專題03弦圖模型與勾股樹模型(原卷版+解析)

專題03弦圖模型與勾股樹模型趙爽弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，是中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數(shù)形結合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數(shù)學思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數(shù)學教育里的不老神話。廣受數(shù)學教師和數(shù)學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。模型1、弦圖模型（1）內(nèi)弦圖模型：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，則有結論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。圖1圖2圖3（2）外弦圖模型：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，且四邊形EFGH是正方形，則有結論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：如圖3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．連結，交于點P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．例3．（2023·山西八年級期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A． B． C． D．例4．（2022·杭州市九年級月考）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8例5．（2023春·浙江溫州·八年級校考階段練習）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，．若，，則正方形的面積為（）

A．144 B．104 C．72 D．52模型2.勾股樹模型例1．（2022·四川成都·八年級期末）如圖是株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面積分別為3，7，1，3，則最大的正方形的面積是__________．例2．（2022·重慶涪陵·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為，，和．若，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．9 D．10例3．（2022秋·廣東佛山·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構成，其作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②’，再分別以正方形②和②’的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面積為2cm2，則正方形①的面積為（

）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2例4．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習）“勾股樹”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這－過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023·浙江八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．例6．（2022·上饒市初二期中）已知如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為_______．例7．（2023·浙江·八年級專題練習）勾股定理是人類重大科學發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學書《周髀算經(jīng)》記載，約公元前11世紀，我國古代勞動人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運用學到的知識、方法和思想探究以下問題．【探究一】我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理．古往今來，人們對勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在學習勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學活動經(jīng)驗：分別以直角三角形的三邊為邊向外側作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關系是：__________．遷移應用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．【探究三】如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關系是________．遷移應用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．【探究四】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時繩索用盡．問繩索長多少？課后專項訓練1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，圖中陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，則S3的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．1283．（2022·廣東揭陽·七年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設計圖案，則在第個圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．324．（2022·浙江初三學業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．5．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，直線上有三個正方形，若，的面積分別為5和11，則的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．556．（2023·浙江·杭州八年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點J．三個正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．227．（2022·渦陽縣初二月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．9．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為．若，大正方形的面積為，則的長為（

）

A． B． C． D．10．（2022·重慶江津·八年級期中）如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，AD＝2，則陰影部分的面積是__________11．（2022·貴州銅仁·八年級期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關系為___________．12．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）下圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長為的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2023次“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．13．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．14．（2023春·陜西西安·七年級高新一中?？茧A段練習）用八個全等的直角三角形拼接了一幅“弦圖”，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，，若，則．

15．（2023·浙江臺州·八年級校考期中）如圖1，是一個封閉的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互聯(lián)通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，開始時Ⅲ剛好盛滿水，而Ⅰ，Ⅱ無水．（1）如圖2擺放時，Ⅰ剛好盛滿水，而Ⅱ無水，則Ⅲ中有水部分的面積為；（2）如圖3擺放時，水面剛好經(jīng)過Ⅲ的中心O（正方形兩條對角線的交點），則Ⅱ中有水部分的面積為．16．（2022·廣東·八年級課時練習）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形，圖②是1次操作后的圖形．（1）試畫出2次操作后的圖形．（2）如果原來直角三角形斜邊長為，寫出2次操作后的圖形中所有正方形的面積和．（3）如果一直畫下去，你能想象出它的樣子嗎？（4）圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此時“畢達哥拉斯樹”的形狀嗎？17．（2022·湖南·八年級課時練習）如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖①，試驗證勾股定理．(2)如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長24，，求該飛鏢狀圖案的面積．(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，若，求．18．（2022·山東濰坊·八年級期中）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．(1)請根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；探索研究：(2)小亮將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；問題解決：(3)如圖2，若，，此時空白部分的面積為__________；(4)如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，，求該風車狀圖案的面積．

專題03弦圖模型與勾股樹模型趙爽弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，是中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數(shù)形結合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數(shù)學思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數(shù)學教育里的不老神話。廣受數(shù)學教師和數(shù)學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。模型1、弦圖模型（1）內(nèi)弦圖模型：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，則有結論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。圖1圖2圖3（2）外弦圖模型：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，且四邊形EFGH是正方形，則有結論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：如圖3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

