2024-2025學年安師大附中高三數學上學期9月試題卷附答案解析

2024-2025學年安師大附中高三數學上學期9月試題卷2024.9.4全卷滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若集合，，則（

）A．B．[0，1]C．D．2．已知復數，若復數為純虛數，則實數的值為（

）A． B． C．-2 D．23．函數的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．4．若，且．則（

）A． B．2 C．3 D．5．已知直線與交于兩點，設弦的中點為為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知隨機事件，滿足，，，則（

）A． B． C． D．7．已知定義在上的函數滿足，則曲線在點處的切線方程為A． B．C． D．8．是雙曲線的左右焦點，點為雙曲線右支上一點，點在軸上，滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法中正確的是（

）A．某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數據的第70百分位數為8B．若隨機變量，且，則C．若隨機變量，且，則D．對一組樣本數據進行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個數據點在回歸直線上10．已知數列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數列B．的通項公式為C．為遞增數列D．的前n項和11．1675年，天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：在同一平面內，到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡是卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，設定點，，其中，動點滿足（且為常數），化簡可得曲線：，則（

）A．原點在曲線的內部B．曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形C．若，則的最大值為D．若，則存在點，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設，則．13．已知正數x，y滿足，若不等式恒成立，則實數a的取值范圍是．14．已知函數，函數，若函數恰有三個零點，則的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，內角所對的邊分別為．(1)求；(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．16．某中學為了解高中數學學習中抽象思維與性別的關系，隨機抽取了男生120人，女生80人進行測試.根據測試成績按分組得到如圖所示的頻率分布直方圖，并且男生的測試成績不小于60分的有80人.(1)填寫下面的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為高中數學學習中抽象思維與性別有關；成績小于60成績不小于60合計男女合計(2)規(guī)定成績不小于60（百分制）為及格，按及格和不及格用分層抽樣，隨機抽取10名學生進行座談，再在這10名學生中選2名學生發(fā)言，設及格學生發(fā)言的人數為，求的分布列和期望.附：0.100.0500.0102.7063.8416.63517．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中是的中點，是的中點.(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；18．已知O為坐標原點，是橢圓C：的右焦點，過F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點．當A為短軸頂點時，的周長為．(1)求C的方程；(2)若線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點P，Q，M為線段AB的中點，求的取值范圍．19．已知函數.(1)若，求證：當時，(2)若有兩個不同的極值點且.（i）求的取值范圍；（ii）求證：.．D【分析】先求得集合，，再求其并集即可．【詳解】由，得，故，由，得，故，故．故選：D．2．A【分析】求出，再根據純虛數概念得解.【詳解】由已知，復數為純虛數，所以得.故選：A.3．A【分析】根據函數的奇偶性可得函數為偶函數，可排除CD，然后根據時的函數值可排除B.【詳解】因為，定義域為R，又，所以是偶函數，圖象關于軸對稱，故排除CD，又當時，，，故排除B.故選：A.4．C【分析】根據二倍角公式以及誘導公式化簡得，進而根據齊次式以及弦切互化即可求解.【詳解】由得，進而得，化簡得：，所以或，由于，所以，故，故選：C5．D【分析】首先求出圓心坐標與半徑，再求出直線過定點坐標，設Ax1,y1，Bx2,y【詳解】即，則圓心為，半徑，直線，令，解得，即直線恒過定點1,0，又，所以點1,0在圓內，設Ax1,y1，B消去整理得，顯然，則，則，所以，，則，則，又直線的斜率不為，所以不過點1,0，所以動點的軌跡方程為（除點1,0外），圓的圓心為，半徑，又，所以，即，即的取值范圍為.故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是求出動點的軌跡，再求出圓心到原點的距離，最后根據圓的幾何性質計算可得.6．A【分析】根據已知結合條件概率公式，即可得出，進而推得.即可根據條件概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，.因為，所以，.又,所以，.又，所以，.故選：A.7．C【分析】利用方程組法求出函數解析式，然后利用導數求切線斜率，由點斜式可得切線方程.【詳解】因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線y=fx在點處的切線方程為，故所求的切線方程為.故選：C.8．D【分析】根據向量加法運算法則，結合平行四邊形的性質可確定以為鄰邊的平行四邊形為菱形，得到，結合雙曲線定義可求得，利用余弦定理可構造的齊次方程，從而求得離心率.【詳解】設，則，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，又，為的角平分線，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，，由雙曲線定義知：，，，在中，由余弦定理得：，雙曲線的離心率.故選：D.9．BC【分析】對于A，根據百分位數的定義求解判斷即可；對于B，根據二項分布的均值和方差求解即可判斷；對于C，根據正態(tài)分布的性質求解即可判斷；對于D，結合線性回歸方程的定義即可判斷.