專(zhuān)題03特殊的平行四邊形中的最值模型-費(fèi)馬點(diǎn)模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題03特殊的平行四邊形中的最值模型-費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主。本專(zhuān)題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型背景】皮耶·德·費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)?！灸Ｐ徒庾x】結(jié)論：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）圖3【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。例1．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為_(kāi)_______．例3．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，N為邊上一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．例4．（2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ，若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為．例5．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．

變式1．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為_(kāi)_____．變式2．（2023·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示，若∠α＝30°，則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是．變式3．（2023·廣東廣州·?？级＃┢叫兴倪呅沃?，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫(xiě)出的最小值．變式4．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．變式5．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問(wèn)題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂(lè)場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂(lè)場(chǎng)E修三條，求三條路的長(zhǎng)度和（即）最小時(shí)，平行四邊形公園的面積．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______．3．（2023·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車(chē)站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．5．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．6．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，若點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．

7．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是矩形對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則的最小值是__．8．（2023·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．9．（2022·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最??；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．10．（2022·福建九年級(jí)月考）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，.且（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)，以及的最小值.(提示：連接:，)11．（2023·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化．問(wèn)題提出：如圖1，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，求的最小值．方法分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段(星型線)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折)，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值(化折為直)．問(wèn)題解決：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接、，記與交于點(diǎn)，易知，．由，，可知為正三角形，有．故．因此，當(dāng)共線時(shí)，有最小值是．學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，則的最小值是__________．(2)如圖4，在中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，求的最小值．(3)如圖5，是邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、，求的最小值．12．（2023春·廣東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段BF上一點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若對(duì)角線AC⊥AB，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，，，求BC的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，AC的垂直平分線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于點(diǎn)M，求證：；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足BCE為等邊三角形時(shí)，若；在BCE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P使有最小值，若存在，直接寫(xiě)出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形中，是對(duì)角線．（1）如圖①若，，求菱形的面積；（2）如圖②，、分別是、上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．求證：（3）如圖③，若，且點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，求的最小值．14．（2022·重慶綦江·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF＝5，求DF的長(zhǎng)；(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．15．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖：(1)如圖1，已知銳角△ABC的邊BC＝3，S△ABC＝6，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC交BC于點(diǎn)D，連接AM，則AM+MD的最小值為．(2)如圖2．點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度數(shù)．(3)如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800點(diǎn)P是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△ABC＝2S△PBC，點(diǎn)Q為△ADP內(nèi)的任意﹣點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)PQ的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）【發(fā)現(xiàn)奧秘】(1)如圖1，在等邊三角形中，，點(diǎn)E是內(nèi)一點(diǎn)，連接，分別將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四個(gè)點(diǎn)滿足______時(shí)，的值最小，最小值為_(kāi)______．【解法探索】(2)如圖2，在中，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，連接，請(qǐng)求出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)的度數(shù)，并直接寫(xiě)出此時(shí)的值．（提示：分別將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接）【拓展應(yīng)用】(3)在中，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，連接，直接寫(xiě)出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值．

