新人教版,初中數(shù)學教案第27章-圖形的相似,平行四邊形,系列

新人教版,初中數(shù)學教案（精品）

第27章-圖形的相似,平行四邊形,精品系

列

第二十七章“圖形的相似”教材分析

在教科書前面，已經(jīng)研究圖形的全等，也研究了一些圖形的變換，如平

移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等，本章將在前面的基礎上進一步研究一種變換——相似。

研究相似變換的性質(zhì)，相似三角形的判定等，并進一步研究一種特殊的相似

變換——位似。結(jié)合一些圖形性質(zhì)的探索、證明等，進一步發(fā)展學生的探究

能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力等。本章共安排三個小節(jié)和兩個選學內(nèi)容，

教學時間大約需要13課時，具體安排如下（僅供參考）：

27.1圖形的相似2課時

27.2相似三角形6課時

27.3位似3課時

數(shù)學活動

小結(jié)2課時

一、教科書內(nèi)容和課程學習目標

（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖

本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示:

對應角相等

對應邊的比相等

（二）教科書內(nèi)容

在前面，我們已經(jīng)學過了圖形的全等和全等三角形的有關(guān)知識，也研究

了幾種圖形的全等變換，“全等”是圖形間的一種關(guān)系，具有這種關(guān)系的兩

個圖形疊合在一起，能夠完全重合，也就是它們的形狀、大小完全相同?！跋?/p>

似”也是指圖形間的一種相互關(guān)系，但它與“全等”不同，這兩個圖形僅僅

形狀相同，大小不一定相同，其中一個圖形可以看成是另一個圖形按一定比

例放大或縮小而成的，這種變換是相似變換。當放大或縮小的比例為1時，

這兩個圖形就是全等的，全等是相似的一種特殊情況。從這個意義上講，研

究相似比研究全等更具有一般性，所以這一章所研究的問題實際上是前面研

究圖形的全等和一些全等變換基礎上的拓廣和發(fā)展。

在后面，我們還要學習“銳角三角函數(shù)”和“投影與視圖”的知識，學

習這些內(nèi)容，都要用到相似的知識。在物理中，學習力學、光學等，也都要

用到相似的知識。因此這一章的內(nèi)容也是今后學習所必須的基礎知識。另外,

在實際生活中，在建筑設計、測量、繪圖等許多方面，也都要用到相似的有

關(guān)知識。因此這一章內(nèi)容對于學生今后從事各種實際工作也具有重要作用。

在這套教科書中，“相似”的內(nèi)容安排在“圓”之后，主要是出于以下

幾點考慮：首先，在課程標準中，相似是作為圖形的一種變換提出來的，而

它又是在全等變換基礎上的拓展，所以教科書是先安排的的平移、軸對稱、

旋轉(zhuǎn)等變換，后安排相似變換，而研究圓的一些性質(zhì)，又與旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系密

