第13講相似三角形的判定(4大考點(diǎn))(原卷版+解析)2

第13講相似三角形的判定（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、相似三角形的相關(guān)概念1）、相似三角形的概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對應(yīng)邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個(gè)相似三角形的相似比是1，則這兩個(gè)三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例。二、相似三角形的判定判定1：如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定2：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似（此知識(shí)常用，用時(shí)需要證明）?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．平行線分線段成比例（共4小題）1．（2022秋?富川縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，則FB等于（）A． B． C． D．52．（2022秋?貴陽期中）如圖，兩條直線被三條平行線所截，若＝，則的值為（）A． B． C． D．3．（2022秋?富川縣期中）如圖，AB∥CD，AO＝4，BC＝9，OC＝6，求OD的長．4．（2022秋?石阡縣期中）如圖，已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點(diǎn)A，B，C，截直線l5于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線l4與l5，相交于點(diǎn)O，且AB＝3，BC＝5，EF＝8，OE＝2．求：（1）DE的長；（2）OB的長．二．相似三角形的性質(zhì)（共3小題）5．（2021秋?宜城市期末）要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長分別為6cm，8cm和10cm，另一個(gè)三角形的最長邊長為5cm，則它的最短邊為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm6．（2021秋?北林區(qū)期末）如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝10，DO＝5，AC＝9，則OC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2021秋?滄州期末）如圖所示，若△DAC∽△ABC，則需滿足（）A．CD2＝AD?DB B．AC2＝BC?CD C． D．三．相似三角形的判定（共9小題）8．（2021秋?梁山縣期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．9．（2021秋?東明縣期末）如圖，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、CD上的點(diǎn)，①∠BEF＝90°，則圖中①、②、③、④四個(gè)三角形中，一定相似的是（）A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③10．（2021秋?新野縣期末）如圖，在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中，不能判定△APC和△ACB相似的條件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP?AB D．11．（2021秋?蚌埠期末）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，則在下列條件中，不能使得以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似的是（）A．∠AED＝∠B B．DE∥BC C．AD?BC＝DE?AC D．∠ADE＝∠C12．（2021秋?林口縣期末）下列說法其中正確的是（）A．有一個(gè)角等于30°的兩個(gè)等腰三角形相似 B．有一個(gè)角等于120°的兩個(gè)等腰三角形相似 C．相似三角形一定不是全等三角形 D．相似三角形對應(yīng)角平分線的長度比等于面積比13．（2021秋?淇濱區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，在邊CA上以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，在邊AB上以1cm/s的速度移動(dòng)．若點(diǎn)E、D分別同時(shí)從點(diǎn)C，A出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)．經(jīng)過多少時(shí)間以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？14．（2021秋?藤縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO向點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng)．當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6），求當(dāng)△POQ與△AOB相似時(shí)t的值．15．（2021秋?盤州市期末）如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，MN＝2，線段MN的兩端點(diǎn)在CD，AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為多長時(shí)，△ABE與以D，M，N為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由．16．（2021秋?武山縣期末）如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三解形；（2）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？四．相似三角形的應(yīng)用（共8小題）17．（2021秋?洪洞縣期末）為了估計(jì)河的寬度，在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A．再在河的這一邊選定點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后再選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC與AE交于點(diǎn)D．此時(shí)，測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，則兩岸間的距離AB是（）A．120m B．110m C．100m D．90m18．（2021秋?利辛縣期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的邊GH在邊BC上，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，則正方形EFGH的邊長為（）A．36 B．42 C．48 D．5419．