專題13圖形變換綜合問題(原卷版+解析)【浙江專用】

決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（浙江專用）專題13圖形變換綜合問題【例1】（2019?紹興）正方形ABCD的邊AB上有一動點E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點D．在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【例2】（2019?金華）圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動軌道，∠E＝∠F＝90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動軌道上，兩門關(guān)閉時（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計（即B、C重合）；兩門同時開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動，帶動B、C滑動：B到達(dá)E時，C恰好到達(dá)F，此時兩門完全開啟，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如圖3，當(dāng)∠ABE＝30°時，BC＝cm．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時，四邊形ABCD的面積為cm2．【例3】（2019?寧波）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點P是線段AD上一動點，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為．【例4】（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運(yùn)動的路徑長為cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為cm2．【例5】（2019?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點M，N分別在邊AB，CD上，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點P，記k＝MN：EF．（1）若a：b的值為1，當(dāng)MN⊥EF時，求k的值．（2）若a：b的值為12，求k（3）若k的值為3，當(dāng)點N是矩形的頂點，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE時，求a：b的值．【例6】（2019?臺州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是BA延長線上的一點，連接PC交AD于點F，AP＝FD．（1）求AFAP（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點E作EN⊥CD于點N，在線段EN上取一點Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點A旋轉(zhuǎn)，使點Q旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點Q'落在邊AD上．請判斷點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'是否落在線段BN上，并說明理由．【例7】（2019?金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點E與點C重合，AF與DC相交于點O．求證：BD＝2DO．（2）已知點G為AF的中點．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．②若AD＝6BD，是否存在點E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．【例8】（2019?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，點M是線段AD上的動點，連結(jié)BM并延長分別交DE，AC于點F、G．（1）求CD的長．（2）若點M是線段AD的中點，求EFDF（3）請問當(dāng)DM的長滿足什么條件時，在線段DE上恰好只有一點P，使得∠CPG＝60°？1．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P，Q在對角線BD上，且BQ=23BP，過點P作PH⊥AB于點H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設(shè)BQ＝（1）若m＝2時，求此時PH的長．（2）若點C，G，H在同一直線上時，求此時的m值．（3）若經(jīng)過點G的直線將矩形ABCD的面積平分，同時該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時m的值．2．（2020?東陽市模擬）如圖，已知點A（0，8），B（16，0），點P是x軸上的一個動點（不與原點O重合），連結(jié)AP，把△OAP沿著AP折疊后，點O落在點C處，連結(jié)PC，BC，設(shè)P（t，0）．（1）如圖1，當(dāng)AP∥BC時，試判斷△BCP的形狀，并說明理由．（2）在點P的運(yùn)動過程中，當(dāng)∠PCB＝90°時，求t的值．（3）如圖2，過點B作BH⊥直線CP，垂足為點H，連結(jié)AH，在點P的運(yùn)動過程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．3．（2020?永康市一模）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折，點A對應(yīng)點為點G．（1）如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點G落在對角線BD上時，求DG的長；（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時，求AE的值；（3）當(dāng)AE＝2AF時，F(xiàn)G的延長線交△BCD的邊于點H，是否存在一點H，使得以E，H，G為頂點的三角形與△AEF相似，若存在，請求出AE的值；若不存在，請說明理由4．（2020?寧波模擬）如圖，矩形ABCD中．AB＝6，BC＝8，在所給的3個矩形中分別畫1個菱形，要求菱形的頂點都在矩形的邊上，且畫出菱形后整個圖形分別符合下列條件，并在橫線上直接寫出菱形的面積．①是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；②既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形且菱形四個頂點落在矩形不同邊上；③是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形且菱形面積最大．S＝；S＝；S＝．5．（2020?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊上一點，先把正方形ABCD沿線段AE剪開，再將四邊形ABCE沿某一條線段m剪開，使剪開后的三塊圖形能以不重疊、無縫隙的方式重新拼成與原圖形不全等的菱形或矩形．設(shè)DE＝x．（1）當(dāng)x＝0.5時，求所拼菱形的邊長，并在圖中畫出線段m的位置．（2）當(dāng)所拼矩形的一邊長為0.8時，求矩形的另一邊長和x的值．（3）舉例說明存在分?jǐn)?shù)x，能使所拼菱形或矩形的邊長都是分?jǐn)?shù)．6．（2020?寧波模擬）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，點D是BC延長線上一點．若△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長；（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長．7．（2020?金東區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝82．點D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點為G．（1）當(dāng)點E與點C重合時．①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，求點G的運(yùn)動路徑長．（2）當(dāng)AE＝3，點G在△DEF一邊所在直線上時，求AD的長．8．（2020?黃巖區(qū)模擬）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為70°時，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝60厘米，DC＝40厘米，求點D'到BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）10．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖①是一個小箱子ABCDE放在桌面MN上的示意圖，BC這部分可彎曲，在彎曲時形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點B，C分別為切點，小箱子蓋面CD與桌面MN平行，此時CD距離桌面14cm，已知AB的長10cm，CD的長為25.2cm．