空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題32空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系5題型分類

彩題如工總

題型1：基本事實的應(yīng)用

題型5：等角定理的應(yīng)用

題型2：空間位置關(guān)系的判斷

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

系5題型分類

題型4：空間幾何體的切割（截面）問題

題型3：異面直線所成的角

彩和也寶庫

1.基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有二條過該點的公共直線.

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.“三個”推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

［相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點;

共面直線《----

I平行直線:在同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號語言公共點

相交aGAL個

直線與平面

-------------a

平行/__/alla2個

在平面內(nèi)/一呼aUa無數(shù)個

%/

平行a//132個

A7

平面與平面

相交aC6=l無數(shù)個

5.等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

6.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點。分別作直線a'//a,b'//b,我們把直線與》

所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：(0,.

【常用結(jié)論

1.過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.

2.分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

⑵EG與HF的交點在直線AC上.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)推導(dǎo)出EF//BD,從而所//GH,由此能證明E,F,G,H四點共面.

(2)推導(dǎo)出所//GH,且EFHGH,從而EG與FH必相交，設(shè)交點為由此能證明EG與加'的交點

在直線AC±.

【詳解】(1)BG：GC=DH,HC=l：2,:.GH//BD,

E,尸分別為AB,AZ)的中點，:.EFIIBD,:.EF//GH,

：.E,F,G,”四點共面.

(2)G、H不是BC、CD的中點，

:.EFHGH,且EFHGH,

與F”必相交，設(shè)交點為

EGu平面ABC,HFu平面AC。，

.?."e平面ABC,且Me平面ACD,

?平面ABCc平面ACD=AC,:.MeAC,

EG與HF的交點在直線AC上.

1-2.(2024高一下?云南楚雄?期中)如圖，在正四棱臺ABCD-ABCQ］中，E,F,G,H分別為棱4片，,

AB,BC的中點.

(1)證明E,F,G,H四點共面；

(2)證明GE,FH,8月相交于一點.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用中位線和棱臺的結(jié)構(gòu)特征，證明EF〃G”,可得以E,F,G,，四點共面;

(2)由EFHG為梯形，則EG與必相交，證明交點在8避上即可.

【詳解】(1)證明：連接AC,AG，如圖所示，

因為ABCQ-AgGA為正四棱臺，所以AG〃AC,

又￡,F,G,X分別為棱A耳，Bg,AB,8C的中點，所以所〃AC，GH//AC,

則EF〃GH,所以E,F,G,H四點共面.

(2)因為4GwAC,所以EF力GH,所以EMG為梯形，則EG與EH必相交.

設(shè)EGcFG=P,因為EGu平面A4tBlB,所以尸平面

因為FHu平面所以尸e平面B4GC,

又平面AA.B.BQ平面BB?C=BB「所以尸e3耳，

則GE,FH,8出交于一點.

1-3.(2024高三.全國.專題練習(xí))如圖所示，在正方體ABCD-ABCa中，E,尸分別是AB，然的中點.

⑴求證：CE,D.F,ZM三線交于點P；

(2)在(1)的結(jié)論中，G是2E上一點，若FG交平面A8CD于點”，求證：P,E,〃三點共線.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)連接AB,CR,可得到所〃CQ且跖wCR,則EC與相交，設(shè)交點為H則能得到改

平面ABC。，Pe平面ADD]A，結(jié)合平面ABCDc平面A￡>2A=A。，即可得證；

(2)可證明P,E,〃都在平面尸CQ與平面ABC。的交線上，即可得證

【詳解】(1)證明：連接4臺，CDt,EF

正方體ABC。-4月￡。中，E,F分別是A54A的中點,

EFUAiB^EFA.B,

0)]〃48且0)1=43,

EF//CDl且EFwCDt,

...EC與2」相交,設(shè)交點為尸,

?；PeEC,ECu平面ABC。，."e平面ABC。；

又，：PcFD\,正2u平面ADD]A，Pc平面ADDA,

.??尸為兩平面的公共點，

:平面ABCDc平面ADRA=AO,.?.尸eA￡),

:.CE、DR三線交于點尸；

在(1)的結(jié)論中，G是QE上一點，尸G交平面A8CD于點H,

則FHu平面PCDi,AHe平面PCD,,又He平面ABCD,

：.He平面PCD,c平面ABCD,

同理，Pe平面尸CRc平面ABC。，

Ee平面PCD。平面ABCD,

：.P,E,反都在平面尸CR與平面ABC。的交線上，

：.P,E,H三點共線.