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A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長為；結合題意可得，，結合完全平方公式即可求出小正方形的邊長．【詳解】解：由題意，中間小正方形的邊長為，，，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的應用，完全平方公式的應用，算術平方根的含義，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式．例2．（2023.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．連結，交于點P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．【答案】16【分析】先證明△AEP≌△CGM（ASA），則S△AEP=S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設AE=x，BE=8-x，根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，則2x2-16x=-16，整體代入可得結論．【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為48，∴AB2=48，設AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）?FG=EF?FG=S正方形EHGF，∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8?x）=2x2-16x+48=-16+48=32，則S△CFP-S△AEP的值是16；故答案為：16．【點睛】本題考查了“趙爽弦圖”，多邊形的面積，勾股定理等知識點，首先要求學生正確理解題意，然后會利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．例3．（2023·山西八年級期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意∠ACB為直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的長，進一步求得風車的外圍周長．【詳解】解：依題意∠ACB為直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“數(shù)學風車”的周長是：(13+6)×4=76．故選：D．【點睛】本題是勾股定理在實際情況中應用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．例4．（2022·杭州市九年級月考）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8【答案】D【分析】根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根據(jù)三個正方形面積公式列式相加：，求出的值，從而可以計算結論即可．【解析】解：八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出是解決問題的關鍵．例5．（2023春·浙江溫州·八年級?？茧A段練習）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，．若，，則正方形的面積為（）

A．144 B．104 C．72 D．52【答案】B【分析】設“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，由正方形面積公式，勾股定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：設“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為，

∴，，，，∴，，∴或（舍去），∵，∴，解得，∴，∴，故選．【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關鍵是設“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，斜邊為，用表示出相關線段的長度，從而解決問題．模型2.勾股樹模型例1．（2022·四川成都·八年級期末）如圖是株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面積分別為3，7，1，3，則最大的正方形的面積是__________．【答案】14【分析】根據(jù)勾股定理可知SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，代入即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面積分別為3、7、1、3，∴SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，∴SE=SA+SB+SC+SD=3+7+1+3=14，∴正方形E的面積為14．故答案為：14．【點睛】本題主要考查了勾股定理，特別要注意條件中給出的是正方形的邊長還是面積，屬于基礎題．例2．（2022·重慶涪陵·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為，，和．若，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】連接AC，構造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，進而求得的值．【詳解】如圖所示，連接，在中，即；同理，在中，即則故選B．【點睛】本題考查勾股定理，解決本題的關鍵是將面積轉化為勾股定理求邊長平方即可．例3．（2022秋·廣東佛山·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構成，其作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②’，再分別以正方形②和②’的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面積為2cm2，則正方形①的面積為（

