數(shù)列求和（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題30數(shù)列求和5題型分類

彩題如工總

彩和酒寶庫

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求和.

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

n(ai+an)n(n-l)

Sn=2?2d.

⑵等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

幾〃1，4=1,

Sn=\。1一41(1—q")

qWl

、\~q~\~q

2.分組求和法與并項(xiàng)求和法

(1)分組求和法

若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后

相加減.

(2)并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前”項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如斯=(-1)7(”)類型，可采用兩項(xiàng)合并

求解.

3.錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即

可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.

4.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

常見的裂項(xiàng)技巧

⑴〃(幾+1)nn+r

⑷5+扁?

1

11

2-

n(n~\~1)(n+l)(n+2)

【常用結(jié)論

常用求和公式

..................71(71+1)

(D1+2+3+4H------Vn=2.

(2)l+3+5+7H------l-(2w-l)=n2.

(3)12+22+32+…+4加+1y+1).

(4)l3+23+33H-----\-n3="'JD2.

分組求和

(1)若數(shù)列｛金｝的通項(xiàng)公式為金=斯士為，且｛斯｝,｛為｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列｛金｝的前

〃項(xiàng)和.

[an,及為奇數(shù)，

(2)若數(shù)列｛金｝的通項(xiàng)公式為金=,由上，其中數(shù)列｛斯｝，｛為｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組

[bn,〃為偶數(shù)，

求和法求｛｝的前n項(xiàng)和.

題型1:分組求和

1-1.（2024?吉林通化?模擬預(yù)測(cè)）S"為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，已知65"=%+3見-4,且a“>0.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為；

2345678910

（2）數(shù)列｛2｝依次為：^,3,?2,3,3,^,3,3,3,?4,3,3,3,3,規(guī)律是在《和知+1中間插入左（左eN*）項(xiàng)，

所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列也,｝的前100項(xiàng)的和.

【答案】⑴4=3"+1

3^+569

（）-2-

【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；

（2）先確定數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)中含有｛%｝的前13項(xiàng)，含有｛3"｝中的前87項(xiàng)，再利用分組求和的方法即

可求解.

【詳解】（1）當(dāng)"=1時(shí)，6s1=6%=a；+3q-4,解得q=4（q=T舍去），

由65.=d+3a“-4得”22時(shí)，6S?_,=（%T）?+3<7??,-4,

兩式相減得6%=a；-?■_1+3a“+%_I）（%-a,--3）=0,

因?yàn)椤?gt;0,所以a“一（Vi=3,

所以｛4｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4,公差為3,

所以aa=4+3（"-1）=3"+1：

（2）由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<100,

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104

因此數(shù)列｛4｝的前100項(xiàng)中含有｛%｝的前13項(xiàng)，含有｛31中的前87項(xiàng)，

所求和為5=4x13+受任x3+生二^=里丑"

21-32

1-2.（2024高二上?全國?課后作業(yè)）在數(shù)列｛%｝中，已知。用+%=3-2",4=1.

⑴求證：｛4-2"｝是等比數(shù)列.

⑵求數(shù)列｛4｝的前力項(xiàng)和S“.

【答案】(1)證明詳見解析

(2)5=2叫(_1)-5

〃2

【分析】(1)通過湊配法證得｛氏-21是等比數(shù)列.

(2)利用分組求和法求得S,,.

【詳解】(1)由=得4+「2向+4=3-2"_2間=2",

即%「2用=-(%-2"),

所以｛為-2"｝是首項(xiàng)為ai-2'=-l,公比為-1的等比數(shù)列.

(2)由(1)得4一2"=(-1*(-1廣=(-1)"q=2"+(-1)”.

所以S“=2+2?++2"+(-1)1+(-1)2++(-1)"

2(1-2")[-[1-(-1)"]

2向_2+(-1)“-1=2e+(-1)“一5

1-21-(-1)

1-3.(2024高三上.廣東深圳?階段練習(xí))已知數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足弓=1,2Sn=na?+1,?eN*.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足4=1，4=2,4+2=2%/eN*,按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列匕｝：

火加2,%力4，。5力6，%,區(qū),,求數(shù)列｛%｝的刖2〃項(xiàng)和.