切，因此把圓緊接著安排在了旋轉(zhuǎn)之后。其次，學習圓的相關(guān)知識，相應于

課程標準中對于圓的要求，用不到相似的知識儲備。我們把相似的內(nèi)容安排

在圓之后，還可以把圓中的一些問題作為研究相似的應用來處理。例如作為

相似三角形判定和性質(zhì)的應用，教科書安排了相交線定理的例題，簡單圓暴

定理的習題等。這樣也能復習有關(guān)圓的知識，加深學生對與圓的理解。

本章共有三小節(jié)內(nèi)容。第1小節(jié)”圖形的相似”主要介紹相似圖形、相

似多邊形的概念，并探索出相似多邊形的性質(zhì)；第2小節(jié)“相似三角形”主

要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在測量中的應用以及相似三角形

的周長與面積；第3小節(jié)“位似”研究了一種特殊的相似——位似，研究了

位似圖形的畫法以及平面直角坐標系中的位似變換。

在“27.1圖形的相似”中，教科書首先結(jié)合生活中常見的相似圖形的

形象，給出了相似圖形的概念。接下來，教科書證明了相似的正三角形、正

六邊形、以至正多邊形的對應邊成比例、對應角相等，從而給出相似多邊形

對應邊成比例、對應角相等的性質(zhì)。

教科書接下來在第2小節(jié)進一步深入的研究了相似三角形，它分為相似

三角形的判定和相似三角形的應用舉例以及相似三角形的周長與面積三部

分。在相似三角形的判定中，教科書介紹了四種判定方法，這些方法都是先

通過學生探究，再進行證明得到，這四種方法的地位作用以及證明方法也有

區(qū)別和聯(lián)系。對于第一個判定方法，也就是“平行于三角形一邊的直線和其

他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，根據(jù)學生當前的知識儲備,

學生還不能證明，因此教科書僅就它的一種特殊情況進行了證明，并直接把

這個定理告訴學生，它可以作為后三個判定定理的預備定理。后三個判定方

法，則要通過構(gòu)造全等三角形，利用前面的預備定理來證明。相似三角形的

判定和性質(zhì)在實際生活中應用很多，主要在測量方面，教科書接下來的第2

小節(jié)安排了幾個例子，舉例說明了它的應用。在第3小節(jié)中，教科書則重點

研究了相似多邊形的周長和面積的問題。教科書首先證明了相似三角形周長

比等于相似比、面積比等于相似比的平方，進而利用分割的方法，得到相似

多邊形周長比等于相似比、面積也等于相似比的平方。

位似變換是一種特殊的相似變換，此時對應頂點的連線交于一點，對應

邊也是互相平行的。教科書在第3節(jié)重點研究了這種變換，教科書在給出位

似變換概念的基礎上，重點研究了如何利用位似變換將一個圖形放大或縮

小，以及在平面直角坐標系下位似圖形的對應點坐標的變化。最后教科書簡

單對學生學過的四種變換進行了總結(jié)，要求學生在一個圖形中辨析這些變

換，并能綜合利用這些變換進行一些圖案設計。

這一章主要研究相似多邊形，因此相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)以及相似三角

形的判定是本章的重點內(nèi)容。對于相似三角形的判定方法，定理的證明涉及

到要構(gòu)造一個全等的三角形作為中介，再應用前面的定理進行證明，學生不

太習慣，這也是本章教學的難點。教學中要注意引導學生分析證明思路，引

導學生進行轉(zhuǎn)化，幫助學生克服難點。

（三）課程學習目標

1.了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段；

2.通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多

邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似

比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方

法解決生活中的一些實際問題；

3.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直

角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化；

4.結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)學生的合

情推理能力，發(fā)展學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章

的教學，進一步培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的

能力，同時對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。

二、本章編寫特點

1.突出圖形性質(zhì)的探索過程，重視實驗操作和邏輯推理的有機結(jié)合

相似也是生活中常見的一種現(xiàn)象，也是數(shù)學中一種基本的變換。本章重

點研究了相似圖形的一些性質(zhì)以及相似三角形的判定方法。在教科書編寫

時，注意突出圖形性質(zhì)的探索過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結(jié)合，

通過多種手段，如觀察度量、實驗操作、圖形變換、邏輯推理等來探索圖形

的性質(zhì)。

例如教科書通過測量長度和角度，發(fā)現(xiàn)相似多邊形對應角相等，對應邊

的比相等的性質(zhì)；通過度量，發(fā)現(xiàn)利用三個對應邊的比相等、兩組對應邊的

比及其夾角相等、兩個角相等等相似三角形的判定方法等。在學生通過觀察、

操作探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學生能對發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進行證明，使直觀操

作和邏輯推理有機的整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得

出結(jié)論的自然延續(xù)。

2.注意聯(lián)系實際

相似是生活中常見的現(xiàn)象，日常生活中到處存在著相似的例子，相似圖

形的性質(zhì)在實際中應用也很多，能直接應用相似三角形判定和性質(zhì)的例子也

很多。在教科書編寫時，也注意到這一點。例如通過生活中大量的實例引入

相似圖形、位似圖形的概念，例習題中也有許多應用相似圖形知識的實例。

教科書在第2小節(jié)，還專門安排了“相似三角形應用舉例”的內(nèi)容，給出了

一些利用相似三角形的性質(zhì)和判定方法，來解決生活中不能直接測量物體長

度的問題（測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）。在教學中，

要通過這些知識的教學，幫助學生從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題、運用所學知

識解決實際問題。另外，還可以根據(jù)本地區(qū)的實際，選擇一些實際問題，引

導學生加以解決，提高他們應用知識解決問題的能力。

3.重視滲透數(shù)學思想方法

教學中不僅要教知識，更重要的是教方法，教科書在編寫時，也充分注

意數(shù)學思想方法的滲透。本章主要涉及的數(shù)學思想方法有類比的方法，矛盾

轉(zhuǎn)化的方法等。

相似內(nèi)容是全等內(nèi)容的拓展與延伸，教科書在編寫時，也充分注意相似

與全等之間的一般與特殊的關(guān)系，在討論相似的相關(guān)內(nèi)容時，注意和全等的

知識作類比。例如類比研究全等圖形的性質(zhì)得到相似多邊形對應角相等、對

應邊的比相等的性質(zhì)；類比研究全等三角形的SSS、SAS方法，發(fā)現(xiàn)相似三

角形的判定方法；通過把多邊形分割為三角形，類比研究多邊形內(nèi)角和的方

法，利用相似三角形的面積關(guān)系得到相似多邊形面積比等于相似比的平方等

等。在證明相似三角形的判定定理時，通過作全等三角形，把要證明的問題

轉(zhuǎn)化為我們己經(jīng)解決的問題，從而把問題從未知轉(zhuǎn)化為已知，從復雜轉(zhuǎn)化為

簡單，等等。

另外，在本章，通過理論聯(lián)系實際，對學生進行唯物論認識論的教育；

通過相似形與全等形的許多性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，一般與特殊之間的關(guān)系

