機(jī)器學(xué)習(xí)：強(qiáng)化學(xué)習(xí)：蒙特卡洛方法技術(shù)教程

機(jī)器學(xué)習(xí)：強(qiáng)化學(xué)習(xí)：蒙特卡洛方法技術(shù)教程1強(qiáng)化學(xué)習(xí)基礎(chǔ)概念在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，智能體(agent)通過與環(huán)境的交互來學(xué)習(xí)如何做出決策，以最大化某種累積獎(jiǎng)勵(lì)。這一過程涉及三個(gè)核心概念：狀態(tài)(state)、動(dòng)作(action)和獎(jiǎng)勵(lì)(reward)。1.1狀態(tài)(state)狀態(tài)是環(huán)境的當(dāng)前情況的描述，智能體根據(jù)狀態(tài)來決定采取什么動(dòng)作。1.2動(dòng)作(action)動(dòng)作是智能體可以執(zhí)行的操作，執(zhí)行動(dòng)作后，環(huán)境會(huì)進(jìn)入一個(gè)新的狀態(tài)，并給出相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)。1.3獎(jiǎng)勵(lì)(reward)獎(jiǎng)勵(lì)是智能體執(zhí)行動(dòng)作后從環(huán)境中獲得的反饋，智能體的目標(biāo)是通過學(xué)習(xí)策略來最大化長期的獎(jiǎng)勵(lì)。1.4策略(policy)策略定義了智能體在給定狀態(tài)下采取動(dòng)作的規(guī)則。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，智能體的目標(biāo)是找到一個(gè)最優(yōu)策略，使得在長期中獲得的獎(jiǎng)勵(lì)最大。1.5價(jià)值函數(shù)(valuefunction)價(jià)值函數(shù)評(píng)估了狀態(tài)或狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的好壞，它反映了從當(dāng)前狀態(tài)或采取當(dāng)前動(dòng)作后，智能體未來可能獲得的獎(jiǎng)勵(lì)的期望值。2蒙特卡洛方法概述蒙特卡洛方法是一種基于樣本的強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法，它通過完整的序列(episode)來估計(jì)價(jià)值函數(shù)。蒙特卡洛方法不需要環(huán)境的動(dòng)態(tài)模型，而是直接從與環(huán)境的交互中學(xué)習(xí)。2.1蒙特卡洛預(yù)測(cè)(MonteCarloPrediction)蒙特卡洛預(yù)測(cè)用于估計(jì)狀態(tài)價(jià)值函數(shù)或狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值函數(shù)。它通過收集完整的序列，并使用序列中的回報(bào)來更新價(jià)值估計(jì)。2.1.1示例代碼：蒙特卡洛預(yù)測(cè)狀態(tài)價(jià)值函數(shù)importnumpyasnp

#環(huán)境的回報(bào)函數(shù)，這里簡化為一個(gè)隨機(jī)過程

defget_returns(state):

returnnp.random.normal(0,1)

#初始化狀態(tài)價(jià)值函數(shù)

V=np.zeros(100)

returns_sum=np.zeros(100)

returns_count=np.zeros(100)

#蒙特卡洛預(yù)測(cè)過程

defmonte_carlo_prediction(num_episodes):

for_inrange(num_episodes):

#生成一個(gè)完整的序列

episode=[]

state=0

whileTrue:

episode.append(state)

state=(state+1)%100#簡化狀態(tài)轉(zhuǎn)移

ifstate==0:

break

#計(jì)算序列的回報(bào)

G=get_returns(state)

#更新價(jià)值函數(shù)

forstateinepisode:

returns_sum[state]+=G

returns_count[state]+=1

V[state]=returns_sum[state]/returns_count[state]

#運(yùn)行蒙特卡洛預(yù)測(cè)

monte_carlo_prediction(10000)

print(V)2.1.2代碼解釋在上述代碼中，我們定義了一個(gè)簡化的環(huán)境，其中狀態(tài)的回報(bào)是隨機(jī)的。我們使用蒙特卡洛預(yù)測(cè)方法來估計(jì)每個(gè)狀態(tài)的價(jià)值。在每次預(yù)測(cè)中，我們生成一個(gè)完整的序列，然后計(jì)算序列的回報(bào)，并使用這個(gè)回報(bào)來更新狀態(tài)價(jià)值函數(shù)。2.2蒙特卡洛控制(MonteCarloControl)蒙特卡洛控制用于學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。它通過探索策略，收集完整的序列，并使用序列中的回報(bào)來更新策略。2.2.1示例代碼：蒙特卡洛控制學(xué)習(xí)最優(yōu)策略importnumpyasnp

#環(huán)境的動(dòng)態(tài)模型，這里簡化為一個(gè)隨機(jī)過程

defstep(state,action):

returnnp.random.randint(0,100),np.random.normal(0,1)

#初始化策略和狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值函數(shù)

policy=np.random.randint(0,2,size=100)

Q=np.zeros((100,2))

returns_sum=np.zeros((100,2))

returns_count=np.zeros((100,2))

#蒙特卡洛控制過程

defmonte_carlo_control(num_episodes):

for_inrange(num_episodes):