彩他題祕籍

（二）

（1）點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型.

（2）求異面直線所成角的方法

方法解讀

將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的

平移法

平行線或者作平行線，形成三角形求解

在該幾何體的某側(cè)補接上同樣一■個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直

補形法

線相應(yīng)的位置，形成三角形求解

題型2：空間位置關(guān)系的判斷

2-1.（2024高三.全國?對口高考）兩條直線。力分別和異面直線c,d都相交，則直線6的位置關(guān)系是（）

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線

【答案】D

［分析】設(shè)直線a與直線b分別與兩條直線。與直線d相交于點A,B,C,D,討論點D與點B的位置關(guān)系即可

求解.

【詳解】已知直線c與d是異面直線，直線。與直線6分別與兩條直線。與直線d相交于點A,B,C,。，

根據(jù)題意可得當(dāng)點。與點8重合時，兩條直線相交，當(dāng)點。與點8不重合時，兩條直線異面，

所以直線〃力的位置關(guān)系是異面或相交.

故選:D.

2-2.【多選】（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，點E,F,G,//分別是正方體ABCD一4耳弓。中棱,AB,

BC,GA的中點，則（）

A.GH=2EFB.GH卞2EF

C.直線EF,G"是異面直線D.直線所，G"是相交直線

【答案】BD

【分析】首先在圖中取棱CG的中點N,AA的中點連接EM,MH,HN,NG,FG,AC,AG,

我們證明E,M,H,N,G,尸六點共面，進一步可以求出也斯=G/f,從而得到答案.

【詳解】如圖，取棱CG的中點N,42的中點連接EM,MH,HN,NG,FG,AC,AG，

在正方體ABCD-A4GR中,MH/ZA^CJ/ACZ/FG,

：.M,H,F,G四點共面，同理可得E,M,G,N四點共面，E,F,H,N四點共面，

：.E,M,H,N,G,尸六點共面，均在平面EFGNHM內(nèi)，

EF//HN,HNcHG=H,

HN,HG,EFu平面EFGNHM,

：.EF與GH是相交直線.由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得EF=HN=NG=FG=EM=MH,

：.y/3EF=GH,即GH力2EF.

故選：BD.

【點睛】本題考查點、線、面的位置關(guān)系，考查了空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題型

2-3.【多選】（2024?湖北荊門?模擬預(yù)測）已知a,夕是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a'B=l，Aetz且則Ae/

B.若A,B,C是平面a內(nèi)不共線三點，Ae13,B&13,則Ce6

C.若Aea且Bea,則直線ABua

D.若直線aua,直線則。與b為異面直線

【答案】ABC

【分析】根據(jù)基本事實3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實1（公理3）可判斷B；根據(jù)基本事實2（公理

1）可判斷C；根據(jù)異面直線的定義可判斷D.

【詳解】對于A,由根據(jù)Aea且則A是平面a和平面夕的公共點，

又aB=l,由基本事實3（公理2）可得Ac/,故A正確；

對于B,由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，

又Aw/3,Bw/3,且則C至尸，故B正確；

對于C,由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，故

C正確；

對于D,由于平面。和平面夕位置不確定，則直線。與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合,

故D錯誤.

故選：ABC.

2-4.（2024?上海長寧.二模）如圖，已知正方體ABCO-ABCA，點尸在直線A2上，。為線段80的中點，

則下列命題中假命題為（）

A

4

A.存在點尸，使得

B.存在點P,使得PQ//AB

C.直線尸。始終與直線CG異面

D.直線尸。始終與直線BG異面

【答案】C

【分析】當(dāng)點P和點Q重合時，可判斷A；通過線面平行的判定定理，當(dāng)點P為線段4。的中點時，即可

判斷B；當(dāng)點尸和點A重合時，兩條線在同一平面內(nèi)，不是異面直線，可判斷C；直線與另一條線所在

的平面相交，從而證明這兩條線不相交，也不平行即可判斷D.