等，圖形之間運動變化的關(guān)系等等，還可以對學生進行辯證唯物主義觀點的

教育。

三、幾個值得關(guān)注的問題

1.進一步培養(yǎng)推理論證能力

從培養(yǎng)學生的邏輯思維能力來說，“相似”這一章處于學生對于掌握的

推理論證方法的進一步鞏固和提高的階段，要求學生能熟練地用綜合證明命

題，熟悉探索法的推理過程。教學中要重視推理論證的教學，進一步提高學

生的思維能力。盡管課程標準對于這一章相關(guān)內(nèi)容在推理論證方面沒有明確

的要求，但根據(jù)全套教科書推力證明的安排，教科書對于這一章相關(guān)內(nèi)容的

推理論證的要求還是很重視的。首先，對于相似三角形的相關(guān)判定定理，有

些教科書進行了規(guī)范的證明，有些要求學生自己進行證明；對于一些相關(guān)的

性質(zhì)，例如相似多邊形的周長與面積等，教科書也是通過推理得出的。另外,

為了鞏固并提高學生的推理論證能力，本章的定理證明中，除了采用了規(guī)范

的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定

理再去證明它，而是根據(jù)題設和已有知識，經(jīng)過推理，得出結(jié)論。這些對激

發(fā)學生的學習興趣，活躍學生的思維，發(fā)展學生的思維能力有好處。教學中

要注意啟發(fā)和引導，使學生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎上，推理論證能力有

所提高和發(fā)展。

另外，這部分內(nèi)容實際上也是到了初中階段推力證明要求的最后一章，

所涉及的問題不僅是相似的問題，也有很多是和全等的問題結(jié)合在一起，也

有一些是圓中的相似的問題，題目也相對以前比較復雜，要綜合應用學生以

前學過的知識。教學時應注意多幫助學生復習已有的知識，做到以新帶舊、

新舊結(jié)合。要加強解題思路的分析，幫助學生樹立已知與未知、簡單與復雜、

特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的思想，使學生學會把未知化為已知，把

復雜問題化為簡單問題，把一般問題化為特殊問題的思考方法。通過這一章

對于學生推理證明的訓練，進一步提高學生邏輯思維能力和分析解決實際問

題的能力。

2.重視知識間的聯(lián)系

學生學習相似的知識，是在前面學習的全等的知識基礎上的發(fā)展。從全

等到相似，是一個從特殊到一般的過程，也是學生認識上的一個飛躍。在教

學時，應注意充分利用學生在前面學到的有關(guān)知識以及研究問題的方法，注

意加強相似和全等之間的區(qū)別和聯(lián)系，加強類比和對比，把相似和全等的有

關(guān)問題對照講解。例如在介紹相似多邊形的性質(zhì)時，注意它和全等圖形性質(zhì)

的區(qū)別和聯(lián)系：他們的對應角都相等；全等圖形對應邊也相等，周長也相等,

面積也相等；相似多邊形對應邊的比相等，周長的比等于相似比，面積的比

等于相似比的平方。

研究相似三角形的判定的問題時，也可以和研究全等三角形的問題作類

比：判定兩個三角形全等，不一定要六個條件一一驗證，有簡便方法（SSS、

SAS、ASA、AAS）,類似的，研究兩個三角形相似時，也不是要對所有的對

應角和對應邊一一驗證，也有簡單方法，從而類比全等三角形的判定方法一

一進行探究。研究相似多邊形的面積時，教科書也是和研究多邊形的內(nèi)角和

問題進行了類比：我們已經(jīng)通過推理論證得到了相似三角形的面積比等于相

似比的平方，類似于研究多邊形內(nèi)角和的方法，可以把多邊形劃分成若干個

三角形，從而也能得到相似多邊形面積的比等于相似比的平方。在教學時，

要充分注意這些新舊知識聯(lián)系的內(nèi)容，注意從學生學習的規(guī)律出發(fā)，加強新

舊知識的聯(lián)系，發(fā)揮知識的遷移作用，這樣也有助于學生對于新知識的理解。

3.注意把握好教學要求

從課程標準上看，本章內(nèi)容與原來大綱不僅在知識內(nèi)容上有所刪減，在

教學要求上也有很大的降低。從教材內(nèi)容上看，與以往教材內(nèi)容相比，從篇

幅上，從課時上，從教材編排方式上，都有很大的變化。目前只是突出最基

本、最重要的基礎知識和最基本的技能。教學時要注意把握好教學要求。教

學內(nèi)容應當限制在課程標準和教材所出現(xiàn)的范圍，按照課程標準要求刪減的

內(nèi)容，教學中不要再揀回，以免影響學生對于基礎知識的學習。例如，為了

突出對于相似多邊形以及相似三角形這個全章的重點內(nèi)容，教科書對于比例

和成比例線段的相關(guān)內(nèi)容，只是在小學的基礎上，給出了成比例線段的基本

概念，學生能夠理解它的基本含義即可。對于平行線分線段成比例定理，教

科書沒有介紹，而是直接給出了它的應用“平行于三角形一邊的直線和其他

兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似”（教科書對其過中點的特殊情

況進行了證明）。在此基礎上，證明了相似三角形的三個判定定理。

對于推理論證的要求，課程標準中在本章沒有明確規(guī)定。教科書中是按

照整套教科書對于推理證明的要求來處理的。在本章，要求學生對于一些相

似圖形的性質(zhì)以及相似三角形的判定方法進行證明，為了鞏固學生對于這些

基礎知識的理解，掌握好這些重點內(nèi)容，教科書安排了一些直接利用這些判

定和性質(zhì)的計算題和證明題。這些題中，直接應用定理的較多，變式的題目

很少，也比較簡單，這樣可使學生在有限的時間學好必須的基礎知識。教學

時對于本章的證明問題也要注意控制難度，對于一般學生，控制在教科書“綜

合應用”的題目難度內(nèi)，對于學有余力的學生，可以要求他們完成“拓廣探

索”欄目的習題。

4.重視信息技術(shù)的應用

在本章的教學中，有條件的學校還是要重視信息技術(shù)工具的使用。利用

信息技術(shù)工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多

計算機軟件還具有測量功能，這也有利于我們在圖形的運動變化的過程中去

發(fā)現(xiàn)其中的不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。例如，本

章許多圖形的性質(zhì)都可以利用計算機軟件設置一些探究活動，再利用一些軟

件的測量功能，讓圖形動起來，在這種運動變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如發(fā)現(xiàn)

相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長比等于相似比、面積比等于相

似比的平方的性質(zhì)，探索相似三角形的判定方法等方面，信息技術(shù)工具都能

發(fā)揮其應有的作用。

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27.1圖形的相似

第一課時

一、教學目標

（一）知識目標

通過對生活中的事物或圖形的觀察，獲得理性認識，從而加以識別相似的圖形.

