解三角形中的范圍與最值問(wèn)題（十七大題型）（解析版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

重難點(diǎn)突破03解三角形中的范圍與最值問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題...............................................................2

題型二：面積問(wèn)題...............................................................6

題型三：長(zhǎng)度和差比問(wèn)題.........................................................10

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題.......................................................15

題型五：倍角問(wèn)題...............................................................18

題型六：角平分線問(wèn)題與斯庫(kù)頓定理..............................................21

題型七：中線問(wèn)題..............................................................24

題型八：四心問(wèn)題..............................................................28

題型九：坐標(biāo)法................................................................36

題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問(wèn)題..............................................40

題型十一：兩邊逼近思想........................................................45

題型十二：轉(zhuǎn)化為正切有關(guān)的最值問(wèn)題............................................47

題型十三：最大角（米勒問(wèn)題）問(wèn)題..............................................51

題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問(wèn)題...................................55

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似................................................61

題型十六：三角形中的平方問(wèn)題..................................................66

題型十七：等面積法、張角定理..................................................70

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................73

1/91

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn).解決這類問(wèn)題,

通常有下列五種解題技巧：

（1）利用基本不等式求范圍或最值；

（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；

（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；

（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函

數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形

自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大.

2、解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見(jiàn)題型：

（1）求角的最值；

（2）求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；

（3）求面積的最值和范圍.

題型歸納與

題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1-1】（2024?全國(guó)?二模）在AIBC中，內(nèi)角/,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,

2acosA=bcosC+ccosB,且a=4sin/,則周長(zhǎng)的最大值為（）

A.472B.6收C.4>/3D.6^3

2/91

【答案】D

【解析】因?yàn)?acosZ=bcosC+ccosB,

由正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcos5=sin（5+C）=sin4,

因?yàn)閟in4w0,所以cos/二工，由于4E（0,兀），故4=g,貝lj。=4sin烏=2百，

由正弦定理得士=47=4,

sinAsinBsinC

故Z?+c=4sin5+4sinC=4sinB+4sij=4sin5+2sin5+1T3cos5=AT3sin^5+^,

乂Be,仔］,則8+臺(tái)3,1^,所以sin.+fegl］,則6+問(wèn)2后4碼，

故ZL45C周長(zhǎng)a+6+c的最大值為6月.

故選：D.

【典例1-2］（2024?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)）已知中角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,且

2ccosA=acosB+bcosA.

⑴求角A；

（2）若。=百，求”3C的周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)角5,角。的大小.

【解析】（1）由2ccos/=acos5+6cos4,

則有2sinCcosA=sinAcos5+sincosA,

即2sinCcosA=sinAcos5+sin5cos4=sin（4+8）=sinC,

由CE（0,兀），故sinC〉0,則有2cos/=1,即cos4=L即4=g；

（2）由余弦定理。2=62+。2一可得3=/+。2-A,

貝!|3=（b+c）2-36c,故優(yōu)+C）2—3=36CW3（"],

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)，等號(hào)成立，即伍+c『W12,即b+cV2省,

即。的周長(zhǎng)的最大值為36，止匕時(shí)a=6=c=百，即3=C=W.

【變式1-1]（2024?江西南昌?三模）在銳角中，a=2。，（2b-c）cos/=acosC,

⑴求角A；

⑵求AASC的周長(zhǎng)/的范圍.

【解析】（1）（2b-c）cosA=acosC,

/.2bcosA=acosC+ccosA,

所以2sin5cosA=sinAcosC+sinCcosA,

3/91

所以2sinBcosA=sin(4+C)=sin8,

因?yàn)閟inBwO,所以cos4=,，

2

所以N=g.

..a_2V3_4

(2).sin/V3，

T

hc

所以一^二」一二4,

sinBsinC

2兀

所以6=4sin5,c=4sinC=4sin(T—3),

所以/=a+b+c=2V3+4sin5+4sin(g-B)

=2V3+4V3sin(5+-),

6

因?yàn)椤癇C是銳角三角形，且/=，

0<^<-

2,解得

所以

oc27tdM62

32

所以8+3邑？),所以sin(3+凱淳,1],

O3362

所以/e(6+236何

【變式1-2］(2024?廣東廣州?一模)AASC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c且滿足a=2,

acosB=(2c-6)cos/.

(1)求角A的大??；

⑵求“8C周長(zhǎng)的范圍.