（1）如圖①，求弧BC的長度（結(jié)果保留π）．（2）如圖②，若小箱子ABCDE打開后弧BC所對的圓心角度數(shù)為60°，求小箱子頂端D到桌面MN的距離DH（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：3≈11．（2020?椒江區(qū)模擬）如圖，在四邊形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA＝∠BAC＝90°，點E是BC的中點，連接DE交AB于點F．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）當(dāng)∠DBA＝30°時，求BFBA（3）是否存在點F，使F是AB的三等分點？若存在，請求出∠DBA的度數(shù)；若不存在，請說明理由；（4）求∠BDE的最大值．12．（2020?鄧州市一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC＝°．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點B，D，E在同一直線上．請判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）【解決問題】如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E，AE＝3．將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點B時，點C到直線DE的距離是多少？（要求畫出示意圖并直接寫出答案）13．（2020?豐臺區(qū)模擬）如圖，點D是等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連結(jié)CD并延長交AB于點F，連結(jié)BD，CE．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）當(dāng)CF⊥AB時，∠ADB＝140°，求∠ECD的度數(shù)．14．（2020?黃巖區(qū)模擬）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點D是射線OM上的動點，當(dāng)點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，設(shè)OD＝m．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△CDE的形狀是三角形．（2）探究證明如圖2，當(dāng)6＜m＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）解決問題是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．15．（2020?河南模擬）某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，①CF與BC的位置關(guān)系；②CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出結(jié)論）；（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，（1）中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，將△DAF沿線段DF翻折，使點A與點E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，請求出線段CE的長．16．（2020?拱墅區(qū)模擬）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．（1）探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)α＝30°時，求證：△AOE'為直角三角形．17．（2020?營口模擬）把兩個全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．18．（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC（1）李明同學(xué)做了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP'，可說明△APP'是直角三角形從而問題得到解決．請你說明其中理由并完成問題解答．（2）如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且AP=5，BP=2，PC＝1：類比第一小題的方法求∠BPC的度數(shù)，并直接寫出正方形19．（2019?寧波模擬）三角形面積的計算．（1）如圖①，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝42，①設(shè)BD＝x，用x表示AD2；②求BD長；③求△ABC的面積．（2）如圖②，點D是等邊△ABC內(nèi)一點，AD＝5，BD＝7，CD＝42．將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△CBE的位置，連結(jié)DE．①求△CDE的面積；②求△ABC的面積．20．（2019?義烏市模擬）定義：若△ABC中，其中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”．（1）若Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，則其余兩個角的度數(shù)為．（2）如圖1，在?ABCD中，∠C＝72°，點E在邊CD上，以BE為折痕，將△BCE向上翻折，點E恰好落在AD邊上的點F，若BF⊥AD，求證：△EDF為半角三角形；（3）如圖2，以△ABC的邊AB為直徑畫圓，與邊AC交于M，與邊BC交于N，已知△ABC的面積是△CMN面積的4倍．①求證：∠C＝60°．②若△ABC是半角三角形，直接寫出∠B的度數(shù)．決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（浙江專用）專題13圖形變換綜合問題【例1】（2019?紹興）正方形ABCD的邊AB上有一動點E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點D．在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【分析】連接DE，△CDE的面積是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，則矩形與正方形面積相等．【解析】連接DE，∵S△CDES△CDE=∴矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等．故選：D．【例2】（2019?金華）圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動軌道，∠E＝∠F＝90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動軌道上，兩門關(guān)閉時（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計（即B、C重合）；兩門同時開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動，帶動B、C滑動：B到達(dá)E時，C恰好到達(dá)F，此時兩門完全開啟，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如圖3，當(dāng)∠ABE＝30°時，BC＝90﹣453cm．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時，四邊形ABCD的面積為2256cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C兩點的路程之比為5：4，再結(jié)合B運(yùn)動的路程即可求出C運(yùn)動的路程，相加即可求出BC的長；（2）當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時，AA'＝15cm，由勾股定理和題目條件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'邊長，即可利用割補(bǔ)法求出四邊形四邊形ABCD的面積．【解析】∵A、D分別在E、F處，門縫忽略不計（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到達(dá)E時，C恰好到達(dá)F，此時兩門完全開啟，∴B、C兩點的路程之比為5：4（1）當(dāng)∠ABE＝30°時，在Rt△ABE中，BE=32AB＝253∴B運(yùn)動的路程為（50﹣253）cm∵B、C兩點的路程之比為5：4∴此時點C運(yùn)動的路程為（50﹣253）×45=（40﹣20∴BC＝（50﹣253）+（40﹣203）＝（90﹣453）cm故答案為：90﹣453；（2）當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時，設(shè)此時點A運(yùn)動到了點A'處，點B、C、D分別運(yùn)動到了點B'、C'、D'處，連接A'D'，如圖：則此時AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B運(yùn)動的路程為50﹣30＝20cm∴C運(yùn)動的路程為16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四邊形A'B'C'D'的面積＝梯形A'EFD'的面積﹣△A'EB'的面積﹣△D'FC'的面積=12×90×(40+32)?12×∴四邊形ABCD的面積為2256cm2．