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝60cm，EF＝30cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，則樹高AB為（）m．A．5 B．6.5 C．7 D．7.520．（2021秋?威縣期末）如圖1，長、寬均為3cm，高為8cm的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6cm，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，將這個(gè)情景轉(zhuǎn)化成幾何圖形，如圖3所示，（1）利用圖1、圖2所示水的體積相等，求DE的長；（2）求水面高度CF．21．（2021秋?遂川縣期末）如圖，放映幻燈時(shí)，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，點(diǎn)A為光源位置，若AE＝20cm，EC＝40cm，幻燈片中圖形ED高為6cm，求屏幕上圖形BC的高度．22．（2021秋?靈寶市期末）如圖，已知直角三角形的鐵片ABC的兩直角邊BC、AC的長分別為3cm和4cm，分別采用（1）、（2）兩種剪法，剪出一塊正方形鐵片，為使所得的正方形面積最大，問哪一種剪法好？為什么？23．（2021秋?淇濱區(qū)期末）如圖所示，要在底邊，BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC鐵皮余料上，截取一個(gè)矩形EFGH，使點(diǎn)H在AB上，點(diǎn)G在AC上，點(diǎn)E、F在BC上，AD交HG于點(diǎn)M．（1）設(shè)矩形EFGH的長HG＝y(tǒng)，寬HE＝x，確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)矩形EFGH的面積為S，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFGH的面積S最大？并求出最大值．24．（2021秋?城固縣期末）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也成一線．已知B、E、D、G、C在同一直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑AB的高度．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·溫州市第十二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，是邊上一點(diǎn)，添加下列條件，不能判定?ABC~?ACD的是（）A． B． C． D．2．（2021·河北盧龍·九年級(jí)期中）在圖（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．將△ABC分別按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)進(jìn)行裁剪，對于各圖中剪下的兩個(gè)陰影三角形而言，下列說法正確的是（）A．只有（1）中的與△ABC相似B．只有（2）中的與△ABC相似C．都與△ABC相似D．都與△ABC不相似3．（2021·山東省青島第二十六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖所示，小正方形的邊長均為1，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B．C． D．4．（2021·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，下列條件不能判定與相似的是（）A． B．C． D．5．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD，DA上，四邊形EFGH由兩個(gè)正方形組成，且，則線段BE的長為（）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·湖北曾都·九年級(jí)期末）如圖，在與中，，點(diǎn)在上，若只添加一個(gè)條件便能判定，則添加的條件是____．7．（2020·浙江杭州·九年級(jí)期末）（1）把長為的線段進(jìn)行黃金分割，較長線段的長是__________．（2）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則_________．（3）如圖，，則圖的相似三角形共有_______對．8．（2021·河南伊川·九年級(jí)期末）如圖，在與中，，，，交于點(diǎn)D，給出下列結(jié)論．①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．9．（2021·陜西鳳翔·九年級(jí)期末）如圖，中，，尺規(guī)作圖：在上求作點(diǎn)，使得與相似；（保留作圖痕跡，不寫作法）10．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）在中，斜邊，點(diǎn)D在上，且，若以為直徑的半圓O在某條直角邊上截得的線段長為，則直角邊的長為_______．三、解答題11．（2021·遼寧鞍山·九年級(jí)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE．求證：△ADB∽△AEC．12．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出一個(gè)以為邊的平行四邊形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)在格點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以為邊且與相似的，使頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與全等）．13．（2021·廣東·廣州市八一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，在△PAB中，點(diǎn)C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求證：△APC∽△BPD．14．（2021·浙江衢江·九年級(jí)期末）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且AE＝1．（1）當(dāng)m＝3，AF：FB＝1：3時(shí)，求證：AEF∽BFC；（2）當(dāng)m＝3.5時(shí)，用直尺和圓規(guī)在圖②的線段AB上確定所有使AEF與以點(diǎn)B、F、C為項(xiàng)點(diǎn)的三角形相似的點(diǎn)F（請保留畫圖痕跡）；（3）探究：對于每一個(gè)確定的m的值，線段AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得AEF與以點(diǎn)B、F、C為頂點(diǎn)的三角形相似？（直接寫出結(jié)論即可）15．（2021·湖南荷塘·九年級(jí)期末）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，滿足，且點(diǎn)，分別在邊，上．求證：．16．（2021·天津?yàn)I海新·九年級(jí)期末）如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF并延長交BC延長線于點(diǎn)E，已知．（1）求證：；（2）若ABCD為平行四邊形，，，求FD的長度．17．