#生成一個(gè)完整的序列

episode=[]

state=0

whileTrue:

action=policy[state]#根據(jù)當(dāng)前策略選擇動(dòng)作

next_state,reward=step(state,action)#執(zhí)行動(dòng)作，獲得新狀態(tài)和獎(jiǎng)勵(lì)

episode.append((state,action,reward))

state=next_state

ifstate==0:#達(dá)到終止?fàn)顟B(tài)

break

#計(jì)算序列的回報(bào)

G=0

forstate,action,rewardinreversed(episode):

G=G+reward#累加回報(bào)

returns_sum[state,action]+=G

returns_count[state,action]+=1

Q[state,action]=returns_sum[state,action]/returns_count[state,action]

#更新策略

ifQ[state,0]>Q[state,1]:

policy[state]=0

else:

policy[state]=1

#運(yùn)行蒙特卡洛控制

monte_carlo_control(10000)

print(policy)2.2.2代碼解釋在上述代碼中，我們定義了一個(gè)簡化的環(huán)境，其中狀態(tài)的轉(zhuǎn)移和獎(jiǎng)勵(lì)是隨機(jī)的。我們使用蒙特卡洛控制方法來學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。在每次控制中，我們根據(jù)當(dāng)前策略生成一個(gè)完整的序列，然后計(jì)算序列的回報(bào)，并使用這個(gè)回報(bào)來更新狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值函數(shù)和策略。蒙特卡洛方法是一種強(qiáng)大的工具，它允許智能體在沒有環(huán)境模型的情況下學(xué)習(xí)價(jià)值函數(shù)和策略。然而，它的一個(gè)主要缺點(diǎn)是需要完整的序列才能進(jìn)行更新，這在某些情況下可能效率較低。盡管如此，蒙特卡洛方法仍然是理解和實(shí)現(xiàn)強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法的重要起點(diǎn)。3蒙特卡洛方法原理3.1無模型預(yù)測(cè)蒙特卡洛方法在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中是一種基于經(jīng)驗(yàn)的方法，它不需要環(huán)境的動(dòng)態(tài)模型，而是通過與環(huán)境的交互來學(xué)習(xí)策略。無模型預(yù)測(cè)是蒙特卡洛方法的核心，它通過完整的序列來估計(jì)狀態(tài)值或動(dòng)作值。3.1.1原理蒙特卡洛方法通過收集完整的序列（即從某個(gè)狀態(tài)開始，直到結(jié)束狀態(tài)的整個(gè)過程）來估計(jì)狀態(tài)值函數(shù)或動(dòng)作值函數(shù)。對(duì)于狀態(tài)值函數(shù)，它計(jì)算的是從該狀態(tài)開始，按照策略進(jìn)行，直到結(jié)束狀態(tài)所獲得的回報(bào)的平均值。對(duì)于動(dòng)作值函數(shù)，它計(jì)算的是在某個(gè)狀態(tài)下采取某個(gè)動(dòng)作后，按照策略進(jìn)行，直到結(jié)束狀態(tài)所獲得的回報(bào)的平均值。3.1.2示例：使用蒙特卡洛方法進(jìn)行無模型預(yù)測(cè)假設(shè)我們有一個(gè)簡單的環(huán)境，如隨機(jī)行走游戲，其中狀態(tài)為位置，動(dòng)作是向左或向右移動(dòng)。我們將使用蒙特卡洛方法來估計(jì)每個(gè)狀態(tài)的價(jià)值。importnumpyasnp

#環(huán)境的大小

env_size=10

#初始化狀態(tài)值函數(shù)

V=np.zeros(env_size)

#初始化狀態(tài)的訪問次數(shù)

N=np.zeros(env_size)

#回報(bào)的折扣因子

gamma=0.9

#生成一個(gè)完整的序列

defgenerate_episode():

episode=[]

state=5#初始狀態(tài)

whileTrue:

action=np.random.choice([0,1])#隨機(jī)選擇動(dòng)作（0：向左，1：向右）

ifaction==0:

next_state=state-1

else:

next_state=state+1

reward=-1#每移動(dòng)一步，獎(jiǎng)勵(lì)為-1

episode.append((state,action,reward))

ifnext_state==0ornext_state==env_size-1:

break

state=next_state

returnepisode

#蒙特卡洛預(yù)測(cè)

defmc_prediction(episode):

G=0#初始化回報(bào)

states=[x[0]forxinreversed(episode)]#反轉(zhuǎn)序列，從結(jié)束狀態(tài)開始

rewards=[x[2]forxinreversed(episode)]

fori,stateinenumerate(states):

G=gamma*G+rewards[i]#計(jì)算折扣回報(bào)

N[state]+=1#更新狀態(tài)的訪問次數(shù)

V[state]+=(G-V[state])/N[state]#更新狀態(tài)值函數(shù)