（二）能力目標

通過觀察、歸納等數(shù)學活動，與他人交流思維的過程和結(jié)果，能用所學的知識去解決問

題.

（三）情感目標

在獲得知識的過程中培養(yǎng)學習的自信心.

二、教學重點

引導學生觀凳圖形，并從中獲取信息，培養(yǎng)他們的觀察、分析及歸納能力.

三、教學難點

應用獲得的數(shù)學知識解決生活中的實際問題.

四、教學過程

一、創(chuàng)設情境，導入新課：

觀察教材第36頁的兩組圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系？

二、師生互動，探索新知：

1、觀察下列幾組幾何圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系？

從而得出：具有相同形狀的圖形叫相似形.（出示課題一一圖形的相似）

2、對（2）中的3組圖形，通過圖形的縮小或放大，再利用圖形的平移或旋轉(zhuǎn)等變換，使

它與另一個圖形能夠重合，從而加以驗證它們是相似的圖形。

3、你還見過哪些相似的圖形，請舉出一些例子與同學們交流.

三、試一試：利用課本后面的網(wǎng)格或格點圖紙設計出幾組相似的圖形，并利用幻燈片加以

展示，使學生在學習中獲得成功的喜悅.

四、探究：

1、思考教科書第37頁觀察中的問題，哈哈鏡里看到的不同鏡像它們相似嗎？

2、觀察下圖中的3組圖形，它們是不是相似形?為什么？

（激發(fā)學生的求知欲，為下一節(jié)課“相似圖形的特征”做好準備）

⑴⑵⑶

五、課堂練習

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完成課本第37頁練習第1、2題。

六、課堂小結(jié)

這節(jié)課你哪些收獲？

七、課時作業(yè)

1、根據(jù)今天所學的內(nèi)容，請你收集或設計一些相似的圖案.

2、習題27.1第1、2題.

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配套課時練習

1.我們把形狀的圖形叫做相似圖形.

2.下列圖形相似的是（）

A.兩個圓B.兩個矩形C.兩個等腰梯形D.兩個菱形

3.下列是圖形相似的有（）

兩輛轎車兩個五角星兩只足球建筑物的設計圖紙與建筑物

A.1個B.2個C.3個

4.下列每組圖中的兩個圖形是相似圖形的是（

5.舉出相似圖形的例子（至少兩個）

6.在方格紙中平移圖形，使A平移到A'處,畫出放大一倍的圖形.

7.下列說法正確的是（）

A.人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像相似.

B.人們從平面鏡里看到的像與人的關(guān)系是相似圖形，但不是全等圖形.

C.拍照時,鏡頭的取景與照片上的畫面是相似的

D.放幻燈片時投在屏幕上的畫面與幻燈片上的圖形是全等的

8.選出與下面左圖相似的圖（）

D

9.請將下面的直角三角形放大三倍.

10.請指出下列圖形中哪幾對是相似圖形,并說明理由.

正方形圓長方形正六邊形菱形

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11.如圖，ADLBC于D,CELAB于E,交AD于F,圖中相似三角形的對數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

12.已知圖中的每個正方形的邊長都是1個單位,在圖中畫出一個與格點三角形DEF相似但不

全等的格點三角形.

參考答案：

1、相同；2、A；3,B；4、A；5、略

6、畫圖略；7、C；8、B；9、畫圖略

10、正方形、圓、正六邊形

11、D；12、畫圖略

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27.1圖形的相似

第二課時

一、教學目標

（一）知識與技能

通過對生活中的事物或圖形的觀察，獲得理性認識，從而加以識別相似的圖形.

（二）過程與方法

1、經(jīng)歷對相似圖形觀察、分析、欣賞以及動手操作、畫圖、測量等過程，能用所學的知

識去解決問題；

2、回顧相似圖形的性質(zhì)、定義，得出相似三角形的定義及其基本性質(zhì)。

（三）情感態(tài)度與價值觀

通過觀察、歸納等數(shù)學活動，與他人交流思維的過程和結(jié)果，在獲得知識的過程中培養(yǎng)

學習的自信心.發(fā)展審美能力，增強對圖形欣賞的意識。

二、教學過程

1.情境導入

播放多媒體一一教材中的圖27.1.1-4（1）（用投影幻燈片或用教學掛圖展示）.觀察

相似三角形的特征，得出：三角相似的對應角相等、對應邊成比例以及相似比.

2.課前熱身

分組活動：（5分鐘）復習相似變換圖形，掌握相似形的基本特征：對應角相等，對應

邊的比相等.

3.合作深究

（1）整體感知

從回顧舊知“相似多邊形性質(zhì)”入手定義相似三角形，認識符號相似于“S”，會用數(shù)學

語言表達兩個三角形相似一一從課本第41頁中“習題27.1第5題”，通過測量得到DE〃BC

時，AADESAABC——給出三角形相似的定義.

（1）四邊互動

互動1

師：教師展示投影1：課本第38頁中圖27.1.1-4.這兩個圖形有何共同特征？

生：回答略.

師：這兩個圖形的不同點在哪里？

生：回答略（教師在學生進行議論、交流、評判形成共識后可由學生進行口頭歸納.）

明確圖上所展示的兩個相似圖形中，ZA=ZA\ZB=ZB\ZC=ZC\

ABBCAC

A'B'~B'C'~A'C'

定義相似比：兩個相似三角形對應邊的比叫相似比.

