山東省煙臺(tái)市中英文學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月周測(cè)試題

PAGEPAGE17山東省煙臺(tái)市中英文學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月周測(cè)試題一、單選題1．在四面體中，為中點(diǎn)，，若，，，則（）A．B．C． D．2．已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A． B． C． D．3．直線x+（1+m）y=2-m和直線mx+2y+8=0平行，則m的值為（）A．1 B． C．1或 D．4．已知圓內(nèi)一點(diǎn)P（2，1），則過P點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是（）A．B．C． D．5．點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，，且的最大值為，若，，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成.在翻折過程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（）A． B． C． D．7．若圓上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上隨意一點(diǎn)Q,稱的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:（）①對(duì)隨意三點(diǎn)A、B、C，都有②已知點(diǎn)P(3,1)和直線則③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；④定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿意則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．向量，若，則．B．若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線．C．已知向量，，若，則為鈍角．D．隨意向量，，滿意．10．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形態(tài)為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為11．（多選題）對(duì)于，下列說(shuō)法正確的是（）A．可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離B．可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離C．可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離D．可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離12．直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b可取下列哪些值（）A． B． C．1 D．三、填空題13．如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_____．14．如圖，已知平面平面，，，，，，，，且，，，則_________________.15．兩圓和的公共弦長(zhǎng)為________．16．在中，∠B=，，，點(diǎn)為內(nèi)切圓的圓心，過點(diǎn)作動(dòng)直線與線段，都相交，將沿動(dòng)直線翻折，使翻折后的點(diǎn)在平面上的射影落在直線上，點(diǎn)在直線上的射影為，則的最小值為______．四、解答題17．如圖，四邊形為正方形，平面，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．18.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.19．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．（1）求的中垂線方程；（2）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（3）一束光線從點(diǎn)射向（2）中的直線，若反射光線過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．20．已知圓C：，直線l過定點(diǎn)．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）若直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．21．已知，如圖四棱錐中，底面為菱形，，，平面，E，M分別是BC，PD中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PC上移動(dòng).（1）證明無(wú)論點(diǎn)F在PC上如何移動(dòng)，都有平面平面；（2）當(dāng)直線AF與平面PCD所成的角最大時(shí)，求二面角的余弦值.22．已知，為上三點(diǎn).（1）求的值；（2）若直線過點(diǎn)(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)參考答案1．D解：依據(jù)題意得，，，，2．A解：由空間向量，，若與垂直，則，即，即，即，即，即，3．A解：∵直線和直線平行,∴,解得或,當(dāng)時(shí),兩直線重合4．B由題意可知,當(dāng)過圓心且過點(diǎn)時(shí)所得弦為直徑，當(dāng)與這條直徑垂直時(shí)所得弦長(zhǎng)最短，圓心為,，則由兩點(diǎn)間斜率公式可得，∴與垂直的直線斜率為，則由點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)的直線方程為，化簡(jiǎn)可得，5．A曲線可化為，表示圓心為，半徑為的圓．，可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為，即點(diǎn)是直線與圓的離點(diǎn)最遠(yuǎn)的交點(diǎn)，∴直線的方程為，由，解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立．6．A分別取DE，DC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，則點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，則，平面ABCD的其中一個(gè)法向量為=(0,0.1)，由，設(shè)，則，記直線與平面ABCD所成角為，則設(shè)，∴直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為，7．A解：作出到直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，得到與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為，又圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，兩條平行線與圓有4個(gè)公共點(diǎn)，即它們都與圓相交．由此可得圓的半徑，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．A解：①對(duì)隨意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如右圖，結(jié)合三角形的相像可得，，為，，，或，，，則，，，；若，或，對(duì)調(diào)，可得，，，；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，，，，；則對(duì)隨意的三點(diǎn)，，，都有，，，；故①正確；設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，，，．無(wú)最值，綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；③由題意，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)設(shè)為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿意，，，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對(duì)稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿意條件；若在第一象限內(nèi)，滿意，，，即為，為射線，由對(duì)稱性可得在其次象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．故④正確；綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，9．AB由向量垂直的充要條件可得A正確；，即，，，三點(diǎn)共線，故B正確；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)向量共線，夾角為，故C錯(cuò)誤；由于向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿意結(jié)合律，故D錯(cuò)誤．10．AB以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等,它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長(zhǎng)為1,則而，∴A正確.=0,∴B正確.向量,明顯為等邊三角形，則.∴向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確又，則，∴，∴D不正確.11．BCD由題意，可得，可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離，可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離，可看作點(diǎn)與點(diǎn)的距離，故選項(xiàng)A不正確，12．AC解：曲線，整理得，，畫出直線與曲線的圖象，如圖，直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，則13．4解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，故，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，故，又直線與平面所成角的正弦值為，，解得．14．13∵平面平面，，,，∴，∵，∴，15．解：即①圓心為，半徑；②①②得，即兩圓公共弦方程為，圓心到直線的距離∴公共弦長(zhǎng)為16．如圖所示：，，∴平面，∴三點(diǎn)共線，以分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)直線的方程為，由題意直線與線段都相交，，當(dāng)時(shí)，直線的方程為令，求得，又當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上.由點(diǎn)到直線的距離公式課計(jì)算得∴即最小值為.17．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.試題解析：（Ⅰ）證明：取點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，則，且，∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，∴點(diǎn)到平面的距離與到平面的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為．利用等體積法：，即，，∵，，∴，∴．18．1）詳見解析；（2）（1）如圖，作線段中點(diǎn)，連接、，∵是線段中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∵是線段中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，三棱柱是直三棱柱，∴，∵，直線平面，直線平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）如圖，以為原點(diǎn)、為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，令二面角為，則，故結(jié)合圖像易知，二面角的余弦值為.19．（1）；（2）；（3）.（1），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴的中垂線斜率為，∴由點(diǎn)斜式可得，∴的中垂線方程為；（2）由點(diǎn)斜式，∴直線的方程，（3）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴，解得，∴，，由點(diǎn)斜式可得，整理得∴反射光線所在的直線方程為.20．（1）或（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.所求直線l1的方程是或.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設(shè)直線方程為，則圓心到直線l1的距離又∵△CPQ的面積＝∴當(dāng)d＝時(shí)，S取得最大值2.∴＝∴k＝1或k＝7所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.21．（1）見解析；（2）（1）連接AC.底面ABCD為菱形，，是正三角形，是BC中點(diǎn)，，又，，又平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，AE，AD，AP兩兩垂直，以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，，，，，，，，而且，設(shè)平面PCD的法向量，，取，.依據(jù)題意，線面角當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)F為PC的