【詳解】對于A，將10次射擊成績從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.因為，所以這組數據的第70百分位數為，故A錯誤；對于B，由，則，即，則，故B正確；對于C，因為，則，所以，故C正確；對于D，數據可能都不在回歸直線上，故D錯誤.故選：BC.10．ABD【分析】根據已知證明為定值即可判斷A；由A選項結合等比數列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；，即，故B正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.11．BCD【分析】對于A，將原點坐標代入方程判斷，對于B，對曲線方程以代，代進行判斷，對于C，利用曲線方程求出的取值范圍，結合兩點間的距離公式進行判斷，對于D，若存在點，使得，然后由化簡計算即可判斷.【詳解】對于A，將代入方程，得，所以當時，原點在曲線上，所以A錯誤，對于B，以代，得，得，所以曲線關于軸對稱，代，得，得，所以曲線關于軸對稱，以代，代，得，得，所以曲線關于原點對稱，所以曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，所以B正確，對于C，當時，由，得，解得，所以，所以，所以的最大值為，所以C正確，對于D，若存在點，使得，則，因為，所以，所以，所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以當，則存在點，使得，所以D正確，故選：BCD12．【分析】令,即可求的值.【詳解】，令，可得，①令，可得，②①+②可得.故答案為：.13．【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因為，所以，所以，等號成立當且僅當，所以，，故實數a的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是先得到，再進一步結合乘“1”法即可順利得解.14．【分析】利用導數分析函數的單調性，作出函數的大致圖象，令gx=0可得，或，由條件結合圖象可得的取值范圍.【詳解】當時，，所以，當時，f′x<0，函數在上單調遞減，當時，f′x>0，函數在上單調遞增，且，，，當時，，當時，，當時，與一次函數相比，函數增長速度更快，從而，當時，，所以，當時，f′x>0，函數在上單調遞增，當時，f′x<0，函數在上單調遞減，且，，當時，，當時，，當時，與對數函數相比，一次函數增長速度更快，從而，當，且時，，根據以上信息，可作出函數的大致圖象如下：函數的零點個數與方程的解的個數一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數與方程解的個數相等，而方程的解的個數與函數y=fx的圖象與函數的圖象的交點個數相等，由圖可知：當時，函數y=fx的圖象與函數的圖象有3個交點.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.15．(1)(2)．【分析】（1）利用和差公式和三角形內角和定理將已知條件展開，然后化簡整理即可得解；（2）利用三角形面積公式求出，然后由面積公式和余弦定理列方程組可得，可得周長.【詳解】（1）由，得，①由，得，②由①②聯(lián)立，得，由，得，所以，又由B∈0,π，得（2）因為的面積為，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周長為．16．(1)表格見解析，有的把握認為高中數學學習中抽象思維與性別有關(2)分布列見解析，【分析】（1）計算成績小于60分的人數，填寫2×2列聯(lián)表，進行獨立性檢驗即可；（2）根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，根據超幾何分別寫出分布列和期望即可．【詳解】（1）成績小于60分的人數為：由題意，得列聯(lián)表如下表：成績小于60成績不小于60合計男4080120女404080合計80120200故有的把握認為高中數學學習中抽象思維與性別有關；（2）由（1）知，200人中不及格的人數為80，及格人數為120用分層抽樣隨機抽取的10名學生中不及格有4人，及格有6人由題意，的所有可能取值為，且服從超幾何分布，則，即：的分布列為.01217．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點，利用線面平行判定推理即得.（2）以A為原點建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求解即得.【詳解】（1）取中點，連接，由是的中點，得，且，由是的中點，得，且，則有，四邊形是平行四邊形，于是，又平面平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以A為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，有，則有，設平面與平面的法向量分別為，則有，令，得，，令，得，因此.所以平面與平面的夾角余弦值為.18．(1)(2)【分析】（1）根據題意，得到且，結合，列出方程求得的值，即可求解.（2）解法一：設直線，聯(lián)立方程組，利用韋達定理得到，得出的垂直平分線的方程，求得，化簡，利用換元法和二次函數的性質，即可求解；解法二：設，聯(lián)立方程組，利用根與系數的關系得到，進而得到，化簡，利用換元法和二次函數的性質，即可求解.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，因為橢圓的焦點為，可得，又因為為短軸頂點時，的周長，又由，所以，解得，所以橢圓的標準方程為．（2）解法一：因為橢圓的焦點為，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，設，，則，，則，于是線段AB的垂直平分線的方程為，令，可得，由，令，則，因為，所以，可得，因此．解法二：因為橢圓的焦點為，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，設，，則，，則，可得線段AB的垂直平分線的方程為，令，得，由．令，則，因為，可得，可得，因此．

【點睛】方法技巧：圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點問題，常涉及不等式、函數的值域問題，綜合性比較強，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調性法；（4）三角換元法；（5）平面向量；（6）導數法等，要特別注意自變量的取值范圍.19．(1)見解析(2)（i）（ii）證明見解析【分析】（1）求導判斷函數的單調性即可求解最值證明，（2）根據極值點可得韋達定理，根據一元二次方程根的分布即可求解的范圍，利用，消去，進而看做關于的函數，構造，利用導數求解函數的單調性，即可求解最值判斷，結合對數與指數的單調性即可求解.【詳解】（1）時，則，故在單調