甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月月考試題文含解析

PAGE14-甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月月考試題文（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一個(gè)”的否定變換為“一個(gè)都沒有”，即可求出結(jié)論.【詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查反證法的概念，留意邏輯用語的否定，屬于基礎(chǔ)題.2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確【答案】C【解析】【分析】不是正弦函數(shù)，故小前提錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椴皇钦液瘮?shù),所以小前提不正確.故選C.【點(diǎn)睛】演繹推理包含大前提、小前提和結(jié)論，只有大前提、小前提都正確時(shí)，我們得到的結(jié)論才是正確的，留意小前提是蘊(yùn)含在大前提中的.3.曲線的中心在()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先將曲線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式,找到圓心,即可得出答案.【詳解】,即,將代入上式,得,因此曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故其中心為,在第四象限,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,結(jié)合了圓的相關(guān)學(xué)問,屬于基礎(chǔ)題.4.已知曲線的一條切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則此切線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線斜率，利用切線過原點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得結(jié)論．詳解：設(shè)切點(diǎn)為，則由得，又切線過原點(diǎn)，∴，解得，∴．故選D．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線方程的求法有區(qū)分：曲線在處的切線方程為，若求過點(diǎn)處的切線，則可設(shè)切點(diǎn)為，由切點(diǎn)得切線方程，再由切線過點(diǎn)，代入求得，從而得切線方程．5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿意，則＝()A B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后把代入到導(dǎo)函數(shù)中，得到一個(gè)方程，進(jìn)行求解．【詳解】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得把代入得，干脆可求得．【點(diǎn)睛】本題主要是考查求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于簡單題．本題值得留意的是是一個(gè)實(shí)數(shù)．6.視察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，則a10+b10=（）A.28 B.76 C.123 D.【答案】C【解析】【詳解】由題視察可發(fā)覺，，，，即,故選C.考點(diǎn)：視察和歸納推理實(shí)力.7.老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參與自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試狀況，四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好”；乙說：“我們四人中有人考的好”；丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；丁說：“我沒考好”．結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則四名學(xué)生中說對(duì)的兩人是（）A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙【答案】D【解析】試題分析：假如甲對(duì)，則丙、丁都對(duì)，與題意不符，故甲錯(cuò)，乙對(duì)，假如丙錯(cuò)，則丁錯(cuò)，因此只能是丙對(duì)，丁錯(cuò)，故選D．考點(diǎn)：合情推理．8.函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)隨意，，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只須要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.9.函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，即在上有解.在上有解，則.因?yàn)椋?，所以的取值范圍?故答案為B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和方程的有解問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實(shí)力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分別參數(shù)在上有解，即得的取值范圍.10.已知函數(shù)若直線過點(diǎn),且與曲線相切,則直線的方程為A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為，從而斜率解得所以的方程為即故選C.【點(diǎn)睛】解本題的關(guān)鍵之處有：利用函數(shù)與方程思想求得；解方程.11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的微小值為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，因?yàn)?，所以，，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的微小值為，故選A．【名師點(diǎn)睛】（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．12.已知奇函數(shù)，則函數(shù)的最大值為()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出時(shí)的最小值,再利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到時(shí)，的最大值,即為的最大值.【詳解】由題知,時(shí),,則,故時(shí),,時(shí),,因此在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故時(shí),,又是奇函數(shù),所以時(shí),,因?yàn)闀r(shí),,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,須要學(xué)生敏捷應(yīng)用基礎(chǔ)學(xué)問.第Ⅱ卷（非選擇題共分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，依據(jù)下面的規(guī)律，第個(gè)“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】視察給出的3個(gè)例圖,可知火柴棒根數(shù)的改變是圖②的火柴棒比圖①的多6根,圖③的火柴棒比圖②的多6根,即增加一個(gè)金魚就增加6根火柴棒,最終結(jié)合圖①的火柴棒的根數(shù)即可得出答案.【詳解】由上圖可知,圖①火柴棒的根數(shù)為2+6=8,圖②的火柴棒根數(shù)為,圖③的火柴棒根數(shù)為,因此第個(gè)“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了從圖形中找規(guī)律問題,體現(xiàn)了從特別到一般的數(shù)學(xué)方法(歸納法),難度不大.14.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲【答案】1：8【解析】考查類比的方法，，所以體積比為1∶8.15.與2的大小關(guān)系為________【答案】＞【解析】【分析】平方作差即可得出．【詳解】解：∵＝13+2（13+4）0，∴2，故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了平方作差比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16.若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】若恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則應(yīng)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),據(jù)此列式求解即可.【詳解】,則,若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,所以且,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查二次方程根的問題,難度不大.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：.【答案】證明見解析【解析】【分析】利用基本不等式有,,,即,再將兩邊平方后化簡,即可證明不等式成立.【詳解】因?yàn)?,均為正數(shù),則,,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)又由題設(shè)得,即,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,考查基本不等式的應(yīng)用,難度不大.18.已知函數(shù)，，探討的單調(diào)性.【答案】當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo),然后依據(jù)的正負(fù)對(duì)的正負(fù)進(jìn)行分狀況探討,進(jìn)而得出的單調(diào)性.【詳解】因?yàn)?所以,,(1)當(dāng)時(shí),,所以在上為單調(diào)遞增函數(shù);(2)當(dāng)時(shí),,則有①當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,②當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上所述,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性,難度不大.19.已知，若函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】【解析】分析】先對(duì)求導(dǎo),然后由函數(shù)在上單調(diào)遞增,可知對(duì)恒成立,分別參數(shù)后可得對(duì)恒成立,令,則求出在上的最值即可得出結(jié)論.【詳解】,則,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,因?yàn)?所以,則對(duì)恒成立,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查恒成立問題,一般遇見此類含參問題時(shí),常用分別參數(shù)法或者分類探討法解決問題.20.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）寫出直線與曲線的一般方程；（2）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)對(duì)參數(shù)方程消參,即可得到其一般方程;(2)將伸縮變換變形為,代入曲線方程,即可得到曲線方程,再依據(jù)題意設(shè)出直線的參數(shù)方程,將之代入曲線方程,最終利用韋達(dá)定理即可得出結(jié)論.【詳解】(1)對(duì)消去,可得直線的一般方程為:,對(duì)消去,可得曲線的一般方程為;(2)由得,代入曲線,得,即,則曲線的方程為,由題可設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將直線的參數(shù)方程代入曲線:,得設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,∴.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化為一般方程,考查伸縮變換與直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用,須要學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問駕馭堅(jiān)固且敏捷運(yùn)用.21.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).【答案】（1）：，：；（2），此時(shí).【解析】試題分析：（1）的一般方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析：（1）的一般方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與一般方程的互化：把參數(shù)方程化為一般方程，須要依據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的一般方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性．留意方程中的參數(shù)的改變范圍．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)，且，證明：．【答案】（1）0；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最大值．（2）由（1），把當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，g(x)＜1等價(jià)于設(shè)f(x)＞x，構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝f(x)－x，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解．【詳解】（1）由題意，求得．當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，＜0，f(x)單調(diào)遞減．所以f(x)的最大值為f(0)＝0．（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，g(x)＜1等價(jià)于設(shè)f(x)＞x．設(shè)h(x)＝f(x)－x，則．當(dāng)x∈(－1，－0)時(shí)，0＜－x＜