注意：相似比是有順序的，Z\ABC與AA'BzCz的相似比為k,則B，L與4

人813的相似比為’.

K

互動2

師：展示投影2：課本中第39頁圖27.1-5.Z\ABC與4ADE的三個角對應相等嗎？為什

么？

生：略.

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師：^ABC與aADE的三邊對應成比例嗎？量量看.

生：動手測量得出結(jié)論并與同伴交流.

師：^ABC與4ADE相似嗎？

生：學生分組進進行討論.

明確在同學交流、評判的過程中，老師進一步闡述，平行于三角形一邊的直線截其他兩

邊或其延長線所得的三角形與原三角形相似.

4.達標反饋

課本第40頁練習第1一3題.

注：（1）題中找對應邊應考慮長邊與長邊、中邊與中邊、短邊與短邊是否對應成比例及

大角與大角、小角與小角、中角與中角是否對應相等.

5.學習小結(jié)

（1）內(nèi)容總結(jié)

相似用符號“S”表示，讀作“相似于”.

兩個相似三角形對應邊的比稱為相似比，相似比是有順序的.AABC與AA，B，C的相

似比為k,則AA'B'C與aABC的相似比為

k

平行于三角形一邊的直線截三角形的另兩邊，所得對應線段成比例.

（2）方法歸納

學會動手畫平行線，動手測量、計算、觀察、猜想總結(jié)規(guī)律；重在培養(yǎng)學生的合作、交

流與探索的能力.

（三）延伸拓展

L鏈接生活

找一些生活中存在的相似變換的實例.

2實踐探索

（1）實踐活動

畫出公路兩旁的電線桿（觀察遠近不同的兩根電線桿及其上面的支架和瓷瓶）.

（2）鞏固練習

①課本第41頁習題27.1第4、7題.

（3）補充作業(yè)

①中心對稱的兩個圖形是相似圖形.（V）

②所有等邊三角形都是相似圖形.（V）

③線段既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.（V）

④半徑不同的兩個圓是相似圖形.（V）

⑤人的一雙眼睛是相似圖形.（V）

⑥自己選畫一如意圖形，然后再確定一個對應頂點，再畫出一個與它相似的圖形.

⑦（a）所有正方形是不是相似圖形？若是，請說明理由.

（b）所有矩形呢？把矩形改為梯形又如何？換成菱形呢？改為等腰梯形或平行四邊

形？

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配套課時練習

1、下列命題中正確的有（）個.

如果兩個三角形相似,且相似比為1,那么這兩個三角形全等.

如果兩個三角形都與第三個三角形相似,那么這兩個三角形相似.

如果兩個三角形全等,那么這兩個三角形一定相似

如果兩個三角形相似,那么這兩個三角形全等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2、如圖，四邊形EFGH相似于四邊形ABCD,求/A、NC、NH以及x,y,z的值

3、初三體育中考時，一個同學跳遠情況如圖（比例尺1：200）,1是起跳線,這個同學的實際成

績?yōu)槊祝ńY(jié)果保留一位小數(shù)）

A

<z>

B

4、如圖梯形ABCD中，AD〃BC,EF〃BC,且梯形AEFDs梯形EBCF,已知AD=2,AB=6,BC=8,求AE

的長度.

5、如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處走到B處這一過程中，他在地上的影子（）。

A.逐漸變短B.逐漸變長C.先變短后變長D.先變長后變短

6、梯形ABCD中，AB〃DC,CD=8,AB=12,梯形的面積是90,兩腰的延長線相交于點M,則4

MCD的面積=。

7、梯形ABCD中，AD〃BC,EF〃BC,EF將梯形ABCD分成兩個相似的梯形，梯形ABEF和梯形

EBCF,若AD=3,BC=12,則EF的長為。

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8、在同一塊四邊形地上有甲、乙兩張地圖，比例尺分別是1：200和1：500,甲、乙兩地圖

的相似比和面積比o

9、如圖NB=90°,NBDE=NA,AD=2BD=10,EC=2BE=8,試判斷aBED與4BCA是否相似,

請說明理由.

10、如圖,矩形ABCD是一個長2米，寬1米的國畫,它的四周鑲上寬度相等的一條金邊.

(1)金邊寬度為10cm時，矩形ABCD與矩形EFGH是否相似.

(2)是否存在這樣的金邊寬度，使的矩形ABCD與矩形EFGH相似?如果存在,求出金邊寬度;

如果不存在,請說明理由.

11、已知aABC,作AA'B'C',使它與AABC相似，且AA'B'C'與△ABC的相似比為3.(寫

出已知,求作,作法,并保留作圖痕跡)

12、已知圖⑴和圖⑵中的每個小正方形的邊長都是1個單位.