故答案為：2256．【例3】（2019?寧波）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點P是線段AD上一動點，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為6.5或313．【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=122+182=613，AD=AC2+CD2=13，當(dāng)⊙P于BC相切時，點P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB=122在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD=A當(dāng)⊙P于BC相切時，點P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴PDDA∴PD13∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；當(dāng)⊙P于AB相切時，點P到AB的距離＝6，過P作PG⊥AB于G，則PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，∴APAB∴AP6∴AP＝313，∵CD＝5＜6，∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，綜上所述，AP的長為6.5或313，故答案為：6.5或313．【例4】（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運(yùn)動的路徑長為（24﹣122）cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為（243+362?126）cm【分析】過點D'作D'N⊥AC于點N，作D'M⊥BC于點M，由直角三角形的性質(zhì)可得BC＝43cm，AB＝83cm，ED＝DF＝62cm，由“AAS”可證△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即點D'在射線CD上移動，且當(dāng)E'D'⊥AC時，DD'值最大，則可求點D運(yùn)動的路徑長，由三角形面積公式可求S△AD'B=12BC×AC+12×AC×D'N?12×BC×D'M＝243+12（12﹣43）×D'N，則E【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°∴BC＝43cm，AB＝83cm，ED＝DF＝62cm如圖，當(dāng)點E沿AC方向下滑時，得△E'D'F'，過點D'作D'N⊥AC于點N，作D'M⊥BC于點M∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即點E沿AC方向下滑時，點D'在射線CD上移動，∴當(dāng)E'D'⊥AC時，DD'值最大，最大值=2ED﹣CD＝（12﹣62）∴當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運(yùn)動的路徑長＝2×（12﹣62）＝（24﹣122）cm如圖，連接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C∴S△AD'B=12BC×AC+12×AC×D'N?12×BC×D'M當(dāng)E'D'⊥AC時，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝243+12（12﹣43）×62=（243+362?故答案為：（24﹣122），（243+362?12【例5】（2019?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點M，N分別在邊AB，CD上，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點P，記k＝MN：EF．（1）若a：b的值為1，當(dāng)MN⊥EF時，求k的值．（2）若a：b的值為12，求k（3）若k的值為3，當(dāng)點N是矩形的頂點，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE時，求a：b的值．【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設(shè)EF交MN于點O．證明△FHE≌△MQN（ASA），即可解決問題．（2）由題意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5a，當(dāng)MN的長取最大時，EF取最短，此時k的值最大最大值=5，當(dāng)MN的最短時，EF的值取最大，此時k（3）連接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出MNPM=EFPE=3，推出PNPM=PFPE=2，由△PNF∽△PME，推出NFME=PNPM=2，ME∥NF，設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，接下來分兩種情形①【解析】（1）如圖1中，作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設(shè)EF交MN于點O．∵四邊形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∵AB＝CB，∴FH＝MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON＝90°，∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN＝EF，∴k＝MN：EF＝1．（2）∵a：b＝1：2，∴b＝2a，由題意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5∴當(dāng)MN的長取最大時，EF取最短，此時k的值最大最大值=5當(dāng)MN的最短時，EF的值取最大，此時k的值最小，最小值為25（3）連接FN，ME．∵k＝3，MP＝EF＝3PE，∴MNPM∴PNPM=PFPE=∴△PNF∽△PME，∴NFME=PNPM=設(shè)PE＝2m，則PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，①如圖2中，當(dāng)點N與點D重合時，點M恰好與B重合．作FH⊥BD于H．∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，F(xiàn)H＝23m，DH＝10m，∴ab②如圖3中，當(dāng)點N與C重合，作EH⊥MN于H．則PH＝m，HE=3m∴HC＝PH+PC＝13m，∴tan∠HCE=MB∵M(jìn)E∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴CDMB∴ab綜上所述，a：b的值為35或2【例6】（2019?臺州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是BA延長線上的一點，連接PC交AD于點F，AP＝FD．（1）求AFAP（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點E作EN⊥CD于點N，在線段EN上取一點Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點A旋轉(zhuǎn)，使點Q旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點Q'落在邊AD上．請判斷點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'是否落在線段BN上，并說明理由．【分析】（1）設(shè)AP＝FD＝a，通過證明△AFP∽△DFC，可得APCD=AFFD，可求（2）在CD上截取DH＝AF，由“SAS”可證△PAF≌△HDF，可得PF＝FH，由勾股定理可求CE＝EP=5，可得CM＝CH=5?1，由“SAS”可證△FCM≌△FCH，可得FM＝FH（3）以A原點，AB為y軸，AD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法可求BN解析式，即可求B'坐標(biāo)，計算B'Q'的長度，即可判斷點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'是否落在線段BN上．【解析】（1）設(shè)AP＝FD＝a，∴AF＝2﹣a，∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD∴△AFP∽△DFC∴AP即a∴a=5∴AP＝FD=5∴AF＝AD﹣DF＝3?