【答案】⑴

(2)2同+〃2-2

【分析】

(1)根據(jù)S“a”的關(guān)系即可得遞推關(guān)系進(jìn)而可求解,

n+1n

(2)根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，由。1=1且2S“=〃凡+1得%=2

當(dāng)時(shí),由2s,1=（"-1）見得2%=也”+「（〃-1）%,所以&=幺（〃22）.

所以&=3=1,故%=〃（心2）,

n2

又當(dāng)〃=1時(shí)，囚=1,適合上式.

所以4=〃.〃￡N*

be*

（2）因?yàn)閍=2,廿=2（〃eN）,

一b?

所以數(shù)列｛2｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2=2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列.

故數(shù)列｛ca｝的前2〃項(xiàng)的和=（q+/++%,-1）+（。2+,4++邑），

+君――

所以數(shù)列｛，｝的前2w項(xiàng)和為2向+〃2一2.

21

1-4.（2024高三上?貴州貴陽?期末）已知數(shù)列｛%｝和也,｝滿足：4=1,4=2,an+l=-an+-bn,

21

%=耳2+§”"，其中〃eN*.

（1）求證：a.+i-a“=，;

⑵求數(shù)列｛%｝的前,項(xiàng)和S”.

【答案】（1）證明見解析

⑵S,=?1+1

4.3"-1

【分析】（1）由已知條件可推導(dǎo)出數(shù)列｛%+2｝為常數(shù)列，數(shù)歹以凡-2｝為等比數(shù)列，求出這兩個(gè)數(shù)列的通

項(xiàng)公式，可求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，即可證得%M成立；

（2）由（1）可得出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得S“.

2121

【詳解】（1）證明：因?yàn)閍向=§/+§么①，②，

aba+b

①+②可得n+i+?+i=??>且q+4=3,

所以，數(shù)列｛%+￡｝為常數(shù)列，且%+2=3③,

①-②可得4+i-2+1=g（a"一"），且q-仿=-1,

所以，數(shù)列｛?！耙?｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為-1,公比為，

n—1

所以，an一勿=一I④,

③+④可得2。“=3-

所以，a-a=

n+lnTGI5⑸

31n-l

（2）解：由（1）可知,

2

2n-\

3If1311311311

貝2+++?-+

223223223223

1

n-l1--

3n3n23n3n31

---------1---------.

2..B)224

3

題型2:并項(xiàng)求和

2-1.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足a“=2#；-l.

（1）求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

⑵若bn=ancos等,求數(shù)列伊“｝的前3”+1項(xiàng)和T3n+l.

【答案】（1）?！?2〃-1

⑵4,+i=-'

【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得（見+的乂4一2）=0,由為+”“_|片?？傻?。“-”“_1=2,再利用等

差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

（2）根據(jù)cos等的周期性，利用分組求和的方法即可求解.

【詳解】（1）%=2反一1=（%+1）2=4邑,

當(dāng)2時(shí)，（％—+1）2=4SM，兩式子作差可得

4~$—i+261n-2aM=4%nd——2m+%_]）=。n（q+）（％一%與一2）二。

又％+%w0,所以4-。1-2=0=>4-%=2,

可得數(shù)列｛?！埃秊楣顬?的等差數(shù)列,

—

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=—1=>ax—2y1^+1=0=>1j=0=>〃]=l,

所以，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=Oi+（〃T）d=2〃—1.

2〃7T2〃JU

（2）bn=a“cos^-=（2〃_l）cos^-，B〃+i=b{+b2+b3++b3n_2+b3n_x+b3n+b3n+l,

&+i=1x+3xI+5x1++（6n-5）x+（6〃-3）x+（6n-l）xl

+（6n+l）xI

〃（1+6〃-5）幾（3+6〃-3）幾（5+6〃-1）

xl+（6〃+l）x

2I22I

3〃23》11

--------Fn--------F3n+2幾一3〃----=——

2222

所以，數(shù)歹U｛2｝的前3”+1項(xiàng)和與角=一；

22（2024?河南?三模）在等比數(shù)列何｝中，%=網(wǎng)，且;。2，%-4,%T2成等差數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)優(yōu)=（-1）"1嗎見，數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為小求滿足圜=20的左的值.

【答案】（1）%=2""；

（2）40或37.

【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出公比及首項(xiàng)作答.

（2）由⑴的結(jié)論求出￡,再分奇偶求和作答.