專(zhuān)題03特殊的平行四邊形中的最值模型-費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主。本專(zhuān)題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型背景】皮耶·德·費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。【模型解讀】結(jié)論：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）圖3【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小．此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。例1．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】首先通過(guò)SAS判定，得出，因?yàn)?,得出是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=，作輔助線，過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為．【詳解】∵為正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴為等邊三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值為．∴EN+MN+CM的最小值為即CE=．過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于F，可得．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=，．在，∵，∴解得（負(fù)值舍去）．∴正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，N為邊上一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，然后即可得為等邊三角形，同理為等邊三角形，接著證明當(dāng)、、三條線段在同一直線上，的值最小，即的值最小，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，即最小值為：，問(wèn)題隨之得解．【詳解】如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：，，，為等邊三角形，同理為等邊三角形，，，，當(dāng)線段、、三條線段在同一直線上，且該直線與垂直時(shí)，的值最小，即的值最小，如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，最小值為：，在矩形中，于點(diǎn)E，即可知四邊形是矩形，，即，為等邊三角形，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ，若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為．解：設(shè)BM＝x，則BN＝6﹣x，∵M(jìn)N2＝BM2+BN2，∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，∴當(dāng)x＝3時(shí)，MN最小，此時(shí)Q點(diǎn)離AD最近，∵BM＝BN＝3，∴Q點(diǎn)是AC和BD的交點(diǎn)，∴AQ＝DQ＝AD＝3，過(guò)點(diǎn)Q作QM′⊥AD于點(diǎn)M′，在△ADQ內(nèi)部過(guò)A、D分別作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，則∠APD＝∠APQ＝∠DPQ＝120°，點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PD+PQ最小，在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3，QM′⊥AD，∴AM＝QM′＝AQ＝3，故cos30°＝，解得：PA＝2，則PM′＝，故QP＝3﹣，同法可得PD＝2，則PA+PD+PQ＝2×+3﹣＝3+3，∴點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為3+3，故答案為3+3．例5．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)P，作交于點(diǎn)F，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)P是和交點(diǎn)時(shí)，的值最小，即為的長(zhǎng)度，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，交于點(diǎn)P，作交于點(diǎn)F，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵，∴當(dāng)點(diǎn)P是和交點(diǎn)時(shí)，的值最小，即為的長(zhǎng)度，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．變式1．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為_(kāi)_____．【答案】解：將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均為等邊三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共線時(shí)最短，由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)D’E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D’E＝DG+GE＝4+3，∴MA+MD+ME的最小值為4+3．變式2．（2023·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示，若∠α＝30°，則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是．解：如圖，過(guò)D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP′，則DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC?DE＝AB?DF，∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等邊三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短可知，當(dāng)PA+PB+PC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，與BD的交點(diǎn)即為到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小的P點(diǎn)，則點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C＝＝＝6（cm），因此點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是6cm，故答案為：6cm．變式3．（2023·廣東廣州·?？级＃┢叫兴倪呅沃校c(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫(xiě)出的最小值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)“直角三角形的中線等于斜邊長(zhǎng)一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，則，即可求解；（2）由題意可得，是的角平分線，且，故延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可證，要證，而，即證明即可，延長(zhǎng)交于N，過(guò)E作于P，先證明，可以得到，再證明四邊形是正方形，得到，接著證明即可解決；（3）如圖3，分別以和為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”模型，即可得到，所以，則，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，所求線段和的值最小，利用，解即可解決．【詳解】（1）解：∵，如圖1，∴，E為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，在中，，∴；（2）證明：如圖2，設(shè)射線與射線交于點(diǎn)M，由題可設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，延長(zhǎng)交于N，∴，過(guò)E作于P，則，在與中，

