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文檔簡介
2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)知識講練知識點01:圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角
1.圓的定義
(1)旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的,叫做圓.
(2)圓是.
細(xì)節(jié)剖析:①圓心確定,半徑確定;確定一個圓應(yīng)先確定,再確定,二者缺一不可;
②圓是一條封閉曲線.2.圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn)不變性:圓是,繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合;圓是圖形,對稱中心是在中,兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距,這四組量中的任意一組相等,那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.
(2)軸對稱:圓是,經(jīng)過圓心的任一直線都是它的.
(3)垂徑定理及推論:
①垂直于弦的直徑這條弦,并且平分②平分弦(不是直徑)的直徑于弦,并且平分弦所對的.
③弦的過圓心,且平分弦對的
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心,且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧.
細(xì)節(jié)剖析:在垂經(jīng)定理及其推論中:過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的、平分弦所對的在這五個條件中,知道任意兩個,就能推出其他三個結(jié)論.(注意:“”作為題設(shè)時,平分的弦不能是直徑)3.兩圓的性質(zhì)
(1)兩個圓是一個,對稱軸是.
(2)相交兩圓的連心線,相切兩圓的連心線經(jīng)過4.與圓有關(guān)的角
(1)圓心角:叫圓心角.
圓心角的性質(zhì):.
(2)圓周角:頂點在,叫做圓周角.
圓周角的性質(zhì):
①圓周角等于
②所對的圓周角相等;在中,相等的圓周角所對的弧相等.
③所對的弦為直徑;所對的圓周角為直角.
④如果,那么這個三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補;外角等于它的.
細(xì)節(jié)剖析:(1)圓周角必須滿足兩個條件:①頂點在;②角的兩邊都和圓
(2)圓周角定理成立的前提條件是在中.
知識點02:與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.判定一個點P是否在⊙O上
設(shè)⊙O的半徑為,OP=,則有
點P在⊙O外;點P在⊙O上;點P在⊙O內(nèi).
細(xì)節(jié)剖析:和是相對應(yīng)的,即知道就可以確定;知道也可以確定.2.判定幾個點在同一個圓上的方法
當(dāng)時,在⊙O上.
3.直線和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O半徑為R,點O到直線的距離為.
(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
4.切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定:
①是圓的切線.
②是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì):
①圓的切線過切點的半徑.
②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過
(3)切線長:從圓外一點作圓的切線,這叫做切線長.
(4)切線長定理:從圓外一點作圓的兩條,它們的切線長,這兩條切線的夾角.
5.圓和圓的位置關(guān)系
設(shè)的半徑為,圓心距.
(1)和沒有公共點,且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離
.
(2)和沒有公共點,且的每一個點都在內(nèi)部內(nèi)含
(3)和有唯一公共點,除這個點外,每個圓上的點都在另一個圓外部外切.
(4)和有唯一公共點,除這個點外,的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切.
(5)和有兩個公共點相交.
知識點03:三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內(nèi)心:是三角形,它是三角形內(nèi)切圓的圓心,在三角形內(nèi)部,它到三角形三邊的距離相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:是三角形,它是三角形外接圓的圓心,銳角三角形外心在三角形內(nèi)部,直角三角形的外心是斜邊中點,鈍角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三個頂點的距離相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:是,在三角形內(nèi)部;它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:是.細(xì)節(jié)剖析:(1)任何一個三角形都一個內(nèi)切圓,但任意一個圓都有個外切三角形;
(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時,面積法是常用的,即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半,即(S為三角形的面積,P為三角形的周長,r為內(nèi)切圓的半徑).
(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等;(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1)叫圓的內(nèi)接四邊形,圓內(nèi)接四邊形,外角等于.
(2)叫圓外切四邊形,圓外切四邊形相等.
知識點04:圓中有關(guān)計算
1.圓中有關(guān)計算
圓的面積公式:,周長.
圓心角為、半徑為R的弧長.
圓心角為,半徑為R,弧長為的扇形的面積.