【詳解】正方體中，易得4G平面8。2瓦，因為點P在直線AR上，。為線段的中

點，

當(dāng)點尸和點2重合時，「。匚平面2。24，，尸。，46，故A正確；

連接A。、A.B,當(dāng)點尸為線段AQ的中點時，p。為三角形A|B。的中位線，即PQ〃A8,故B正確；

CGu平面AAGC,當(dāng)點P和點A重合時，PQu平面A4,CC，所以直線PQ和CG在同一平面內(nèi)，故C錯

誤；

BGu平面ABCQ,尸。c平面A8CQ=P,Pg,所以直線PQ始終與直線BG不相交，且不平行，

所以直線尸。與直線BG是異面直線，故D正確；

故選：C

題型3：異面直線所成的角

3-1.（2024高二上.上海浦東新?期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正

確的序號是.

(1)直線AF與直線DE相交；

(2)直線CH與直線DE平行；

(3)直線BG與直線OE是異面直線；

(4)直線CH與直線3G成60。角.

【答案】(3)(4)/(4)(3)

【分析】還原正方體ABCD-￡FGH,結(jié)合圖形即可判斷(1)(2)(3),再連接AH,AC,則NAHC為異

面直線CH與直線BG所成的角，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可求出異面直線所成角；

【詳解】解：由正方體的平面展開圖可得正方體ABCD-EFG",

可得"與即為異面直線，故(1)錯誤；

S與DE為異面直線，故(2)錯誤；

直線8G與直線DE是異面直線，故(3)正確；

連接AH,AC,由正方體的性質(zhì)可得所以/AHC為異面直線CH與直線3G所成的角，因為，AHC

為等邊三角形，所以NAHC=60。，即直線CH與直線3G所成角為60。，故(4)正確；

故答案為：(3)(4).

3-2.(2024高三?全國?課后作業(yè))已知正四面體ABCO中,E是A8的中點，則異面直線CE與8。所成角的大

小為?

【答案】arccosV3

6

【分析】取正四面體的棱為6,找AD中點為尸，連接EF,CF,CE,根據(jù)中位線可知跖〃即，跖=g&)=3,則

異面直線CE與&）所成角，即直線CE與所所成角，即NFEC,求出各個長度，由余弦定理即可求得結(jié)果.

【詳解】解:由題知，取AD中點為B，連接EEC尸,CE如圖所示：

D

不妨設(shè)正四面體棱為6,

根據(jù)E,尸分別為AB,AZ＞中點得：EF//BD,EF=BD=3,

2

因為ABC與二ACD為等邊三角形，

所以AE=3,AC=6,故CE=3/,同理CP=3jL

在△CEF中，由余弦定理可得:

E尸+CE'CF。_9+27-27

cos?FEC

2鬃尸CE-2鬟34~~6

故?FECarccos—,

6

因為E尸〃3￡）,

所以異面直線CE與8。所成角，即直線CE與斯所成角，即NEEC,

故異面直線CE與2。所成角為arccos走.

6

故答案為:arccos旦

,6

33（2024高三.河北?學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCD-A4GA中，點分別是棱AD,CG的中點，則異面

直線A,￡與BF所成角的大小為.

【答案】y

【分析】先取。Q中點為G，連接AG,GF，記A￡與AG交點為M，根據(jù)平行可知&E與BF所成角即為人后與

AG所成角，通過正方體性質(zhì)可得AE三△ADG,即ZAA.E=ND4G,根據(jù)ZDAG+ZA.AG=ZA4,E=g可

知的石+幺47二不,即乙皿見二展即可知人也與瓦^所成角為了

【詳解】取。。中點為G,連接AG,G/，記AE與AG交點為/,如圖所示：

0G

A--------------------B

因為G,F分別是棱DQ,CG的中點，

所以GF//AB，且G/=,故四邊形ABGF為平行四邊形，

所以,所以AE與2尸所成角即為AE與AG所成角，

因為正方體ABCD-446。,E,G是棱AD,。。的中點，

rr

所以4A=A。,AE=GD^A.AD=ZADG=~,

所以4AA石=AADG，即ZAA.E=ZDAG,

71rr

因為NDAG+NAAG=ZA^E=萬,所以+NAAG=],

所以/AM4,=兀一（NA4iE+N^AG）=].