，∴，∴，過(guò)E作于Q，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，∴，在與中，，

∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等邊，同理以為邊構(gòu)造等邊，∴，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為線段BN的長(zhǎng)度，如圖4，過(guò)N作交其延長(zhǎng)線于T，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形綜合題，考查了線段的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”在證明三角形全等中的應(yīng)用，同時(shí)要注意基本輔助線構(gòu)造方法，比如第（2）問(wèn)中的線段既是角平分線，又是垂線段，延長(zhǎng)相交構(gòu)等腰就是本題的突破口，再結(jié)合線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短來(lái)構(gòu)造全等，還考查了多條線段和的最值問(wèn)題，利用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)轉(zhuǎn)化線段是解決此問(wèn)的關(guān)鍵．變式4．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補(bǔ)圖見(jiàn)解析；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；②首先證明∠ECF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)；【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x?2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2時(shí)，y有最小值，最小值為8，當(dāng)x＝4時(shí)，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如圖中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△AEG是等邊三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是配方法解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．變式5．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問(wèn)題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂(lè)場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂(lè)場(chǎng)E修三條，求三條路的長(zhǎng)度和（即）最小時(shí)，平行四邊形公園的面積．【答案】（1）等邊三角形；（2）BC的最小值為；（3）平行四邊形公園ABCD的面積為（平方米）．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得BN=BM，∠MBN=60°，可判斷出△BMN是等邊三角形即可；（2）設(shè)AB=a，則AC=10-a，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得出即可得出結(jié)論；（3）先判斷出點(diǎn)A'，E'，E，C在同一條線上，設(shè)BF=x，進(jìn)而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，進(jìn)而求出A'F，BC，利用平行四邊形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：的形狀是等邊三角形，理由如下;由旋轉(zhuǎn)知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN為等邊三角形故答案為：等邊三角形；（2）解：設(shè)AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，即，∴，即BC的最小值為；（3）解：如圖3，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'，∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，∴△EBE'為等邊三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，要AE+BE+CE最小，即點(diǎn)A'，E'，E，C在同一條線上，即最小值為A'C，過(guò)點(diǎn)A'作A'F⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，設(shè)BF=x，則A'B=2x，根據(jù)勾股定理得，A'F=，∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x，在Rt△A'FC中，根據(jù)勾股定理得，，∴當(dāng)x=，即AB=2x=3時(shí)，最小，此時(shí)，BC=6-3=3，A'F=，∴平行四邊形公園ABCD的面積為（平方千米）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，用代數(shù)式表示線段，利用配方法確定極值問(wèn)題，判斷出AB=BC時(shí)，AE+BE+CE最小是解本題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______．解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過(guò)M作MP⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，如圖，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE為等邊三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，當(dāng)AE+EB+EC取最小值時(shí)，折線MNEC成為線段，則MC＝，∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM為等邊三角形，∴∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，設(shè)BC＝x，PM＝所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的邊長(zhǎng)為2．3．（2023·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車(chē)站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．解：如圖1，將△AEB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AH，AE＝AG，∠EAG＝∠BAH＝60°，BE＝GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE＝EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF＝FF'，F(xiàn)C＝F'M，∴當(dāng)H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時(shí)，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH＝BH，DM＝CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB＝10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD＝EG+GH+EF+FF'+F'M＝HM＝15+5+5＝15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公理．故答案為：（15+10）．4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，即得最小值；【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當(dāng)時(shí)，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】首先通過(guò)SAS判定，得出，因?yàn)?,得出是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=，作輔助線，過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為．