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
圓柱的側(cè)面圖是一個,底面半徑為R,母線長為的圓柱的體積為,側(cè)面積為,全面積為.
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,底面半徑為R,母線長為,高為的圓錐的側(cè)面積為,全面積為,母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細(xì)節(jié)剖析:(1)對于扇形面積公式,關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的,即;
(2)在扇形面積公式中,涉及三個量:扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角,知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用,它與三角形面積公式有點類似,可類比記憶;
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系:.一.選擇題(共10小題,滿分20分,每小題2分)1.(2分)(2023?宿城區(qū)一模)如圖,點A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,則∠B=()A.64° B.66° C.68° D.72°2.(2分)(2023?建鄴區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點P的坐標(biāo)是(4,5),⊙P與x軸相切,點A,B在⊙P上,它們的橫坐標(biāo)分別是0,9.若⊙P沿著x軸向右作無滑動的滾動,當(dāng)點B第一次落在x軸上時,此時點A的坐標(biāo)是()?A.(7+2π,9) B.(7+2.5π,9) C.(7+2π,8) D.(7+2.5π,8)3.(2分)(2022秋?江都區(qū)校級期末)如圖,AB是⊙O的直徑,,則∠BAC的度數(shù)為()A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°4.(2分)(2023?錫山區(qū)校級三模)如圖,矩形OABC中,OA=4,AB=2,以O(shè)為圓心,OA為半徑作弧,且∠AOD=60°,則陰影部分面積為()A. B. C. D.5.(2分)(2023?鎮(zhèn)江二模)如圖,在菱形紙片ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,分別剪出扇形ABC和⊙O,恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面.若點O在BD上,則BO的最大值是()A. B. C. D.6.(2分)(2023?寶應(yīng)縣校級三模)如圖,在菱形ABCD中,點E是AB的中點,以D為圓心、DE的長度為半徑作弧EF,交BC于F,連接DE、DF.若∠A=60°,AD=4,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.7.(2分)(2023?泉山區(qū)校級三模)如圖,點A,B,C在⊙O上,∠AOB=70°,則∠ACB等于()?A.30° B.35° C.40° D.45°8.(2分)(2023?東??h二模)小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數(shù),讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上,兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點.若點A、C對應(yīng)的刻度分別為55°,135°,則∠ABC的度數(shù)為()A.135° B.140° C.145° D.150°9.(2分)(2023?梁溪區(qū)校級二模)如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4,C為的三等分點(更靠近A點),點P是⊙O上個動點,取弦AP的中點D,則線段CD的最大值為()A.2 B. C. D.10.(2分)(2023?宜興市一模)如圖,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,CD⊥AB,垂足為D,AD=2,點E是⊙O上的動點(不與C重合),點F為CE的中點,若在E運動過程中DF的最大值為4,則CD的值為()A. B. C. D.二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)11.(2分)(2023春?儀征市期末)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,,BE=1,則OC=.12.(2分)(2023?邗江區(qū)校級二模)如圖,正五邊形ABCDE的邊長為4,以AB為邊作等邊△ABF,則圖中陰影部分的面積為.13.(2分)(2023?邳州市一模)如圖,某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽,使槽口寬度AB為8cm,則槽的深度CD為cm.14.(2分)(2023?姜堰區(qū)二模)如圖,已知AB=1,,BC與相切于點C,則的長=.?15.(2分)(2023?東海縣二模)如圖所示,將扇形OAB沿OA方向平移得對應(yīng)扇形CDE,線段CE交弧AB點F,當(dāng)OC=CF時平移停止.