［解析］(1)由余弦定理，a."。i=(2°_方/+/-/

lac2bc

化簡(jiǎn)得〃+°2—/=從，

所以cos/J+^Y

2bc2

TT

因?yàn)?＜力＜兀，所以/=§.

4/91

b_c_a_2_4^3

(2)由正弦定理：sin8sinCsinAV33，

T

貝Ijb=^sin8,c=l^sinC，

33

由(1)5+C=年，故a+b+c=2+^^(sinB+sinC)=2+2^sinB+sinf-B

3

=2+(sinB+~~~cosBsinB)=2cosBH-sinB

2

7T

=2+4sin(5+-)

因?yàn)?<3<@=0<8+4<型，則L<sin(5+四)VI,

366626

所以4<Q+6+C?6,即周長(zhǎng)范圍是(4,6].

【變式1-3](2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))記”式C內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

{^a1+b2-c2^acosB+bcosA)=abc.

⑴求C；

(2)若AABC為銳角三角形，c=2,求力BC周長(zhǎng)范圍.

【解析】(1)在“5C中，由射影定理得〃cos3+6cosZ=。，

222

則題述條件化簡(jiǎn)為a+b-c=ab，

由余弦定理得/+/_/=2abeosC.

可得cosC=g,Ce(0,7t),

所以c=q.

(2)在“BC中，

a_b_c_2_4A/3

由正弦定理得siih4sinBsinC.兀3，

sin—

3

則A2IBC周長(zhǎng)C“8c=a+b+2=2+~~~(SIIL4+sia5)=2+~~~

因?yàn)閟iiL4+sin(g—/]=V5sin[/琮)，貝ijC^ABC=2+4sin^y4+-^-

2兀

因?yàn)椤癇C為銳角三角形，4+5=$,

5/91

7171,兀兀2兀

則得Ze,AH----G

65263'萬(wàn)

故帕+力(爭(zhēng)

，。“尤￡(2+2式6].

題型二：面積問(wèn)題

【典例2-1】(2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))在zUBC中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為。、b、c,且

.小C7

smC=—cos—,b=3.

32

⑴求5;

(2)若小BC為銳角三角形，求小5。的面積范圍.

cB

【解析】(1)因?yàn)閟inC=—cos—,b=3,

32

B

所以sinBsinC=sinCeos—,

2

因?yàn)閟inCwO,

BBBB

所以sinB=cos—,則2sin—cos—=cos—,

2222

因?yàn)閏osOw0,

2

.B1D8(兀、B71

所以sm^),又不￡0,萬(wàn)卜則nt|彳=[,

22212/2o

所以84.

(2)設(shè)“3C的外接圓半徑為K,則2R=上=26,

sin5

所以SMBC=~acsinB=-2Rsin^427?sinCsinB=3\^sin/sin

22

/1.A

=3GsinAcosAd■—smZ,

27

=\n/c°s/+逋smg\n2/+3S\-cos2A

224~22

9.”36-3囪

=-sinz.A--------cos2ZH-------,

444

6/91

3A/3.r..KY373

=-----sin2A——+------，

2I6；4

因?yàn)锳ABC為銳角三角形,

Q<A<-

所以、2,解得

八2兀，兀62

0<A<—

32

兀―/兀57r

則一<24——<——,

666

1

則一勺皿2A--<1,

2\6

grpr3G9^3

所以“BC的面積范圍（孚，竽］■

【典例2-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角-3C中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

加=(2sinx,G),n=(cosx,cos2x),f^x)=m-n,/(3+C)=0.

⑴求角/的值;

（2）若6=1,求“BC面積的范圍.

【解析】(1),加=(2sinx,G),n=(cosx,cos2x),f^x)=m-n,

???/(%)=2sinxcosx+V3COS2X

;in2x+V3cos2x=2sin(2x+§j.

二S：

TT

又/(5+C)=0,,sin2(8+。)+]=0.又為銳角三角形,

.?.2(5+C)+工=2?；?.?.8+C=型或工(舍去)，.?./='.

3636

（2）由正弦定理知號(hào)=—、=*,

sinAsmBsinC

,JI1

又???b=\,A=—,a=—；---

62sin5

sin|J+8_V31cosB_V311

S=—absinC=88sin888tan5

24sin5

7/91

5Gl°'y］

<’（、故得到：三B<?且<s〈走,

3

工"生］286

6I2；

V3Vj、

.-.AA8C面積的范圍為T，-6"

7

【變式2-1］（2024?四川攀枝花?三模）已知A4BC的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為a、b、c其面積為S,且

（e+°）2-/=4屈

（I）求角A；

（II）若°=6,6=m（《7>0）,當(dāng)八48。有且只有一解時(shí),求實(shí)數(shù)加的范圍及5的最大值.