【詳解】∵為正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴為等邊三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值為．∴EN+MN+CM的最小值為即CE=．過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于F，可得．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=，．在，∵，∴解得（負(fù)值舍去）．∴正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，若點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】/【分析】將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，由等腰三角形得出，再由折疊得出點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周上，所以的最小值為，即的最小值為，經(jīng)計(jì)算答出答案即可．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，則，，共線，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，由折疊成，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，兩點(diǎn)間線段最短，，即，，則的最小值為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用，掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)及圖形的折疊對(duì)稱的性質(zhì)，添加輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是矩形對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則的最小值是__．【答案】【分析】將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則是等邊三角形，是等邊三角形，由，得出，當(dāng)共線時(shí)，得到值最小，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求得的最小值．【詳解】解：將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則是等邊三角形，是等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)共線時(shí)，值最小，即的值最小，連接，作，延長(zhǎng)使得，連接，則四邊形是矩形，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AC＝，∴BD＝CD＝AD＝，∵∠DEC＝60°，∴DE＝＝4，∴AE＝AD﹣DE＝，CE＝BE＝2DE＝8，∴AE+BE+CE＝+8×2＝12+；故答案為：12+；（2）由題意可得：AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△EAF為等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∴AE+BE+CE＝EF+BE+GF，∵B、G兩點(diǎn)均為定點(diǎn)，∴當(dāng)B、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，EF+BE+GF最小，∴∠AEB＝120°，∠AEC＝∠AFG＝120°，∴∠BEC＝120°，∴此時(shí)E點(diǎn)為等邊△ABC的中心，∴AE+BE+CE＝3AE＝＝12，故等邊三角形ABC的“最近值”為12；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∵∠BDA＝75°，AB＝AD，∴∠DAB＝30°，∴2DM＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴EF＝DM，∴2EF＝AB，∴AE＝BE＝EF＝3，∴△AEF與△BEF均為等腰直角三角形，∴△ABF為等腰直角三角形，設(shè)P為EF上一點(diǎn)，由（2）得：∠APF＝∠BPF＝∠APB＝120°時(shí)，PA+PB+PF最小，此時(shí)：EP＝＝，∴AP＝BP＝2EP＝，F(xiàn)P＝EF﹣EP＝3﹣，∴AP+BP+FP＝＝3+，∴（AP+BP+FP）2＝＝，∴三角形AFB“最近值”的平方為．9．（2022·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最小；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①BD的中點(diǎn)，②BD與CE的交點(diǎn)處，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠BMA=∠NBE，然后即可證明，（2）①根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，（3）過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．（1）解：∵△ABE是等邊三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．又∵M(jìn)B=NB，∴（SAS）（2）①∵，∴當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：連接MN．由（1）知，，∴AM=EN．∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等邊三角形．∴BM=MN．∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)（3）過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=x，EF=．在Rt△EFC中，∵，∴，解得，（舍去負(fù)值）．∴正方形的邊長(zhǎng)為，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·福建九年級(jí)月考）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，.且（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)，以及的最小值.(提示：連接:，)【答案】（1），，；（2），.【分析】（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，由點(diǎn)B（-1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，-1）；過(guò)N作NH⊥BD于h，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NBH=60°，BM=BN，求得NH=BN=t，于是得到結(jié)論；（2）如圖所示，連接MN，過(guò)E作EH⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BM=BN，∠NBM=60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN=BM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE=BA，∠ABE=60°，求得∠ABM=∠EBN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=EN，求得AM+BM+CM=EN+MN+CM，當(dāng)E，N，M，C在同一直線上時(shí)，AM+BM+CN的最小值是CE的長(zhǎng)，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，以直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∵四邊形是正方形∴∵點(diǎn)，∴，過(guò)作于∴∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∴∵∴點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是故答案為：，，（2）如圖所示，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，由旋轉(zhuǎn)可得，，，∴是等邊三角形，∴∵是等邊三角形∴∴∴≌（）∴∴∴當(dāng)，，，在同一直線上時(shí)，的最小值是的長(zhǎng)，又∵，∴∴中，∴∴∴中，∴的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出結(jié)論．11．（2023·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化．問(wèn)題提出：如圖1，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，求的最小值．