數(shù)字信號處理-原理、實現(xiàn)及應(yīng)用（高西全第4版）習題答案 12

2-F-Z-1

13

y(z)-2-1卜1>|

-1I-iYi2Q

1—zT14--Z1——z1+—z

333JI3J

2+U0

二T—小卷

3

系統(tǒng)函數(shù)的零點為-1/6,極點為-2/3,極零點圖如圖Sll.3.1所示。

(2)〃(〃)=IZT[E(z)]

2+-z-1

(2Y1f/J-I

"⑶=—4^-23-12

z；h(n)=2—〃(〃)+——u(n-l)

l^tI3jr313

l+-z-114--z-1

33

(3)首先推導一個公式,

令x(n)=/磔"

800

j/fnjM>o>oW

y(〃)=x(n)*/?(〃)=Ze""。所〃,％(m)=e^e'^h[tn)=e^H(e)=e77(z)|z=ej

〃j=-co用=-co

上式表明當輸入指數(shù)序列時，輸出仍為同頻率的指數(shù)序列，幅度與相角決定于幻=3。時系統(tǒng)

的傳輸函數(shù)(即單位圓上的Z變換)。

該題雙〃)=(-1)"=9皿，因此得到

1

2+-e-JTt

式中，H(ejR)=—3——=5,因此得到)，(")=5w"。

l+-e-jK

3

(4)根據(jù)系統(tǒng)的零極點圖，畫出系統(tǒng)的幅頻特性，如圖SU.3.2所示。

圖S11.3.2

六、解：X(z)=—二，目〉?

1-az

(1)按照頻率域采樣定理，頻域采樣使時域周期化，IDFT則是它的主值區(qū)序列，原序列

是x(n}=anu(n),因此

008

n+iN

無5)=Z+亞)朦5)=Zau(n+iN)RN⑺

j=-O0l=-O0

又因為上式中00n<N—\,因此心+W)"'〃+N'°

0,i<0

55)=優(yōu)￡*底⑺=aRN⑺

則N

z=o1—a

(2)Xr(k)=X(z)

X(幻=X(z)

2

對比以上兩式，差別僅在于分母中的系數(shù)，前者是如，后者是處因此計算X,(口的公

8/\n+iN

式為Xr(Q=Z>"X圖〃5+iN)&(〃)，攵=0,123,…,N—1。

七、解:

TV/2-1.2兀，AT/2-1.2K_.N!2-\.2n..

0丁-j---------kn.,—j——2kn-j—2kn

(1)Y{k}='[x(M)+x5+〃/2)]eNf2=￡x(〃)eNx(n+NJ2)e'

n=O〃=0EM=0

NJ2-1.2K..N-\.2n_.

'-)--2hi

=工x(〃)e'+￡x(n)eN

/i=On=N!2

汩-j交25

=￡x(X)eN=x(2k),k=0,1,2,3,…,N/2—1

n=0

證畢。

JV-1.

v~-tlkn

(2)Y(k)=2Lx(n)e2N=X(Ar/2),A=0,2,4,6,…,2N—2

M=0

.2n,

x-<—jKll

(3)Y{k)='x(n/2)e2N

令〃'=H/2

?_j2i2WE_j紀獷

y(A)=￡x")eNN=2尤(/把N=x(k),左二0,l,2j??，N—l

〃'=On=Q

11.4考試題(四)及其解答

考試題(四)

一、計算下面各題

(1)計算離散時間序列x(/i)=2〃〃(T+2)的傅里葉變換X?")；

(2)離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)/?⑺如圖11.4.1(a)所示，求系統(tǒng)對圖11.4.1(b)所示的輸

入信號x(〃)的響應(yīng)y(〃)，并畫出其波形。

?256?