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公比為q,由%=8%,得。應(yīng)3=8%,解得夕=2,

。3-4,4-12成等差數(shù)列，得2（〃3-4）=<%+。4一12,即2（4q-4）=q+8q—12,解得%=4,

由2%,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是4=4x2"—=2用.

212

(2)由(1)知，6“=(-l)"log2%=(-L)"(〃+l),b2n_x+b2n=(-I)-.2?+(-l)"(2n+l)=1,

當(dāng)％為偶數(shù)時(shí)，Tk=(Jyx+b2)+(Jbi+b^++(4_]+4)='|,令圜=g=20,得％=40；

當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，(=隼「鴛=等一("2)=-審，令圜=與=20,得k=37，

所以左=40或37.

23(2024?江西.模擬預(yù)測(cè))記S“為等差數(shù)列也,｝的前”項(xiàng)和，已知出+%=8,55=25.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記%=(-1)"S”,求數(shù)列｛bn｝的前30項(xiàng)的和T30.

【答案】⑴

(2)465

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式求出生和d,可得通項(xiàng)公式；

(2)先求出再利用并項(xiàng)求和法與等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.

fci,+d+q+2d=8

【詳解】(1)設(shè)公差為d,則;,解得4=1,d=2,

+10fl=25

所以?！?1+(〃T>2=2n-l.

力c一n(l+2n-T)_

(2)S——n2,

2

所以2=(T)"S"=(T)""2,

所以金=-^+22-32+42+-292+302

=(2-l)-(l+2)+(4-3)-(3+4)++(30-29)-(29+30)

=l+2+3+4+,+29+30

30x(1+30)“公

2

2-4.(2024高三?北京海淀?專題練習(xí))已知數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和為Sn,an+l+(-iyan=2〃-1,則縱=

【答案】36

【分析】根據(jù)條件分奇偶項(xiàng)討論得%+2+%=2,計(jì)算求和即可.

【詳解】由題意可得“為奇數(shù)時(shí),an+l-an=2n-1,an+2+an+l=2n+l,

兩式相減得?！?2+4=2；

"為偶數(shù)時(shí)，??+1+an=2n-l,an+2-an+1=2n+l,兩式相加得“會(huì)+%=4〃，

故5g=(q+4+%+%)+(&+%+4+4)=(2+2)+(8+24)=36.

故答案為：36

彩能甄淞籍

(二)

錯(cuò)位相減法求和

(1)如果數(shù)列｛出｝是等差數(shù)列，｛d｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛0力〃｝的前〃項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法.

(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

①在寫出“SJ與"qS/'的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“5〃一

”的表達(dá)式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比g是否等于1,如果q=l,應(yīng)用公式

題型3:錯(cuò)位相減法求和

3-1.(2024?廣東東莞三模)已知數(shù)列｛4｝和也｝,4=2,----=1,an+1=2bn.

"nan

⑴求證數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列的前〃項(xiàng)和人

【答案】(1)證明見解析

2

(2)Tn=n+n-2+^-

【分析】(1)通過題中關(guān)系，可得二--1],進(jìn)而可得數(shù)列[上-4是以-1為首項(xiàng)，公比為白的

?n+i2(%)J22

等比數(shù)列.

(2)由(1)可得bn=2n-,貝IJ7=2〃-下，可利用分組求和與錯(cuò)位相減求和解題.

11.21

【詳解】⑴由。1=2,-------=1,%+[=2或得-------=1,

anan+\an

整理得工-1=[,_],而,-1=一；片0,

。用2gl42

所以數(shù)列],-1，是以-;為首項(xiàng)，公比為g的等比數(shù)列

(2)由(1)知工一1=一，(，],Aan=-

an2{2J2""2"

,12"n2"+1-l-n

,,b=-di,.=——,—=TI---------=2rl,

nn+1

22-lbnXX

、幾012n.1o12n

設(shè)S"=]+級(jí)++F)貝mi仁臬=修+級(jí)++萍'

1

兩式相減得gs〃=g+:+1n2n-1〃+2

+2"~T^~一產(chǎn)-1-2角

n+2

從而y=2—

2n

〃(2+2〃)§2-〃+2

=n+n-2-\-------

2T

3-2.(2024■西藏日喀則?一模)已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q+2a2+3/++nan=(n-1)Sn+2n.