(1)在圖⑴中將4ABC先向右平移2個單位,再向上平移3個單位，

(2)在圖⑵畫出一個與格點ADEF相似且相似比為舊的格點三角形。

13、如圖，兩個正方形邊長之比是1：2,請利用這兩個正方形，通過切割，平移，旋轉(zhuǎn)的方

法，拼出兩個相似比是1：3的三角形；要求(1)借助原圖拼圖(2)簡要說明方法(3)指

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明相似的兩個三角形。

----------D

____B：___________,

BC______________C

參考答案：

1、C；2、ZA=70°；ZC=120°；x=20；y=15；z=22.5

3、略；4、AE—3；5、A；6、72；7、6；85：2；25：4

9、相似；如果兩個三角形的兩邊對應成比例，且夾角相等，那么這兩個三角形相似

10、（1）不相似；不存在；

11、作圖略；12、畫圖略；13、略

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27.2.1相似三角形的判定

第一課時

教學目標

（一）知識與技能

1、了解相似比的定義，掌握判定兩個三角形相似的方法“平行于三角形一邊的直線和其

他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”；

2、掌握“如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似”的判定定理。

（二）過程與方法

培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納能力，感受兩個三角形相似的判定方法1與全等

三角形判定方法（SSS）的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特殊與一般的關(guān)系。

（三）情感態(tài)度與價值觀

讓學生經(jīng)歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生的合情推理能力。

（教學重點與難點）

教學重點：兩個三角形相似的判定引例、判定方法1

教學難點：探究判定引例、判定方法1的過程

教學過程

新課引入：

1.復習相似多邊形的定義及相似多邊形相似比的定義

相似三角形的定義及相似三角形相似比的定義

2.回顧全等三角形的概念及判定方法（SSS）

相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。

提出問題：

如圖27?2-1,在AABC中，點D是邊AB的中點

DE〃BC,DE交AC于點E,AADE與AABC有什么

關(guān)系？BFC

分析：觀察27?2-1易知AD='A8,AE=-AC,ZA=ZA,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

22

只需引導學生證得DE=」BC即可，學生不難想到過E作

2

EF〃AB。AADE^AABC,相似比為上。

2

延伸問題：

改變點D在AB上的位置，先讓學生猜想AADE與AABC仍相似，然后再用幾何畫板演示驗

證。

歸納：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

探究方法：

探究1

在一張方格紙上任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各

邊長的k倍，度量這兩個三角形的對應角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？

分析：學生通過度量，不難發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的對應角都相等，根據(jù)相似三角形的定義，這

兩個三角形相似。（學生小組交流）

在學生小組交流的基礎上引導學生思考證明探究所得結(jié)論的途徑。

分析：作AJ）=AB,過D作DE〃B￡,交AC于點E=

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△ADESAABC。用幾何畫板演示AABC平移至AAQE的過程

=AQ=AB,A,E=AC,DE=BC=^AA,DE^AABC

A

=AABC^AAiBiCi1

歸納：如果兩朱三角形的三組對應用需比相等，那猿兩個三角形相似。

符號語言：若型>=空>=￡^=左，則MBCSAABG

A\B\B\C\C\A\

運用提高：

1.P"練習題1(2)0

2.P"練習題2(2)o

課堂小結(jié)：說說你在本節(jié)課的收獲。

布置作業(yè)：AD

1.必做題：P55習題27.2題2(1),3(1)。一7

2.選做題：P55習題27.2題4,5o/

3.備選題：/

如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BCB°E的延

長線上的一點，連結(jié)AE交CD于F,則圖中共有相似三角形()

A、1對B、2對C、3對D、4對

設計思想：

本節(jié)課主要是探究兩個三角形相似的判定引例、判定方法1,因此在教學設計中突出了

“探究”的過程，先讓學生利用刻度尺、量角器等作圖工具作靜態(tài)探究，然后教師再應用“幾

何畫板”等計算機軟件作動態(tài)探究，從而給學生以深刻的實驗幾何的數(shù)學學習體驗。此外，

本課教學設計在引導學生知識重構(gòu)的維度上重視應用“比較”=>“類比”=>“猜想”的教學

法，促使學生盡可能進行“有意義”的而非“機械、孤立”的認知建構(gòu)，并在這一建構(gòu)過程

中發(fā)展合情推理能力。

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配套課時練習

1.Z\ABC與4DEF全等，則其相似比是

2.已知△ABCS^DEF,寫出其對應角及對應邊關(guān)系是o

3.平行與三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形

4.如圖，1SAABC中，DE/7BC,AADE^，ZADE=，DE/BC=,互AE=3,EC=2,

5.如圖，CD〃EF〃AB,AC,BD相交于點0,則圖中與△OEF相似的三角形為L

6.已知△ABCS^DEF,AB：DE=1：2,則AABC與ADEF相似比是；z^DEF與aABC的

相似比是

7.如圖，△ABCs/^AEF,且相似比3：2,EF=8cm,則BC=cm

8.如圖，AABC中，DE〃BC,MN〃AB,則圖中與aABC相似的三角形有（）

第7題

9.如圖，AD±AC,BC±AC,AB與CD相交于點E,過E點作EFLAC,交AC于F,寫出圖中所

有的相似三角形，并說明理由。

10.求作△作F使他與已知AABC相似且相似比3：20

BC

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11.如圖，AABC中，DE〃BC,DE=1,BC=3,AB=6,則AD的長為（）

A.1B.2C.1.5D.2.5

12.如圖，在△ABC中，AB=3AD,DE〃BC,EF〃AB,若AB=9,DE=2，則線段FC的長度.

