專題03平方差公式的四種考法全攻略(原卷版+解析)

專題03平方差公式的四種考法全攻略【知識(shí)點(diǎn)梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2兩個(gè)式子的和與兩個(gè)式子的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個(gè)代數(shù)式，即可以表示一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。=2\*GB3②在套用平方差公式時(shí)，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。類型一、平方差公式的變形及其逆運(yùn)用例1．利用平方差公式計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．例2.如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m+2）+（m+2）（m﹣2）的值為（）A．6 B．9 C．﹣1 D．14【變式訓(xùn)練1】若，則的值為（）A． B． C．1 D．2【變式訓(xùn)練2】已知，則多項(xiàng)式的值為________．【變式訓(xùn)練3】已知已知，，且，則值為_______．類型二、利用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算例1．計(jì)算：____________.例2．計(jì)算的值為（

）A．5048 B．50 C．4950 D．5050【變式訓(xùn)練1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題：(1)103×97；(2)1022-101×103．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算：=_____．【變式訓(xùn)練3】從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是

．（請(qǐng)選擇正確的選項(xiàng)）A、B、C、(2)用你選的等式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：；(3)用你選的等式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：．類型三、連續(xù)利用平方差公式計(jì)算例1．的值為_______．例2．如圖1，邊長(zhǎng)為的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______（用，表示）；(2)請(qǐng)利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知，，則______；②計(jì)算：．【變式訓(xùn)練1】計(jì)算：的值為________________．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算=_____．【變式訓(xùn)練3】探究如圖①，邊長(zhǎng)為的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示）應(yīng)用請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：(1)已知，，則的值為___________．(2)計(jì)算：．拓展(3)計(jì)算：．類型四、平方差公式與幾何綜合例1．如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形．(1)如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是___________；如圖2，陰影部分的面積是_________；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式____________________；(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①；②例2．綜合與實(shí)踐如圖1所示，邊長(zhǎng)為的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請(qǐng)直接用含和的代數(shù)式表示__________，__________；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：__________（用式子表達(dá)）．(2)依據(jù)這個(gè)公式，康康展示了“計(jì)算：”的解題過程．解：原式．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)觀察，嘗試從不同角度分析問題，請(qǐng)仿照康康的解題過程計(jì)算：．(3)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要會(huì)舉一反三，請(qǐng)用（1）中的公式證明任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【變式訓(xùn)練1】如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示__________，__________；(2)寫出利用圖形的面積關(guān)系所揭示的因式分解的公式：__________；(3)利用這個(gè)公式說明可以被10和20之間的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)整數(shù)．【變式訓(xùn)練2】從邊長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．(1)通過表示陰影部分面積，可得數(shù)學(xué)等式為___________．(2)已知，，則的值為_________．(3)應(yīng)用（1）得到的數(shù)學(xué)等式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算：．專題03平方差公式的四種考法全攻略【知識(shí)點(diǎn)梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2兩個(gè)式子的和與兩個(gè)式子的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個(gè)代數(shù)式，即可以表示一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。=2\*GB3②在套用平方差公式時(shí)，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。類型一、平方差公式的變形及其逆運(yùn)用例1．利用平方差公式計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，故選：A．例2.如果m2+m＝5，那么代數(shù)式m（m+2）+（m+2）（m﹣2）的值為（）A．6 B．9 C．﹣1 D．14【答案】A【詳解】解：原式＝＝＝∵，∴，∴原式=．故選：A．【變式訓(xùn)練1】若，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】解：∵，∴=====．故選B．【變式訓(xùn)練2】已知，則多項(xiàng)式的值為________．【答案】10【詳解】解：，，原式，故答案為：10．【變式訓(xùn)練3】已知已知，，且，則值為_______．【答案】7【詳解】解：①，②，①②，得，，，因?yàn)?，所以，即③，①②，得，④，③平方，得⑤，⑤④，得，，．類型二、利用平方差公式?jiǎn)便計(jì)算例1．計(jì)算：____________.【答案】2019.【詳解】解：∵∴=故答案是：2019.例2．計(jì)算的值為（

）A．5048 B．50 C．4950 D．5050【答案】D【詳解】解：1002-992+982-972+…+22-12=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1=101×（99-97+95-…+3-1）=101×（2+2+…+2）=101×25×2=5050．故答案為：D.【變式訓(xùn)練1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題：(1)103×97；(2)1022-101×103．【答案】(1)9991；(2)1．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算：=_____．【答案】1【詳解】解：====1.【變式訓(xùn)練3】從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是

．（請(qǐng)選擇正確的選項(xiàng)）A、B、C、(2)用你選的等式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：；(3)用你選的等式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：．【答案】(1)A(2)8(3)146927【詳解】（1）解：由題意得：圖1中去掉邊長(zhǎng)為b的正方形后的圖形面積為：，圖2中圖形面積為，∵圖1中去掉邊長(zhǎng)為b的正方形后的圖形面積與圖2中的圖形面積相等，∴，故選A；（2）解：；（3）解：∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴原式=146927．類型三、連續(xù)利用平方差公式計(jì)算例1．的值為_______．【答案】【詳解】解：========故答案為：例2．如圖1，邊長(zhǎng)為的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______（用，表示）；(2)請(qǐng)利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知，，則______；②計(jì)算：．【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，由圖1、圖2的面積相等得，，故答案為：；（2）解：①，，又，，故答案為：4；②原式．【變式訓(xùn)練1】計(jì)算：的值為________________．【答案】【詳解】解：．故答案為：．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算=_____．【答案】【詳解】解：x4+4=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)=[(x+1)2+1][(x﹣1)2+1]，∴原式===．故答案為．【變式訓(xùn)練3】探究如圖①，邊長(zhǎng)為的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示）應(yīng)用請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：(1)已知，，則的值為___________．(2)計(jì)算：．拓展(3)計(jì)算：．【答案】(1)；(2)(3)【詳解】（1）根據(jù)題意得到，由得，，∵，∴，故答案為：；（2）；（3）．類型四、平方差公式與幾何綜合例1．如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形．(1)如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是___________；如圖2，陰影部分的面積是_________；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式____________________；(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①；②【答案】(1)，，(2)①；②；【詳解】（1）解：將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是；如圖2，陰影部分的面積是；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式；（2）①；②．例2．綜合與實(shí)踐如圖1所示，邊長(zhǎng)為的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請(qǐng)直接用含和的代數(shù)式表示__________，__________；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：__________（用式子表達(dá)）．(2)依據(jù)這個(gè)公式，康康展示了“計(jì)算：”的解題過程．解：原式．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)觀察，嘗試從不同角度分析問題，請(qǐng)仿照康康的解題過程計(jì)算：．(3)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要會(huì)舉一反三，請(qǐng)用（1）中的公式證明任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【答案】(1)；；(2)(3)證明見詳解【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，∵，∴，故答案為：；；．（2）解：，故答案為：．（3）解：設(shè)一個(gè)奇數(shù)為，則另一個(gè)相鄰的奇數(shù)為，∴，∴任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【變式訓(xùn)練1】如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示__________，__________；(2)寫出利用圖形的面積關(guān)系所揭示的因式分解的公式：__________；(3)利用這個(gè)公式說明可以被10和20之間的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)整數(shù)．【答案】(1)，(2)(3)15，17【詳解】（1）解：在圖1中，陰影部分的面積是大正方形的面積-小正方形的面積，即，圖2中陰影部分是長(zhǎng)方形其面積是．（2）圖1中陰影部分的面積與圖2中長(zhǎng)方形面積相等，得到乘法公式，∴因式分解公式為：．（3），所