若∠O=60°,OB=3,則兩個扇形重疊部分的面積為.16.(2分)(2022秋?江都區(qū)期末)如圖所示,矩形紙片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作一個圓錐的側(cè)面和底面,則AB的長為cm.17.(2分)(2023?海州區(qū)二模)如圖,一把打開的雨傘可近似的看成一個圓錐,傘骨(面料下方能夠把面料撐起來的支架)末端各點所在圓的直徑AC長為12分米,傘骨AB長為10分米,那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為平方分米.18.(2分)(2023?海州區(qū)校級三模)如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若∠AOC=160°,則∠ABC的度數(shù)是.?19.(2分)(2023?淮安模擬)如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,OF⊥BC于點F,∠BOF=65°,則∠AOD為.?20.(2分)(2022秋?南京期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā),沿著A﹣B﹣C的路線運動,則以P為圓心,2為半徑的⊙P與△ABC三邊都有公共點的時間共秒.三.解答題(共8小題,滿分60分)21.(6分)(2022秋?如皋市期末)如圖,CE是⊙O的直徑,半徑OA⊥弦BC,垂足為點D,連AB,AC,AE.(1)求證:∠ACB=∠E;(2)若∠ACB=30°,AC=3,求的長.22.(6分)(2023?姑蘇區(qū)校級二模)如圖,AB是⊙O的直徑,AM是⊙O的切線,AC、CD是⊙O的弦,且CD⊥AB,垂足為E,連接BD并延長,交AM于點P.(1)求證:∠CAB=∠APB;(2)若⊙O的半徑5,AC=8,求線段BD的長.23.(8分)(2023?亭湖區(qū)校級二模)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,在AB上取點O,以O(shè)為圓心,以O(shè)B為半徑作圓,與AC相切于點D,并分別與AB,BC相交于點E,F(xiàn)(異于點B).(1)求證:BD平分∠ABC;(2)若點E恰好是AO的中點,求扇形BOF的面積.?24.(8分)(2023?阜寧縣二模)如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,D是AB邊上一點,以BD為直徑的半圓O與邊AC相切,切點為E,過點O作OF⊥BC,垂足為F.(1)求證:OF=EC;(2)若∠A=30°,BD=2,求線段AD、AE與弧DE圍成的陰影部分面積.25.(8分)(2023?宿遷)(1)如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點F,弦AD平分∠BAC,點E在AC上,連接DE、DB,.求證:;從①DE與⊙O相切;②DE⊥AC中選擇一個作為已知條件,余下的一個作為結(jié)論,將題目補充完整(填寫序號),并完成證明過程;(2)在(1)的前提下,若AB=6,∠BAD=30°,求陰影部分的面積.26.(8分)(2023?新吳區(qū)二模)如圖,在△ABC中,AB=AC,E為AB上一點,作EF∥AC,與BC交于點F,經(jīng)過點B、E、F的⊙O與AC相切于點D,連接BD、ED.(1)求證:BD平分∠ABC;(2)若AE=4,BE=5,求AD的長.27.(8分)(2023?泰州模擬)燃油機(jī)由汽缸、活塞A、連桿AP、曲軸OP、飛輪⊙O組成(如圖所示),活塞A在汽缸內(nèi)往復(fù)運動,通過連桿AP帶動曲軸OP作圓周運動,其中AP=70cm,OP=30cm,當(dāng)A在初始位置A0時,點O、P、A共線.設(shè)點A從A0向左移動的距離為d,曲軸OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α,在0°<α≤180°的情形下.(1)d為多少時,AP與點P所在的⊙O相切;(2)若d=50cm,求點P經(jīng)過的路線長.28.(8分)(2023?啟東市二模)已知AB為⊙O的直徑,點C,D為⊙O上的兩點,AD的延長線于BC的延長線交于點P,連接CD,∠CAB=30°.(Ⅰ)如圖①,若,AB=4,求AD的長;(Ⅱ)如圖②,過點C作⊙O的切線交AP于點M,若CD=AD=6,求CM的長.
2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)知識講練知識點01:圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角
1.圓的定義
(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的封閉曲線,叫做圓.
(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.
細(xì)節(jié)剖析:①圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大??;確定一個圓應(yīng)先確定圓心,再確定半徑,二者缺一不可;
②圓是一條封閉曲線.2.圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn)不變性:圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合;圓是中心對稱圖形,對稱中心是圓心.