（2021·福建·廈門雙十中學(xué)思明分校二模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，⊙O是△ABE的外接圓，與AD交于點(diǎn)F．（1）尺規(guī)作圖，在CD上求作點(diǎn)G，使△ABE～△FDG；（保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下①證明：直線FG與⊙O相切②若AB＝4，DG＝1，求半徑OA的長．18．（2021·浙江·翠苑中學(xué)二模）（1）如圖1，在中，，，，請?jiān)趫D1中作一條直線，使得被分成兩個(gè)等腰三角形，并在圖中標(biāo)注出相應(yīng)的角度．（2）如圖2，在兩個(gè)不相似的和中，，，，直線和直線將和分別分為兩個(gè)三角形，并使的兩部分能分別與的兩部分相似．請?jiān)趫D中作出直線和直線，并標(biāo)注出相應(yīng)的角度．第13講相似三角形的判定（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、相似三角形的相關(guān)概念1）、相似三角形的概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對應(yīng)邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個(gè)相似三角形的相似比是1，則這兩個(gè)三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例。二、相似三角形的判定判定1：如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定2：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似（此知識(shí)常用，用時(shí)需要證明）?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．平行線分線段成比例（共4小題）1．（2022秋?富川縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，則FB等于（）A． B． C． D．5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入數(shù)值即可求解．【解答】解：∵AB∥EF∥DC，∴＝，∵DE＝3，DA＝5，CF＝4，∴＝，∴CB＝，∴FB＝CB﹣CF＝﹣4＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?貴陽期中）如圖，兩條直線被三條平行線所截，若＝，則的值為（）A． B． C． D．【分析】由a∥b∥c，＝知＝＝，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵a∥b∥c，＝，∴＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．3．（2022秋?富川縣期中）如圖，AB∥CD，AO＝4，BC＝9，OC＝6，求OD的長．【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴＝，∵AO＝4，BC＝9，OC＝6，∴OB＝3，∴＝，∴OD＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．4．（2022秋?石阡縣期中）如圖，已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點(diǎn)A，B，C，截直線l5于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，直線l4與l5，相交于點(diǎn)O，且AB＝3，BC＝5，EF＝8，OE＝2．求：（1）DE的長；（2）OB的長．【分析】（1）由l1∥l1∥l3，推出＝，即可求解；（2）由BE∥AD，推出＝，即可求解．【解答】解：（1）∵l1∥l1∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝；（2）∵BE∥AD，∴＝，∴＝，∴OB＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二．相似三角形的性質(zhì)（共3小題）5．（2021秋?宜城市期末）要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長分別為6cm，8cm和10cm，另一個(gè)三角形的最長邊長為5cm，則它的最短邊為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解可得．【解答】解：設(shè)另一個(gè)三角形的最短邊長為xcm，根據(jù)題意，得：＝，解得：x＝3，即另一個(gè)三角形的最短邊的長為3cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握得出對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．6．（2021秋?北林區(qū)期末）如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝10，DO＝5，AC＝9，則OC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出＝，進(jìn)而求出CO的長．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝10，DO＝5，AC＝9，∴＝，解得：CO＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?滄州期末）如圖所示，若△DAC∽△ABC，則需滿足（）A．CD2＝AD?DB B．AC2＝BC?CD C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理依次判斷即可．【解答】解：由CD2＝AD?DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出結(jié)論；由AC2＝BC?CD，可得AC：BC＝CD：AC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，故B選項(xiàng)正確；由得不出結(jié)論；由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得結(jié)論，但題目中未提及．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)判定定理是解題關(guān)鍵．三．相似三角形的判定（共9小題）8．（2021秋?梁山縣期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】利用△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝，AC＝2，然后根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對各選項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝2，BC＝，在B、C、D選項(xiàng)中的三角形都沒有135°，而在A選項(xiàng)中，三角形的鈍角為135°，它的兩邊分別為1和，因?yàn)?，所以A選項(xiàng)中的三角形與△ABC相似．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定．注意兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．