故AE與AG所成角為，即4E與BF所成角為

故答案為弓

3-4.（2024高一下?北京?期末）如圖，等腰梯形ABCO沿對角線AC翻折，得到空間四邊形RABC,若

BC=CD=DA=^AB=l,則直線AR與3C所成角的大小可能為.（寫出一個值即可）

DC

-------------

【答案】90（答案在［60,90］內(nèi)即可）

【分析】由題意，補全等腰梯形438為正三角形4汨，則直線AR與3C所成角的大小為直線AE與8C所

成角，再根據(jù)線線角的范圍求解即可

【詳解】由題意，補全等腰梯形A3CO為正三角形ABE,則直線A，與BC所成角的大小為直線AE與BC所

成角，易得當(dāng)?shù)妊菪窝貙蔷€AC翻折時，AE的軌跡為以A為頂點，AC為高的圓錐側(cè)面，設(shè)

FG

ZBCF=90,在Cb上取G使得石G//5C,則直線AR與5C所成角即/AEG,故cosNAEG：丁，因為

AE

AE=2,EGe［0,l］,故cos/AEGe0,1,故NAEGe［60,90］,故只需寫出［60,90］內(nèi)的角度即可，如

90

故答案為：90（答案在［60,90］內(nèi)即可）

3-5.（2024高三.全國?對口高考）線段A3的兩端分別在直二面角a-CD-6的兩個面外夕內(nèi)，且與這兩個

面都成30。角，則直線AB與8所成的角等于.

【答案】￡/45

【分析】

畫圖找到直線與8所成的角，計算即可

【詳解】如圖:

過A3分別作棱的垂線，垂足設(shè)為CD連結(jié)BC,AD,

由直線垂直于平面的性質(zhì)定理知ACLa,BD±J3.

所以ZABC=/BA￡>=30.

作AE〃CD且AE=CD,則NB4E為直線AB與8所成的角.

連結(jié)EB,可得AE_LBD,AELED,所以AELBE,

所以三角形A￡S為直角三角形.

設(shè)AB=2a,AC=ED=BD=a,所以BE=?a，

所以NBAE=45.

直線A3與CO所成的角等于

4

故答案為：.

4

彩他題秘籍（二）

空間幾何體的切割（截面）問題

（1）作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

題型4：空間幾何體的切割（截面）問題

4-1.（2024.河南新鄉(xiāng).三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCO-AAGR中，E是棱CG的中點，過

三點的截面把正方體ABC。-A4GR分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（）

【答案】A

【分析】設(shè)平面ARE與平面交于.，由面面平行的性質(zhì)可得跖〃明，結(jié)合題意可知F是BC的

中點，利用臺體的體積公式可得以，進而得出答案.

【詳解】連接BG，設(shè)平面與平面BCG瓦交于所，

因為平面BCC#/平面A￡>24,平面ARE與平面ADRA交于A，，

貝IjE尸〃曲，又

則E/〃BQ,又E是棱CG的中點，則尸是BC的中點.

AH

S]=SCEF=^-xlxl=^,S2=SADDi=；x2x2=2,h=CD=2,

^CEF-ADD,=§6+邑+品）〃=；xg+2+"x2=，

、,TZo717,,17717

唳馀=喔方體-匕藥-血>,=8一耳=§,fiXy--=y-

故選：A.

4-2.（2024?河南?模擬預(yù)測）在正方體ABCD-ABGR中，M,N分別為AD,CQ的中點，則下列結(jié)論正

確的個數(shù)為（）

①MN〃平面A41cle；②MN”C；③直線MN與AG所成角的余弦值為漢1

3

④過M,N,片三點的平面截正方體ABCD-A4ap所得的截面為梯形

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定可判斷①；根據(jù)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)可判斷②；通過平行線