#運(yùn)行多次以更新狀態(tài)值函數(shù)

for_inrange(10000):

episode=generate_episode()

mc_prediction(episode)

print(V)在這個(gè)例子中，我們通過與環(huán)境的交互生成了多個(gè)序列，并使用蒙特卡洛方法更新了狀態(tài)值函數(shù)。最終，V數(shù)組將包含每個(gè)狀態(tài)的估計(jì)價(jià)值。3.2策略評(píng)估與改進(jìn)蒙特卡洛方法不僅可以用于預(yù)測(cè)，還可以用于策略評(píng)估和策略改進(jìn)。策略評(píng)估是通過蒙特卡洛方法來估計(jì)策略的性能，而策略改進(jìn)則是基于策略評(píng)估的結(jié)果來調(diào)整策略，以期望獲得更高的回報(bào)。3.2.1策略評(píng)估策略評(píng)估的目標(biāo)是估計(jì)給定策略的性能，即在該策略下，每個(gè)狀態(tài)的期望回報(bào)。在蒙特卡洛方法中，這通常通過收集多個(gè)從該狀態(tài)開始的完整序列，并計(jì)算平均回報(bào)來實(shí)現(xiàn)。3.2.2策略改進(jìn)策略改進(jìn)是基于策略評(píng)估的結(jié)果來調(diào)整策略，以期望獲得更高的回報(bào)。在蒙特卡洛方法中，這通常通過貪心策略或ε-貪心策略來實(shí)現(xiàn)。貪心策略會(huì)選擇當(dāng)前估計(jì)回報(bào)最高的動(dòng)作，而ε-貪心策略則會(huì)在探索和利用之間進(jìn)行平衡。3.2.3示例：使用蒙特卡洛方法進(jìn)行策略評(píng)估與改進(jìn)我們繼續(xù)使用隨機(jī)行走游戲的例子，這次我們將使用蒙特卡洛方法來評(píng)估和改進(jìn)策略。#初始化動(dòng)作值函數(shù)

Q=np.zeros((env_size,2))

#初始化動(dòng)作的訪問次數(shù)

N=np.zeros((env_size,2))

#策略評(píng)估

defmc_evaluation(episode):

G=0#初始化回報(bào)

states_actions=[(x[0],x[1])forxinreversed(episode)]#反轉(zhuǎn)序列，從結(jié)束狀態(tài)開始

rewards=[x[2]forxinreversed(episode)]

fori,(state,action)inenumerate(states_actions):

G=gamma*G+rewards[i]#計(jì)算折扣回報(bào)

N[state][action]+=1#更新動(dòng)作的訪問次數(shù)

Q[state][action]+=(G-Q[state][action])/N[state][action]#更新動(dòng)作值函數(shù)

#策略改進(jìn)

defimprove_policy():

policy=np.zeros(env_size)#初始化策略

forstateinrange(env_size):

ifQ[state][0]>Q[state][1]:

policy[state]=0#選擇向左的動(dòng)作

else:

policy[state]=1#選擇向右的動(dòng)作

returnpolicy

#運(yùn)行多次以評(píng)估和改進(jìn)策略

for_inrange(10000):

episode=generate_episode()

mc_evaluation(episode)

policy=improve_policy()

print(policy)在這個(gè)例子中，我們首先通過與環(huán)境的交互生成了多個(gè)序列，并使用蒙特卡洛方法更新了動(dòng)作值函數(shù)。然后，我們基于動(dòng)作值函數(shù)的結(jié)果來改進(jìn)策略。最終，policy數(shù)組將包含每個(gè)狀態(tài)下的最優(yōu)動(dòng)作選擇。通過上述例子，我們可以看到蒙特卡洛方法在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，它通過與環(huán)境的交互來學(xué)習(xí)策略，而不需要環(huán)境的動(dòng)態(tài)模型。這使得蒙特卡洛方法在很多實(shí)際問題中非常有用，尤其是在環(huán)境模型未知或難以建模的情況下。4蒙特卡洛控制蒙特卡洛控制是強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的一種方法，用于在未知環(huán)境模型的情況下學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。它通過嘗試不同的動(dòng)作序列，收集完整的序列數(shù)據(jù)，然后根據(jù)這些數(shù)據(jù)來更新策略。蒙特卡洛控制特別適用于那些具有高方差但低偏差的環(huán)境，因?yàn)樗蕾囉谕暾男蛄衼砉烙?jì)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的價(jià)值。4.1探索與利用在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，智能體需要在探索（exploration）和利用（exploitation）之間找到平衡。探索意味著嘗試新的動(dòng)作，以發(fā)現(xiàn)可能的獎(jiǎng)勵(lì)；而利用則是基于當(dāng)前已知信息，選擇最有可能帶來最大獎(jiǎng)勵(lì)的動(dòng)作。蒙特卡洛控制通過ε-貪心策略來實(shí)現(xiàn)這一平衡。4.1.1ε-貪心策略ε-貪心策略是一種簡單而有效的方法，它允許智能體在大部分時(shí)間里選擇當(dāng)前最優(yōu)的動(dòng)作（利用），但在一小部分時(shí)間里隨機(jī)選擇動(dòng)作（探索）。參數(shù)ε（通常是一個(gè)介于0和1之間的值）控制了探索與利用之間的平衡。當(dāng)ε較高時(shí)，智能體更傾向于探索；當(dāng)ε較低時(shí)，智能體更傾向于利用。4.1.1.1代碼示例下面是一個(gè)使用ε-貪心策略的Python代碼示例，用于在具有四個(gè)動(dòng)作的環(huán)境中選擇動(dòng)作：importnumpyasnp

defepsilon_greedy(Q,state,epsilon):

"""

根據(jù)ε-貪心策略選擇動(dòng)作。

參數(shù):

Q:狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表，一個(gè)二維數(shù)組。

state:當(dāng)前狀態(tài)。

epsilon:探索與利用的平衡參數(shù)。

返回:

選擇的動(dòng)作。

"""

ifnp.random.uniform(0,1)<epsilon:

#探索：隨機(jī)選擇一個(gè)動(dòng)作

action=np.random.choice([0,1,2,3])

else:

#利用：選擇當(dāng)前狀態(tài)下價(jià)值最高的動(dòng)作

action=np.argmax(Q[state,:])

returnaction在這個(gè)例子中，Q是一個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表，state是智能體當(dāng)前所處的狀態(tài)，epsilon是控制探索與利用平衡的參數(shù)。函數(shù)首先生成一個(gè)0到1之間的隨機(jī)數(shù)，如果這個(gè)數(shù)小于ε，智能體將隨機(jī)選擇一個(gè)動(dòng)作進(jìn)行探索；否則，智能體將選擇當(dāng)前狀態(tài)下價(jià)值最高的動(dòng)作進(jìn)行利用。4.2蒙特卡洛控制的實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛控制通過迭代更新策略和狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表來學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。在每次迭代中，智能體從一個(gè)隨機(jī)狀態(tài)開始，根據(jù)當(dāng)前策略執(zhí)行一系列動(dòng)作，直到達(dá)到終止?fàn)顟B(tài)。然后，智能體使用從該序列中獲得的回報(bào)來更新狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表，并根據(jù)更新后的價(jià)值表調(diào)整策略。4.2.1代碼示例下面是一個(gè)使用蒙特卡洛控制學(xué)習(xí)最優(yōu)策略的Python代碼示例：importnumpyasnp

defmonte_carlo_control(env,episodes,epsilon,alpha):

"""

使用蒙特卡洛控制學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。

參數(shù):

env:環(huán)境模型，需要提供step和reset方法。

episodes:進(jìn)行的迭代次數(shù)。

epsilon:ε-貪心策略的參數(shù)。

alpha:學(xué)習(xí)率。

返回:

學(xué)習(xí)到的最優(yōu)策略。

"""

#初始化狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表

Q=np.zeros((env.observation_space.n,env.action_space.n))

N=np.zeros((env.observation_space.n,env.action_space.n))

for_inrange(episodes):

#從隨機(jī)狀態(tài)開始

state=env.reset()

#存儲(chǔ)序列數(shù)據(jù)

episode=[]

whileTrue:

#根據(jù)ε-貪心策略選擇動(dòng)作

action=epsilon_greedy(Q,state,epsilon)

#執(zhí)行動(dòng)作，觀察結(jié)果

next_state,reward,done,_=env.step(action)

#存儲(chǔ)序列數(shù)據(jù)

episode.append((state,action,reward))

ifdone:

break

state=next_state

#更新狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表

G=0

forstate,action,rewardinreversed(episode):

G=G+reward

N[state,action]+=1

Q[state,action]+=alpha*(G-Q[state,action])

#根據(jù)狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表學(xué)習(xí)最優(yōu)策略

policy=np.argmax(Q,axis=1)

returnpolicy在這個(gè)例子中，env是一個(gè)具有observation_space.n和action_space.n屬性的環(huán)境模型，分別表示狀態(tài)空間和動(dòng)作空間的大小。episodes是迭代次數(shù)，epsilon是ε-貪心策略的參數(shù)，alpha是學(xué)習(xí)率。函數(shù)首先初始化狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表Q和計(jì)數(shù)器N，然后進(jìn)行多次迭代。在每次迭代中，智能體從一個(gè)隨機(jī)狀態(tài)開始，根據(jù)當(dāng)前策略執(zhí)行一系列動(dòng)作，直到達(dá)到終止?fàn)顟B(tài)。然后，智能體使用從該序列中獲得的回報(bào)來更新狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表。最后，根據(jù)更新后的價(jià)值表學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。通過上述代碼示例，我們可以看到蒙特卡洛控制如何在探索與利用之間找到平衡，并通過迭代更新策略和狀態(tài)-動(dòng)作價(jià)值表來學(xué)習(xí)最優(yōu)策略。這種方法在處理具有高方差但低偏差的環(huán)境時(shí)特別有效，因?yàn)樗蕾囉谕暾男蛄袛?shù)據(jù)來估計(jì)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的價(jià)值。5蒙特卡洛方法的變體5.1首次訪問蒙特卡洛方法首次訪問蒙特卡洛方法（First-VisitMonteCarloMethod）是一種評(píng)估策略的方法，它通過執(zhí)行策略并記錄所有首次訪問的狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的回報(bào)來估計(jì)動(dòng)作值。這種方法在探索未知環(huán)境時(shí)特別有效，因?yàn)樗恍枰h(huán)境的模型，而是直接從與環(huán)境的交互中學(xué)習(xí)。5.1.1原理首次訪問蒙特卡洛方法的基本思想是，對(duì)于每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)，我們只在第一次訪問時(shí)更新其價(jià)值估計(jì)。具體來說，當(dāng)我們從某個(gè)狀態(tài)s采取動(dòng)作a并進(jìn)入一個(gè)新的狀態(tài)序列時(shí)，我們記錄從s,a開始的回報(bào)Gt，但只在第一次訪問s,Q其中，α是學(xué)習(xí)率，Gt是從狀態(tài)s采取動(dòng)作a5.1.2示例代碼假設(shè)我們有一個(gè)簡單的網(wǎng)格世界環(huán)境，其中智能體可以向四個(gè)方向移動(dòng)。我們將使用首次訪問蒙特卡洛方法來評(píng)估一個(gè)隨機(jī)策略。importnumpyasnp