9．（2021秋?東明縣期末）如圖，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、CD上的點(diǎn)，①∠BEF＝90°，則圖中①、②、③、④四個(gè)三角形中，一定相似的是（）A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A＝∠D＝90°，推出∠ABE＝∠DEF，由此證明③和④一定相似．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF，即③和④一定相似，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?新野縣期末）如圖，在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中，不能判定△APC和△ACB相似的條件是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP?AB D．【分析】根據(jù)三角形相似的判定方法逐一進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)∠ACP＝∠B時(shí)，∵∠A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；當(dāng)∠APC＝∠ACB時(shí)，∵∠A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；當(dāng)AC2＝AP?AB時(shí)，即，且A＝∠A，∴△ACP∽∠ABC；當(dāng)AB?CP＝AP?CB時(shí)，即＝，而A＝∠A，所以不能判定△APC和△ACB相似．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定：有兩組角相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?蚌埠期末）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，則在下列條件中，不能使得以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似的是（）A．∠AED＝∠B B．DE∥BC C．AD?BC＝DE?AC D．∠ADE＝∠C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各條件進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：如圖，①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，則可判斷△ADE∽△ACB，故A選項(xiàng)不符合題意；②DE∥BC，則△ADE∽△ABC，故B選項(xiàng)不符合題意，③由AD?BC＝DE?AC可得＝，此時(shí)不確定∠ADE＝∠ACB，故不能確定△ADE∽△ACB；故C選項(xiàng)符合題意，④∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，則可判斷△ADE∽△ACB，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．12．（2021秋?林口縣期末）下列說法其中正確的是（）A．有一個(gè)角等于30°的兩個(gè)等腰三角形相似 B．有一個(gè)角等于120°的兩個(gè)等腰三角形相似 C．相似三角形一定不是全等三角形 D．相似三角形對應(yīng)角平分線的長度比等于面積比【分析】由相似三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．【解答】解：A、頂角為30°的等腰三角形與底角為30°的等腰三角形不相似，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、有一個(gè)角等于120°的兩個(gè)等腰三角形相似，故本選項(xiàng)說法正確，符合題意；C、當(dāng)相似比為1時(shí)，相似三角形是全等三角形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、相似三角形的面積比等于對應(yīng)角平分線的長度比的平方，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?淇濱區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，在邊CA上以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，在邊AB上以1cm/s的速度移動(dòng)．若點(diǎn)E、D分別同時(shí)從點(diǎn)C，A出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)．經(jīng)過多少時(shí)間以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？【分析】由勾股定理求出AB＝5cm，分兩種情況，若△ADE∽△ABC，則有＝，若△ADE∽△ACB，則有＝，根據(jù)比例線段得出方程可求出答案．【解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒后，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．則AD＝tcm，CE＝2tcm，∴AE＝（12﹣2t）cm，∵∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝12cm，∴AB＝＝＝5（cm），若△ADE∽△ABC，則有＝，∴＝，∴t＝，若△ADE∽△ACB，則有＝，∴＝，∴t＝．綜上所述，經(jīng)過或s，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?藤縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO向點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng)．當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6），求當(dāng)△POQ與△AOB相似時(shí)t的值．【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)列出等式，即可求解．【解答】解：由題意，OP＝t，OQ＝6﹣t，①若△POQ∽△AOB，則，即，解得t＝4；②若△POQ∽△BOA，則，即，解得t＝2；∴當(dāng)t＝4或t＝2時(shí)，△POQ與△AOB相似．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?盤州市期末）如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，MN＝2，線段MN的兩端點(diǎn)在CD，AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為多長時(shí)，△ABE與以D，M，N為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由．【分析】因?yàn)椤螧＝∠D＝90°，所以只有兩種可能，假設(shè)△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分別求出DM的長．