）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2【答案】C【分析】求出正方形的性質(zhì)，再根據(jù)勾股定理依次求出各正方形的面積，然后求出正方形①的面積，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出邊長即可．【詳解】解：正方形⑤的面積是，各三角形都是等腰直角三角形，正方形④的面積為，同理，正方形③的面積是，正方形②的面積是，正方形①的面積是．故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息，依次求出各正方形的面積是解題的關鍵．例4．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習）“勾股樹”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這－過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第五代勾股樹中正方形的個數(shù)．【詳解】解：由題意可知第一代勾股樹中正方形有（個），第二代勾股樹中正方形有（個），第三代勾股樹中正方形有（個），由此推出第五代勾股樹中正方形有（個）故選：B．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索的相關問題，仔細觀察從圖中找到規(guī)律是解題的關鍵．例5．（2023·浙江八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式即可求得的值．【詳解】解：設Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，則，觀察圖形可得：，即，∵，∴=，∴=4+8=12，故答案為：12．【點睛】本題考查了勾股定理、圓的面積，熟記圓的面積公式，利用等面積法得出等量關系是解答的關鍵．例6．（2022·上饒市初二期中）已知如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】50【分析】根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩條直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積．則陰影部分的面積即為以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積的2倍．【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S陰影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=故答案為：50.【點睛】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明三個等腰直角三角形的面積之間的關系．例7．（2023·浙江·八年級專題練習）勾股定理是人類重大科學發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學書《周髀算經(jīng)》記載，約公元前11世紀，我國古代勞動人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運用學到的知識、方法和思想探究以下問題．【探究一】我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理．古往今來，人們對勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在學習勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學活動經(jīng)驗：分別以直角三角形的三邊為邊向外側作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關系是：__________．遷移應用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．【探究三】如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關系是________．遷移應用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．【探究四】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時繩索用盡．問繩索長多少？【答案】【探究一】：見解析；【探究二】：S1+S2=S3；遷移應用：47；【探究三】S1+S2=S3；遷移應用：30；【探究四】繩索長為尺．【分析】【探究一】根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計算即可解決問題．【探究二】由正方形面積公式以及勾股定理得S1+S2=S3；遷移應用：根據(jù)正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為正方形E的面積；【探究三】利用直角△ABC的邊長就可以表示出半圓S1、S2、S3的大??；遷移應用：求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計算即可得解；【探究四】設繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：【探究一】：由題意得：②的面積為a2+b2+2ab=a2+b2+ab；圖③的面積為c2+2ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；【探究二】S1+S2=S3．證明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案為：S1+S2=S3；遷移應用：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案為：47；【探究三】S1+S2=S3．證明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，∴S1+S2=πa2+πb2=πc2=S3；故答案為：S1+S2=S3；遷移應用：陰影部分面積和=S1+S2+ab-S3=ab，∵a=5，c=13，∴12，∴陰影部分面積和=×5×12=30，故答案為：30；【探究四】設繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，答：繩索長為尺．【點睛】本題考查了勾股定理的證明及應用，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準確表示出同一個圖形的面積是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，圖中陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，則S3的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理，圓的面積公式計算即可．【詳解】解：由勾股定理得：∵S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，平方厘米，故選：D．【點睛】本題主要考查的是勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么2．（2022·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通過觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，圖（4）比圖（3）多出16個正方形，……，以此類推可得圖形的變換規(guī)律．【詳解】解：由題可得，圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，；圖（4）比圖（3）多出16個正方形，；圖（5）比圖（4）多出32個正方形，；照此規(guī)律，圖（n）比圖（n-1）多出正方形的個數(shù)為：故圖（6）比圖（5）多出正方形的個數(shù)為：；故答案為：C．【點睛】此題考查了圖形的變化類問題，主要考核學生的觀察能力和空間想象能力．首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．3．（2022·廣東揭陽·七年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設計圖案，則在第個圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．32【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出等腰直角三角形直角邊的長，求出每個圖形中等腰三角形面積和，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進而求出即可．【詳解】解：在圖①中，正方形的邊長為4，∴等腰直角三角形①的直角邊長為：∴等腰直角三角形①的面積=在圖②中，最大的正方形的邊長是4，最大的等腰直角三角形①的直角邊長是故可得等腰直角三角形②和③的直角邊長都是2∴如圖③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角邊長均為∴====由此可得規(guī)律：第n個圖形中，所有等腰直角三角形的面積和為4n，故選A．【點睛】此題主要考查了運用勾股定理求等腰直角三角形直角邊的長，解題的關鍵是求出每個圖形中等腰直角三角形面積和．4．（2022·浙江初三學業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．【答案】B【分析】設AC＝a，AB＝b，BC＝c根據(jù)勾股定理得到c2＝a2＋b2，根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計算即可求解．【解析】如圖2：設AC＝a，AB＝b，BC＝c，則a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c?b，DG＝c?a，則陰影部分的面積S＝HG?DG＝（c?b）（c?a）＝2，∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32?，∴S＝c2?c（a＋b）＋ab＝c2?8c＋32?＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．5．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，直線上有三個正方形，若，的面積分別為5和11，則的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．55【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證，可得，，根據(jù)，的面積以及勾股定理即可求出的面積．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意，得，，，，，在和中，，，，，，的面積分別為5和11，，，，根據(jù)勾股定理，得，的面積為16，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及正方形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．6．（2023·浙江·杭州八年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點J．三個正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】設BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面積和三角形面積得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，則c2＝16，求出c＝4，然后求出b＝2，則a2＝b2+c2＝20，即可求解．【詳解】解：設BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（負值已舍去），∴S△ABC＝bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，∴正方形BCFG的面積為20，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，設參數(shù)表示三角形的邊長，根據(jù)已知條件求得a2﹣b2＝16是解題的關鍵．7．（2022·渦陽縣初二月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，利用已知=21，大正方形的面積為13，可以得以直角三角形的面積，進而求出答案。【解析】由于大正方形的邊長的平方為，又大正方形的面積為13，即，而小正方形的面積表達式為，而小正方形的面積表達式為故本題正確答案為C．【點睛】本題主要考查直角三角形，用到勾股定理的證明，正確計算是解題的關鍵．8．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到2ab的值，然后根據(jù)即可求得（a＋b）的值；根據(jù)小正方形的面積為即可求得，進而聯(lián)立方程組求得a與b的值，則可求出答案．【詳解】解：∵大正方形的面積是13，設邊長為c，∴，∴，∵直角三角形的面積是，又∵直角三角形的面積是，∴，∴，∴．∵小正方形的面積為，又∵，∴，聯(lián)立可得，解得，∴．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式的知識，解題關鍵是熟記完全平方公式，還要注意圖形的面積和a、b之間的關系．9．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為．若，大正方形的面積為，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個三角形的面積即可解答．【詳解】解：∵三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，∴四個三角形的面積為，∵，大正方形的面積為，∴小正方形的面積為，∴小正方形的邊長為，∴，故選．【點睛】本題考查了正方形的面積，直角三角形的面積，勾股定理，掌握小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個三角形的面積是解題的關鍵．10．（2022·重慶江津·八年級期中）如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，AD＝2，則陰影部分的面積是__________【答案】1【分析】根據(jù)勾股定理得出AC2+CD2＝AD2，進而得出半圓面積解答即可．【詳解】解：∵△ACD是直角三角形，∴AC2+CD2＝AD2，∵以等腰Rt△ACD的邊AD、AC、CD為直徑畫半圓，∴S半圓ACD＝π?AD2，S半圓AEC＝π?AC2，S半圓CFD＝π?CD2，∴S半圓ACD＝S半圓AEC+S半圓CFD，∴所得兩個月型圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）＝Rt△ACD的面積＝×2×1＝1；故答案為：1．【點睛】此題考查勾股定理，關鍵是發(fā)現(xiàn)圖中陰影部分的面積等于三角形ACD的面積．11．（2022·貴州銅仁·八年級期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關系為___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個正方形的面積與Rt△ABC的三邊關系，然后根據(jù)勾股定理找到Rt△ABC的三邊之間的關系，并由此得到三個正方形的面積關系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積公式與勾股定理，得到S1，S2，S3三者之間的關系，完成解答．【詳解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的邊長，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三邊向外作等邊三角形，其面積為S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【點睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關鍵在于靈活運用勾股定理．12．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）下圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長為的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2023次“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出第一個正方形的面積，根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長”后在它的上側生長出兩個小正方形的面積和，總結規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：如圖，第一個正方形的邊長為，第一個正方形的面積為，由勾股定理得，，，即經(jīng)過一次“生長”后在它的上側生長出兩個小正方形的面積和為，“生長”第1次后所有正方形的面積和為，同理，“生長”第2次后所有正方形的面積和為，則“生長”第2023次后所有正方形的面積和為，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理、圖形的變化，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．13．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．【答案】16【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積．【詳解】解：由題意作出如下圖，得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝34，△ADC面積＝（5×3?2×3）＝，陰影部分的面積S＝34?4×＝16，