在同圓或等圓中,兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距,這四組量中的任意一組相等,那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.
(2)軸對稱:圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.
(3)垂徑定理及推論:
①垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.
③弦的垂直平分線過圓心,且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心,且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
細(xì)節(jié)剖析:在垂經(jīng)定理及其推論中:過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧,在這五個條件中,知道任意兩個,就能推出其他三個結(jié)論.(注意:“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時,平分的弦不能是直徑)3.兩圓的性質(zhì)
(1)兩個圓是一個軸對稱圖形,對稱軸是兩圓連心線.
(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦,相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.4.與圓有關(guān)的角
(1)圓心角:頂點在圓心的角叫圓心角.
圓心角的性質(zhì):圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).
(2)圓周角:頂點在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
圓周角的性質(zhì):
①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.
②同弧或等弧所對的圓周角相等;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.
③90°的圓周角所對的弦為直徑;半圓或直徑所對的圓周角為直角.
④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補;外角等于它的內(nèi)對角.
細(xì)節(jié)剖析:(1)圓周角必須滿足兩個條件:①頂點在圓上;②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
知識點02:與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.判定一個點P是否在⊙O上
設(shè)⊙O的半徑為,OP=,則有
點P在⊙O外;點P在⊙O上;點P在⊙O內(nèi).
細(xì)節(jié)剖析:點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的,即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系;知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2.判定幾個點在同一個圓上的方法
當(dāng)時,在⊙O上.
3.直線和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O半徑為R,點O到直線的距離為.
(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
4.切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定:
①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì):
①圓的切線垂直于過切點的半徑.
②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.
③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.
(3)切線長:從圓外一點作圓的切線,這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
(4)切線長定理:從圓外一點作圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
5.圓和圓的位置關(guān)系
設(shè)的半徑為,圓心距.
(1)和沒有公共點,且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離
.
(2)和沒有公共點,且的每一個點都在內(nèi)部內(nèi)含
(3)和有唯一公共點,除這個點外,每個圓上的點都在另一個圓外部外切.
(4)和有唯一公共點,除這個點外,的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切.
(5)和有兩個公共點相交.
知識點03:三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內(nèi)心:是三角形三條角平分線的交點,它是三角形內(nèi)切圓的圓心,在三角形內(nèi)部,它到三角形三邊的距離相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:是三角形三邊中垂線的交點,它是三角形外接圓的圓心,銳角三角形外心在三角形內(nèi)部,直角三角形的外心是斜邊中點,鈍角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三個頂點的距離相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:是三角形三邊中線的交點,在三角形內(nèi)部;它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:是三角形三邊高線的交點.細(xì)節(jié)剖析:(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓,但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形;
(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時,面積法是常用的,即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半,即(S為三角形的面積,P為三角形的周長,r為內(nèi)切圓的半徑).
(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等;(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形,圓內(nèi)接四邊形對角互補,外角等于內(nèi)對角.
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形,圓外切四邊形對邊之和相等.
知識點04:圓中有關(guān)計算
1.圓中有關(guān)計算
圓的面積公式:,周長.
圓心角為、半徑為R的弧長.
圓心角為,半徑為R,弧長為的扇形的面積.
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
圓柱的側(cè)面圖是一個矩形,底面半徑為R,母線長為的圓柱的體積為,側(cè)面積為,全面積為.
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,底面半徑為R,母線長為,高為的圓錐的側(cè)面積為,全面積為,母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細(xì)節(jié)剖析:(1)對于扇形面積公式,關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的,即;
(2)在扇形面積公式中,涉及三個量:扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角,知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用,它與三角形面積公式有點類似,可類比記憶;
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系:.