【解答】解：當(dāng)DM＝或時(shí)，△ABC與以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形相似，理由：∵正方形ABCD邊長是4，BE＝CE，∴BE＝2，∴AE＝＝2，①假設(shè)△ABE∽△NDM，∴DM：BE＝MN：AE．∴DM：2＝2：2，∴DM＝．②假設(shè)△ABE∽△MDN，∴DM：BA＝MN：AE．∴DM：4＝2：2，∴DM＝．綜上所述，DM＝或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)．解決本題關(guān)鍵是要考慮到①DM與AB是對應(yīng)邊時(shí)，②當(dāng)DM與BE是對應(yīng)邊時(shí)這兩種情況．16．（2021秋?武山縣期末）如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三解形；（2）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？【分析】（1）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時(shí)間是t秒，利用速度×?xí)r間＝路程表示出AP與BQ的長，再由AB﹣AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B＝60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）當(dāng)QP⊥AB時(shí)，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時(shí)間是t秒，利用速度×?xí)r間＝路程表示出AP與BQ的長，再由AB﹣AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B＝60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．（2）由題目線段的長度可證得△CRQ為等邊三角形，進(jìn)而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR＝60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．【解答】解：（1）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖1所示：由題意可得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，，BP＝（6﹣t）cm，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，在Rt△BPQ中，cos60°＝＝，即＝，解得：t＝；（ii）當(dāng)QP⊥AB時(shí)，如圖2所示：由題意可得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，BP＝（6﹣2t）cm，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，在Rt△BPQ中，cos60°＝＝，即＝，解得：t＝3，綜上所述，t＝或3時(shí)，△BPQ為直角三角形；（2）如圖3，∵QR∥BA，∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等邊三角形，∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t，∵BE＝BQ?cos60°＝×2t＝t，∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t，∴EP∥QR，EP＝QR，∴四邊形EPRQ是平行四邊形，∴PR＝EQ＝t，又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°，∵△APR∽△PRQ，∴∠QPR＝∠A＝60°，∴tan60°＝，即＝，解得t＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，△APR∽△PRQ．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)等知識(shí)．利用了分類討論及方程的思想，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．四．相似三角形的應(yīng)用（共8小題）17．（2021秋?洪洞縣期末）為了估計(jì)河的寬度，在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A．再在河的這一邊選定點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后再選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC與AE交于點(diǎn)D．此時(shí)，測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，則兩岸間的距離AB是（）A．120m B．110m C．100m D．90m【分析】根據(jù)垂直定義可得∠B＝∠C＝90°，然后證明8字模型相似三角形△ADB∽△EDC，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴＝，∴＝，∴AB＝100m，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?利辛縣期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的邊GH在邊BC上，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，則正方形EFGH的邊長為（）A．36 B．42 C．48 D．54【分析】設(shè)正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，易證四邊形EHDN是矩形，則DN＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝80，∴AN＝80﹣x，∴＝，解得：x＝48，∴正方形EFGH的邊長為48．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．19．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝60cm，EF＝30cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，則樹高AB為（）m．A．5 B．6.5 C．7 D．7.5【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BC的長，再加上AC即可得解．【解答】解：DE＝60cm＝0.6m，EF＝30cm＝0.3m，在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得：BC＝5，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5（m），即樹高6.5m．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，比較簡單，判定出△DEF和△DBC相似是解題的關(guān)鍵．20．（2021秋?