2

h(n)1M,)T1

123n

04567-2-101234

，一1

(a)(b)

圖11.4.1

二、設(shè)有模擬信號覆“)=85(2兀乂1000￡+，)，現(xiàn)在以時間間隔(=0.25ms進行均勻采

樣。假定從“0開始采樣，共采樣N點。

(1)寫出采樣后序列雙〃)的表達式和工伽)的數(shù)字頻率；

(2)將M")截取N點作N點DFT。說明N如何取值，DFT的結(jié)果能精確地反映/(〃)的

頻譜；

(3)若希望DFT的模擬頻率分辨率達到1Hz,則此時最小的采樣點數(shù)N為多少？

(4)若對在N點之后補M-N(M>N)個零，試問可以通過增大M來提高模擬頻率

的分辨率嗎？為什么？

三、圖11.4.2表示的了(〃)是一個6點的有限長序列，其Z變換為X(z),如果在z=e51

&=0,1,2,3處對X(z)進行采樣，就得到該序列的4點DFT,即X(Z)=X(z)k=0,1,2,3,

如果將所得到的X(幻作IDFT,試繪出所對應(yīng)信號的波形。

四、已知有限長序列》(〃)如圖11.4.3所示，對該序列進行如下運算：

以〃)

012345

圖1L4.2

(1)計算5點DFTX(Q；

(2)計算丫(左)=[X(@2的IDFT,得到序列yS),

求：(a)計算出〃=0』,2,3,4時的y(〃)的值;

(b)如果在1,2兩步計算中使用N點DFT,如何選擇N才能在0Wn<N-1的區(qū)

間上，得到/?(;?)=x(/z)*x(n)o

五、如圖11.4.4所示的有限長序列*〃)，其6點DFT用X(竹表示。畫出有限長序列)5)

的波形，使得必)的6點DFT(用｝U)表示)滿足：y(Q=WyX(左)。

(1)畫出有限長序列/伽)的波形，使得/(〃)的6點DFT[用F(?表示]滿足：

F(k)=Re[X(fc)]

(2)畫出三點有限長序列s(/t)的波形，使得$(用的3點DFTS出滿足：

S(k)=XQk),A=0,1,2

六、某一個離散時間LTI系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1145所示，求:

(1)求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其收斂域;

8

*(〃)4

3

2

.II1..

012345

圖11.4.4圖11.4.5

(2)畫出系統(tǒng)的零極點圖，并粗略地畫出系統(tǒng)的幅頻特

性；

(3)當輸入信號元5)=(?笈⑺時，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

加)。

七、已知某因果離散ETI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有零極點，如

圖11.4.6所示，并已知當z=l時，H(z)=6o

(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(2)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)//(〃)；

(3)求系統(tǒng)對輸入信號》(〃)=(￡)的響應(yīng)。

考題(四)解答及分析

一、解:

力-co2-

(1)X(ejzw)=Z2nu(-n+2把一加=工2"。一四=+￡27一加

n=-<x>n=2〃=0n=-\

0.5ejft>

=14-2e->+4e-j2<w

l-0.5ejr(,

(2)已知系統(tǒng)的輸入信號和單位脈沖響應(yīng)，求系統(tǒng)輸出響應(yīng)，有三種方法，即①Z變換

法；②線性卷積法；③DFT(FFT)法。具體用的方法視題目情況而定，該題用線性卷積法。

yS)={1,1,—100,3,3,2,1;〃=—2,-1,0,1,2,3,4,56}

二、解：

(1)x(zi)=COS(2KxIOOOHT^+0)=cos(0.57t〃+，)，〃=0,1,2,3,—1

數(shù)字頻率為co=0.5JTrad。

(2)為了能用DFT精確地反映該周期信號頻率，應(yīng)使采樣后仍形成周期序列。該題的采

樣間隔為工=0.25ms,因為2n/。=4,因此形成的序列周期為4。可以取序列的一個周期

作4點的DFT,信號應(yīng)準確地出現(xiàn)在4點DFT的第二條譜線上(如果X(&)=DFT[M〃)],信

號準確地出現(xiàn)在&二1的位置)。

(3)券=271x1x7；,縱而=：=400。。

^min人

?258?

