考研數學三(多元函數微積分學)模擬試卷3(題后含答案及解析)

考研數學三（多元函數微積分學）模擬試卷3(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．考慮二元函數的下面4條性質：①f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)；②f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數連續(xù)；③f(x，y)在點(x0，y0)處可微；④f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數存在．若用“P→Q”表示可由性質P推出性質Q，則有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正確答案：A涉及知識點：多元函數微積分學2．設可微函數f(x，y)在點(xo，yo)取得極小值，則下列結論正確的是A．f(xo，y)在y=yo處的導數等于零．B．f(xo，y)存y=yo處的導數大于零．C．f(xo，y)在y=yo處的導數小于零．D．f(xo，y)在y=yo處的導數不存在．正確答案：D涉及知識點：多元函數微積分學3．已知函數f(x)在區(qū)間(1-δ，1+δ)內具有二階導數，f’(x)單調減少；且f(1)=f’(1)=1，則A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)內均有f(x)<x．B．在(1-δ，1)和(1，1+δ)內均有f(x)>x．C．在(1-δ，1)內f(x)<x；在(1，1+δ)內f(x)>x．D．在(1-δ，1)內f(x)>x；在(1，1+δ)內f(x)<x．正確答案：A涉及知識點：多元函數微積分學4．當a取下列哪個值時，函數，(x)=2x3-9x2+12x-a恰有兩個不同的零點．A．2B．4C．6D．8正確答案：B涉及知識點：多元函數微積分學5．以下四個命題中，正確的是A．若f(x)在(0，1)內連續(xù)，則f(x)在(0，1)內有界.B．若f(x)在(0，1)內連續(xù)，則f(x)在(0，1)內有界．C．若f’(x)在(0，1)內有界，則f(x)在(0，1)內有界．D．若f(x)在(0，1)內有界，則f’(x)在(0，1)內有界．正確答案：C涉及知識點：多元函數微積分學6．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可設為A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正確答案：A涉及知識點：多元函數微積分學7．設f(x)是連續(xù)函數，F(x)是f(x)的原函數，則A．當f(x)是奇函數時，F(x)必是偶函數．B．當f(x)是偶函數時，F(x)必是奇函數．C．當f(x)是周期函數時，F(x)必是周期函數．D．當f(x)是單調增函數時，F(x)必是單調增函數．正確答案：B涉及知識點：多元函數微積分學8．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，則φ(x/y)的表達式為A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正確答案：A涉及知識點：多元函數微積分學9．設y1，y2是一階線性非齊次微分方程y.+p(x)y=q(x)的兩個特解，若常數λ，μ使λy1+μy2是該方程的解，λy1-μy2是該方程對應的齊次方程的解，則A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正確答案：A涉及知識點：多元函數微積分學10．若f(x)不變號，且曲線y=f(x)在點(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數f(x)在區(qū)間(1，2)內A．有極值點，無零點．B．無極值點，有零點．C．有極值點，有零點．D．無極值點，無零點．正確答案：B涉及知識點：多元函數微積分學填空題11．設二元函數z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則dz丨(1，0)=___________.正確答案：2edx+(e+2)dy涉及知識點：多元函數微積分學12．設z=(x+ey)x，則θz/θx丨(1，0)=___________.正確答案：2ln2+1涉及知識點：多元函數微積分學13．設函數z=(1+x/y)x/y,則dz丨(1，1)=___________.正確答案：-(2ln2+1)涉及知識點：多元函數微積分學14．設z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，則θz/θx=________.正確答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知識點：多元函數微積分學15．設函數f(u)可微，且f(0)=1/2，則z=f(4x2-y2)在點(1，2)處的全微分dz丨(1，2)=_________.正確答案：4dx-2dy涉及知識點：多元函數微積分學16．y=2x的麥克勞林公式中xn項的系數是_________.正確答案：lnn2/n!涉及知識點：多元函數微積分學17．設生產函數為Q=ALαKβ，其巾Q是產出量，L是勞動投入量，K是資本投入量，而A、α、β均為大于零的參數，則Q=1時K關于L的彈性為________.正確答案：-α/β涉及知識點：多元函數微積分學18．設某商品的需求函數為Q=160-2p，其中Q，P分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是________.正確答案：40涉及知識點：多元函數微積分學19．設某產品的需求函數為Q=Q(p)，其對價格P的彈性εP=2，則當需求量為10000件時，價格增加1元會使產品收益增加______元．正確答案：4000涉及知識點：多元函數微積分學20．設某商品的收益函數為R(P)，收益彈性為1+P3，其中P為價格，且R(1)=1，則R(P)=_________.正確答案：Pe1/3(P3-1)涉及知識點：多元函數微積分學解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。設函數f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．試證：21．存在η∈(1/2，1)，使f(η)=η；正確答案：令φ(x)=f(x)-x，則φ(x)在[0，1]上連續(xù)．又φ(1)=-1<0，φ(1/2)=1/2>0．由介值定理可知，存在η∈（1/2，1)，使得φ(η)=f(η)-η=0，即f(η)=η．涉及知識點：多元函數微積分學22．對任意實數λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．正確答案：要證f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1，即要證[f’(ξ)-1]-λ[f(ξ)-ξ]=0，記φ(x)=f(x)-x，也就是要證φ’(f)-λφ(ξ)=0．構造輔助函數F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)-x]，不難發(fā)現F(x)在[0，η]上滿足爾爾定理的全部條件，故存在ξ∈(0，η)，使F’(ξ)=0，即e-λx[φ’(ξ)-λφ(ξ)]=0，而e-λx≠0，從而有φ’(ξ)-λφ(ξ)=0，即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．涉及知識點：多元函數微積分學23．求函數f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0點處帶拉格朗口余項的n階泰勒展開式．正確答案：由f(x)=2/(1+x)=2(1+x)-1-1，f’(z)=2(-1)(1+x)-2，f”(x)