∴AF（2）在CD上截取DH＝AF∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，∴△PAF≌△HDF（SAS）∴PF＝FH，∵AD＝CD，AF＝DH∴FD＝CH＝AP=5∵點E是AB中點，∴BE＝AE＝1＝EM∴PE＝PA+AE=∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，∴EC=∴EC＝PE，CM=5∴∠P＝∠ECP∵AP∥CD∴∠P＝∠PCD∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH=5?1，CF∴△FCM≌△FCH（SAS）∴FM＝FH∴FM＝PF（3）若點B'在BN上，如圖，以A原點，AB為y軸，AD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵EN⊥AB，AE＝BE∴AQ＝BQ＝AP=5由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AQ＝AQ'=5?1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB∵點B（0，﹣2），點N（2，﹣1）∴直線BN解析式為：y=12設(shè)點B'（x，12x∴AB'=x∴x=∴點B'（85，?∵點Q'（5?∴B'Q'=(∴點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'不落在線段BN上．【例7】（2019?金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點E與點C重合，AF與DC相交于點O．求證：BD＝2DO．（2）已知點G為AF的中點．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．②若AD＝6BD，是否存在點E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．【分析】（1）如圖1中，首先證明CD＝BD＝AD，再證明四邊形ADFC是平行四邊形即可解決問題．（2）①作DT⊥BC于點T，F(xiàn)H⊥BC于H．證明DG是△ABF的中位線，想辦法求出BF即可解決問題．②分三種情形情形：如圖3﹣1中，當(dāng)∠DEG＝90°時，F(xiàn)，E，G，A共線，作DT⊥BC于點T，F(xiàn)H⊥BC于H．設(shè)EC＝x．構(gòu)建方程解決問題即可．如圖3﹣2中，當(dāng)∠EDG＝90°時，取AB的中點O，連接OG．作EH⊥AB于H．構(gòu)建方程解決問題即可．如圖3﹣3中，當(dāng)∠DGE＝90°時，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程解決問題即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∵CD＝CF，∴AD＝CF，∵∠ADC＝∠DCF＝90°，∴AD∥CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴OD＝OC，∵BD＝2OD．（2）①解：如圖2中，作DT⊥BC于點T，F(xiàn)H⊥BC于H．由題意：BD＝AD＝CD＝72，BC=2BD∵DT⊥BC，∴BT＝TC＝7，∵EC＝2，∴TE＝5，∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，∴∠TDE＝∠FEH，∵ED＝EF，∴△DTE≌△EHF（AAS），∴FH＝ET＝5，∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴B，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴∠DBF+∠DEF＝90°，∴∠DBF＝90°，∵∠DBE＝45°，∴∠FBH＝45°，∵∠BHF＝90°，∴∠HBF＝∠HFB＝45°，∴BH＝FH＝5，∴BF＝52，∵∠ADC＝∠ABF＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG=12BF②解：如圖3﹣1中，當(dāng)∠DEG＝90°時，F(xiàn)，E，G，A共線，作DT⊥BC于點T，F(xiàn)H⊥BC于H．設(shè)EC＝x．∵AD＝6BD，∴BD=17AB＝2∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，∴DT＝BT＝2，∵△DTE≌△EHF，∴EH＝DT＝2，∴BH＝FH＝12﹣x，∵FH∥AC，∴EHEC∴2x整理得：x2﹣12x+28＝0，解得x＝6±22．如圖3﹣2中，當(dāng)∠EDG＝90°時，取AB的中點O，連接OG．作EH⊥AB于H．設(shè)EC＝x，由2①可知BF=2（12﹣x），OG=12BF=∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，∴∠DGO＝∠HDE，∴△EHD∽△DOG，∴DHOG∴22整理得：x2﹣36x+268＝0，解得x＝18﹣214或18+214（舍棄），如圖3﹣3中，當(dāng)∠DGE＝90°時，取AB的中點O，連接OG，CG，作DT⊥BC于T，F(xiàn)H⊥BC于H，EK⊥CG于K．設(shè)EC＝x．∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴D，B，F(xiàn)，E四點共圓，∴∠DBF+∠DEF＝180°，∵∠DEF＝90°，∴∠DBF＝90°，∵AO＝OB，AG＝GF，∴OG∥BF，∴∠AOG＝∠ABF＝90°，∴OG⊥AB，∵OG垂直平分線段AB，∵CA＝CB，∴O，G，C共線，由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF=2（12﹣x），OG=12BF=22（12﹣x），CK＝EK=22x，GK＝7由△OGD∽△KEG，可得OGEK∴22解得x＝2，綜上所述，滿足條件的EC的值為6±22或18﹣214或2．【例8】（2019?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，點M是線段AD上的動點，連結(jié)BM并延長分別交DE，AC于點F、G．（1）求CD的長．（2）若點M是線段AD的中點，求EFDF（3）請問當(dāng)DM的長滿足什么條件時，在線段DE上恰好只有一點P，使得∠CPG＝60°？【分析】（1）解Rt△ADC即可解決問題．（2）由DE∥AC，可得EFAG=BEAB=（3）求出三種特殊位置：①當(dāng)⊙Q與DE相切時，如圖3﹣1中．②當(dāng)⊙Q經(jīng)過點E時，如圖3﹣2中．③當(dāng)⊙Q經(jīng)過點D時，如圖3﹣3中，分別求出DM的值即可判斷．【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC=12∠在Rt△ADC中，DC＝AC?tan30°＝6×33=（2）由題意易知：BC＝63，BD＝43，∵DE∥AC，∴∠FDM＝∠GAM，∵AM＝DM，∠DMF＝∠AMG，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF＝AG，∵DE∥AC，∴EFAG∴EFDF（3）∵∠CPG＝60°，過C，P，G作外接圓，圓心為Q，∴△CQG是頂角為120°的等腰三角形．①當(dāng)⊙Q與DE相切時，如圖3﹣1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．連接QC，QG．設(shè)⊙Q的半徑為r．則QH=12r，r+12∴r=4∴CG=433由△DFM∽△AGM，可得DMAM∴DM=47AD②當(dāng)⊙Q經(jīng)過點E時，如圖3﹣2中，延長CQ交AB于K，設(shè)CQ＝r．∵QC＝QG，∠CQG＝120°，∴∠KCA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠AKC＝90°，在Rt△EQK中，QK＝33?r，EQ＝r，EK∴12+（33?r）2＝r2解得r=14∴CG=14由△DFM∽△AGM，可得DM=14③當(dāng)⊙Q經(jīng)過點D時，如圖3﹣3中，此時點M，點G與點A重合，可得DM＝AD＝43．觀察圖象可知：當(dāng)DM=1637或1435＜1．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P，Q在對角線BD上，且BQ=23BP，過點P作PH⊥AB于點H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設(shè)BQ＝（1）若m＝2時，求此時PH的長．（2）若點C，G，H在同一直線上時，求此時的m值．（3）若經(jīng)過點G的直線將矩形ABCD的面積平分，同時該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時m的值．【分析】（1）由勾股定理可求BD＝5，通過證明△BPH∽△BDA，可得PHAD（2）設(shè)BQ＝2x，則BP＝3x，PQ＝x，通過證明△PHO∽△BCO，可得PHBC=POOB，可求PH的長，通過證明△BPH∽△BDA，可得（3）分兩種情況，由平行線分線段成比例，可求解．【解析】（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD=AB∵BQ＝2，BQ=2∴BP＝3，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴PHAD∴PH=AD?BP（2）如圖，設(shè)HG與PQ交于點O，設(shè)BQ＝2x，則BP＝3x，PQ＝x，∴PO＝QO=1∴BO=52∵PH∥BC，∴△PHO∽△BCO，∴PHBC∴PH=BC?PO∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴PHAD∴35∴x=1∴BQ=m=2x=2（3）連接AC交BD于O，∵經(jīng)過點G的直線將矩形ABCD的面積平分，∴這條直線經(jīng)過矩形ABCD的對角線的交點O．