(1)求弓,°2,并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若2=%?log?a,,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和&

【答案】⑴4=2；出=4；an=2"

(2)7；,=2n+1(n-1)+2

【分析】(1)將"=1、"=2代入求49，根據(jù)a”'關(guān)系及遞推式可得S“=2a”-2(〃22),再次由七,3關(guān)

系及等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式；

(2)應(yīng)用錯(cuò)位相減及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求結(jié)果.

【詳解】(1)由題意q+2%+3/++叫,=(〃—1)Sa+2〃①，

當(dāng)〃=1時(shí)q=2；當(dāng)〃=2時(shí)/+2az=S2+4=/+/+4=>g=4；

當(dāng)〃22時(shí)，4+2%+3%++(〃—+2(幾一1)②，

①一②得啊,=(九-1)E,-5-2)S"_1+2=S“+-2)a,+2nSn=2%—2N2),

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2也適合上式，所以S“=2a”-2,所以〃22時(shí)5鵬=2%--2,

兩式相減得%=2%T(〃22),故數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以。"=2”.

(2)由(1)得勿=〃2,.

(=1x21+2x22++(〃—l)2"T+〃2"③，

27；=1X22+2X23+-1)2"+"2向④，

③—④得：_(=2i+22++2"_"2"+I=-^----^—“2向=2向(1-")一2，

1—2

所以7；=2向(〃—1)+2.

3-3.(2024高三上?山東濟(jì)南?期末)設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，且么,=2-2S"；數(shù)列｛(｝為等差數(shù)列，且

a5=14>%=20.

(1)求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式.

⑵若c,=aj6"(”eN*),求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和7；.

2

【答案】⑴2=下

【分析】(1)利用前〃項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系來解.

(2)使用錯(cuò)位相減法解數(shù)列前〃項(xiàng)和.

2

【詳解】⑴當(dāng)“=1時(shí)，仿=2-24，得

當(dāng)"22時(shí)，b?=2-2Sn,%=2-2s,一兩式相減有包一"―=一2⑸一S-)=-22

即地=%.

因?yàn)樨鳵O,所以數(shù)列｛2｝是以［為首項(xiàng)，公比為g的等比數(shù)歹

貝場(chǎng)=2x\『=2.

「⑶3"

所以數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式為a='.

（2）在等差數(shù)列｛%｝中，設(shè)首項(xiàng)為用公差為d,

%=%+4d—14刀/日jq=2

則%=%+64=20解得儲(chǔ)三3

所以4=2+3（〃-1）=3〃-1.

2

則％=。也=（3〃-1）/

：1=22-1+5-^+8-^+...+（3ra-l）-y①

|=22：+5.\+…+（3n-4）.：+（3"l）.擊②

所以①一②得|北=22T+3-1+3-：+…+

即=231+3?:+3-，+…+3?：一:一（3〃-1）?擊］.

解得看=.曜高

3-4.（2024高三下?廣東茂名?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足%=2a,T+2'-l（〃22）且q=5

（1）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)力,使得數(shù)列，4^41為等差數(shù)列，請(qǐng)求出2的值；

⑵在（1）的條件下，求出數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S”.

【答案】（1）2=-1

⑵S“=〃（2用+1）.

【分析】⑴根據(jù)等差數(shù)列的定義,得出喑-f=l-詈必為與〃無關(guān)的常數(shù),即可求解;

（2）由％=2%+2"-1,且）=5,結(jié)合（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用“乘公比錯(cuò)位相減法”和等差數(shù)

列的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)P符合題意，則4獸-4若4必為與〃無關(guān)的常數(shù).

22

因?yàn)闉?4%+%=冊(cè)―24〃T一-=2〃-］-2二］1+4

、T2"T-T~T~T'

要使4y-^是與〃無關(guān)的常數(shù)，

則黑=°，可得力=-L

故存在實(shí)數(shù)2=-1,使得數(shù)列為等差數(shù)列.

（2）由％=2?！╛］+2〃—1,且4=5,

由（1）知等差數(shù)列［祟1的公差d=l,

所以票="+（"-1）="+1，即。“=5+1>2"+1,

所以S”=%+%+〃3++%

=（2X2+1）+（3X22+1）++［（〃+1）2+1］

=2X2+3X22++（”+1>2"+”

記：［=2x2+3x22++（n+l）-2,!,

有21=2x22+3x23++分2"+（九+1）-2向，

兩式相減,得北=小2向，

故邑=l2油+〃=/（2向+1）.

彩他題秘籍(二)

裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律

(1)裂項(xiàng)原則

一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.