(4)通過序列尾部加零點提高模擬頻率的分辨率是不行的。因為信號尾部加零點不影響信

號的傅里葉變換，信號并沒有增加新的信息，而DFT是傅里葉變換一個周期中的均勻采樣，

自然也不會提高頻率分辨率。

三、解：對x(〃)在頻率域進行4點均勻采樣，對應(yīng)的時間域信號應(yīng)以4為周期進行周期

化，因此對X(Q作IDFT,得到的信號為以4為周期延拓后的主值區(qū)，用公式表達為

X5)=Z雙("+4t))*45)

/=-co

畫出其波形如圖S11.4.1所示。

四、解：

4

(1)、(&)=Z尢5)啜""=2+嗎*+私2人；

n=0

(2)因為丫6)=[X(幻]2,y(〃)=x(〃)&M〃)，

y(〃)={4,4,5,2,1;〃=0,1,2,3,4}。

因為R(〃)=M")*x5)的長度為5,只要循環(huán)卷積的長度大于等于5,就可以使下面的公

式得以滿足。

R(n)=x(n)?x(ji)=/(〃)*x(n)

五、解：利用循環(huán)移位性質(zhì)解該題?；竟綖?/p>

如果y(n)=x((7?+m))NA”(n)

貝ijY(k)=W-k,iX(k)

在該題中則是y(n)=x((n-4))6%⑺,畫出其波形如圖S1142所示。

(1)已知尸(幻=Re[X(心"求人制。解該題要利用DFT的共軌對稱性質(zhì)。

/(?)=/p(屋)=:口(九)+x*(N—九)]=：[](〃)+x(6-n)]

畫出負制的波形如圖S11.4.3所示。

(2)有限長序列以〃)的6點DFT為X(Q,S(k)=XQk),*=0,1,2,這是X(左)的3點采樣,

也是在頻率域的3點采樣。利用頻率域采樣定理，頻率域的3點采樣對應(yīng)于時域序列以

3為周期進行延拓后取其主值區(qū)，用公式表達為s5)=￡x(〃+3i)R35)。

/=—O0

畫出三點有限長序列s(/2)的波形如圖S11.4.4所示。

六、解：

(1)根據(jù)流圖求系統(tǒng)函數(shù)最簡單的方法是用梅蘇公式。

8

Z|>

1Z-2i

—z

8

系統(tǒng)的極點為z=1/2和z=-1/4,零點為z=0,畫出極零點圖如圖S11.4.5o

.R

可以計算出[一1—=1.6,H(eJi)=--------5--------=0.73

0.^5x1.251.22x1.12

1

|2)|=0.89

0.75x1.5

粗略地畫出系統(tǒng)的幅頻特性如圖S11.4.6所示。

七、解:

(1)根據(jù)題目給出的條件得到系統(tǒng)函數(shù)為"(z)=A

忖>3

已知"(1)=6,得至ljA=4。

(2)〃(〃)=IZT(H(z)]

z2zn~'

令尸(z)=H(Z)Z”T=A7

"J2」

2A3

按照收斂域可知，久幾)是一個因果收斂序列。

n>0h(n)=Re5F(z),—+ResF(z),——

_2」L3.

~~576(2)+-5/6-~~5\2)十式3

?260?

h(n)=u(n)

(3)u(n-1)=—u(n)—3(h)

y5)=&'y(z)z"Tdz,|z|>g

由收斂域可知，這是一個因果收斂序列。

1z2z/,-'Lzn+,

令F(z)=Y(z)zn-l-Ax------------------------------——A-------------------------------n>0

3(z-i)(z+j)(z-|)3(z-i)(z4-j)(z-i)

y(n)=Re5/(z),g+Res尸(z),-g+Res尸(z),g

11.5考試題(五)及其解答

考試題(五)