平移可確定直線MN與AG所成角，然后通過余弦定理可求得角的余弦值，進而判斷③；畫出截面圖可判斷

④

【詳解】連接8。，交AC于點0,則。是AC的中點，連接OM,OG，由于是中點，可得

OMI/CD/ICXN,OM=^CD=CXN,

所以四邊形M0GN是平行四邊形，所以O(shè)CJ/MN,

又。Gu平面441GC,MNU平面A41GC,所以MN〃平面AAJGC,即①正確；

連接2G，A2,則在正方體ABC。-A4GA中，AB工平面BCG用，又平面BCQ瓦，所

以4CJ,AB,

又BC、AB=B,8G<=平面ABCQ,ABu平面ABCQ,所以gC，平面ABCQ,若MN，20,則ACV〃

平面ABC]?或MNu平面而MN與平面A3CQ]相交，所以MN與8。不垂直，即②錯誤；

由于。CJ/MN,所以NOCA為直線肱V與AG所成角（或補角），

設(shè)正方體棱長為2,

1

則AO=叵,AQ=26,OG=指，所以由余弦定理得cosZOQA="二.0二°=羋，即③正確；

因為平面A5CD與平面4與GR平行，則過M,N,男三點的截面與這兩個平面的交線平行，由于其中一條交

線是用N,另一交線過點“，所以在平面ABCD內(nèi)作ME與與N平行（E是靠近A的四等分點），連接與E,

同理作出NP與與E平行（尸是靠近。的三等分點），從而得到截面與E,可知截面是五邊形，即④錯

誤;

綜上，正確的個數(shù)是2個.

故選：B.

4-3.（2024.河南.模擬預(yù)測）在正方體ABCO-ABC"中，M,N分別為A。，GA的中點，過M,N,與三

點的平面截正方體ABC。-A與所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【答案】B

【分析】在4B上取點。，且2Q=3AQ,取8中點為尸，在上取點R,且。便=3。?.通過aQAAfs二pee,

可得NAQM=/BPC,進而得出/A5P=/AQM,QW〃臺尸.通過證明用N〃8P,得出qN〃QM.同理得

出NR〃B、Q,即可得出正方體的截面圖形.

在43上取點。，且3Q=3AQ,取CO中點為P,連接QM,BP,NP,瓦Q.

在。R上取點R,且〃R=3￡?R,連結(jié)NR,MR.

因為券=需=；'/0AM

所以QAM^PCB,所以NAQM=NBPC.

又ABCD,所以乙釁=/BPC,所以NA8P=NAQM,

所以，QM//BP.

因為N,尸分別為CJA，CD的中點，所以PN〃CC，且PN=CC「

根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知8月〃CQ,且BB|=CG，

所以，PN〃BB、,且PN=B用,

所以，四邊形BPN片是平行四邊形，

所以，B、N〃BP,所以4N〃QM.

同理可得，NR//B.Q.

所以，五邊形QMRN與即為所求正方體的截面.

故選:B.

44（2024高三下.北京東城.階段練習(xí)）如圖，正方體ABC。-ABCQ的棱長為1,E,F,G分別為線段

BCCGI用上的動點（不含端點），

①異面直線。Q與AF所成角可以為:

②當(dāng)G為中點時，存在點E,尸使直線AG與平面4所平行

9

③當(dāng)E,尸為中點時，平面截正方體所得的截面面積為q

④存在點G,使點C與點G到平面AEF的距離相等

則上述結(jié)論正確的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

【答案】C

【分析】根據(jù)異面直線夾角的求解方法，線面平行的判定，以及正方體的截面面積的計算，結(jié)合幾何體的

結(jié)構(gòu)特點，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對①：因為。D〃AA,故與AF的夾角即為4A與AF的夾角N4A/，

又當(dāng)尸與C重合時，NAA尸取得最大值，為；

當(dāng)尸與點C1重合時，ZAAP取得最小值，設(shè)其為a,則tana=§2=收，故］＞：；

4

又點尸不能與c，G重合，故幺河故①錯誤；

對②：當(dāng)G為耳8中點時，存在E,尸分別為8C，GC的中點，滿足AG//面AEF,證明如下：

取用G的中點為連接AM，MG,如下所示：

顯然AM〃AE,又AEu面4所，4M0面4防，故AM〃面AEF；

又易得MGHEF,￡/<=面4跖,知6<2面4￡T，故MG〃面AEF；

又AMcMG=M,\M,MG<=面\MG,故面A.MG〃面AEF,

又AGu面AMG,故AG〃面AE7L故②正確；

對③：連接AA，Q￡AE,如下所示：

因為EFHBC/AD、,故面即為平面AEF截正方體所得截面；

又DF=AE瀉,故該截面為等腰梯形，又EF],AD\=C，

故截面面積S=g（E/+4'）><小或二=；x：*+夜x手=|,故③正確;

對④：連接GC,取其中點為如下所示：

要使得點G到平面AEF的距離等于點C到平面AEF的距離，只需E尸經(jīng)過GC的中點，

顯然當(dāng)點區(qū)P分別為所在棱的中點時，不存在這樣的點G滿足要求，故④錯誤.