①如圖，當(dāng)直線OG經(jīng)過PH的中點R時，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，∵PH∥GQ，∴PRGQ∴32∴m=15②如圖，當(dāng)直線OG經(jīng)過HQ的中點N時，直線OG將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，∵PG∥HQ，∴NQPG∴32∴m=15綜上所述，滿足條件的m的值為158或152．（2020?東陽市模擬）如圖，已知點A（0，8），B（16，0），點P是x軸上的一個動點（不與原點O重合），連結(jié)AP，把△OAP沿著AP折疊后，點O落在點C處，連結(jié)PC，BC，設(shè)P（t，0）．（1）如圖1，當(dāng)AP∥BC時，試判斷△BCP的形狀，并說明理由．（2）在點P的運(yùn)動過程中，當(dāng)∠PCB＝90°時，求t的值．（3）如圖2，過點B作BH⊥直線CP，垂足為點H，連結(jié)AH，在點P的運(yùn)動過程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得∠PCB＝∠PBC，可得PC＝PB，可得△BCP是等腰三角形；（2）分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)可得∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，可證點A，點C，點B三點共線，由銳角三角函數(shù)可求解；（3）分四種情況討論，先證由點A，點H，點B，點C所構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，由勾股定理可求解．【解析】（1）等腰三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿著AP折疊，∴∠APO＝∠APC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB，∴△BCP是等腰三角形；（2）當(dāng)t＞0時，如圖，∵△OAP沿著AP折疊，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴點A，點C，點B三點共線，∵點A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB=OA2+OB∵tan∠ABO=AO∴88∴t＝45?當(dāng)t＜0時，如圖，同理可求：t＝﹣45?（3）∵△OAP沿著AP折疊，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四邊形AHBC是平行四邊形，如圖2，當(dāng)0≤t≤16時，點H在PC上時，連接AB交CH于G，∵四邊形AHBC是平行四邊形，∴AG＝BG＝45，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG=BG在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如圖3，當(dāng)0≤t≤16時，點H在PC的延長線上時，∵四邊形AHBC是平行四邊形，∴AG＝BG＝45，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG=BG在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t=8如圖4，當(dāng)t＜0時，同理可證：四邊形ABHC是平行四邊形，又∵AH＝BC，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝45，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+85）2，∴t＝16﹣85；當(dāng)t＞16時，如圖5，∵四邊形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝85，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣85）2，∴t＝16+85．綜上所述：當(dāng)t＝8或83或16﹣85或16+85時，存在AH＝BC3．（2020?永康市一模）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折，點A對應(yīng)點為點G．（1）如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點G落在對角線BD上時，求DG的長；（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時，求AE的值；（3）當(dāng)AE＝2AF時，F(xiàn)G的延長線交△BCD的邊于點H，是否存在一點H，使得以E，H，G為頂點的三角形與△AEF相似，若存在，請求出AE的值；若不存在，請說明理由【分析】（1）連接AG，如圖2所示，首先證明AG⊥BD，解直角三角形即可解決問題．（2）分兩種情形：①當(dāng)∠DGF＝90°時，此時點D，G，E三點共線，②當(dāng)∠GDF＝90°時，點G在DC上，過點E作EH⊥CD于H，則四邊形ADHE是矩形，分別求解即可．（3）分四種情形：①當(dāng)△AEF∽△GHE時，如圖4﹣1，過點H作HP⊥AB于P．②當(dāng)△AEF∽△GHE時，如圖4﹣2，過點H作HP⊥AB于P．③當(dāng)△AEF∽△GEH時，如圖4﹣3，過點G作MN∥AB交AD于點M，過點E作EN⊥MN于N．④當(dāng)△AEF∽△GEH時，如圖4﹣4，過點G作MN∥AB交AD于點M，過點E作EN⊥MN于N，過點H作HQ⊥AD于Q，分別求解即可．【解析】（1）連接AG，如圖2所示，由折疊得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，∴DB=A∴cos∠ADB=AD∴DG＝AD?cos∠ADB＝6×3（2）①當(dāng)∠DGF＝90°時，此時點D，G，E三點共線，設(shè)AF＝3t，則FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵tan∠FDG=FG∴3t36?36t解得t=7∴AE=7②當(dāng)∠GDF＝90°時，點G在DC上，過點E作EH⊥CD于H，則四邊形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．設(shè)AF＝3t，則FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，∴∠DFG＝∠EGH，∴△GDF∽△EHG，∴DFGH∴6?3kGH∴DG=92，GH＝8﹣4∵DG+GH＝AE，∴92+8﹣4k＝4∴k=25∴AE=25綜上所述：AE=74或（3）①當(dāng)△AEF∽△GHE時，如圖4﹣1，過點H作HP⊥AB于P，∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，∴△FEG+∠HEG＝90°，∴∠A＝∠FEH＝90°，∴△AEF∽△EHF，∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，∵∠A＝∠HPE＝90°，∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，∴∠AEF＝∠EHP，∴△AEF∽△HPE，∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，∵HP＝6，∴AE＝3．②當(dāng)△AEF∽△GHE時，如圖4﹣2，過點H作HP⊥AB于P，同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，設(shè)AF＝t，則AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，∴BP＝8﹣4t，∵△BHP∽△BDA，∴4t：6＝（8﹣4t）：8，解得：t=67，AE③當(dāng)△AEF∽△GEH時，如圖4﹣3，過點G作MN∥AB交AD于點M，過點E作EN⊥MN于N．設(shè)AF＝t，則AE＝2t，DF＝6﹣t，由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），∴FG＝GH，∵M(jìn)G∥DH，∴FM=12（6﹣∴AM＝EN＝AF+FM=6+t又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，∵M(jìn)G=12NE=12AM=6+t4，∵M(jìn)N＝AE，∴6+t4+6﹣t＝2解得t=30∴AE=60④當(dāng)△AEF∽△GEH時，如圖4﹣4，過點G作MN∥AB交AD于點M，過點E作EN⊥MN于N，過點H作HQ⊥AD于Q，設(shè)AF＝t，則AE＝2t，設(shè)FM＝a，∴NG＝2a，NE＝a+t，∴MG=12EN=1∴a+t2+2a＝2t由上題可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，∴DQ＝6﹣t﹣2a，∵DQQH∴6?t?2aa+t=解得t=30∴AE=60綜上所述，滿足條件的AE的值為3或127或6011或4．（2020?寧波模擬）如圖，矩形ABCD中．AB＝6，BC＝8，在所給的3個矩形中分別畫1個菱形，要求菱形的頂點都在矩形的邊上，且畫出菱形后整個圖形分別符合下列條件，并在橫線上直接寫出菱形的面積．