威縣期末）如圖1，長、寬均為3cm，高為8cm的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6cm，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，將這個(gè)情景轉(zhuǎn)化成幾何圖形，如圖3所示，（1）利用圖1、圖2所示水的體積相等，求DE的長；（2）求水面高度CF．【分析】（1）設(shè)DE＝x厘米，則AD＝（8﹣x）厘米，由長方體容器內(nèi)水的體積得出方程，解方程求出DE．（2）由勾股定理求出CD，過點(diǎn)C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例線段求得結(jié)果即可．【解答】解：（1）設(shè)DE＝xcm，則AD＝（8﹣x）cm，根據(jù)題意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4（cm）．（2）∵∠E＝90°，DE＝4，CE＝3，∴根據(jù)勾股定理得CD＝＝5，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE+∠DCB＝∠BCF+∠DCB，∴∠DCE＝∠BCF．∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△CBF，∴，即，∴CF＝（cm）．答：CF的高是cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、長方體的體積、梯形的面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，由長方體容器內(nèi)水的體積得出方程是解決問題的關(guān)鍵．21．（2021秋?遂川縣期末）如圖，放映幻燈時(shí)，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，點(diǎn)A為光源位置，若AE＝20cm，EC＝40cm，幻燈片中圖形ED高為6cm，求屏幕上圖形BC的高度．【分析】根據(jù)題意可畫出圖形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵AE＝20cm，EC＝40cm，∴AC＝60cm，設(shè)屏幕上的圖形高是xcm，則＝，解得：x＝18，答：屏幕上圖形BC的高度為18cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，找出相似的三角形，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵．22．（2021秋?靈寶市期末）如圖，已知直角三角形的鐵片ABC的兩直角邊BC、AC的長分別為3cm和4cm，分別采用（1）、（2）兩種剪法，剪出一塊正方形鐵片，為使所得的正方形面積最大，問哪一種剪法好？為什么？【分析】分別利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)正方形面積，進(jìn)而比較得出答案．【解答】解：（1）設(shè)正方形邊長為ycm，由題意可得：DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴．∴，解得：．（2），作AB邊上的高CH，交DE于點(diǎn)M，由，可得：，解得：，由題意可得：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴，設(shè)正方形DEFG的邊長為xcm，則CM＝（﹣x）cm，則，解得：，∵，∴（1）種情形下正方形的面積大．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確利用相似三角形的性質(zhì)得出正方形邊長是解題關(guān)鍵．23．（2021秋?淇濱區(qū)期末）如圖所示，要在底邊，BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC鐵皮余料上，截取一個(gè)矩形EFGH，使點(diǎn)H在AB上，點(diǎn)G在AC上，點(diǎn)E、F在BC上，AD交HG于點(diǎn)M．（1）設(shè)矩形EFGH的長HG＝y(tǒng)，寬HE＝x，確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)矩形EFGH的面積為S，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFGH的面積S最大？并求出最大值．【分析】（1）由S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，可得×160×120＝y(tǒng)（120﹣x）+x（y+160），繼而求得答案；（2）把y＝﹣x+160代入S＝xy，即可求得S與x的函數(shù)關(guān)系式；由S＝﹣x2+160x，可得：S＝﹣（x﹣60）2+4800；則可求得矩形EFGH的面積S最大值．【解答】解：（1）∵S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，∴×160×120＝y(tǒng)（120﹣x）+x（y+160），化簡得：y＝﹣x+160；（2）把y＝﹣x+160代入S＝xy，得：S＝﹣x2+160x；將S＝﹣x2+160x，右邊配方得：S＝﹣（x﹣60）2+4800；∵﹣（x﹣60）2≤0，∴當(dāng)﹣（x﹣60）2＝0時(shí)，即x＝60時(shí)，S＝﹣（x﹣60）2+4800有最大值4800．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24．（2021秋?城固縣期末）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也成一線．已知B、E、D、G、C在同一直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑AB的高度．【分析】設(shè)BE＝y(tǒng)m，由題意可知兩組三角形相似，利用相似比找出關(guān)于y的方程，即可求出建筑物AB的高度．【解答】解：設(shè)BE＝y(tǒng)m，由題意可知，∵EF∥AB，GH∥AB，∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴＝，＝，∵EF＝HG＝2，∴＝，∴＝，解得：y＝23（m），則＝，即＝，解得：AB＝25（m），答：該古建筑AB的高度為25m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，求出BE＝y(tǒng)的值是解題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·溫州市第十二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，是邊上一點(diǎn)，添加下列條件，不能判定?ABC~?ACD的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形相似的判定定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴?ABC~所以選項(xiàng)A不符合題意；B、∵，∴?ABC~所以選項(xiàng)B不符合題意；C、∵，∴?ABC~所以選項(xiàng)C不符合題意；D、，對應(yīng)邊成比例，但是不確定是否與相等，所以不能判定?ABC~?ACD，所以選項(xiàng)D符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定定理，牢記定理的內(nèi)容是解題的重點(diǎn)．2．（2021·河北盧龍·九年級(jí)期中）在圖（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．