#環(huán)境定義

grid_size=5

actions=['up','down','left','right']

rewards=np.zeros((grid_size,grid_size))

rewards[grid_size-1,grid_size-1]=1#目標(biāo)狀態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)

#初始化Q表

Q=np.zeros((grid_size,grid_size,len(actions)))

#存儲(chǔ)每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的訪問次數(shù)

N=np.zeros((grid_size,grid_size,len(actions)))

#學(xué)習(xí)率

alpha=0.1

#生成一個(gè)隨機(jī)策略

policy=np.random.choice(actions,size=(grid_size,grid_size))

#首次訪問蒙特卡洛方法

deffirst_visit_monte_carlo(policy,episodes):

for_inrange(episodes):

#初始化狀態(tài)序列和動(dòng)作序列

states_actions=[]

rewards_sequence=[]

state=(0,0)#從網(wǎng)格的左上角開始

#生成一個(gè)完整的序列

whilestate!=(grid_size-1,grid_size-1):

action=policy[state]

states_actions.append((state,action))

#假設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)為0，除了到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)

reward=rewards[state]ifstate==(grid_size-1,grid_size-1)else0

rewards_sequence.append(reward)

#更新狀態(tài)

ifaction=='up':

state=(max(state[0]-1,0),state[1])

elifaction=='down':

state=(min(state[0]+1,grid_size-1),state[1])

elifaction=='left':

state=(state[0],max(state[1]-1,0))

elifaction=='right':

state=(state[0],min(state[1]+1,grid_size-1))

#從后向前更新Q表

G=0#返回值

fortinrange(len(states_actions)-1,-1,-1):

state,action=states_actions[t]

if(state,action)notinstates_actions[:t]:#首次訪問

G+=rewards_sequence[t]

N[state][action]+=1

Q[state][action]+=(1/N[state][action])*(G-Q[state][action])

#執(zhí)行算法

first_visit_monte_carlo(policy,1000)5.1.3解釋在上述代碼中，我們首先定義了網(wǎng)格環(huán)境的大小、可能的動(dòng)作、獎(jiǎng)勵(lì)分布以及初始化Q表和策略。然后，我們實(shí)現(xiàn)了一個(gè)函數(shù)first_visit_monte_carlo，它接受策略和要執(zhí)行的回合數(shù)作為參數(shù)。在每個(gè)回合中，我們從網(wǎng)格的左上角開始，根據(jù)策略移動(dòng)智能體，直到它到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)。我們記錄了狀態(tài)-動(dòng)作序列和獎(jiǎng)勵(lì)序列。最后，我們從序列的末尾開始，計(jì)算每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的總回報(bào)G，并只在首次訪問時(shí)更新Q表。5.2每訪問一次蒙特卡洛方法每訪問一次蒙特卡洛方法（Every-VisitMonteCarloMethod）與首次訪問蒙特卡洛方法類似，但它在每次訪問狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)時(shí)都會(huì)更新其價(jià)值估計(jì)，而不僅僅是首次訪問。5.2.1吆理在每訪問一次蒙特卡洛方法中，對(duì)于每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)，我們記錄并更新其價(jià)值估計(jì)，無論是在序列中的第一次還是后續(xù)訪問。這意味著，如果一個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)在同一個(gè)序列中被多次訪問，那么它的價(jià)值估計(jì)將被多次更新，每次更新都基于從該點(diǎn)開始的總回報(bào)GtQ5.2.2示例代碼使用與首次訪問蒙特卡洛方法相同的網(wǎng)格環(huán)境，我們將實(shí)現(xiàn)每訪問一次蒙特卡洛方法。#每訪問一次蒙特卡洛方法

defevery_visit_monte_carlo(policy,episodes):

for_inrange(episodes):

states_actions=[]

rewards_sequence=[]

state=(0,0)

whilestate!=(grid_size-1,grid_size-1):

action=policy[state]

states_actions.append((state,action))

reward=rewards[state]ifstate==(grid_size-1,grid_size-1)else0

rewards_sequence.append(reward)

ifaction=='up':

state=(max(state[0]-1,0),state[1])

elifaction=='down':

state=(min(state[0]+1,grid_size-1),state[1])

elifaction=='left':

state=(state[0],max(state[1]-1,0))

elifaction=='right':

state=(state[0],min(state[1]+1,grid_size-1))

G=0

fortinrange(len(states_actions)-1,-1,-1):

state,action=states_actions[t]

G+=rewards_sequence[t]

N[state][action]+=1

Q[state][action]+=(1/N[state][action])*(G-Q[state][action])