故選：C.

4-5.（2024.新疆.二模）已知在直三棱柱ABC-A瓦G中，E,尸分別為8月，4a的中點，A4,=2,/R=2,

BC=3叵,AC=4,如圖所示，若過A、E、尸三點的平面作該直三棱柱ABC-4與G的截面，則所得截面

的面積為（）

A.710B.V15C.275D.同

【答案】B

【分析】

延長AF,CG且反與CG相交于G,連接EG,并與4G相交于。，連接即，

則四邊形AEDF為所求的截面，后由幾何知識可得截面面積.

【詳解】解析：延長AF,CG且AF與CG相交于G,連接EG,并與4G相交于。，連接尸。，則四邊形

AED尸為所求的截面.

在Rt&WE中，由AB=2,BE=1,得4￡=盯.

在RtA4/中，由A4（=2,\F=2,得AF=2啦.

因為歹為46的中點，所以由平面幾何知識可知，△A41F四△FGC>

所以AA=GG，F(xiàn)G=AF,即尸為AG的中點，所以AG=40.

又由B網(wǎng)GC、,可得公B]EDSAGDCI,

又GG=2B1E,4cl=30,所以00=20.

在Rt^G￡>G中，由DC】=20,GC]=2,得GD=25所以GE=3g.

所以在△AEG中，有AG=4jI，GE=3乖）,AE=y[5,

即GE2+AE2^AG2,所以AE，GE.又注意到S?AG-EG-sinAAGE,

S=-FG.DG.sinAAGE=-x-GA--GE-sinNAGE=-S,

FDG22233'AA0rr3

則四邊形AEDF的面積為=-X—X3A/3Xy/5=y/15.

故選：B.

當(dāng)空間兩個角a與夕的兩邊對應(yīng)平行，且兩邊方向不完全一致時，￡=萬-a=120。.

故答案為：60?；?20。

5-3.（2024高一?全國?專題練習(xí)）過正方體A3CO-4耳￡"的頂點A在空間作直線/,使/與平面即DQ和

直線8G所成的角都等于45。，則這樣的直線/共有條.

【答案】2

【分析】由題可轉(zhuǎn)化為過點A與AC,A2都成45。的直線有幾條，即可判斷.

【詳解】在正方體中，AC與平面38QQ垂直，再根據(jù)等角定理，問題可以轉(zhuǎn)化為過點A與AC、AR都成

45。的直線有幾條.

考慮到AC,夾角為60。，所以同一平面的角平分線與AC,4,的夾角大小為30。，

因為45。＞30。，從而存在兩條直線滿足條件.而AC,AQ的外角為120度，所以不存在外角平分線滿足條

件.

綜上，滿足條件的直線共2條.

故答案為：2.

5-4.（湖北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月調(diào)研數(shù)學(xué)試題）在棱長均相等的四面體ABCD中，尸為棱Aa

不含端點）上的動點，過點A的平面a與平面PBC平行?若平面a與平面筋￡?,平面ACD的交線分別為,

”,則加，”所成角的正弦值的最大值為.

【答案】巫巨也

33

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理說明小〃3P，n//PC,從而說明N3PC或其補角即為加，”所成的平

面角，利用余弦定理求得尸民PC的長，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案.