將△ABC分別按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)進(jìn)行裁剪，對于各圖中剪下的兩個(gè)陰影三角形而言，下列說法正確的是（）A．只有（1）中的與△ABC相似B．只有（2）中的與△ABC相似C．都與△ABC相似D．都與△ABC不相似【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形判定定理，兩邊對應(yīng)成比例夾角相等，兩個(gè)三角形相似，先求出兩個(gè)三角形中夾角相等的兩邊的比值，看是否相等可判斷A不正確，B正確，進(jìn)而可判斷C與D即可．【詳解】解：圖形（1）中標(biāo)字母如圖，∵BE=2，BA=4，，BF=3，BC不定，，∴（1）中的△BEF不與△ABC相似，故選項(xiàng)A不正確；圖2中標(biāo)字母如圖，∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6．∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2，∴，，∴，∵∠HAG=∠CAB，∴△AHG∽△ACB，故選項(xiàng)B正確，，故選項(xiàng)C不正確，選項(xiàng)D不正確．故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解題關(guān)鍵．3．（2021·山東省青島第二十六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖所示，小正方形的邊長均為1，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似判斷即可．【詳解】∵AC=，AB=2，BC=，A選項(xiàng)中的三邊長分別為：，1，，且：=2：=：1=，三邊對應(yīng)成比例，∴這兩個(gè)三角形相似，A符合題意；B選項(xiàng)中的三邊長分別為：，3，，三邊不成比例，∴這兩個(gè)三角形不相似，B不符合題意；C選項(xiàng)中的三邊長分別為：，1，2，三邊不成比例，∴這兩個(gè)三角形不相似，C不符合題意；D選項(xiàng)中的三邊長分別為：，2，，三邊不成比例，∴這兩個(gè)三角形不相似，D不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中三角形相似，靈活運(yùn)用勾股定理計(jì)算各邊長，熟練運(yùn)用三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似求解是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，下列條件不能判定與相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．【詳解】A、當(dāng)時(shí)，無法得出，符合題意；B、，??ACD~C、??A=?A,?ADC=?ACB，??ACD~D、，??ACD~故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD，DA上，四邊形EFGH由兩個(gè)正方形組成，且，則線段BE的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明△DGF∽△CFE，得出，再證明△CFE∽△BEA，得出，設(shè)CE=a，則CF=1-2a,BE=1-a，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形ABCD，四邊形EFGH由兩個(gè)正方形組成∴∠D=∠B=∠C=∠GFE=90°，GF=2EF∵∠DFG+∠CFE=90°∠CFE+∠CEF=90°∴∠DFG=∠CEF∴△DGF∽△CFE設(shè)CE=a，則CF=1-2a,BE=1-a∵∠CEF+∠AEB=90°∠AEB+∠EAB=90°∴∠EAB=∠CEF又∠C=∠B∴△CFE∽△BEA∴∴∴∵a<1∴∵BE=1-a=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，正方形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握相似三角形的判定是關(guān)鍵．二、填空題6．（2021·湖北曾都·九年級(jí)期末）如圖，在與中，，點(diǎn)在上，若只添加一個(gè)條件便能判定，則添加的條件是____．【答案】（答案不唯一）．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：依據(jù)兩角相等，兩三角形相似，可添加條件故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定定理．7．（2020·浙江杭州·九年級(jí)期末）（1）把長為的線段進(jìn)行黃金分割，較長線段的長是__________．（2）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則_________．（3）如圖，，則圖的相似三角形共有_______對．【答案】cm或3【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義，利用較長線段的長度為整個(gè)線段的倍進(jìn)行計(jì)算．（2）分BC＞AC和BC＜AC兩種情況分別求解；（3）根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可判斷相似三角形的對數(shù)．【詳解】解：（1）較長線段的長度=×8cm=cm；（2）∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)BC＞AC時(shí)，；當(dāng)BC＜AC時(shí)，，∴=；（3）∵AD∥EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，△AFD∽△CFB，△BEF∽△BAD，∴共3對．故答案為：cm；或；3．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割．8．（2021·河南伊川·九年級(jí)期末）如圖，在與中，，，，交于點(diǎn)D，給出下列結(jié)論．①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③④【分析】根據(jù)SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根據(jù)等邊對等角推出即可①正確；不正確，采用反證法，假設(shè)，可以證明△ACF≌△AFD，即可證明∠DAF=∠CAF，由題意無法得出此結(jié)論，判斷②錯(cuò)誤；根據(jù)∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判斷③正確；根據(jù)△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判斷④正確【詳解】解：在△AEF和△ABC中∵，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C，∴①正確；不正確，理由是：假設(shè)，∵△AEF≌△ABC∴∠AFD=∠C，AF=AC，∴△ACF≌△AFD，∴∠DAF=∠FAC，原題中無AF為∠BAC平分線這一條件，∴②錯(cuò)誤；∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，∴③正確；∵△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，∴∠EAD＝∠CAF，∵△ADE∽△FBD，∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，∴④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力，根據(jù)條件判定△AEF≌△ABC是解題關(guān)鍵．