13.如圖，已知AE=BF,FH〃EG〃AC,FH、EG分別交邊BC所在的直線于點H、G。若點E、F

在邊AB上，試判斷EG+FH=AC是否成立，并說明理由。

第13題

參考答案：

1、1：1；2、ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF,AB/DE=BC/EF=AC/DF

3、相似；4、AABC,ZB,AD/AB=AE/BC,3：5

5,AOCD,AOAB；6、1：2,2：1；7、12；8、C

9、AABC^AAEF,ACDA^ACEF,平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角

形與原三角形相似；△BCES^ADE,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應

相等，那么這兩個三角形相似

10、作圖略；11、B；12、FC=14；

13、成立，

理由：因為FH〃EG〃AC,所以BE/AB=EG/AC,BF/AB=FH/AC

所以BE/AB+BF/AB=EG/AC+FH/AC

即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC

又因為AE=BE,所以BE=AF,所以(AF+BF)/AB=1

所以(EG+FH)/AC=1,即EG+FH=AC

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27.2.1相似三角形的判定

第二課時

教學目標：

（一）知識與技能

1、掌握三組對應邊的比相等的兩個三角形相似的判定定理；

2、掌握兩組對應邊的比相等且它們夾角相等的兩個三角形相似的判定定理。

（二）過程與方法

會運用“三組對應邊的比相等的兩個三角形相似”及“兩組對應邊的比相等且它們

的夾角相等的兩個三角形相似”的方法進行簡單推理。

（三）情感態(tài)度與價值觀

1、從認識上培養(yǎng)學生從特殊到一般的方法認識事物，從思維上培養(yǎng)學生用類比的方法展

開思維；

2、通過畫圖、觀察猜想、度量驗證等實踐活動，培養(yǎng)學生獲得數(shù)學猜想的經(jīng)驗，激發(fā)學

生探索知識的興趣。

教學重點：

掌握兩個判定定理，會運用兩個判定定理判定兩個三角形相似

教學難點：

1、探究兩個三角形相似的條件；

2、運用兩個三角形相似的判定定理解決問題。

教學過程

新課引入：

1、復習兩個三角形相似的判定方法1與全等三角形判定方法（SSS）的區(qū)別與聯(lián)系：

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。（相似的判定方法1）

2、回顧探究判定引例、判定方法1的過程

探究兩個三角形相似判定方法2的途徑

提出問題：

ARAC

利用刻度尺和量角器畫AABC與使NA=NA”和丹都等于給定的值k,量

A\B\A\C\

出它們的第三組對應邊BC和BC的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應角NB與NB”ZC

與NG是否相等？

（學生獨立操作并判斷）

分析：學生通過度量，不難發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的第三組對應邊BC和B￡的比都等于k,另外

兩組對應角/B=NB”ZC=ZC|0

延伸問題：

改變NA或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？（利用刻度尺和量角器，讓學

生先進行小組合作再作出具體判斷。）

探究方法：

探究2

改變NA或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？（教師應用“幾何畫板”等計

算機軟件作動態(tài)探究進行演示驗證，引導學生學習如何在動態(tài)變化中捕捉不變因素。）

歸納：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相

似。（定理的證明由學生獨立完成）

A）

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AHAT

符號語言：若NA=NA,—^-=-^=k,則AABCSAABG

AIBIA1C1

ARAr

辨析：對于AABC與AAB3,如果*?=*,ZB=ZBl,

A\B\A1C1

這兩個三角形相似嗎？試著畫畫看。(讓學生先獨立思考，再進行小組交流，尋找問題的所在,

并集中展示反例。)

應用新知：

例1：根據(jù)下列條件，判斷AABC與AABC是否相似，并說明理由：

(1)ZA=120°,AB=7cm,AC=14cm,

ZAi=120",AiBi=3cm,AC=6cm。

(2)ZB=120°,AB=2cm,AC=6cm,

ZBi=120(>,AiBi=8cm,A￡=24cm。

AB_AC_1

分析:(1)ZA=ZA,=120°

A\B\AC3

=>AABC0°AAiB^i

ABAC1

(2)______zz_______二____ZB=ZBi=120°

A\B\A\C\4

但NB與NBi不是AB、AC、AB、AC的夾角,

所以AABC與AABC不相似。

運用提高：

1、P”練習題1(Do

2、P*練習題2(Do

課堂小結(jié)：說說你在本節(jié)課的收獲。

布置作業(yè)：

1、必做題：P55習題27.2題2(2),3(2)

0H—23cm-*|

2、選做題：Ps6習題27.2題8。

3、備選題：

已知零件的外徑為25cm,要求它的厚度x,需先求出它的

內(nèi)孔直徑AB,現(xiàn)用一個交叉卡鉗(AC和BD的長相等)

去量(如圖)，若OA：OC=OB：0D=3,CD=7cmo求此零

件的厚度Xo

設計思想：

本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2,由于上節(jié)課已經(jīng)學習了探究兩個三角形相

似的判定引例、判定方法1,而本節(jié)課內(nèi)容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教學

設計注意方法上的“新舊聯(lián)系”，以幫助學生形成認知上的正遷移。此外，由于判定方法2的

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條件“相應的夾角相等”在應用中容易讓學生忽視，所以教學設計采用了“小組討論+集中

展示反例”的學習形式來加深學生的印象。

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配套課時練習

1.如果兩個三角形的三組對應邊，那么這兩個三角形相似。

2.下列命題中正確的有（）

⑴4ABC的邊長分別是5cm、6cm、8cm,ADEF的邊長分別2.5cm,3cm,4cm,則

△ABC^ADEFo

⑵過AABC的邊AB上點D作DE〃BC交AC于E,則△ABCsaADE。

⑶△ABC的邊長分別是2cm>4cm、6cm,A.DEF的邊長分別1cm,3cm,2cm,則AABC

S/XDEF。

⑷有一個角相等的兩個菱形一定相似。

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.根據(jù)下列條件，判斷AABC與ADEF是否相似，并說明理由。

