2025屆高三數(shù)學質量檢測第一次聯(lián)考試題理含解析

PAGE22-2025屆高三數(shù)學質量檢測第一次聯(lián)考試題理（含解析）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算實力，是一道簡單題.2.若復數(shù)是純虛數(shù)，則()A.3 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】先由已知，求出，進一步可得，再利用復數(shù)模的運算即可【詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的運算，考查學生的運算實力，是一道基礎題.3.已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】依據(jù)面面平行的判定及性質求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不肯定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的推斷，考查面面平行的判定與性質，屬于基礎題．4.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由是偶函數(shù)可解除A、B；再由，有可解除D.【詳解】由已知，，則，所以為偶函數(shù)，故可解除A和B；當時，，故可解除D.故選：C.【點睛】本題考查已知函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象的問題，在處理這類問題時，通常利用函數(shù)的性質，如單調性、奇偶性、特別點的函數(shù)值來處理，是一道簡單題.5.馬林●梅森是17世紀法國聞名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人探討的基礎上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿意條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿意條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿意條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿意條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿意條件p≤7，退出循環(huán)，結束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選：C．【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題．6.小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用計算即可，其中表示事務A所包含的基本領件個數(shù)，為基本領件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結果，由古典概型的概率計算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，考查學生的基本運算實力，是一道基礎題.7.設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A.9 B.12 C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學生運算求解實力，是一道基礎題.8.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【點睛】本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構造關于的方程或不等式，本題是一道簡單題.9.已知函數(shù)，則下列結論錯誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在上單調遞增D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到【答案】D【解析】【分析】由可推斷選項A；當時，可推斷選項B；利用整體換元法可推斷選項C；可推斷選項D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當時，，所以B正確；當時，，所以C正確；由的圖象向左平移個單位，得，所以D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質，涉及到周期性、對稱性、單調性以及圖象變換后的解析式等學問，是一道中檔題.10.已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿意（5﹣1）÷2＝2，故它們關于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應用，屬于中檔題．11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線E上的一點，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M，且M為的中點，則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】依據(jù)題意，點P肯定在左支上.由及，得，，再結合M為的中點，得，又因為OM是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等學問，是一道中檔題.12.數(shù)學中的數(shù)形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些美麗的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結合產物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論：①曲線C經過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上隨意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在其次象限和第四象限其中正確結論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得，可推斷②；和聯(lián)立解得可推斷①③；由圖可推斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用，依據(jù)方程，推斷曲線的性質及結論，考查學生邏輯推理實力，是一道有肯定難度的題.二、填空題：本題共4小題.每小題5分，共20分.13.已知向量，且向量與的夾角為_______.【答案】0【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可．【詳解】解：∵向量，且向量與的夾角為，∴||；所以：?（）2cos2﹣2＝0，故答案為：0．【點睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題．14.定義在R上的函數(shù)滿意：①對隨意的，都有；②當時，，則函數(shù)的解析式可以是______________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】由可得是奇函數(shù)，再由時，可得到滿意條件的奇函數(shù)特別多，屬于開放性試題.【詳解】在中，令，得；令，則，故是奇函數(shù)，由時，，知或等，答案不唯一.故答案為：（或，答案不唯一）.【點睛】本題考查抽象函數(shù)性質，涉及到由表達式確定函數(shù)奇偶性，是一道開放性的題，難度不大.15.設數(shù)列的前n項和為，且，若，則______________.【答案】9【解析】【分析】用換中的n，得，作差可得，從而數(shù)列是等比數(shù)列，再由即可得到答案.【詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數(shù)列為首項為-3、公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：9.【點睛】本題考查已知與的關系求數(shù)列通項的問題，要留意n的范圍，考查學生運算求解實力，是一道中檔題.16.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.【答案】(1).90°(2).【解析】【分析】易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內運動，明顯，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內運動，易知，當P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理實力，是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.運用三年來，已發(fā)覺132顆優(yōu)質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)覺的脈沖星，脈沖星是上世紀60年頭天文學的四大發(fā)覺之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文探討機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)覺的脈沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)覺的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）依據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)覺脈沖星自轉周期的平均值.【答案】（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)覺的脈沖星自轉周期平均值為（秒）.故新發(fā)覺的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等學問，是一道簡單題.18.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當?shù)拿娣e取得最大值時，求AD的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及可得，從而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故當時，的面積取得最大值，此時，，在中，再利用余弦定理即可解決.【詳解】（1）由正弦定理及已知得，結合，得，因為，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因為，所以，當且僅當時，的面積取得最大值，此時.在中，由余弦定理得.即.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學生的計算實力，是一道簡單題.19.在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設二面角的大小為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點D，連接BD，以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因為，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點D，連接BD，則.以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時，關鍵是點的坐標要寫精確，本題是一道中檔題.20.已知動圓Q經過定點，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1），拋物線；（2）存在，.【解析】【分析】（1）設，易得，化簡即得；（2）利用導數(shù)幾何意義可得，要使，只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系即可解決.【詳解】（1）設，由題意，得，化簡得，所以動圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線.（2）不妨設.因為，所以，從而直線PA的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設直線m的方程為，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，設，，則，..故存在直線m，使得，此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，涉及拋物線中的存在性問題，考查學生的計算實力，是一道中檔題.21.已知函數(shù).（1）探討的單調性；（2）若，設，證明：，，使.【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1），分，，，四種狀況探討即可；（2）問題轉化為，利用導數(shù)找到與即可證明.【詳解】（1）.①當時，恒成立，當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).②當時，，.當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).③當時，，則在上減函數(shù).④當時，，當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）由題意，得.由（1）知，當，時，，.令，，故在上減函數(shù)，有，所以，從而.，，則，令，明顯在上是增函數(shù)，且，，所以存在使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，所以，所以，命題成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性以及證明不等式的問題，考查學生邏輯推理實力，是一道較難的題.（二）選考題：共10分.請考生在第22.23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題號后的方框涂黑.選修4-4：極坐標與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為