#執(zhí)行算法

every_visit_monte_carlo(policy,1000)5.2.3解釋在每訪問一次蒙特卡洛方法的實(shí)現(xiàn)中，我們遵循了與首次訪問蒙特卡洛方法相同的步驟，但在更新Q表時(shí)，我們不再檢查是否為首次訪問。這意味著，即使?fàn)顟B(tài)-動(dòng)作對(duì)在序列中被多次訪問，我們也會(huì)多次更新其價(jià)值估計(jì)，這通常會(huì)導(dǎo)致更準(zhǔn)確的估計(jì)，尤其是在狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)被頻繁訪問的情況下。通過比較首次訪問和每訪問一次蒙特卡洛方法，我們可以看到，每訪問一次方法在更新價(jià)值估計(jì)時(shí)更全面，因?yàn)樗紤]了所有訪問，而不僅僅是首次訪問。然而，首次訪問方法在處理長序列時(shí)可能更有效，因?yàn)樗苊饬酥貜?fù)計(jì)算。選擇哪種方法取決于具體問題和環(huán)境的特性。6蒙特卡洛方法在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的應(yīng)用6.1賭博問題6.1.1原理賭博問題是一個(gè)經(jīng)典的強(qiáng)化學(xué)習(xí)場(chǎng)景，其中蒙特卡洛方法可以用來估計(jì)策略的好壞。在賭博問題中，一個(gè)玩家開始有一定數(shù)量的籌碼，目標(biāo)是通過一系列的賭博決策，將籌碼增加到某個(gè)目標(biāo)值。每次賭博，玩家可以選擇賭注的大小，贏了則籌碼增加，輸了則籌碼減少。蒙特卡洛方法通過模擬多輪游戲，收集完整的序列（即從初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)的完整路徑），然后根據(jù)這些序列的回報(bào)來更新策略。6.1.2內(nèi)容蒙特卡洛方法在賭博問題中的應(yīng)用主要涉及兩個(gè)步驟：策略評(píng)估和策略改進(jìn)。策略評(píng)估是通過模擬游戲來估計(jì)策略的值函數(shù)，而策略改進(jìn)則是基于值函數(shù)來調(diào)整策略，以期望獲得更高的回報(bào)。6.1.2.1策略評(píng)估策略評(píng)估的目標(biāo)是計(jì)算策略π下狀態(tài)s的值函數(shù)V(s)。在賭博問題中，狀態(tài)s可以表示為玩家當(dāng)前擁有的籌碼數(shù)。蒙特卡洛方法通過模擬多輪游戲，收集從狀態(tài)s開始直到游戲結(jié)束的序列，然后計(jì)算這些序列的平均回報(bào)，以此來估計(jì)V(s)。6.1.2.2策略改進(jìn)策略改進(jìn)基于策略評(píng)估的結(jié)果，通過比較不同動(dòng)作在相同狀態(tài)下的平均回報(bào)，選擇回報(bào)更高的動(dòng)作作為新的策略。在賭博問題中，這意味著比較不同賭注大小在相同籌碼數(shù)下的表現(xiàn)，選擇表現(xiàn)最好的賭注大小。6.1.3示例代碼importnumpyasnp

#定義賭博問題的參數(shù)

goal=100#目標(biāo)籌碼數(shù)

num_states=goal+1#狀態(tài)空間大小

num_episodes=10000#模擬的游戲輪數(shù)

win_prob=0.4#贏的概率

#初始化值函數(shù)和策略

V=np.zeros(num_states)

policy=np.zeros(num_states,dtype=int)

returns={state:[]forstateinrange(num_states)}

#蒙特卡洛策略評(píng)估和改進(jìn)

forepisodeinrange(num_episodes):

#初始化一個(gè)游戲序列

episode_states=[]

episode_rewards=[]

current_state=50#玩家開始有50籌碼

episode_states.append(current_state)

#模擬游戲直到結(jié)束

whilecurrent_state!=0andcurrent_state!=goal:

#根據(jù)當(dāng)前策略選擇賭注

stake=min(current_state,goal-current_state)

ifnp.random.rand()<win_prob:

current_state+=stake

else:

current_state-=stake

episode_states.append(current_state)

episode_rewards.append(1ifcurrent_state==goalelse0)

#計(jì)算序列的回報(bào)

G=0

foriinrange(len(episode_rewards)-1,-1,-1):

G+=episode_rewards[i]

ifepisode_states[i]notinepisode_states[:i]:

returns[episode_states[i]].append(G)

V[episode_states[i]]=np.mean(returns[episode_states[i]])

#策略改進(jìn)

forstateinrange(1,num_states-1):

stakes=np.arange(1,min(state,goal-state)+1)

values=[np.mean(returns[state+stake])*win_prob+np.mean(returns[state-stake])*(1-win_prob)forstakeinstakes]

policy[state]=stakes[np.argmax(values)]

print("最終策略:",policy)6.2懸崖行走問題6.2.1原理懸崖行走問題是一個(gè)二維網(wǎng)格環(huán)境，其中玩家的目標(biāo)是從左下角走到右下角的終點(diǎn)，同時(shí)避免掉入懸崖（即網(wǎng)格的底部一行除了最右側(cè)的格子）。蒙特卡洛方法可以用來學(xué)習(xí)如何在不掉入懸崖的情況下到達(dá)終點(diǎn)的策略。在這個(gè)問題中，蒙特卡洛方法通過模擬玩家從初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)的完整路徑，收集經(jīng)驗(yàn)，然后根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)來更新策略。6.2.2內(nèi)容懸崖行走問題的蒙特卡洛方法應(yīng)用包括狀態(tài)-動(dòng)作值函數(shù)的估計(jì)和基于此值函數(shù)的策略改進(jìn)。狀態(tài)-動(dòng)作值函數(shù)Q(s,a)表示在狀態(tài)s下采取動(dòng)作a后，從當(dāng)前狀態(tài)開始直到游戲結(jié)束的期望回報(bào)。通過模擬多輪游戲，收集從狀態(tài)s開始，采取動(dòng)作a直到游戲結(jié)束的序列，然后計(jì)算這些序列的平均回報(bào)，以此來估計(jì)Q(s,a)。6.2.2.1策略改進(jìn)策略改進(jìn)基于狀態(tài)-動(dòng)作值函數(shù)Q(s,a)，通過比較在相同狀態(tài)下不同動(dòng)作的Q值，選擇Q值最高的動(dòng)作作為新的策略。6.2.3示例代碼importnumpyasnp