【詳解】連接PB,尸C,

由題意知過點A的平面a與平面P3C平行，平面a與平面MD,平面ACD的交線分別為加，”,

由于平面e〃平面P5C,平面PBCc平面=平面「3Cc平面ACD=PC,

所以租〃BP,n//PC,

所以/BPC或其補角即為加，〃所成的平面角，

設(shè)正四棱錐ABC。的棱長為1,AP=x,0<x<l,則PD=l-x,

在4AB尸中，

由余弦定理得BP=VAB2+AP--2AB-APcos60=^1+x2-2xlxxx1=Jl+V-x,

同理求得PC=Vx2-x+l，

PB2+PC2-BC2_2(x2-x+l)-l

故在PBC中,cosZBPC=

2PBpc2(x2-x+1

1

1

=14\2-X11_____2_

+、2

(/x——1y+一3

24

I

由于(X-!)2+[N[,則--2--<|,進而1一21

244(J+33/1、23-r

(x——)+-

2424

當(dāng)X=g時取等號，

故cosZB尸C的最小值為\,進而sinZBPC=A/1-COS2ZBPC<馬旦,

33

故sinZBPC的最大值為述,

3

故答案為：述.

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：要求直線加，〃所成角的正弦值的最大值，需找出直線機，”所成角，因而解答的關(guān)

鍵是利用面面平行的性質(zhì)說明所求角即為NBPC或其補角.

一、單選題

1.（2024高三.北京.學(xué)業(yè)考試）四棱錐尸-ABCD如圖所示，則直線PC（）

A.與直線平行B.與直線相交

C.與直線BD平行D.與直線8。是異面直線

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)異面直線的定義，不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直線

AD,直線8。是異面直線.

故選：D.

2.（2024?廣東）若直線乙和'是異面直線，4在平面a內(nèi)，4在平面夕內(nèi)，1是平面。與平面尸的交線，則

下列命題正確的是

A./與乙，4都相交B./與"4都不相交

C./至少與4，4中的一條相交D./至多與4，4中的一條相交

【答案】C

【詳解】/與〃，〃可以都相交，可可能和其中一條平行，和其中一條相交，如圖

aa,

所以/至少與4，，2中的一條相交.

故選:C.

3.（2024高一?全國?課后作業(yè)）若直線/在平面。外，貝也與平面。的公共點個數(shù)為（）

A.0B.0或1C.1D.2

【答案】B

【詳解】直線/在平面a外，則直線/與平面a相交或者平行，當(dāng)直線/與平面a相交時，公共點的個數(shù)是1

個，當(dāng)直線/與平面a平行時，公共點的個數(shù)是。個，

故選：B

4.（2024?上海?模擬預(yù)測）如圖，正方體ABC。-ABCa中，RQ、尺S分別為棱A&BC、班卜C。的中點，連

接A&2Q,對空間任意兩點M、N,若線段MN與線段AI瓦。都不相交，則稱兩點可視，下列選項

中與點2可視的為（）

APB

A.點尸B.點。C.點RD.點B

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.

【詳解】A選項：四邊形ARSP是平行四邊形，AS與2P相交，故A錯；

C選項：四邊形。是平行四邊形，與。耳相交，故C錯;

D選項：四邊形2百3〃是平行四邊形，與。片相交，故D錯;

利用排除法可得選項B正確.

故選：B.

5.（2024高二上?四川樂山?期末）若直線/與平面a有兩個公共點，貝也與。的位置關(guān)系是（）

A./uaB.IllaC./與a相交D.Zea

【答案】A

【分析】根據(jù)直線與平面之間的位置關(guān)系即可得出選項.

【詳解】若直線/與平面a有兩個公共點，

則直線在平面內(nèi)，BPZoa.

故選：A

6.（2024高二上.上海靜安?階段練習(xí)）設(shè)AB、C,D是某長方體四條棱的中點，則直線A3和直線的位

置關(guān)系是（）.

A.相交B.平行C.異面D.無法確定

【答案】A

【分析】在長方體中，延長ME,DC,AB,即會得到直線48和直線8的位置關(guān)系.

【詳解】

如圖，延長ME使加E=￡F,因為A,B,C,。為棱的中點，所以延長DC,A8都會交E尸中點”處,

所以直線AB和直線CD的位置關(guān)系為相交.

故選：A.

7.（2024高三.全國?專題練習(xí)）如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線

（）

A.12對B.24對

C.36對D.48對

【答案】B

【分析】根據(jù)空間幾何體異面直線的位置要求，可判斷出一條棱的異面直線數(shù)量.求得所有棱的異面直線數(shù)量,

除掉重復(fù)的即為所有異面直線的對數(shù).