①是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；②既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形且菱形四個頂點落在矩形不同邊上；③是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形且菱形面積最大．S＝36；S＝24；S＝752【分析】根據(jù)題意，可以畫出符合要求的菱形，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以分別求得三個菱形的面積，本題得以解決．【解析】如下圖所示，S①＝6×6＝36，S②=6×8在符合③的圖形中，設(shè)菱形的邊長為a，62+（8﹣a）2＝a2，解得，a=25S②=254×故答案為：36，24，7525．（2020?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊上一點，先把正方形ABCD沿線段AE剪開，再將四邊形ABCE沿某一條線段m剪開，使剪開后的三塊圖形能以不重疊、無縫隙的方式重新拼成與原圖形不全等的菱形或矩形．設(shè)DE＝x．（1）當(dāng)x＝0.5時，求所拼菱形的邊長，并在圖中畫出線段m的位置．（2）當(dāng)所拼矩形的一邊長為0.8時，求矩形的另一邊長和x的值．（3）舉例說明存在分?jǐn)?shù)x，能使所拼菱形或矩形的邊長都是分?jǐn)?shù)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理計算出AE的長，再連接BE即可；（2）先畫出圖形，再證明△AHB∽△FCB，利用相似三角形的性質(zhì)得比例式，再根據(jù)面積法計算可得答案；（3）答案不唯一，如x=512，仿照（1），由勾股定理得菱形的邊AE的長，仿照（2），利用相似三角形的性質(zhì)可得矩形的邊長BH和【解析】（1）所拼菱形的邊長為：AE=A如圖所示：（2）四邊形BFGH是所拼矩形示意圖，∵BF＞1，∴BH＝0.8，∵∠ABH+∠HBC＝90°，∠CBH+∠HBC＝90°，∴∠ABH＝∠CBF，又∵∠AHB＝∠BCF＝90°，∴△AHB∽△FCB，∴ABBFBF=AB?BCBH=1∴矩形的另一邊長為54，x的值為3（3）答案不唯一，如x=5由（2）可知，此時菱形的邊長AE=1∵∠DAE+∠BAH＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH，又∵∠AHB＝∠D＝90°，∴△ABH∽△EAD，∴BHAD∴BH1∴BH=12∴BF=AB?BC∴分?jǐn)?shù)x=56．（2020?寧波模擬）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，點D是BC延長線上一點．若△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長；（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長．【分析】（1）由“準(zhǔn)互余三角形”定義可求解；（2）由勾股定理可求AC＝3，分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）如圖，將△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，通過證明△CEB∽△BED，可求BE＝6，由勾股定理可求解．【解析】（1）∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，若∠A﹣∠B＝90°，則∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，若∠A﹣∠C＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝35°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC=BC∵△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，當(dāng)∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，∴AC＝CD＝3，當(dāng)∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴CDAD∴CDAD∴CD=45（3）如圖，將△ABC沿BC翻折得到△EBC，∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴點D，點C，點E三點共線，∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴CEBE即4BE∴BE＝6，∴BD=BE2+DE7．（2020?金東區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝82．點D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點為G．（1）當(dāng)點E與點C重合時．①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，求點G的運(yùn)動路徑長．（2）當(dāng)AE＝3，點G在△DEF一邊所在直線上時，求AD的長．【分析】（1）①如圖1中，過點F作FT⊥BC交BC的延長線于T．想辦法求出FT，TB，利用勾股定理即可解決問題．②如圖2中，連接AF，取AB的中點T，連接TG．證明點G的運(yùn)動軌跡是Rt△ABC斜邊的中線即可解決問題．（2）分四種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點G在直線EF上時，過點D作DJ⊥AC于J，設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3﹣x，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．②如圖3﹣2中，當(dāng)點G在直線DF上時，AD=2AE＝32③如圖3﹣3中，當(dāng)點G在直線DE上時，過點F作FT⊥CA交CA的延長線于T，根點G作GK⊥AC于K，過點D作DJ⊥AC于J．設(shè)FT＝AT＝x．利用相似三角形以及全等三角形的性質(zhì)求解即可．④如圖3﹣4中，當(dāng)點G在直線DF上時，點D與B重合，此時AD＝82．【解析】（1）①如圖1中，過點F作FT⊥BC交BC的延長線于T．在Rt△ACB中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝82，∴AB＝BC＝8，∵AD＝BD，∴CD＝AD＝BD＝CF＝42，CD⊥AB，∴∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠FCT＝45°，∴FT＝CT＝4，BT＝BC+CT＝12，在Rt△BFT中，∵∠T＝90°，∴BF=TF2②如圖2中，連接AF，取AB的中點T，連接TG．∵CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，∵∠CAB＝45°，∴∠BAF＝90°，即AF⊥AB，∵AT＝TB，BG＝GF，∴TG∥AF，∴TG⊥AB，∴點G的運(yùn)動軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，運(yùn)動的路徑的長為42．（2）①如圖3﹣1中，當(dāng)點G在直線EF上時，過點D作DJ⊥AC于J，設(shè)AJ＝DJ＝x，則EJ＝3﹣x，∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，∴∠DEJ+∠CEB＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，∴∠DEJ＝∠CBE，∴△DEJ∽△EBC，∴DJEC∴x5∴x=15∴AJ＝DJ=15∴AD=2AJ=②如圖3﹣2中，當(dāng)點G在直線DF上時，AD=2AE＝32③如圖3﹣3中，當(dāng)點G在直線DE上時，過點F作FT⊥CA交CA的延長線于T，根點G作GK⊥AC于K，過點D作DJ⊥AC于J．設(shè)FT＝AT＝x．∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，∴TK＝KC，∴GK=8+x2TK＝KC∴EK＝5?8+x∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，∴∠FET+∠GEK＝90°，∠GEK+∠EGK＝90°，∴∠FET＝∠EGK，∴△FET∽△EGK，∴FTEK∴x2?x整理得：2x2+9x﹣6＝0，解得x=?6+1294∴TF=?6+1294，同法可證：∠FET＝∠EDJ，∵∠T＝∠DJE＝90°，EF＝ED，∴△FET≌△EDJ（AAS），∴DJ＝ET=6+∴AD=2DJ=④如圖3﹣4中，當(dāng)點G在直線DF上時，點D與B重合，此時AD＝82，綜上所述，滿足條件的AD的值為15213或32或628．（2020?黃巖區(qū)模擬）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為70°時，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝60厘米，DC＝40厘米，求點D'到BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）【分析】過點D'作D'G⊥BC于G，交AD于H，則∠AHD′＝90°，HG＝CD＝40．