一.選擇題(共10小題,滿分20分,每小題2分)1.(2分)(2023?宿城區(qū)一模)如圖,點A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,則∠B=()A.64° B.66° C.68° D.72°解:連接OA,∵OA=OC,∠A=36°,∴∠OAC=∠C=28°,∴∠OAB=36°+28°=64°,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=64°.故選:A.2.(2分)(2023?建鄴區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點P的坐標(biāo)是(4,5),⊙P與x軸相切,點A,B在⊙P上,它們的橫坐標(biāo)分別是0,9.若⊙P沿著x軸向右作無滑動的滾動,當(dāng)點B第一次落在x軸上時,此時點A的坐標(biāo)是()?A.(7+2π,9) B.(7+2.5π,9) C.(7+2π,8) D.(7+2.5π,8)解:如圖1,設(shè)⊙P與x軸的切點為D,過點P作PC⊥y軸于C,連接PD,PA,∴PD⊥x軸,∵點P的坐標(biāo)是(4,5),∴PC=4,PD=5,即⊙P的半徑為5,∴PA=PD=5,在Rt△PCA中,由勾股定理得:,延長CP與⊙P相交,此時交點到點C的距離為9,而點B的橫坐標(biāo)為9,故交點為點B,∴∠DPB=90°,如圖2,當(dāng)點B第一次落在x軸上時,⊙P滾動了90°,∴點B滾動的距離為:,點A的對應(yīng)點為A',點C的對應(yīng)點為C',點B的對應(yīng)點為B',點P的對應(yīng)點為P',此時A'C'=AC=3,P'C'=PC=4,點A'的縱坐標(biāo)為P'C'+5=4+5=9,點A'的橫坐標(biāo)為PC+A'C'+2.5π=4+3+2.5π=7+2.5π,∴點A'的坐標(biāo)為(7+2.5π,9),即此時點A的坐標(biāo)是(7+2.5π,9),故選:B.3.(2分)(2022秋?江都區(qū)校級期末)如圖,AB是⊙O的直徑,,則∠BAC的度數(shù)為()A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°解:如圖,連接OC,∵=3,∴∠AOC=3∠BOC,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴∠BOC=180°×=45°,∴∠BAC=BOC=22.5°.故選:A.4.(2分)(2023?錫山區(qū)校級三模)如圖,矩形OABC中,OA=4,AB=2,以O(shè)為圓心,OA為半徑作弧,且∠AOD=60°,則陰影部分面積為()A. B. C. D.解:如圖,過點E作EH⊥OF于H,由題意得,OF=OA=4,OC=AB=2,由勾股定理得,CF===2,∴∠OFC=30°,∴∠COF=60°,∴∠AOF=∠EOF=∠COE=30°,∵∠AOD=60°,∴∠DOF=∠AOD﹣∠AOF=30°,∴∠OFC=∠DOF,∠COE=30°,∴OE=FE,∵∠C=90°,OC=2,∴OE==,∴EH=,∴陰影部分的面積=S扇形ODF﹣S△OEF=﹣×4×=﹣,故選:A.5.(2分)(2023?鎮(zhèn)江二模)如圖,在菱形紙片ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,分別剪出扇形ABC和⊙O,恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面.若點O在BD上,則BO的最大值是()A. B. C. D.解:連接AC交BD于P點,如圖,∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD,PB=PD,∠ABP=∠ABC=30°,AB∥DC,∴PA=AB=3,∠CDB=∠ABD=30°,∴BP=AP=3,∴BD=2BP=6,設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,根據(jù)題意得2πr=,解得r=1,當(dāng)⊙O與DA、DC相切時,BO的值最大,過O點作OH⊥DC于H,如圖,則OH=1,∴OD=2OH=2,∴BO=BD﹣OD=6﹣2,即BO的最大值是6﹣2.故選:B.6.(2分)(2023?寶應(yīng)縣校級三模)如圖,在菱形ABCD中,點E是AB的中點,以D為圓心、DE的長度為半徑作弧EF,交BC于F,連接DE、DF.若∠A=60°,AD=4,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.