(2)消項(xiàng)規(guī)律

消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).

題型4：裂項(xiàng)相消法求和

24高二下?云南臨滄?期中)設(shè)數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為且S,="6；%),%=I2.

4-1.(20

(1)求。“；

⑵記?！岸?，數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)和為北，求人

nan

【答案】⑴4=2〃+4

*-4(2〃+3

九+1)(〃+2)

【分析】(1)當(dāng)場(chǎng)22時(shí)，利用4=5“一%推出2%=%+%,由等差中項(xiàng)法得｛%｝為等差數(shù)列，根據(jù)%與

%求出公?差，可得通項(xiàng)公式；

居bn=\[-一-二]進(jìn)行裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果?

(2)

⑴由

【詳解】

n2

N6=S]=^^,解得4=6,

當(dāng)〃=1的

丁，S「("1)(6+%-),

當(dāng)〃22日

_n[6+an)(?-1)(6+??_1)

所以4=5-1—cc，

22

整理得：(〃-2)%+6=(〃-1)%1，①

所以有(7i-\)an+x+6=nan,②

①-②可彳-爭2%=%7+%+1，

所以｛凡｝為等差數(shù)列，

6嗎=12,所以公差為告江=2,

因?yàn)?=

所以4,=2〃+4.

,1::11)

(2)，bn

nc1n〃(2〃+4)〃+2廣

『1」1+仕」1+1+仕」1+

\3J(24J(35J(46)(〃n+2)\

If.1__J_____

二一1+-

412n+1n+2J

_32〃+3

一/4(〃+1)5+2).

4-2.(2024?山東德州?三模)已知S"為數(shù)列｛a.｝的前”項(xiàng)和，ax=2,Sn=an+i-3n-2.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為；

2〃1

⑵設(shè)勿=------，記也｝的前〃項(xiàng)和為證明：Tn<~.

aa

n-n+l5

【答案】(D%=5x2i-3

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)數(shù)列遞推式可得51=巴—3(〃-1)-2,(“22),采用兩式相減的方法可得%+|=2%+3,(〃22),從

而構(gòu)造數(shù)列，可求得｛%｝的通項(xiàng)公式；

2"

(2)由(1)的結(jié)論可得勿=------的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.

a?-an+l

【詳解】(1)當(dāng)"=1時(shí)，岳=4=。2-3-2,則%=7,

因?yàn)镾”=??+1-3/7-2,

所以5小=為一3(“一1)—2,(〃之2),

兩式相減得：o?+i=2a.+3,(n>2),

所以q,+i+3=2(%+3),(n>2),

%=2,q+3=5,“2+3=10,則為+3=2(q+3),即〃=1也適合上式，

所以｛%+3｝是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

故：%+3=5x2j

故%=5x2-3；

（2）由（1）得2=---------

（5X2"T-3）（5X2"-3）

211__1_]

5（5X2"T-35x2"-3j

故(=4+4+/+...+2

2f111111)

5(277175x2"-1-35x2"-3)

一2(11]

~5\25x2"-3j，

1211

當(dāng)〃eN*時(shí)，——>0,故(<￡彳=￡.

4-3.(2024高三?全國?專題練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，已知'=/—+；,4=4.

an+l"n乙

⑴求?！?；

⑵若勿=靖-。,，s"為或的前〃項(xiàng)和,證明：12Vs“<15.

【答案】⑴見=懣三

Z—3

(2)證明見解析

【分析】⑴構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列可得工-1=-1化］，計(jì)算可得%.

an4⑵

(2)先根據(jù)(1)得出么,再根據(jù)2=＞。得出一側(cè)邊界，最后放縮后應(yīng)用裂項(xiàng)相消計(jì)算證明即得

111

，a12a1

【詳解】⑴=-------F—n+in5'"〃+151為L

%+12azi2

-1＜)

而，T=-J,,4—=＜，...是公比為J首項(xiàng)為?的等比數(shù)列

442〔凡J24

%4

n—\

1312n+1-3

------X+1=〃

422+i

2〃+i

2〃+i2,+i(2,1+12"+13

⑵冊(cè)-1______x_______

2"i-32"+1-3l2,,+1-32"+1-32用-3'