⑴AB=3cm,BC=4cm,AC=6cm；

DE=9cm,EF=12cm,FD=16cm0

（2）

4.如圖，要使△ABCS^AEF,應補充的條件是或

5.根據(jù)下列條件，回答問題：

⑴如圖，已知AABC與ADEF,判斷兩個三角形是否相似，并說明理由。

⑵已知一個三角形的三邊長分別是8cm、10cm、6cm,要制作一個三角形使其與之相似,

且其中一邊長是3cm,求另外兩邊的長度是多少？判斷兩三角形的形狀，并說明理由。

6.在中，￡在邊上,AE交BD于F,若BE：除4：5,則第：口等于（）

A.4：5B.5：4

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C.5：9D.4：9

7.如果△ABCS^A，B'C',BO3,B'C=1.8,則AA'B'C與AABC的相似比為（）

A.5：3B.3：2

C.2：3D.3：5

8.若△ABCS/\A'B'C',AB=2,BC=3,A'Bz=1,則B'C等于（）

A.1.5B.3

C.2D.1

9.△力回的三邊長分別為正、麗、2,△/B'C的兩邊長分別為1和石，如果△438

△/B'C,那么B'C的第三邊的長應等于（）

B.2

C.V2D.272

10.如圖。是AABC內(nèi)的一點，D、E、F分別是OA、OB、0C的中點，試猜想AABC與ADEF的

關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

11.下列命題中，真命題是（）

A.兩個鈍角三角形一定相似

B.兩個等腰三角形一定相似

C.兩個直角三角形一定相似

D.兩個等邊三角形一定相似

12、如圖，A、B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C,連結(jié)AC和BC,并分別找出它們的中

點M、N.若測得MN=15m,求A、B兩點的距離。

13.如圖在正方形方格中，AABC與4DEF都是格點三角形:

⑴NABC=,BC=

⑵判斷AABC與4DEF是否相似，并證明你的結(jié)論。

★初中數(shù)學精品系列資料★

參考答案：

1、的比相等；2、D；

3、(1)不能；(2)能，三邊對應成比例的兩個三角形相似

4、EF〃BC或AE：AB=AF：AC；

5、(1)相似，三邊對應成比例的兩個三角形相似

(2)4cm,5cm,直角三角形

6、D；7、D；8、A；9、C

10、DE=-AB；DF=0.5AC；EF=0.5BC；證明略。

2

11、D；12、AB=30；13、(1)135°；(2)BC=V2；相似

★初中數(shù)學精品系列資料★

27.2.1相似三角形的判定

第三課時

教學目標

（一）知識與技能

掌握判定兩個三角形相似的方法：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應

相等，那么這兩個三角形相似。

（二）過程與方法

培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納能力，感受兩個三角形相似的判定方法3與全等三角

形判定方法（AAS、ASA）的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特殊與一般的關(guān)系。

（三）情感態(tài)度與價值觀

讓學生經(jīng)歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生的合情推理能力。

（教學重點與難點）

教學重點：兩個三角形相似的判定方法3及其應用

教學難點：探究兩個三角形相似判定方法3的過程

教學過程：

新課引入：

復習兩個三角形相似的判定方法1、2與全等三角形判定方法（SSS、SAS）的區(qū)別與聯(lián)系：

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。（相似的判定方法1）

如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。

（相似的判定方法2）

提出問題：

觀察兩副三角尺，其中同樣角度（30°與60°,或45°與45°）的兩個三角尺大小可能不同，

但它們看起來是相似的。

如果兩個三角形有兩組角對應相等，它們一定相似嗎？

延伸問題：

作AABC與AABC,使得NA=NA“ZB=ZB?這時它們的第三角滿足NC=NG嗎？分別度

量這兩個三角形的邊長，計算迫、—.四，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學生獨立操作并判斷）

AEBICIA1C1

分析：學生通過度量，不難發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的第三角滿足

zc=zc?2

A\B\BiCiA\C\

分別改變這兩個三角形邊的大小，而不改變它們的角的大小，再試一試，是否有同樣的

結(jié)論？（利用刻度尺和量角器，讓學生先進行小組合作再作出具體判斷。）

探究方法：

探究3

分別改變這兩個三角形邊的大小，而不改變它們的角的大小，再試一試，是否有同樣的

結(jié)論？（教師應用“幾何畫板”等計算機軟件作動態(tài)探究進行演示驗證，引導學生觀察在動

態(tài)變化中存在的不變因素。）

歸納：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形

相似。（定理的證明由學生獨立完成）

A,

BiCiBC

★初中數(shù)學精品系列資料★

符號語言：

若NA=NA”ZB=ZB,,則AABCsAA/C

應用新知：

例2如圖27?2-7,弦AB和CD相交于。0

內(nèi)一點P,

求證：PA?PB=PC?PDo

PAprDApr

分析：欲證PA?PB=PC?PD,只需一=—，欲證——=——只需APACSAPDB,欲證APACS

PDPBPDPB

APDB,只需NA=ND,NC=NB。

運用提高：

1、P19練習題1。

2、P”練習題2。

課堂小結(jié)：說說你在本節(jié)課的收獲。

布置作業(yè)：

1、必做題：P55習題27.2題2(3)。

2、選做題:P57習題27.2題11。

3、備選題：

如圖ADLAB于D,CE_LAB于E交AB于F,

則圖中相似三角形的對數(shù)有對。

設計思想：

本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法3,由于上

兩節(jié)課已經(jīng)學習了探究兩個三角形相似的判定