解:連接BD,如圖所示:∵四邊形ABCD是菱形,AD=4,∴AB=4,∵∠A=60°,∴△ABD是等邊三角形,∵點E是AB的中點,∴AE=BE=2,DE⊥AB,∴∠ADE=∠DEB=90°﹣60°=30°,同理可得CF=BF=2,DF⊥BC,∴∠CDF=∠FDB=30°,∴∠EDF=60°,由勾股定理得,∴S陰影=S△BED+S△BFD﹣S扇形DEF==,故選:A.7.(2分)(2023?泉山區(qū)校級三模)如圖,點A,B,C在⊙O上,∠AOB=70°,則∠ACB等于()?A.30° B.35° C.40° D.45°解:∵∠AOB=70°,∴∠ACB=∠AOB=35°,故選:B.8.(2分)(2023?東??h二模)小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數(shù),讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上,兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點.若點A、C對應(yīng)的刻度分別為55°,135°,則∠ABC的度數(shù)為()A.135° B.140° C.145° D.150°解:連接OA,OC,DA,DC,設(shè)⊙O的直徑為EF,如圖,∵∠AOE=55°,∠EOC=135°,∴∠AOC=∠EOC﹣∠AOE=135°﹣55°=80°,∴,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣40°=140°.故選:C.9.(2分)(2023?梁溪區(qū)校級二模)如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4,C為的三等分點(更靠近A點),點P是⊙O上個動點,取弦AP的中點D,則線段CD的最大值為()A.2 B. C. D.解:如圖,連接OD,OC,∵AD=DP,∴OD⊥PA,∴∠ADO=90°,∴點D的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K,連接CK,AC,當(dāng)點D在CK的延長線上時,CD的值最大,∵C為的三等分點,∴∠AOC=60°,∴△AOC是等邊三角形,∴CK⊥OA,在Rt△OCK中,∵∠COA=60°,OC=2,OK=1,∴CK==,∵DK=OA=1,∴CD=+1,∴CD的最大值為+1,故選:D.10.(2分)(2023?宜興市一模)如圖,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,CD⊥AB,垂足為D,AD=2,點E是⊙O上的動點(不與C重合),點F為CE的中點,若在E運動過程中DF的最大值為4,則CD的值為()A. B. C. D.解:如圖所示:連接OE、OC,取OC的中點M,連接MF和DM,設(shè)⊙O的半徑為r,∵點F為CE的中點,∴MF=OE=,∵點E是⊙O上的動點(不與C重合),點C為頂點,∴點F的運動軌跡是以點M圓心,以MF的長為半徑的圓上,則DF≤DM+MF,∴當(dāng)點D、M、F三點共線時,DF有最大值4,此時DF=DM+MF,∴DM=4﹣,∵CD⊥AB,∴∠CDO=90°,∵點M為OC的中點,∴DM=OC=,∴,解得:r=4,∴OD=OA﹣AD=2,在Rt△CDO中,CD==2;故選:A.二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)11.(2分)(2023春?儀征市期末)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,,BE=1,則OC=2.解:設(shè)OC=x,則OE=x﹣1,在Rt△COE中由勾股定理得,OC2=CE2+OE2,即x2=()2+(x﹣1)2,解得x=2,即OC=2,故答案為:2.12.(2分)(2023?邗江區(qū)校級二模)如圖,正五邊形ABCDE的邊長為4,以AB為邊作等邊△ABF,則圖中陰影部分的面積為.解:在正五邊形ABCDE中,,∵△ABF是等邊三角形,∴∠FAB=60°,∴∠EAF=48°,∴,故答案為:.13.(2分)(2023?邳州市一模)如圖,某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽,使槽口寬度AB為8cm,則槽的深度CD為2cm.解:如圖,由題意可知,OA=5cm,OC⊥AB,則cm,在Rt△ADO中,由勾股定理得,OD==3(cm),∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2(cm).