方法分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段(星型線)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折)，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值(化折為直)．問(wèn)題解決：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接、，記與交于點(diǎn)，易知，．由，，可知為正三角形，有．故．因此，當(dāng)共線時(shí)，有最小值是．學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，則的最小值是__________．(2)如圖4，在中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、，求的最小值．(3)如圖5，是邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、，求的最小值．【答案】（1）5；（2）；（3）.【分析】（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，易知是等邊三角形，，轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）．（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延長(zhǎng)線于．轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）．（3）如圖5中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則易知是等邊三角形，轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用“垂線段最短”求最小值．【詳解】解：（1）如圖3中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等邊三角形，∵∠BAC=30°，∴，在中，，，，的最小值為5．故答案為5．（2）如圖4中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴AF=AP，∠FAP=90°，∴是等腰直角三角形，∴FP=，∵∠BAC=45°，∴，，作交的延長(zhǎng)線于．在中，，，，在中，，，的最小值為．（3）如圖5中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則易知是等邊三角形，作于，交于．，易知，，，，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點(diǎn)之間線段最短時(shí)的位置的確定以及解直角三角形，解本題的關(guān)鍵是確定取最小值時(shí)的位置．12．（2023春·廣東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段BF上一點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若對(duì)角線AC⊥AB，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，，，求BC的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，AC的垂直平分線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于點(diǎn)M，求證：；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足BCE為等邊三角形時(shí)，若；在BCE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P使有最小值，若存在，直接寫(xiě)出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)存在，【分析】（1）由已知條件根據(jù)勾股定理求出AB，由求出AC，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)；（2）連接并延長(zhǎng)MC，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥BC交BE于點(diǎn)Q，分別過(guò)點(diǎn)G作GH⊥MC于點(diǎn)H，作GP⊥AM于點(diǎn)P．證明△ABM≌△ACM（SAS），推出，∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．得到．證明△AGP≌OCGH（HL）推出，∠ACM＝∠GCQ．證明△ACM≌△GCQ（SAS），推出，由此得到結(jié)論；（3）取任意點(diǎn)P，連接PB、PC、PE，以BP為邊作等邊三角形BPP1，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)C1，連接BC1，CC1，當(dāng)點(diǎn)E、P、P1、C1四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，連接BP、CC1相交于點(diǎn)Q，連接EQ，由軸對(duì)稱的性質(zhì)求出C1Q=2BC1=2BC=8，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EQB=∠CQB=30°，證得∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，推出BQ=PB+PC+PE，由勾股定理求出BQ即可．【詳解】（1）解：∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°；∵點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，∴，∴BF=6，∴∵，∴∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴（2）解：連接并延長(zhǎng)MC，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥BC交BE于點(diǎn)Q，分別過(guò)點(diǎn)G作GH⊥MC于點(diǎn)H，作GP⊥AM于點(diǎn)P．∵，AM平分∠BAC，∴△ABM≌△ACM（SAS）；∴，∠AMB＝∠AMC，∵∠CBE＝30°，BM＝MC，∴∠BCM＝∠CBE＝30°，∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°，∴∠AMB＝∠AMC＝120°，∴∠AMG＝∠CMG＝60°．∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°，∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．∴．∴．∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG．∴∠MPG＝∠MHG＝90°，．∴，∵點(diǎn)G在AC的垂直平分線上，∴．在Rt△AGP與Rt△CGH中，，∴△AGP≌OCGH（HL）∴∠AGP＝∠CGH，∴∠AGC＝∠PGH＝60°，∴△AGC為等邊三角形，∴，∠ACM＝∠GCQ．在△ACM與△GCQ中，，∴△ACM≌△GCQ（SAS），∴．∵，∴．（3）解：存在，的最小值為．取任意點(diǎn)P，連接PB、PC、PE，以BP為邊作等邊三角形BPP1，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)C1，連接BC1，CC1，當(dāng)點(diǎn)E、P、P1、C1四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，連接BP、CC1相交于點(diǎn)Q，連接EQ，∵△BPP1是等邊三角形，∴∠PBP1=60°，由軸對(duì)稱可得∠EBP=∠C1BP1=30°，∠BC1C=60°，△BCC1是等邊三角形，∴∠C1BQ=90°，∠BQC=30°，∴C1Q=2BC1=2BC=8，∴CQ=BC=4=CE，∵∠ECQ=60°，∴△ECQ是等邊三角形，∴∠EQB=∠CQB=30°，∵點(diǎn)E、P、P1、C1四點(diǎn)共線，∴C1E垂直平分BC，∴∠ECP=∠EBP==30°，∴∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，∴PQ=2PC=2PE，∴PQ=PC+PE，∴BQ=PB+PC+PE，∵，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，這是一道圖形類(lèi)的綜合題，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2023·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形中，是對(duì)角線．（1）如圖①若，，求菱形的面積；（2）如圖②，、分別是、上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．求證：（3）如圖③，若，且點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）過(guò)B作BE⊥AD于E由菱形中，是對(duì)角線．