空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修一

1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)空間向量的坐標(biāo):一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).注意:向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法不同,如向量a=(x,y,z),點(diǎn)A(a,b,c).(2)類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算:空間向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算公式與平面向量的類似,學(xué)習(xí)中可以類比推廣.推廣時(shí)注意向量坐標(biāo)表示的元素個(gè)數(shù)不同,向量在平面上用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示,如a=(x,y),而在空間中,向量用三元有序?qū)崝?shù)組表示,如b=(x,y,z).2.空間向量數(shù)量積及其性質(zhì)的坐標(biāo)表示(1)兩個(gè)空間向量平行、垂直與兩個(gè)平面向量平行、垂直的表達(dá)式實(shí)質(zhì)上是一致的.判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對(duì)應(yīng)的方向向量是否平行或垂直即可.(2)空間兩條直線夾角的取值范圍與向量夾角的取值范圍不同,當(dāng)兩直線方向向量的夾角為鈍角時(shí),兩直線的夾角是與此鈍角互補(bǔ)的銳角.探究點(diǎn)一

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6).a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7.(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14.(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.例1(1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).

C

B圖1-3-10變式

(3)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(2a+3b)·(a-2b)=

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[解析](3)由a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),得2a+3b=(26,-13,-2),a-2b=(-8,4,-8),故(2a+3b)·(a-2b)=26×(-8)+(-13)×4+(-2)×(-8)=-244.-244[素養(yǎng)小結(jié)]利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決問題的關(guān)鍵是熟記向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則,同時(shí)掌握下列技巧:(1)在運(yùn)算中注意相關(guān)公式的靈活運(yùn)用,如(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等.(2)進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí),可以先代入坐標(biāo)再運(yùn)算,也可先進(jìn)行向量式的化簡(jiǎn)再代入坐標(biāo)運(yùn)算.探究點(diǎn)二

空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD,A1C1的中點(diǎn).求證:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD,A1C1的中點(diǎn).求證:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD,A1C1的中點(diǎn).求證:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

D

變式

(3)如圖1-3-11,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是側(cè)棱CC1上的任意一點(diǎn),在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P,使得D1P總垂直于AE,請(qǐng)說明理由.圖1-3-11

[素養(yǎng)小結(jié)]利用空間向量證明垂直、平行的一般步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系.(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系,用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素.(3)通過空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量,再研究平行、垂直關(guān)系.(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題.拓展

已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于球O,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,E為AA1的中點(diǎn),若OA⊥BD,OA⊥BE,則球O的表面積為

.

16π探究點(diǎn)三

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角及長(zhǎng)度例3

如圖1-3-12,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點(diǎn).(1)求異面直線EF與CG所成角的余弦值;(2)求線段CF的長(zhǎng).圖1-3-12

B[素養(yǎng)小結(jié)]利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角與距離的一般步驟:(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求坐標(biāo):①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);②寫出向量的坐標(biāo).(3)論證、計(jì)算:結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題.拓展

如圖1-3-13①所示,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,得到圖1-3-13②.(1)證明:平面ADB⊥平面BDC;(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn),求直線AE與直線DB所成角的余弦值.圖1-3-13

1.求解向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示問題通常利用坐標(biāo)運(yùn)算的公式即可.例1已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2),a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6),a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7,(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14,(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.

C2.注意區(qū)別向量平行與垂直的坐標(biāo)表示.例3設(shè)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計(jì)算2a+3b,3a-2b,a·b,并確定λ,μ的關(guān)系,使λa+μb與z軸垂直.解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16).3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28).a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=-21.由(λa+μb)·(0,0,1)=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,知λ=2μ,故只要λ,μ滿足λ=2μ即可使λa+μb與z軸垂直.例4已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)k的值:(1)(ka+b)∥(a-3b);(2)(ka+b)⊥(a-3b).

3.利用向量的坐標(biāo)解決探究性問題,一般先假設(shè)滿足題意的元素存在,再建立坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為向量求解.

1.已知a=(1,2,1),b=(2,-4,1),則2a+b等于 (

)A.(4,-2,0) B.(4,0,3)C.(-4,0,3) D.(4,0,-3)[解析]2a+b=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3),故選B.B

D

C

A5.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),