故答案為2.14.(2分)(2023?姜堰區(qū)二模)如圖,已知AB=1,,BC與相切于點C,則的長=π.?解:如圖,設(shè)所在的圓心為O,連接OA、OC、AC,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=,∴AC==2,∵AB=AC,∴∠ACB=30°,∵⊙O與BC相切于點C,∴∠OCB=90°,∴∠OCA=90°﹣30°=60°,又∵OA=OC,∴△AOC是正三角形,∴∠AOC=60°,OA=OC=AC=2,∴的長為=π,故答案為:π.15.(2分)(2023?東??h二模)如圖所示,將扇形OAB沿OA方向平移得對應(yīng)扇形CDE,線段CE交弧AB點F,當(dāng)OC=CF時平移停止.若∠O=60°,OB=3,則兩個扇形重疊部分的面積為.解:如圖所示,連接OF,過點C作CH⊥OF,由平移性質(zhì)知,CE∥OB,∴∠CFO=∠BOF,∵CO=CF,∴∠COF=∠CFO,∴,在等腰△OCF中,,∴CH=OH?tan30°=×=,∴.故答案為:.16.(2分)(2022秋?江都區(qū)期末)如圖所示,矩形紙片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作一個圓錐的側(cè)面和底面,則AB的長為4cm.解:設(shè)AB=xcm,則DE=(6﹣x)cm,根據(jù)題意,得=π(6﹣x),解得x=4.故答案為:4.17.(2分)(2023?海州區(qū)二模)如圖,一把打開的雨傘可近似的看成一個圓錐,傘骨(面料下方能夠把面料撐起來的支架)末端各點所在圓的直徑AC長為12分米,傘骨AB長為10分米,那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為60π平方分米.解:∵AC=12分米,∴該圓錐底面周長為12π分米,∴該圓錐側(cè)面積=(平方分米),故答案為:60π.18.(2分)(2023?海州區(qū)校級三模)如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若∠AOC=160°,則∠ABC的度數(shù)是100°.?解:∵∠AOC=160°,∴∠D=AOC=80°,∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠D+∠ABC=180°,∴∠ABC=100°.故答案為:100°.19.(2分)(2023?淮安模擬)如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,OF⊥BC于點F,∠BOF=65°,則∠AOD為50°.?解:∵OF⊥BC,∴∠OFB=90°,∵∠BOF=65°,∴∠ABC=90°﹣65°=25°,∴的度數(shù)是2×25°=50°,∵AB是⊙O的直徑,CD⊥AB,∴=,∴的度數(shù)是50°,∴∠AOD=50°.故答案為:50°.20.(2分)(2022秋?南京期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā),沿著A﹣B﹣C的路線運動,則以P為圓心,2為半徑的⊙P與△ABC三邊都有公共點的時間共秒.解:當(dāng)P在AB上時,作PM⊥BC于M,PN⊥AC于N,設(shè)P運動的時間是t秒,∴AP=t,∵∠C=90°,∴AB===5,∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴PN:BC=AN:AC=AP:AB,∴PN:3=AN:4=t:5,∴PN=t,AN=t,∴CN=4﹣t,∵四邊形PNCM是矩形,∴PM=CN=4﹣t,∵⊙P與△ABC三邊都有公共點,∴t≤2,4﹣t≤2,∴≤t≤,∴⊙P與△ABC三邊都有公共點的時間是﹣=(秒);當(dāng)點P在BC上時,作PH⊥AB于H,設(shè)P從B出發(fā)運動的時間是t秒,∴PB=t,PC=3﹣t,∵∠B=∠B,∠BHP=∠C,∴△BPH∽△BAC,∴PH:AC=PB:AB,∴PH:4=t:5,∴PH=t,∵⊙P與△ABC三邊都有公共點,∴t≤2,3﹣t≤2,∴1≤t≤,當(dāng)1<PC<2時⊙P與BC無公共點,無公共點的時間(2﹣1)÷1=1(秒)∴⊙P與△ABC三邊都有公共點時的時間是﹣1﹣1=(秒),∴P從A出發(fā)到C,⊙P與△ABC三邊都有公共點時的時間+=(秒)故答案.三.解答題(共8小題,滿分60分)21.(6分)(2022秋?