AD=AB=8，可得∠BAC=∠DAC，由，可求∠BAE=2，利用余角性質(zhì)∠ABE=30°由30°角直角三角形性質(zhì)可求AE，由勾股定理得：，利用面積公式求S菱形=AD?BE=；（2）如答圖②，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由GC=GF，GM⊥CF，由等腰三線合一，得出，，由CP⊥CF，可推出∠PCF=∠MGF，，由可得利用和差可求，由，可求由，可得GM∥H，在Rt△HND中，由勾股定理得，可證△GCM≌△CHN（AAS）可推得；（3）四邊形ABCD為菱形，且BD=AB=10推得△ABD與△CBD都是等邊三角形，點(diǎn)P為是內(nèi)任意一點(diǎn)，以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DAH，連結(jié)CH，可證△PBD≌△HBC（SAS），PD=CH，可知PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，當(dāng)點(diǎn)A、P、H、四點(diǎn)共線時(shí)最短為AC，由勾股定理得AE=即可．【詳解】解：（1）過(guò)B作BE⊥AD于E，∵菱形中，是對(duì)角線．AD=AB=8，∴∠BAC=∠DAC，∵，∴∠BAE=2，∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∴AE=，由勾股定理得：，S菱形=AD?BE=8×=；答圖②（2）如答圖②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵GC=GF，GM⊥CF，由等腰三線合一，得出，，∵CP⊥CF，∴∠PCF+∠CFP=90°，∵∠MGF+∠GFM=90°，∴∠PCF=∠MGF，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴GM∥HN，，在Rt△HND中，由勾股定理得，∴，∵GC=CH，∠GMC=∠CNH=90°，∠CGM=∠HCN，∴△GCM≌△CHN（AAS），∴，，∴；（3）四邊形ABCD為菱形，且BD=AB=10，∴△ABD與△CBD都是等邊三角形，點(diǎn)P為是內(nèi)任意一點(diǎn)，以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DAH，連結(jié)CH，∴BP=BH，∠PBH=∠ABD=60°，∴∠PBD+∠DBH=60°，∠DBH+∠HBC=60°，∴∠PBD=∠HBC，∵BD=BC，∴△PBD≌△HBC（SAS），∴PD=CH，∴PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，當(dāng)點(diǎn)A、P、H、四點(diǎn)共線時(shí)最短為AC，設(shè)AC與BD交于E，則AC=2AE,BE=DE=5，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=，∴AC=2AE=10，∴PA+PB+PD最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形面積公式，等腰直角三角形三角形全等判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)變換，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)引輔助線作出準(zhǔn)確的圖形是解題關(guān)鍵．14．（2022·重慶綦江·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF＝5，求DF的長(zhǎng)；(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，，在中，，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥BC，BF＝EF＝BC，CG＝CD，DG＝CG，F(xiàn)G＝CF+CG，在中，DF＝，進(jìn)而求出DF；法二：四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，，，AF⊥BC則∠AFB＝90°，在中，，，是的中點(diǎn)，，是等邊三角形，可知EF＝BE＝AB，，AF＝5，在中，DF＝，進(jìn)而求出DF；（2）法一：如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H；由四邊形ABCD為菱形知AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G為DE的中點(diǎn)有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF為等邊三角形，有FC＝DH，AC＝AD，，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理△ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等邊三角形，AG＝HG，進(jìn)而說(shuō)明AG⊥FG．法二：如圖4，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接FH，四邊形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，EG＝DG，由，知△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等邊三角形，有∠BEF＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由，得△AEF≌△FCH，有AF＝HF，AG＝HG，進(jìn)而說(shuō)明FG⊥AG；（3）解：如圖a，在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EBD，BD＝BP，△DBP為一個(gè)等邊三角形，有PB＝PD，當(dāng)E、D、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小；如圖3，當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等邊三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，BD＝2BO，BP＝BD，可求得BP的值．（1）解：法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°∴，∴∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴∴△BEF為等邊三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5法二：∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°∴，∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°在中，∵是的中點(diǎn)∴∵∴是等邊三角形∵EF＝5，EF＝BE＝AB∴∴AF＝5在中，DF＝＝5∴的值為．（2）證明：法一：如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H，∵四邊形ABCD為菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG，∵G為DE的中點(diǎn)，∴EG＝DG，在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF為等邊三角形∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等邊三角形∵AG＝HG∴AG⊥FG．法二：如圖4延長(zhǎng)AG交CD于H，連接FH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120°∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，∴EG＝DG，在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH，∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等邊三角形∴∠BEF＝60°，EF＝BE∴∠AEF=120°∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH在△AEF和△FCH中，∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF∵AG＝HG∴FG⊥AG（3）解：如圖a在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EBD∴BD＝BP，∴△DBP為一個(gè)等邊三角形∴PB＝PD∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴當(dāng)E、D、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，為PA+PB+PC最小．如圖3，當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，∴△PCG是等邊三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝，∴BP＝BD＝即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋轉(zhuǎn)，二次根式等知識(shí)點(diǎn)