故答案為：16．【點睛】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關鍵在于正確找出勾股關系，利用轉換面積作差求解．14．（2023春·陜西西安·七年級高新一中校考階段練習）用八個全等的直角三角形拼接了一幅“弦圖”，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，，若，則．

【答案】【分析】用a和b表示直角三角形的兩個直角邊，后根據(jù)勾股定理列出正方形面積的式子，求出的面積．【詳解】解：本圖是由八個全等的直角三角形拼成的，設這個直角三角形兩個直角邊中較長的長度為a，較短的長度為b，即圖中的，，則，，，∵，∴，∴．故答案是：．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關鍵是要熟悉趙爽弦圖中勾股定理的應用．15．（2023·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D1，是一個封閉的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互聯(lián)通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，開始時Ⅲ剛好盛滿水，而Ⅰ，Ⅱ無水．（1）如圖2擺放時，Ⅰ剛好盛滿水，而Ⅱ無水，則Ⅲ中有水部分的面積為；（2）如圖3擺放時，水面剛好經(jīng)過Ⅲ的中心O（正方形兩條對角線的交點），則Ⅱ中有水部分的面積為．【答案】【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得Ⅲ的面積，根據(jù)圖形面積相減即可求得圖2的Ⅲ中有水部分的面積；（2）根據(jù)正方形的中心對稱的性質(zhì)可知，過中心的線將正方形的面積平分，據(jù)此即可求得圖3的Ⅱ中有水部分的面積【詳解】已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，開始時Ⅲ剛好盛滿水，而Ⅰ，Ⅱ無水Ⅲ的面積是Ⅰ的面積為ACⅡ的面積為（1）如圖2擺放時，Ⅰ剛好盛滿水，而Ⅱ無水，Ⅲ中有水部分的面積為故答案為：（2）如圖3擺放時，水面剛好經(jīng)過Ⅲ的中心O（正方形兩條對角線的交點），根據(jù)正方形是中心對稱圖形，經(jīng)過點的直線將正方形的面積平分，則Ⅲ中有水部分的面積為Ⅲ的面積的一半，Ⅱ中有水部分的面積故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理的應用，正方形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關鍵．16．（2022·廣東·八年級課時練習）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的