#定義懸崖行走問題的參數(shù)

grid_size=4

num_episodes=1000

gamma=1.0#折扣因子

#初始化狀態(tài)-動(dòng)作值函數(shù)和策略

Q=np.zeros((grid_size,grid_size,4))#4個(gè)動(dòng)作：上、下、左、右

policy=np.zeros((grid_size,grid_size),dtype=int)

returns={(state,action):[]forstateinrange(grid_size*grid_size)foractioninrange(4)}

#定義狀態(tài)轉(zhuǎn)換函數(shù)

defstep(state,action):

x,y=state%grid_size,state//grid_size

ifaction==0:#上

new_state=x+grid_size*(y-1)

elifaction==1:#下

new_state=x+grid_size*(y+1)

elifaction==2:#左

new_state=x-1+y*grid_size

elifaction==3:#右

new_state=x+1+y*grid_size

ifnew_state<0ornew_state>=grid_size*grid_sizeor(new_state%grid_size==0andaction==2)or(new_state%grid_size==grid_size-1andaction==3):

new_state=state

reward=-100if(y==grid_size-1andx!=grid_size-1)else-1

returnnew_state,reward

#蒙特卡洛策略評(píng)估和改進(jìn)

forepisodeinrange(num_episodes):

#初始化一個(gè)游戲序列

episode_states_actions=[]

episode_rewards=[]

current_state=0#玩家開始在左下角

episode_states_actions.append((current_state,policy[current_state//grid_size,current_state%grid_size]))

#模擬游戲直到結(jié)束

whilecurrent_state!=grid_size*grid_size-1:

new_state,reward=step(current_state,episode_states_actions[-1][1])

episode_states_actions.append((new_state,policy[new_state//grid_size,new_state%grid_size]))

episode_rewards.append(reward)

current_state=new_state

#計(jì)算序列的回報(bào)

G=0

foriinrange(len(episode_rewards)-1,-1,-1):

G=gamma*G+episode_rewards[i]

state,action=episode_states_actions[i]

if(state,action)notinepisode_states_actions[:i]:

returns[(state,action)].append(G)

Q[state//grid_size,state%grid_size,action]=np.mean(returns[(state,action)])

#策略改進(jìn)

forstateinrange(grid_size*grid_size):

x,y=state%grid_size,state//grid_size

ify!=grid_size-1orx==grid_size-1:

policy[y,x]=np.argmax(Q[y,x])

print("最終策略:",policy)通過上述代碼示例，我們可以看到蒙特卡洛方法在賭博問題和懸崖行走問題中的具體應(yīng)用，以及如何通過收集和分析經(jīng)驗(yàn)來不斷優(yōu)化策略。7案例分析7.1蒙特卡洛方法在Atari游戲中的應(yīng)用在強(qiáng)化學(xué)習(xí)領(lǐng)域，蒙特卡洛方法因其在處理具有延遲獎(jiǎng)勵(lì)的環(huán)境中的有效性而受到關(guān)注。Atari游戲，作為經(jīng)典的強(qiáng)化學(xué)習(xí)測(cè)試平臺(tái)，其復(fù)雜性和不確定性為蒙特卡洛方法提供了理想的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景。下面，我們將通過一個(gè)簡化版的Atari游戲——“Pong”游戲，來探討蒙特卡洛方法的應(yīng)用。7.1.1環(huán)境設(shè)定“Pong”游戲是一個(gè)簡單的乒乓球游戲，其中有兩個(gè)玩家（或AI）通過移動(dòng)他們的球拍來反彈一個(gè)球，目標(biāo)是讓球擊中對(duì)方的墻壁。游戲的獎(jiǎng)勵(lì)是當(dāng)一方得分時(shí)，另一方會(huì)收到-1的獎(jiǎng)勵(lì)，而得分方則會(huì)收到+1的獎(jiǎng)勵(lì)。7.1.2蒙特卡洛策略蒙特卡洛策略基于游戲的完整回合來更新策略。在“Pong”游戲中，這意味著只有當(dāng)游戲結(jié)束時(shí)，我們才能確定每個(gè)動(dòng)作的回報(bào)。蒙特卡洛策略使用了每回合的平均回報(bào)來評(píng)估策略的好壞，從而進(jìn)行策略的更新。7.1.3代碼示例importgym

importnumpyasnp

#初始化環(huán)境

env=gym.make('Pong-v0')

#初始化策略表和回報(bào)表

policy=np.zeros((env.observation_space.n,env.action_space.n))

returns={}

#蒙特卡洛控制算法

defmonte_carlo_control(env,num_episodes,discount_factor=1.0):