9．（2021·陜西鳳翔·九年級(jí)期末）如圖，中，，尺規(guī)作圖：在上求作點(diǎn)，使得與相似；（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，因?yàn)椤螧=∠B,,即可得到△ABE與△ABC相似．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，以及三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）在中，斜邊，點(diǎn)D在上，且，若以為直徑的半圓O在某條直角邊上截得的線段長為，則直角邊的長為_______．【答案】或．【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)，且，可求得，，則有則，可判斷是等腰三角形，得到，利用，，可證得，得到，可求得，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算得結(jié)果；②當(dāng)時(shí)，連接，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，同理①可求得，，，根據(jù)勾股定理可得，可證，得到，求得據(jù)勾股定理可計(jì)算得結(jié)果．【詳解】解：依題意得，①當(dāng)時(shí)，如圖示，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，點(diǎn)D在上，且，∴，，∵圓是以為直徑的半圓，則，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵在和中，，∴∴，即有∴∴在中，；②當(dāng)時(shí)，如圖示，連接，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，點(diǎn)D在上，且，∴，，∵圓是以為直徑的半圓，則，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴在中，∵在和中，，∴∴，即有∴∴在中，；綜上所述，的長為或；故答案是：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟悉以上相關(guān)性質(zhì)．三、解答題11．（2021·遼寧鞍山·九年級(jí)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE．求證：△ADB∽△AEC．【分析】由題知，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，即可證明．【詳解】∵將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴，∴△ADB∽△AEC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，明白旋轉(zhuǎn)前后的邊和角都不變是解題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出一個(gè)以為邊的平行四邊形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)在格點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以為邊且與相似的，使頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與全等）．【分析】（1）將點(diǎn)同時(shí)向上平移1個(gè)網(wǎng)格可得點(diǎn)，連接即可得；（2）先根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)、勾股定理可得，找出一點(diǎn)使得即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)同時(shí)向上平移1個(gè)網(wǎng)格可得點(diǎn)，連接即可得到平行四邊形，如圖所示：（2）如圖，，，??ABD是直角三角形，且，在?ABC和?DBA中，，??ABC~則圖中即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的作圖、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形和相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．13．（2021·廣東·廣州市八一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，在△PAB中，點(diǎn)C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求證：△APC∽△BPD．【分析】根據(jù)PC＝PD＝CD，可得出為等邊三角形，即可得出,進(jìn)而得出,再根據(jù)相似三角形的判定推出即可．【詳解】證明：∵PC＝PD＝CD，

∴?PCD為等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC，

∴,∵∠A＝∠BPD，

∴△APC∽△PBD．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，注意：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．14．（2021·浙江衢江·九年級(jí)期末）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且AE＝1．（1）當(dāng)m＝3，AF：FB＝1：3時(shí)，求證：AEF∽BFC；（2）當(dāng)m＝3.5時(shí)，用直尺和圓規(guī)在圖②的線段AB上確定所有使AEF與以點(diǎn)B、F、C為項(xiàng)點(diǎn)的三角形相似的點(diǎn)F（請保留畫圖痕跡）；（3）探究：對于每一個(gè)確定的m的值，線段AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得AEF與以點(diǎn)B、F、C為頂點(diǎn)的三角形相似？（直接寫出結(jié)論即可）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)m=3時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m=4時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m＞4時(shí)，有1個(gè)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝90°，再由已知可推出，即可利用相似三角形的判定得出結(jié)論；

（2）利用對稱性或輔助圓解決問題即可；

（3）根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論即可解決問題；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是