=3，另一根為2【分析】（1）根據方程表示出根的判別式，判斷根的判別式大于等于0即可得證；（2）把x=1代入方程求出m的值，進而確定出方程，求出另一根即可．【詳解】（1）證明：∵，∴方程總有兩個實數根（2）解：把x=1代入方程得：1-m+2m-4=0解得：m=3，把m=3代入得：，解得：，所以另一根為x=2．【點睛】本題考查了根的判別式以及方程的解，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關系是解答本題的關鍵．15．(1)見解析(2)的長為【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及勾股定理，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．（1）先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結論；（2）連接，交于，由菱形的性質得，，，再由菱形的面積求出及長，然后由勾股定理得出，即可得出結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形；（2）解：如圖，連接，交于，

四邊形是菱形，，，，，，，，，，即的長為．16．(1)圖見解析(2)圖見解析【分析】（1）連接，過點、格點作直線交于點，點即為所求點；（2）在網格上找到點，連接，并延長交于點，則，即為所求，設點下方的格點為，點上方的格點為，連接、、，與交于點，與交于點，再根據“邊角邊”，得出，進而得出，再根據直角三角形兩銳角互余，得出，，再根據對頂角相等，得出，進而得出，再根據垂線的定義，得出，再根據垂徑定理，即可得出．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求點；（2）解：如圖，在網格上找到點，連接，并延長交于點，則，即為所求．如圖，設點下方的格點為，點上方的格點為，連接、、，與交于點，與交于點，∵，又∵，，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，涉及垂徑定理、全等三角形的判定與性質、網格的特點，解本題的關鍵在正確畫出符合題意的圖形．17．解：（1）.（2）.【詳解】解：（1）∵大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，∴．S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；（2）根據題意得：（a+b）（a-b）=．18．(1)見解析(2)長度為線段長度2倍的所有線段有：，，，．【分析】（1）利用等腰三角形的性質，同圓的半徑相等，平行線的判定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；（2）連接，利用圓周角定理和含角的直角三角形的性質，得到；再利用圓的切線的性質定理，等邊三角形的性質和直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質解答即可得出結論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，．，，，．，，為的半徑，直線是的切線；（2）解：連接，如圖，為的直徑，，是等邊三角形，，，．，，．直線與相切，，，，為等邊三角形，．在和中，，，．同理：，．．由題意：，，，長度為線段長度2倍的所有線段有：，，，．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，圓的有關性質，圓的切線的判定，圓周角定理，全等三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．19．(1)(2)20【分析】本題考查矩形的性質、菱形的性質、一元二次方程根與系數關系、解一元二次方程、勾股定理，熟練掌握矩形和菱形的性質、根據矩形的對角線相等得到（1）中是解答的關鍵．（1）根據一元二次方程根與系數關系得到，，根據矩形的兩條對角線相等得到，進而列方程求解即可；（2）先解出方程的解，進而利用菱形的性質和勾股定理求解即可【詳解】（1）解：∵方程有兩個實數根，，∴，，∵，是矩形的兩條對角線的長，∴，則，解得；（2）解：當時，方程為，解得，，∵，是菱形的兩條對角線的長，∴菱形的邊長，∴菱形的周長為．20．(1)(2)2750元【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用：（1）設每次降價的百分率為x，根據兩次降價后售價由3000元變?yōu)?430元列出方程求解即可；（2）假設下調a個50元，則每臺的利潤為元，銷售量為臺，再根據總利潤為5000元列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為x，依題意得：，解得或（舍去）答：每次降價的百分率是；（2）解：假設下調a個50元，依題意得，解得，∴下調150元，∴定價為2750元，答：每臺冰箱的定價應為2750元．21．(1)①過程見解析，不是“鄰根方程”；②過程見解析，是“鄰根方程”(2)或(3)當時，t有最大值【分析】（1）先解一元二次方程求出方程的兩根，然后根據“鄰根方程”的定義判斷即可；（2）設方程的較小的一根為，則另一根為，根據根與系數的關系得到，進而得到，解方程即可；（3）同（2）求出，進而得到或，，據此求解即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，∴或，解得，，∴方程不是“鄰根方程”；②∵，∴，∴或解得，，∴方程是“鄰根方程”；（2）解：設方程的較小的一根為，則另一根為，∴，∴，∴，解得或；（3）解：設方程的較小的一根為，則另一根為，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∵，∴，∴當時，t有最大值．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，根與系數的關系，二次函數的性質，正確理解題意是解題的關鍵．22．(1)；；(2)，(3)，【分析】（1）根據變換可得△ABC∽，，，，再根據相似三角形的性質，即可求解；（2）先證