【解析】分析：（D利用余弦定理和三角形的面積公式化簡(jiǎn)（6+c）2=465得到

sin,-口=g,再解這個(gè)三角方程即得A的值.（II）先根據(jù)zUBC有且只有一解利用正弦定理和三角函數(shù)

的圖像得到m的取值范圍%e（0,G］u{2},再寫(xiě)出S的函數(shù)表達(dá)式求其最大值.

（I）由已知b1+c2-a2+2bc=2百6csinA

A

由余弦定理得2bccosA+2bc=2<3bcsinA,

所以cos/+1=6siih4,BPsin|A---|,

AeO,7i,

.71,冗571、.7171

A——G(——,——),A——=—,

66666

所以/=（

。1）由已知，當(dāng)AA8C有且只有一解時(shí)，

〃?sin?='或0〈加4行,所以加e（0,百］0{2}；

（i）當(dāng)加=2時(shí)，AABC為直角三角形，

5=--bV3=—

22

（拓）當(dāng)0<加工6時(shí),

8/91

m

=m=2sin5

由正弦定理.一;^

3

S=；?VJsiM?sinC=出sinB?sin\2至71—B

3

=—sinBcosB+-sin2B

22

2222

sinl25-^

24

71

3

所以，當(dāng)時(shí)，52=空＞與

3max42

綜上所述，￡ax=?.

【變式2-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形/BCD中，AB=AC=BD=IO,當(dāng)四邊形

ABCD的面積最大時(shí)，BC2+CD2+DA2的最小值為_(kāi)__.

【答案】700-400V2

則四邊形/BCD的面積為S=S.ABD+=gxNOsin6+；xCOsin6=gADx/Csin<9

50sin。,

9/91

TT

因0<。<兀，故當(dāng)且僅當(dāng)sin9=l,即6=5時(shí)，Smax=50.

IT

當(dāng)e時(shí)，T^AO=x,OB=y,則CO=10_x,OD=10_y,

+CD'+DA2y2+（10x）2（10y）2+（10x）2+x2（10y）2=3（x2+y2）-40（x+y）+400,

因/。2+3。2=100,即x2+y2=100,

由（》+?=/+/+2中42，+/）=200,貝1J有x+”lO0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5后時(shí)取等號(hào)，

即當(dāng)x=y=5夜時(shí)，BC2+CD2+ON?的最小值為3oo_40x1附+400=700-40m.

故答案為：700-400VL

【變式2-3］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在。8c中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且°=遙,

V6cos5=（3c-Z>）cos^,則AX8C面積的最大值為.

【答案】至Re

22

【解析】因?yàn)椤?遙，V6cosB=（3c-b）cosA,所以J^cos8=〃cos8=（3。一b）cos力，

由正弦定理可得sin/cosB=3sinCcosZ-sin5cos力,即sin（4+B）=3sinCcosZ,

sinC=3sinCcosA,因?yàn)?。￡?,兀），所以sinCwO,故cos/=g,

由余弦定理/=〃+/_2bccos力得（指）=b2+c2~~tfc?

所以6=〃+/>2bc--bc,BP<—,當(dāng)且僅當(dāng)b=°=當(dāng)2時(shí)取等號(hào)，

3322

由cos/=g,/e（O,兀），得sin/二逆，

J3

樂(lè)”C1,?,12V2,V293A/2

所以S=—bcsmA=—x------be<——x—=------.

"ARr223322

故答案為：逑.

2

題型三：長(zhǎng)度和差比問(wèn)題

【典例3-1】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知力5C中內(nèi)角/,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

V3c+6sin4=百。cosB?

(1)求角A的大??；

10/91

(2)若。是邊5C上一點(diǎn)，且4。是角4的角平分線，求不的最小值.

AD

【解析】(1)由題意知“gC中，Cc+bsinA=jacosB,

故追sinC+sinBsinA=6sinAcosB

即V3sin(Z+B)+sinBsinA=VJsinAcosB，

即V3(sinAcosB+cosAsinB)+sinBsinA=sinAcosB,

所以6cos/sin5+sin8siii4=0，

而5￡(0,兀)，故sinBwO,

V3COSA+sinA=0EPtanA=-VJ,

又/e(O,兀)，故Z=g；

(2)由余弦定理：BC=ylb2+c2-2bccosA=y/b2+c2+be?

