高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（北師大版）課件第3章第2節(jié)第5課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三

章第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的零點(diǎn)問題01課堂·考點(diǎn)突破02課后·高效演練欄目導(dǎo)航[明技法]含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)圖像，根據(jù)圖像特征求出參數(shù)的范圍．01課堂·考點(diǎn)突破利用圖像研究函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題[提能力]【典例】

已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(2，＋∞)

B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)B

[刷好題](2018·池州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－(－1)n2alnx(n∈Z，a＞0)．(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若n＝2016，且函數(shù)y＝2ax－f(x)有唯一零點(diǎn)x0，求x0與a.[明技法]利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)最值或極值的符號確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，此類問題求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定存在零點(diǎn)的條件．

利用函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)零點(diǎn)[提能力]【典例】

(2018·阜陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因?yàn)閒(0)＝c，f′(0)＝b，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝bx＋c.[刷好題](2016·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①設(shè)a≥0，則當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增．[明技法]含參數(shù)的兩函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖像交點(diǎn)問題，若不能作出兩函數(shù)圖像，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)問題．

構(gòu)造法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題[提能力]【典例】

已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k＜1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點(diǎn)．(2)證明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，由題設(shè)知1－k＞0.當(dāng)x≤0時(shí)，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一實(shí)根．當(dāng)x＞0時(shí)，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0，所以g(x)＝0在(0，＋∞)上沒有實(shí)根．綜上，g(x)＝0在R有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點(diǎn)．[刷好題](2018·臨沂模擬)已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x