如皋市期末)如圖,CE是⊙O的直徑,半徑OA⊥弦BC,垂足為點D,連AB,AC,AE.(1)求證:∠ACB=∠E;(2)若∠ACB=30°,AC=3,求的長.(1)證明:∵OA⊥弦BC,∴=,∴∠ACB=∠E;(2)解:∵∠E=∠ACB=30°,∴∠AOC=2∠E=60°,∵OA=OC,∴△OAC為等邊三角形,∴OA=AC=3,∴的長為=π.22.(6分)(2023?姑蘇區(qū)校級二模)如圖,AB是⊙O的直徑,AM是⊙O的切線,AC、CD是⊙O的弦,且CD⊥AB,垂足為E,連接BD并延長,交AM于點P.(1)求證:∠CAB=∠APB;(2)若⊙O的半徑5,AC=8,求線段BD的長.(1)證明:∵AM是⊙O的切線,∴∠BAM=90°,∵∠CEA=90°,∴AM∥CD,∴∠CDB=∠APB,∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB.(2)解:如圖,連接AD,∵AB是直徑,∴∠CDB+∠ADC=90°,∵∠CAB+∠C=90°,∠CDB=∠CAB,∴∠ADC=∠C,∴AD=AC=8,∵AB=10,∴BD=6,23.(8分)(2023?亭湖區(qū)校級二模)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,在AB上取點O,以O(shè)為圓心,以O(shè)B為半徑作圓,與AC相切于點D,并分別與AB,BC相交于點E,F(xiàn)(異于點B).(1)求證:BD平分∠ABC;(2)若點E恰好是AO的中點,求扇形BOF的面積.?(1)證明:連接OD,如圖,∵AC與⊙O相切于點D,∴OD⊥AC,∵∠C=90°,∴BC⊥AC,∴OD∥BC,∴∠CBD=∠ODB,∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠OBD=∠CBD,∴BD平分∠ABC;(2)解:連接DE、OD、OF,如圖,∵AB=8,E是AO的中點,∴AE=OE=OB=,在Rt△AOD中,DE==OE,∴DE=OD=OE,∴△DOE為等邊三角形,∴∠DOE=60°,∵OD∥BC,∴∠FBO=∠DOE=60°,∵OF=OB,∴△FBO為等邊三角形,∴∠BOF=60°,∴S扇形BOF==π.24.(8分)(2023?阜寧縣二模)如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,D是AB邊上一點,以BD為直徑的半圓O與邊AC相切,切點為E,過點O作OF⊥BC,垂足為F.(1)求證:OF=EC;(2)若∠A=30°,BD=2,求線段AD、AE與弧DE圍成的陰影部分面積.(1)證明:連接OE,∵AC是⊙O的切線,∴OE⊥AC,又∵∠C=∠OEC=∠OFC=90°,∴四邊形OECF是矩形,∴OF=CE.(2)解:∵∠A=30°,BD=2,∴∠EOD=60°,OE=OD=1,,∴S陰影=S△AOE﹣S扇形DOE==.25.(8分)(2023?宿遷)(1)如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點F,弦AD平分∠BAC,點E在AC上,連接DE、DB,①(答案不唯一).求證:②(答案不唯一);從①DE與⊙O相切;②DE⊥AC中選擇一個作為已知條件,余下的一個作為結(jié)論,將題目補充完整(填寫序號),并完成證明過程;(2)在(1)的前提下,若AB=6,∠BAD=30°,求陰影部分的面積.解:(1)若選擇:①作為條件,②作為結(jié)論,如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點F,弦AD平分∠BAC,點E在AC上,連接DE、DB,DE與⊙O相切,求證:DE⊥AC,證明:連接OD,∵DE與⊙O相切于點D,∴∠ODE=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAB,∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO,∴∠EAD=∠ADO,∴AE∥DO,∴∠AED=180°﹣∠ODE=90°,∴DE⊥AC;若選擇:②作為條件,①作為結(jié)論,如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點F,弦AD平分∠BAC,點E在AC上,連接DE、DB,DE⊥AC,求證:DE與⊙O相切,證明:連接OD,∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAB,∵
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