又S^ABD+S叢ACD=S—BC，

所以LcZOsin60°+L'./Dsin60°=Lbcsinl20°,所以40=心巳

222b+c

BC_yjb1+C1+be12bc+bc

?窄2?半=2出

所以ADbe~beyjbcyjbc

b+cb+c

當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí),取等號(hào)’則罰的最小值為2技

【典例3-2】(2024?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè))”BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.

sin(^-B)_a-b

(1)求證:

sin4+sin8c

TT

(2)若“3C是銳角三角形，A-B=-,a-b=2,求c的范圍.

【解析】(1)由兩角差的正弦公式，可得鈣上空_sinAcosB-cosAsinB

sinZ+sm6sin/+sin5

又由正弦定理和余弦定理，可得

a2+c2-b2,b2+c2-a2

sinAcosB-cosAsinB-----------------b----------------

2QC26C

sin/+sin5

a+b

2a1—2b2(“+6)(。-6)a—b

2c(a+b)c(a+b)c

sin(力-5)_a-b

所以

sin/+sin8c

11/91

,,(a-Z?)(sinA+sinB)4..八、

(2)由(1)知c=--------1,“———^=F(zsm/+sm8)

sm(A-S)V3

TTTCTC

因?yàn)椤?C是銳角三角形，mA=B+-＜-,W0＜，＜-,

又由4+5>烏，可得8+工+B>工，所以3>乙，所以工<8+工〈工，

23212463

所以—,RT2A/2<c<2-\/3>符合c>a—6=2.

26J2

所以實(shí)數(shù)C的取值范圍是(2?,26).

【變式3-1](2024?山東濰坊?一模)在①tarMtanC-V^tanJ=l+/：anC;②(2c-6a卜os_8=^/§'bcoM；

③卜-+csinC=bsinB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題：在“3C中，角4SC所對(duì)的邊分別為a,6,c,且.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)已知c=b+l,且角A有兩解，求6的范圍.

【解析】(1)若選①：整理得1-121聞a11。=-6何必+1@110，因?yàn)?+5+C=〃，

所以tan3=-tan(/+C)=_taM+tanC=趙，因?yàn)?40/),所以3=?；

,7l-taiL4tanC36

若選②：因?yàn)?2c-GJcosH=J5bcos4,

由正弦定理得(2sinC—J^siM卜os5=J^sin5cosZ,

所以2sinCcosB=gsin(4+5)=JJsinC,sinC〉0,所以cosB=@,因?yàn)?￡(0,萬(wàn))，所以6=菅；

若選③：由正弦定理整理得/+c2-62=eqc,所以=

2ac2

即COSB=5,因?yàn)锽e(O/),所以B=a；

(2)將c=b+l代入正弦定理上=—得芻=空，所以sinC=M，

smnsineSinnsinC2b

jr1

因?yàn)?=套，角A的解有兩個(gè)，所以角。的解也有兩個(gè)，所以5<sinC<l,

12/91

即一<----<1>又b>口,所以b〈b+l<2b,解得

22b

【變式3-2］在“臺(tái)。中，a,b,。分別為角4,B,。所對(duì)的邊，b=20

（2c-q）sinC=（b1+c2一叫丁

⑴求角B;

⑵求2a—。的范圍.

【解析】（1）（2c—Q）sinC=僅2+。2一叫^^=（2。一。）。=/+。2一。2+〃2一〃=〃。，又

cosB=a+c—b，所以COSB=L因?yàn)?￡（0,?）,所以5=2.

lac23

b_a_c_2^/3_

（2）在A245c中,由（1）及b=2百,得sin8sin4sinC百,

T

故。=4sin4c=4sinC,2〃一。=8sin4-4sinC=8sin"4sin（與一=8sin4-26cos4-2siM

=6sin^-2A/^COSA=4^sin（4一,

因?yàn)?<4〈女，則—工<4—四〈生，

3662

一sin（4一看］<1,一26<46sin（4一小<48.

所以2Q-c的范圍為「2百,4班）.

【變式3-3］（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為匿b,c.已知

⑴求角力的大??；

Q）若麗=同,且b+c=2,求/尸的最小值.