由題意可知，AD'＝AD＝60，∠DAD'＝70°．解直角△AD′H，利用正弦函數(shù)定義求出D'H＝AD'?sin∠DAD'≈56.4厘米，那么D′G＝D′H+HG≈96.4．【解析】如圖2，過點D'作D'G⊥BC于G，交AD于H，則∠AHD′＝90°，HG＝CD＝40．由題意可知，AD'＝AD＝60，∠DAD'＝70°．在直角△AD′H中，∵∠AHD′＝90°，∴D'H＝AD'?sin∠DAD'≈60×0.94＝56.4（厘米），∴D′G＝D′H+HG≈56.4+40＝96.4（厘米）．答：點D'到BC的距離約為96.4厘米．9．（2020?新昌縣模擬）如圖，以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB按順時針方向旋轉(zhuǎn)α得到線段，連結(jié)A′B′，連接AA'，BB'．（1）比較∠OAA′與∠OBB′的大小，并說明理由．（2）當(dāng)α＝45°時，若OA＝3，OB＝4，請你編制一個計算題（不標(biāo)注新的字母），并解答．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AOA′＝∠BOB′＝α，AO＝A′O，BO＝B′O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】（1）∠OAA′＝∠OBB′，理由：∵將線段AB按順時針方向旋轉(zhuǎn)α得到線段，∴∠AOA′＝∠BOB′＝α，AO＝A′O，BO＝B′O，∴∠OAA′=12（180°﹣α），∠OBB′=1∴∠OAA′＝∠OBB′；（2）當(dāng)α＝45°時，若OA＝3，OB＝4，求線段AB掃過的圖形的面積，解：∵α＝45°，∴∠AOA′＝∠BOB′＝45°，∵OA＝3，OB＝4，∴線段AB掃過的圖形的面積＝S扇形BOB′+S△AOB﹣S扇形AOA′﹣S△AOB＝S扇形BOB′﹣S扇形AOA′=45?π×410．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖①是一個小箱子ABCDE放在桌面MN上的示意圖，BC這部分可彎曲，在彎曲時形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點B，C分別為切點，小箱子蓋面CD與桌面MN平行，此時CD距離桌面14cm，已知AB的長10cm，CD的長為25.2cm．（1）如圖①，求弧BC的長度（結(jié)果保留π）．（2）如圖②，若小箱子ABCDE打開后弧BC所對的圓心角度數(shù)為60°，求小箱子頂端D到桌面MN的距離DH（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：3≈【分析】（1）根據(jù)線段AB，CD均與圓弧相切，CD距離桌面14cm，AB的長為10cm，可得半徑OC為4cm．再根據(jù)弧長公式即可求得弧BC的長度；（2）過點C作CP⊥DH于點P，作CG⊥OB于G，得矩形CGQP，則CP∥OB，得∠OCP＝∠BOC＝60°，根據(jù)弧長公式求出半徑，進(jìn)而可求CG的長，即可求得D到桌面AM的距離．【解析】（1）如圖①，∵線段AB，CD均與圓弧相切，∴OB⊥AB，OC⊥CD，∴CD∥OB∥AM，∴∠BOC＝∠OCD＝90°．∵CD距離桌面14cm，AB的長為10cm，∴半徑OC為4cm．∴弧BC的長度為90×π×4180=2π（（2）如圖②，過點C作CP⊥DH于點P，作CG⊥OB于G，得矩形CGQP，則CP∥OB．∴∠OCP＝∠BOC＝60°．∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，∴DP=12CD=1∵弧BC的長度為2πcm，∴2π=60π?OB∴OB＝OC＝6cm，∴CG＝OC?sin60°＝6×32=33∴DH＝DP+CG+AB＝12.6+5.2+10＝27.8（cm）．故頂端D到桌面MN的距離是27.8cm．11．（2020?椒江區(qū)模擬）如圖，在四邊形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA＝∠BAC＝90°，點E是BC的中點，連接DE交AB于點F．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）當(dāng)∠DBA＝30°時，求BFBA（3）是否存在點F，使F是AB的三等分點？若存在，請求出∠DBA的度數(shù)；若不存在，請說明理由；（4）求∠BDE的最大值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBA＝∠ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，連接AE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=12BC，得到AE＝BE，推出BD∥AE，設(shè)BC＝2x，則AE＝EC＝AC＝x，由勾股定理得，AB=（3）①當(dāng)BFAE=21時．求得BDAE=2，即BD＝2②當(dāng)BFEA=12時；如圖1所示，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BDAE=BFAF=12，設(shè)BD＝x，則AE＝2x，BC（4）如圖2，連接AE，過點A作AM⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD＝AM，當(dāng)AM與AE重合時，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值為AE的長度．根據(jù)平行線的性質(zhì)健康得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BA平分∠DBC，∴∠DBA＝∠ABC，又∵∠BDA＝∠BAC＝90°，∴△ABD∽△CBA，∴ABBD∴AB2＝BD?BC；（2）如圖1，連接AE，∵∠BAC＝90°，E為BC的中點，∴AE=12∵點E是BC的中點，∴AE＝BE，∴∠2＝∠3，∵BA平分∠DBC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BD∥AE，∴△BDF∽△AEF，設(shè)BC＝2x，則AE＝EC＝AC＝x，由勾股定理得，AB=3x∵∠1＝30°，∴AD=12AB=32x，∴BFAF∴BFAB（3）①當(dāng)BFAE則BDAE=2，即BD＝2AE＝∵BD＜BC，∴BFAE②當(dāng)BFEA由（2）得BD∥AE，∵△BDF∽△AEF，∴BDAE設(shè)BD＝x，則AE＝2x，BC＝4x，∵AB2＝BD?BC，∴AB2＝x?4x＝4x2，∴AB＝2x，∵∠BDA＝90°，AB＝2BD，∴∠DBA＝60°；（4）如圖2，連接AE，過點A作AM⊥BC，∵BA平分∠DBA，AD⊥BD，AM⊥BC，∴AD＝AM，∵當(dāng)AM與AE重合時，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值為AE的長度．∴∠DEA＝45°，又∵BD∥AE，∴∠BDE＝∠DEA＝45°，∴∠BDE的最大值為45°．12．（2020?鄧州市一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點B，D，E在同一直線上．請判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）【解決問題】如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E，AE＝3．將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點B時，點C到直線DE的距離是多少？（要求畫出示意圖并直接寫出答案）【分析】（1）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等邊三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，據(jù)此判斷出∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，進(jìn)而判斷出∠BEC的度數(shù)為60°即可；（2）首先根據(jù)△ACB和△ADE均為等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．【解析】（1）①∵△ACB和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵點B，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故答案為：BD＝CE；60；（2）∵△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AE∴△BAD∽△CAE，∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEC＝135°﹣90°＝45°，∴BD∴BD=2CE（3）如圖3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四點共圓，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴ECBD=AC∴EC=32在Rt△ADE中，∵DE=3，∠DAE∴AE=3DE∴BE=A∴BD＝BE﹣DE＝4?3∴CE=32BD＝2∵∠BEC＝30°，∴點C到直線DE的距離等于CE?sin30°=3如圖4中，當(dāng)D，EB在同一直線上時，同法可知BD＝DE+EB＝4+3，CE=32BD點C到直線DE的距離等于CE?sin30°=3綜上所述，點C到直線DE的距離等于3±13．