01Q

一、設(shè)X(z)=.......------求與x(z)對應(yīng)的因果序列M〃)。

(l-0.9z)(l-0.9z-1)

二、設(shè)因果線性時不變系統(tǒng)用下面差分方程描述:

y(n-k)

試畫出該系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)。

三、已知FIR網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述：

y(“)=自(g)1(〃一4)

(1)畫出網(wǎng)絡(luò)的直接型結(jié)構(gòu)；

(2)畫出線性相位結(jié)構(gòu)。

四、已知序列》(⑶={1,2,3,2,1,0,-3,-2;〃=0,1,2,3,4,5,6,7},設(shè)

X(ej")=Er(〃)]，X(eM)=X(ej")J,秋=等，4=0,1,2,3,4

y(〃)=IDFT[X?倏月，變換區(qū)間N=5,試求出y(〃)與x(〃)之間的關(guān)系，并畫出,伽)的波形。

五、設(shè)工⑺是實序列，其8點DFT前5點值為{0.25,0.125-j0.3,0,0.125-j0.006,0.5),

求：

(1)寫出x(〃)的8點DFT的后3點；

(2)如果再(九)=雙5+2))8&(〃),求石(〃)的8點DFT的值。

六、設(shè)"(/")是因果線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，其單位脈沖響應(yīng)是實序列。如果

5

的實部〃用(。心)=[OScoscyn,求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n).

n=0

七、設(shè)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=(l+zT)/(l-0.9ZT)。如果將式中的Z用代替，形成新

的系統(tǒng)函數(shù)HI(Z)=/7(Z4),則試畫出同?g曲線，并標出峰值點頻率。

八、設(shè)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)力(〃)和輸入信號的波形如圖11.5.1所示，試用圓卷積方法，

求出并畫出系統(tǒng)輸出火盟)的波形。

九、完成下面兩題：

(1)IIR濾波器常用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法，將先設(shè)計好的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成相

應(yīng)的數(shù)字濾波器，寫出這兩種轉(zhuǎn)換法的主要優(yōu)缺點。

(2)已知模擬濾波器如圖11.5.2所示，要求用用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，寫出其

系統(tǒng)函數(shù)。

圖11.5.1圖11.5.2

考試題(五)解答及分析

一、解：系統(tǒng)函數(shù)的極點為0.9和1/0.9,要求的是因果序列，因此收斂域應(yīng)取回>0.9一二

0.190.19z〃

令F(z)=zn~]

(1—0.9Z)(1—0.9ZT)(Z-0.9)(2-0.9-1)(-0.9)

n>0xS)=Re$[F(z),0.9]+Res["(z),0.9T]=(0.9〃—0.9一〃)

n<0x(n)=0

雙/0=(0.9〃-0.9一")〃(〃)

二、解：由差分方程畫出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)如圖SU.5.1

所示。

三、解：(1)畫出網(wǎng)絡(luò)的直接型結(jié)構(gòu)如圖S1152所示。

圖S11.5.1

?262?

⑵畫出網(wǎng)絡(luò)的線性相位結(jié)構(gòu)如圖SI153所示。

、Z二I、二I、三T、三T-I

1/27M1/9"1/3''1/3l/9t1/27>?(?)

圖SI1.5.2

圖S11.5.3

四、解:

序列的長度為8,在傅里葉變換的一周采樣5點,再進行IDFT,1;1I「J

得到的是序列尤伽)以5為周期進行延拓后的主值區(qū)，公式0I234

00

為y(n)=Z+5r)R(n)o-1

r=-oo圖SI1.5.4

畫出的波形如圖S11.5.4所示。

五、解：⑴因為序列工⑺是實序列，它的DFT具有共輒對稱性，即對序列的中間共施

對稱。按照給出的DFT前5點，寫出后3點為(0.125句0.06),0,(0.125句0.3)。

(2)因為辦(九)=以(〃+2))86(〃)，再5)是x(〃)向左循環(huán)移2位，因此

j如2Aj-*

X\(k)=X(k)W-2k=X(k)e8=X(k)e?,左=0』,2,…,7

.it.3?r.5n.lit)