【解析】（1）在“BC中，由正弦定理-=—^—，可得“sinB=bsin/

sinAsinB

_,_2171.BB知竺竺二

又由b7=2Z7JCOS---------65sin—cos—2asincosb,

U22J2222

即〃sinB=bcos[E_4J，得bsin/=bcosj得sin/=cos（t-/）=ECOs/+5sin4,

得lsin/=―-cos^4,所以tan/二百；

22

13/91

又因?yàn)閆e(O/),所以Z=].

_,—?1—.1—?

(2)由3P=PCk，^AP=-AB+-AC,

所以/丁口方+_L就］"J萬(wàn)?工元,+工商.就

U2J442

111111

=—c92+—b92+—becosA=—c92+—b92+—bc

442444

當(dāng)且僅當(dāng)[：=c即6=c=l時(shí)等號(hào)成立，故NP的最小值為4i.

[b+c=22

【變式3-4](2024?安徽亳州?高三統(tǒng)考期末)在銳角A43c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為6,。，已

矢口?sinC=CCOS^T!-^.

(1)求角A的大小；

(2)設(shè)以為AABC的垂心，且/8=1,求B〃+C〃的范圍.

【解析】⑴由asinC=ccos[/q],結(jié)合正弦定理得

sin/=cosA--,

I6J

整理得5布(/-m=0,

又A為銳角，故/=會(huì)

(2)由A/L8C是銳角三角形，則垂心77必在A48c內(nèi)部，

不妨設(shè)NBAH=a,則￡€(0,小.

JT

由〃為A45C的垂心，貝！]//5〃=//。"二一.

6

在44BH中使用正弦定理得,

AH

---------,整理得：BH=2sina.

sin/ABHsin/BAH

同理在A4CH中使用正弦定理得，S=2sina

71

BH+CH=2sina+2sin——a=2sin

3

14/91

結(jié)合］中,2

可得+(省,2］

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題

【典例4-1】在銳角A48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

(a+/))(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

(1)求A；

(2)求cos5-cosC的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?〃+勾卜1曲—sin5)=(c—b)sinC,

222

所以(a+6)(a—Z?)=(c—b)c,即a=b+c-be.

因?yàn)閍?=從+C2-2左(《/，所以cos/=5.

2

因?yàn)镽e］。,胃,所以/R

(2)由(1)知cosB-cosC=cosB-co：

=cosB+—cosB-sinB=—cosB-smB=gc(QS叫.

2222

八2〃八%

0<------B<—

32rriu7171

因?yàn)椋?所以二<8〈式,

cn兀62

0<B<—

2

因?yàn)?所以+

363<6/122/

所以cosB-cosCG

即cosB-cosC的取值范圍是---.

122J

【典例4?2】已知的內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為。、b、c,且a—6=c(cosB—cos/).

⑴判斷^ABC的形狀并給出證明；

(2)若a】b,求sin/+sin8+sinC的取值范圍.

【解析】(1)為等腰三角形或直角三角形，證明如下：

15/91

由a-6=c(cosB-cos/)及正弦定理得，sin/-sinB=sinC(cosB-cosA),

即sin(3+C)—sin(4+C)=sinC(cosB-cos4),

即sinBcosC+cos5sinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,

整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sin8-sin4)=。，

故sin4=sin5或COSC=0,

又A、B>。為的內(nèi)角，所以。=b或。=/，

因此為等腰三角形或直角三角形.

(2)由(1)及合人知“為直角三角形且不是等腰三角形，

且/+8=工，C=g故_8=工—4,且力+生,

2224

所以sin4+sin8+sinC=sin/+sinB+1=sin4+cosA+l=如in1,

7171

因?yàn)榱Α?"

Z'萬(wàn)

、

得］力+?V2

sinG,所以0sin

2

7

【變式4-1]（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）鈍角。中，角4民。的對(duì)邊分別為“，b,c，若acosB=csmA,

則sinA+V2sinB的最大值是.

【答案】：

【解析】因?yàn)閍cosB=csin4,由正弦定理得sin/cos3=sinCsin/,

TTIT

又因?yàn)閆E(0,兀)，可得sinZwO,所以sinC=cos5,則。=5—6或C=—+5.

22

當(dāng)C=、-B時(shí)，可得N=5,與“3C是鈍角三角形矛盾，所以C=]+B,

717r7T

由〈一,則4=——25>0,可得0<5<一,

224

A+B+C=71

所以sin/+V2sin5=sin(S+C)+6sinB=cos2B+A/2sinB

16/91

12、

--2sin2B+V2sin+1=-2sin8----+—,

I4J4

/75

所以當(dāng)sin5=7-時(shí)，sin/+后sin5的最大值為a.