（2020?豐臺區(qū)模擬）如圖，點D是等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連結(jié)CD并延長交AB于點F，連結(jié)BD，CE．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）當(dāng)CF⊥AB時，∠ADB＝140°，求∠ECD的度數(shù)．【分析】（1）由“SAS”可證△ACE≌△ABD；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BDF＝70°，即可得∠ABD＝20°，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE＝20°，即可求解．【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形∴AC＝AB，∠CAB＝60°∵將線段AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°∴∠EAC＝∠DAB，且AC＝AB，AE＝AD∴△ACE≌△ABD（SAS）（2）∵CF⊥AB，AC＝BC∴DF垂直平分AB，∠ACF=12∠∴AD＝DB，且DF⊥AB∴∠ADF＝∠BDF=12∠∴∠ABD＝20°∵△ACE≌△ABD∴∠ABD＝∠ACE＝20°∴∠ECD＝∠ACE+∠ACF＝50°14．（2020?黃巖區(qū)模擬）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點D是射線OM上的動點，當(dāng)點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，設(shè)OD＝m．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△CDE的形狀是等邊三角形．（2）探究證明如圖2，當(dāng)6＜m＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）解決問題是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE＝60°，DC＝EC，即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)6＜m＜10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE＝AD，于是得到C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE＝CD，由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時，△BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（3）存在，①當(dāng)點D與點B重合時，D，B，E不能構(gòu)成三角形，②當(dāng)0≤m＜6時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2＝m③當(dāng)6＜m＜10時，此時不存在；④當(dāng)m＞10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE＝60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m＝14．【解析】（1）證明：∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等邊三角形；故答案為：等邊；（2）存在，當(dāng)6＜t＜10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時，△BDE的周長最小，此時，CD＝23，∴△BDE的最小周長＝CD+4＝23+（3）存在，①∵當(dāng)點D與點B重合時，D，B，E不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)點D與點B重合時，不符合題意，②當(dāng)0≤m＜6時，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等邊三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③當(dāng)6＜m＜10時，由∠DBE＝120°＞90°，∴此時不存在；④當(dāng)m＞10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，從而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，綜上所述：當(dāng)m＝2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．15．（2020?河南模擬）某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，①CF與BC的位置關(guān)系為CF⊥BC；②CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC＝DC+CF（直接寫出結(jié)論）；（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，（1）中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，將△DAF沿線段DF翻折，使點A與點E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，請求出線段CE的長．【分析】（1）①由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．（3）過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M如圖3所示，想辦法證明△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CM＝EM＝3，即可解決問題；【解析】（1）①等腰直角△ADF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB與△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAF∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；②△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；故答案為：垂直，BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，結(jié)論：CD＝CF+BC．理由如下：∵等腰直角△ADF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB與△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAF∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CF⊥BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC．（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M如圖3所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，∴BC=2AB＝4，AH＝BH＝CH=1∴CD=14∴DH＝CH+CD＝3，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，在△ADH與△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DME∴△ADH≌△DEM（AAS），∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CM＝EM＝3，∴CE=EM216．（2020?拱墅區(qū)模擬）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．（1）探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)α＝30°時，求證：△AOE'為直角三角形．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)不變量找到相等的角和線段，證得△E′AO≌△F′BO后即可證得結(jié)論；（2）利用已知角，得出∠GAE′＝∠GE′A＝30°，從而證明直角三角形．【解答】（1）證明：∵O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OD，∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE＝OF，∵將△EOF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△E′OF′，∴OE′＝OF′，∵∠F′OB＝∠E′OA，OA＝OB，在△E′AO和△F′BO中，OE'=OF'∠F'OB=∠