2"+13

MeN,,2n+1-3>0,.-.&?=______x_____>_0_,.-.S?>S=/7=12,

2向-32"+1-311

〃

2n+132+ix—^—=611

b=——;x——<——n__ni_

2升1—32n+1-32n+1-3T-3232+3

24

「.S2=4+4=12+石<15,

/.nGN*,n>3,

1

---4+----」++

（23-324-324-325-32〃-3

1C24,11=12+空+9=12+色

=12+——+6<15,

2523-3-2n+1-325525

4-4.(2024?寧夏石嘴山,一模)已知S"是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，且邑=2向-2("wN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

,2〃

⑵若"(e)(D’求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和

【答案】(1)4=2",〃eN*

⑵北=1-m匕

【分析】(1)根據(jù)?！芭cS”的關(guān)系求解即可;

(2)利用裂項(xiàng)相消法求解即可.

［詳解］(1)〃=1時(shí)，4=51=22—2=2,

“N2時(shí)見=S“-Si=（2向一2）—（2"-2）=2",

經(jīng)驗(yàn)證n=l時(shí)滿足an,

/.an=2",〃eN*；

b2〃_11

（2）1l）（2〃+i—1廠2〃—12角-1'

.11111111

T=------------1-------------------1---------PH--------------------=14-----------

"2'-l22-l22-l23-l23-l2"-l2"+1-12"+1-l

4-5.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和SR=加+加(a,>eR),且電=3,4=11.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列[詈的前〃項(xiàng)和T,.

[H+iJ

【答案】⑴氏=2〃-1

n2+2n

(2)7；=

5+1)2

【分析】（1）由和與項(xiàng)的關(guān)系求得。，=2的-a+匕，進(jìn)而判斷數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式即可求解；

（2）由⑴求得%=2"+="0+；-1）=",進(jìn)而品=京$=。一消/，最后利用裂項(xiàng)相消

求和法即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，q=Q+b,

當(dāng)2時(shí)，氏=S〃-S〃T=an2+bn-^a（n-V）2+b（＜n-l^=2an-a^-b,

因?yàn)?2?！?〃+”對(duì)n=l也成立.

所以q-=2a〃—a+b-2a（〃一l）+a-6=2a,所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

則公差d=與二生=產(chǎn)=2,

6-24

a〃=3+2（〃—2）=2〃—1,

⑵因?yàn)椤?〃+1.=必”二總

所以=2〃+1=J---------1_

所以S“S,+|"5+1）2"（"+1）2'

…[11）C1）+「11111=r+2”

故3力匕-#p-（^iFr"（w7iFo2w-

彩他題祕(mì)籍

（四）

倒序相加法

將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)

可用倒序相加法（等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）.

題型5:倒序相加法

5-1.(2024.黑龍江哈爾濱.三模)設(shè)函數(shù)/(x)=2+lnF，a[=\,

eN*,”22).則數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和S,=

【答案】n2-n+1

由題設(shè)/(》+/(—)=討論〃的奇偶性求｛凡｝的通項(xiàng)公式，再求

【分析】4,S”.

由題設(shè)，f(―)+/(-~-)=4+ln(n-l)+ln^—=4,

【詳解】

nnn-1

叫T+，2(n-l),n=2k,keN*

所以&=<

—1

4x^—=2(〃-1),〃=2左+1,左￡N

即4=2(〃—1)且〃22,

當(dāng)〃=1時(shí)，5=1,

當(dāng)時(shí)，S〃=l+2+4+…+2(〃-1)=1+/一〃,

所以3〃=幾2-幾+1,nGN*

故答案為：n2—n+1.

2

5-2.(2024高三.全國.課后作業(yè))設(shè)函數(shù)/(%)=鼻，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法，求得

2+1

/(—5)+/(T)++/(0)++/(4)+/(5)的值為.

【答案】11

【分析】注意到/(%)+/(-x)=2,后可用倒序相加法求得答案.

222(2工+2、2)

【詳解】因/⑴+/(_%)=--------1---------=2,

2，+1Tx+\2工+2-'+2

設(shè)S=/(-5)+/(-4)++/(0)++/(4)+/(5),則

2S=/(-5)+〃5)+/(Y)+〃4)++2/(0)++/(4)+/(^)+/(5)+/(-5)=22,故S=1L

故答案為：11

5-3.(2024?廣西玉林?三模)已知函數(shù)/(力=b一=,若函數(shù)Mx)=〃x-4)+x,數(shù)列｛。“｝為等差數(shù)列,

q+出+%+…+G1=44,貝！|“(o1)+/Ma2)H----^“(41)=

【答案】44

【分析】先求得然后利用倒序相加法求得正確答案.