故答案為：--.

4

【變式4-2】在中，角4,B,。所對(duì)的邊分別是Q,b,c.已知〃=l,b=VL

（1）若求角/的大小；

⑵求cos/cos,+3的取值范圍.

【解析】（1）由正弦定理得：sin/=U"=1,

b2

（>../兀一P5兀

???0<4<兀，4二一或-一,

66

當(dāng)4=三57r時(shí)，止匕時(shí)4+8〉兀，所以4=5三7r舍去，所以4二j二r.

666

.1.J

(2)cos/cos14+g卜cos/A——sinA

2

7

24)-；sin24

+COS

（或者用積化和差公式一步得到Lcos（2/+?]+且）

216；4

■.-a<b,：.A<B,所以/為銳角，又sin/=^@Ov變，

b2

所以北（0,曰，所以2/-弓

I4313o

17/91

題型五：倍角問(wèn)題

【典例5-1］（多選題）在銳角“6C中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為a,6,c,且c=6+26cos/,則下列結(jié)論

正確的有（）

A.A=2BB.8的取值范圍為修3

C.:的取值范圍為（行,G）D.匕--+25^4的取值范圍為3

btan5tanA13）

【答案】ACD

【解析】因?yàn)椤?b+26cos/,所以由正弦定理得sinC=sin5+2sin5cos力，

又因?yàn)閟inC=sin（/+5）,所以sin（%+5）=sin5+2sirLScos2,

即sin4cos5+sin5cos/=sinB+2sin5cos/,

整理得shb4cos5—sinScos/=sinB,即sin（力-B）=sinB

對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?、B、。均為銳角，所以4-5=8,即4=25,故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?=25,4+5+。=兀，所以。=兀一35,

八,兀

0<A<—0<2B<-

22

冗

因?yàn)?、B、C均為銳角，所以，0<B<-即W0<8，解得

9264

JT

0<C<-

[2[2

所以3的取值范圍為［，：］，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理得?=當(dāng)=里里=2COS3，8€（￡，1），

bsiiwSinn64

所以cosBe停，務(wù)所以,=2cos3e（"回故C項(xiàng)正確.

兀兀7171

對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，A=2B,由B項(xiàng)知，一＜B＜一,所以一＜A＜一,

所以

11“taib4-tan53./sirUcos5-siaScos^C./sin(/-5).

——--------+2sin4=---------------+2SIIL4=-----------------+2SIIL4=——------+2SIIL4=

tan5tan/tan5taiL4sinSsiMsinSsiM

.——F2sirb4=+2SIIL4,Ai(—,—),

siaSsirUsiib432

令t=sin/,貝！所以---5―-+2sin^=-+2?,ze(—,1),

,2tan5tan/tv2

18/91

令”0）=1+2/,?e（g,l）,則”⑺=-：+2=壬2>0,所以〃⑺在（一■」）上單調(diào)遞增，

又吟）=當(dāng),〃⑴=3,所以的）€（孚,3）,即熹-高+2sin%范圍為（手,3）,故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【典例5-2］（多選題）（2024?河北?三模）已知"3C內(nèi)角N、B、C的對(duì)邊分別是0、b、c,A=2B,則

（）

A.〃=c（6+c）B.2+j的最小值為3

cb

C.若AABC為銳角三角形，則*€（1,2）D.若a=2屈,6=3,貝Uc=5

【答案】BCD

【解析】由/=28,sin24=sinIB=2sinBcosB,

22_72

由正弦定理得a=26cos8,由余弦定理得。=26?色——----,

2ac

貝（］（c-b）（a2-62-6c）=0,當(dāng)bwc時(shí)，$-護(hù)-bc=Q,即/=6（6+c）,

當(dāng)b=c時(shí)，B=C,又A=2B,所以么=90。,8=。=45。，

所以a=同，所以。2-62-左=（">『-從_6.6=0,

所以/=6e+°）,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

,?,27/7,\ba2bb2+bcbc

由。=b[b+c）,則miI—+記=一+——=-+-+l>3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，故選項(xiàng)B正確;

在“5C中，sinBwO,由正弦定理,

c_sinC_sin（25+5）_sinIBcosB+cos2BsinB2sinBcos2B+{1cos25—1卜inB

=4cos2B—1，

bsinBsinB3sinB5sinB

7Tjr

若“8C為銳角三角形，又A=2B,則,C=7r-3S<-,故

26

兀兀山…DV3

所以，所以cosBE,則COS2BG

65