【詳解】畫出正方體,如下圖所示：

如圖所示，與AB異面的直線有耳。，四條

因為各棱具有相同的位置且正方體共有12條棱，排除重復(fù)計算的棱

則共有異面直線皆=24（對）.

故選:B

【點睛】本題考查了異面直線的判斷和數(shù)量，熟練掌握正方體各棱的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.

8.（2024高三.全國?專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數(shù)為（）

A.18B.21C.24D.27

【答案】B

【分析】平面是向四周無限延展的.可分兩步進行空間直觀想象，先由三個側(cè)面分空間，再由棱柱的兩平行

底面分空間，即可解決問題.

【詳解】三棱柱的三個側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱的兩個底面將空間分成3部分.

故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數(shù)為3x7=21.

故選：B.

9.（2024高一.全國?課后作業(yè)）平面。上有三個不共線點到平面口距離相等，則平面。與平面月的位置關(guān)系

是（）

A.相交B.平行C.垂直D.相交或平行

【答案】D

【分析】根據(jù)面面關(guān)系結(jié)合圖形來分析判斷.

【詳解】如圖1,若a/夕，則平面a上任一點到平面口距離相等，故平面a上一定存在三個不共線點到平

面夕距離相等；

如圖2,若a與夕相交，則平面。上一定存在位于異側(cè)的三個不共線點到平面口距離相等；

故平面a與平面用的位置關(guān)系是相交或平行.

故選：D.

10.（2024高一.全國?課前預(yù)習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.一個平面內(nèi)三條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

B.如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行

D.如果一個平面內(nèi)有幾條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

【答案】B

【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系特別是面面平行的判定定理判斷.

【詳解】一個平面內(nèi)三條直線都平行于另一平面，當(dāng)這三條直線平行時，那么這兩個平面不一定平行，A

錯；

如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，這兩個平面無公共點，由面面平行的定義知這兩個平面平

行，B正確；

平行于同一直線的兩個平面可能相交，也可能平行，C錯；

如果一個平面內(nèi)有幾條直線都平行于另一平面，當(dāng)這幾條直線相互平行時，這兩個平面不一定平行，D錯.

故選：B.

11.（2024高三.全國.專題練習(xí)）如圖中,〃分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或

所在棱的中點，則表示直線G8,九W是異面直線的圖形有（）

①②③④

A.①③B.②③C.②④D.②③④

【答案】C

【分析】對于①③可證出GH〃肱V,兩條直線平行一定共面，即可判斷直線G"與共面；

對于②④可證G",N三點共面，但M史平面GH2V；G,H,N三點共面，但N6平面GM2V,即可判斷直線G"

與MN異面.

【詳解】由題意，可知題圖①中，GH//MN,因此直線GH與共面；

題圖②中，G,H,N三點共面，但“/平面GHN,因此直線G4與MN異面；

題圖③中，連接MG,則G//〃MN,因此直線GH與共面；

題圖④中，連接GN,G,77,N三點共面，但Ne平面G%V,

所以直線G"與MN異面.

故選C.

【點睛】本題主要考查異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2024高三上.內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）已知直線/和平面若/〃a,Pea,則過點P且平行于/的

直線（）.

A.只有一條，不在平面a內(nèi)B.只有一條，且在平面。內(nèi)

C.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)D.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

【答案】B

【分析】過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，即可得到答案.

【詳解】過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，因為點P在平面。內(nèi)，所以這條直線也應(yīng)該在平

面a內(nèi).

故選：B.

13.（2024高三?全國?專題練習(xí)）將圖（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜邊3C

的中線4）折起得到空間四面體ABC。，如圖（2）,則在空間四面體ABC。中，AD與BC的位置關(guān)系是（）

圖⑴圖(2)

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.異面且垂直D.異面但不垂直

【答案】C

【分析】根據(jù)線面垂直的判斷定理，證出皿，平面BCD；再由線面垂直的定義即可證出AD13C,由于

AD,BC不相交即可得出答案.

【詳解】折起前AD13C,折起后有AD±CD,且3￡>cCD=。，

所以AD_L平面BCD,所以AD人3c又AD與BC不相交，故A。與