{X(0),X(l)eJ2,X⑵eX(3)e)石，X(4)ej2ic,X(5)e」》,X(6)ej3n,X(7)eJyj

XJk)={0.25,(03+0.125j),0,(-0.06-jO.l25),0.5,(-0.06+jO.l25),0,(0.3-0.125j)}

六、解：該題有兩種解法。

OOOO8

(1)“($")=Z〃(⑶e-j"”=ZA(/2)COS69Z2-jAh(n)sincon

w=-00n=-co?I=-30

因為力(〃)是因果實序列，因此

j6>

HR(e)=^A(n)coscon=，0.5"coscon,得至!j力(〃)=0.5"叫(〃)

n=0n=0

5i5

(2)HR?㈤)=Z°,5"cos&〃=一￡0.5〃30+e-j<y]

n=02〃=()

上式的傅里葉反變換對應(yīng)共輒對稱序列，因此七5)=!。5一"4(-")+0.5〃&(〃)]

0.5"4(明)，n>0

h(n)=a(〃)〃+(〃)=<1,71=0

0,n<0

n

=0.5R6(n)o

七、解：

//(z)=(l+z-,)/(l-0.9z-1),該函數(shù)的零點為-1,極點為0.9,極零點分布以及按照零極

點分布畫出的幅度曲線如圖S11.5.5所示，幅度曲線以2兀為周期。將式中的z用/代替，在

形成新的系統(tǒng)函數(shù)"(Z)="(N4)以后，幅度曲線將以九/2為周期，0?2兀區(qū)間重復(fù)4次，

因此幅度曲線如圖S11.5.6所示。也可以求出H|(z)=〃(z4)的零極點，按照零極點的分布畫

出幅度曲線。

圖S11.5.5圖S11.5.6

44

/71(Z)=(1+Z-)/(1-0.9Z-),先求零點

.(兀+2M)

J-4-

l+z-O,zY=-l=eT5+2%，z=e2=0,123

零點為｛(e.*n.31.丁5，產(chǎn).7］)。

再求極點:：1-0.9Z-4=0,0.9Z-4=ej2^

—1—j.-兀k,

z=0.94e2&=04,2,3

11.3)

-----------I一冗I

極點為0.9凡0.9一%一20.94e-jn,0.94e2Jo

零極點分布如圖S11.5.7所示。按照零極點分布畫出幅度曲線仍和圖S11.5.5一樣。

八、解：一〃)和人⑺的長度分別為3和3,線性卷積后的長度為3+3-1=5,因此在“(〃)

和〃5)的尾部分別加兩個零點，并以5為區(qū)間，進行循環(huán)卷積。此時，循環(huán)卷積的結(jié)果等于

線性卷積的結(jié)果。用矩陣方程進行循環(huán)卷積，得

X0)-x(0)x(4)x(3)x(2)x(l)力(0)「-100Il--1■1

XI)x(l)X0)x(4)x(3)x(2)A(l)li001-L0

><2)=x(2)XI)x(0)以4)x(3)hQ)=111001—1

y(3)x(3)雙2)Ml)以0)x(4)力⑶0111000

y(4)_x(4)JC(3)x(2)x(l)X0)_〃(4)_001I101

必)=[1。1,0,0』=0,1,2,3,4},其波形如圖S1158所示。

九、解：

(1)脈沖響應(yīng)不變法的主要優(yōu)點是轉(zhuǎn)換中模擬頻率和數(shù)字頻率之間是線性關(guān)系，主要缺點

是存在頻率混疊現(xiàn)象。雙線性轉(zhuǎn)換法的主要優(yōu)點是不存在頻率混疊現(xiàn)象，主要缺點是存在非

線性失真。

?264?

(2)