#初始化策略和回報(bào)表

policy=np.ones([env.observation_space.n,env.action_space.n])/env.action_space.n

returns={}

#對(duì)于每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)，初始化空列表來存儲(chǔ)回報(bào)

forstateinrange(env.observation_space.n):

foractioninrange(env.action_space.n):

returns[(state,action)]=[]

#開始迭代

fori_episodeinrange(1,num_episodes+1):

#初始化一個(gè)回合的軌跡

episode=[]

state=env.reset()

#生成一個(gè)回合的軌跡

fortinrange(100):

action=np.random.choice(np.arange(len(policy[state])),p=policy[state])

next_state,reward,done,_=env.step(action)

episode.append((state,action,reward))

ifdone:

break

state=next_state

#計(jì)算每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)的回報(bào)

G=0

states_actions_returns=[]

fortinrange(len(episode))[::-1]:

state,action,reward=episode[t]

G=discount_factor*G+reward

states_actions_returns.append((state,action,G))

#更新策略和回報(bào)表

states_actions_returns.reverse()

forstate,action,Ginstates_actions_returns:

returns[(state,action)].append(G)

G=np.mean(returns[(state,action)])

policy[state]=np.argmax(G)

returnpolicy

#訓(xùn)練策略

num_episodes=10000

discount_factor=0.99

policy=monte_carlo_control(env,num_episodes,discount_factor)

#測(cè)試策略

fori_episodeinrange(10):

state=env.reset()

fortinrange(100):

env.render()

action=np.argmax(policy[state])

state,reward,done,_=env.step(action)

ifdone:

break

env.close()7.1.4解釋上述代碼中，我們首先初始化了環(huán)境和策略表。然后，通過蒙特卡洛控制算法，我們迭代地生成游戲的回合，并記錄每個(gè)狀態(tài)、動(dòng)作和獎(jiǎng)勵(lì)。在每個(gè)回合結(jié)束后，我們計(jì)算從每個(gè)狀態(tài)-動(dòng)作對(duì)開始的回報(bào)，并更新策略表。最后，我們使用訓(xùn)練好的策略在“Pong”游戲中進(jìn)行測(cè)試。7.2AlphaGo中的蒙特卡洛樹搜索AlphaGo是第一個(gè)在圍棋這一復(fù)雜游戲中擊敗人類職業(yè)選手的AI系統(tǒng)，其核心算法之一就是蒙特卡洛樹搜索（MCTS）。MCTS結(jié)合了蒙特卡洛方法的隨機(jī)性和樹搜索的結(jié)構(gòu)化決策過程，能夠在圍棋這樣具有巨大狀態(tài)空間的游戲中找到高質(zhì)量的策略。7.2.1MCTS原理MCTS通過構(gòu)建一棵搜索樹來評(píng)估可能的棋局。樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)游戲狀態(tài)，而樹的邊則代表從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的動(dòng)作。MCTS算法通過四個(gè)步驟來不斷擴(kuò)展和更新這棵樹：選擇：從根節(jié)點(diǎn)開始，根據(jù)當(dāng)前的策略選擇最有潛力的子節(jié)點(diǎn)。擴(kuò)展：到達(dá)樹的葉節(jié)點(diǎn)后，選擇一個(gè)未探索的狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)展。模擬：從擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)開始，使用隨機(jī)策略進(jìn)行游戲，直到游戲結(jié)束。反向傳播：將模擬的結(jié)果反向傳播到樹中，更新經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)信息。7.2.2代碼示例雖然AlphaGo的完整代碼非常復(fù)雜，下面是一個(gè)簡化版的MCTS算法示例，用于說明其基本流程：importnumpyasnp

classNode:

def__init__(self,state,parent=None):

self.state=state

self.parent=parent

self.children=[]

self.visits=0

self.wins=0

classMCTS:

def__init__(self,root_state):

self.root=Node(root_state)

defsearch(self,num_simulations):

for_inrange(num_simulations):

node=self._select(self.root)

winner=self._simulate(node.state)

self._backpropagate(node,winner)

def_select(self,node):

whilenotnode.state.is_terminal():

ifnotnode.children:

returnnode

else:

node=self._uct_select(node)

returnnode

def_uct_select(self,node):

best_score=float('-inf')

best_nodes=[]

forchildinnode.children:

score=child.wins/child.visits+np.sqrt(2*np.log(node.visits)/child.visits)

ifscore>best_score:

best_score=score

best_nodes=[child]

elifscore==best_score:

best_nodes.append(child)

returnnp.random.choice(best_nodes)

def_simulate(self,state):

#使用隨機(jī)策略進(jìn)行模擬

whilenotstate.is_terminal():

state=state.take_random_action()

returnstate.winner()

def_backpropagate(self,node,winner):

whilenodeisnotNone:

node.visits+=1

ifnode.state.player_to_move()==winner:

node.wins+=1

node=node.parent7.2.3解釋在這個(gè)示例中，我們定義了一個(gè)Node類來表示樹中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，以及一個(gè)MCTS類來執(zhí)行搜索過程。MCTS類中的search方法執(zhí)行了指定次數(shù)的模擬，每次模擬包括選擇、擴(kuò)展、模擬和反向傳播四個(gè)步驟。_select方法用于選擇最有潛力的子節(jié)點(diǎn)，_uct_select方法實(shí)現(xiàn)了上界置信區(qū)間（UCT）的選擇策略，_simulate