【詳解】由題意，可得/2(x)=f(x-4)+x=e｛T)—ei+x,

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差為d,

貝S“=1=11(4+5d)=11/=44,解得保=4，

則〃(%)=瓜4)=e-(4-4)-e4-4+%=%=4,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得―24=8,

4aiI-4)ail4

則，2(4)+/2(4])=白"'-町-e"「+q+e^-e_+an

14a44a4

=■^77+凱-4-卜"+e")+fl]+?n=-葭+3?+e"^+at+atI=at+an=8,

同理可得，k(a2)+/i(a10)=8,/i(a3)+/i(a9)=8,+=8,+=8,

?二/1(4)+/2(生)~^---n/z(q])=5x8+4=44.

故答案為：44

B

一、單選題

1.（2024高二上?陜西西安?階段練習(xí)）數(shù)列9,99,999,...的前n項(xiàng)和為

A.y（ion-l）+nB.ion-l

C.—（10n-l）D.—（10n-l）-n

99

【答案】D

【詳解】試題分析：數(shù)列各項(xiàng)加1后得到的數(shù)列為10,100,1000,構(gòu)成首項(xiàng)為10,公比為10的等比數(shù)列，

所以通項(xiàng)公式為%=10"-1,S“=故選：D

2.（2024高二下?湖北?階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"

之稱.小學(xué)進(jìn)行1+2+3+L+100的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：1+100=101,2+99=101,50+51=101,

共有50組，所以50x101=5050,這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的方法正是借助了

高斯算法.已知正數(shù)數(shù)列｛見｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且4%>23=1，試根據(jù)以上提示探求：若

則“4）+/（。2）++7（a2023）=（）

A.2023B.4046C.2022D.4044

【答案】B

【分析】

根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由4?。2023=1n?2024-?=1，

2

/444+4xA

+

回函數(shù)+1-1+x2,

1?-￥J-'9"

X

令7=/(q)+/(。2)++/(?2023)>則7=/(%023)+/(?2023)++/(?1).

02T=/(a1)+/(a2O23)+/(cz2)+/(a2O22)++/(a2ffi3)+/(cz1)=4x2023,07=4046.

故選：B

3.(2024高三下,江西?開學(xué)考試)已知數(shù)列^^]的前〃項(xiàng)和為(，若對(duì)任意的“eN*,不等式

[4〃+4〃一3J

67；<3〃一。恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.1一口,+°°)B.(-QO,-1]g'+s]

21(2\八、

C.--,1D.I-x,--l|J(l,+co)

【答案】A

【分析】先利用裂項(xiàng)相消法求得7.，再由對(duì)任意的“eN*,不等式6,<3/一。恒成立求解.

【詳解】解：由后三1O_______

以2〃-12n+3)

則W1

5372n-\2n-l2〃+3

11

2〃+12〃+3

1

<-

3

因?yàn)閷?duì)任意的"N*,不等式67；<3/_。恒成立,

所以6x工43〃2一〃,

3

2

解得或

故選：A

4.（2024?浙江）已知數(shù)列｛%｝滿足卬=1，。用=二號(hào)個(gè)（“€?4*）.記數(shù)列｛4｝的前;1項(xiàng)和為5“，則（）

399

A.—<S100<3B.3<5100<4C.4<S100<—D.—<S100<5

【答案】A

【分析】顯然可知，4。>],利用倒數(shù)法得到二一=，+4==」，再放縮可得

2%a?也（也2J4+17ali/

由累加法可得。工春,進(jìn)而由%=命局部放縮可得酢，*,然后利用累乘法求得

6

a<----------------,最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到H。。<3,從而得解.

n(〃+1)(〃+2)

3

【詳解】因?yàn)?=1〃向=[樂nGN：

，所以%>0,sm>-2.

、2

111111

由4+i=>---_—__^__I_+__―________

%ana[M2J~4

111111

，即——j=<—

也+1而2

yn—1n+1/八11+1

根據(jù)累加法可得,而<1+〒=丁(心2)，當(dāng)〃=1時(shí)一/==虧，

W2

1n+1

貝U而三，當(dāng)且僅當(dāng)“T時(shí)等號(hào)成立，

4