第12講圖形的旋轉(zhuǎn)(4種題型)(原卷版+解析)

第12講圖形的旋轉(zhuǎn)（4種題型）【知識(shí)梳理】一．生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（1）旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)．點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（2）注意：①旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時(shí)判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．②旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向．③旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點(diǎn)．．二．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．三．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．（2）常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．四．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【考點(diǎn)剖析】一．生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（共3小題）1．（2023?衡水模擬）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，已知OA＝OB＝8cm．使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，鉛筆芯端點(diǎn)B可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓，則圓的半徑AB不可能是（）A．10cm B．13cm C．15cm D．17cm2．（2023?惠山區(qū)校級(jí)三模）一塊直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長(zhǎng)度為8的邊旋轉(zhuǎn)一周，則斜邊掃過的面積是（）A．45 B．45π C．60 D．60π3．（2022秋?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）下列現(xiàn)象中是旋轉(zhuǎn)的是（）A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屜來(lái)回運(yùn)動(dòng) C．電梯的上下移動(dòng) D．汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)二．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共21小題）4．（2023?晉江市模擬）如圖，在矩形ABCD中，將直角三角形ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AFE，點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上，F(xiàn)E交BC于點(diǎn)P，AE交BC于點(diǎn)Q，∠DAC＝30°．求證：△PQE是等邊三角形．5．（2023?無(wú)錫）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α＝40°時(shí)，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時(shí)∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°6．（2023春?淮安期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD＝60°，將?ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?AEFG的位置，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜60°）．BC、GF相交于點(diǎn)P，且∠FPC＝80°，則∠α的度數(shù)為°．7．（2023?雙柏縣模擬）如圖，AE∥BF，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△DAC，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、A，AC與BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AC＝4，求四邊形ABCD的面積．8．（2023?香坊區(qū)三模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，過D作DE⊥BC于E，若AB＝4，則CE長(zhǎng)為（）A． B． C． D．29．（2023?仙居縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，則AP′的取值范圍為．10．（2023?鐵嶺模擬）如圖，△ABC與△CDE是等邊三角形，連接AD，取AD的中點(diǎn)F，連接BF，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．若BC＝2CD＝4，則在△CDE旋轉(zhuǎn)過程中，則線段BF的最大值為．11．（2023?蒙陰縣三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE，連接BE，DE．（1）用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．（2023?思明區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝5，BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使得CE∥AD，連接BE，與AD交于點(diǎn)F．（1）求證：∠CAD＝∠CBE；（2）求四邊形ACEF的面積．13．（2023?邵陽(yáng)）如圖，在等邊三角形ABC中，D為AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平形線DE交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與D、E重合）．將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，連接EQ、PQ，PQ交AC于F．（1）證明：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠PEQ＝120°．（2）當(dāng)為何值時(shí)，△AQF是直角三角形？?14．（2023?大興區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，且點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形，求證：∠BDF＝∠CAD；（2）用等式表示線段CD與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．（2023?南開區(qū)四模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，P是線段BF上一點(diǎn)，設(shè)BP＝m（0＜m≤2），連接AP并將它繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連接CE，EF，則在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．AP＝EP B．∠EFC＝45° C．△FCE的面積為m D．CE的最小值為16．（2023?臨高縣校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，則平移的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．217．（2023?仙游縣校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是AC的中點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．35°18．（2023?城區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，AB′，AC′分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE＝8，EF＝，則ED的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．419．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，點(diǎn)O在邊AC上，且OA＝2OC，將OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落在△ABC的一條邊上的點(diǎn)D處，那么旋轉(zhuǎn)角∠AOD的度數(shù)是．20．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′C′．連接BB′，交AC于點(diǎn)D，則的值為．21．（2023?順義區(qū)二模）已知：∠ABC＝120°，D，E分別是射線BA，BC上的點(diǎn)，連接DE，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接EF，BF．（1）如圖1，當(dāng)BD＝BE時(shí)，求證：BF＝2BD；（2）當(dāng)BD≠BE時(shí)，依題直補(bǔ)全圖2，用等式表示線段BD，BF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2023?上杭縣模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上．且點(diǎn)A、B、E在同一條直線上．（1）求證：DA平分∠BDE；（2）若AC⊥DE，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．23．（2023?香洲區(qū)二模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFH，點(diǎn)E在AD上，連接CE，CH．（1）求證：CE平分∠BED；（2）若BC＝4，∠EBC＝30°，求CH的長(zhǎng)度．24．（2023春?銀海區(qū)期中）如圖，正方形ABCD和正方形GECF，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將正方形GECF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜180°）．（1）如圖2，連接BE、DF，求證：BE＝DF；（2）如圖3，若BC＝+1，EC＝1，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到CD邊上時(shí)，連接BE、連接DF，并將延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)H，求證：BH垂直平分DF．三．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（共3小題）25．（2023?鯉城區(qū)模擬）如所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．26．（2023?張家口一模）將一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)90°或旋轉(zhuǎn)120°后，均能與自身重合，則n可以為（）A．90 B．120 C．2022 D．202327．（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）觀察如圖所示的圖形，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)120°后能與自身重合有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)四．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共5小題）28．（2023春?六盤水期中）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，﹣1），將OA繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣6，1） B．（﹣1，﹣6） C．（﹣6，﹣1） D．（﹣1，6）29．（2023?通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)A（4，1），以點(diǎn)P為中心，把點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四個(gè)點(diǎn)中，直線PB經(jīng)過的點(diǎn)是（）A．M1 B．M2 C．M3 D．M430．（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）如圖，A（2，0），C（0，4），將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AB，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（6，2） B．（2，6） C．（2，4） D．（4，2）31．（2023?中原區(qū)校級(jí)三模）小星利用平面直角坐標(biāo)系繪制了如下風(fēng)車圖形，他先將△OBA固定在坐標(biāo)系中，其中A（2，4），B（2，0），接著他將△OBA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°至△OB1A1，稱為第一次轉(zhuǎn)動(dòng)，然后將△OB1A1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°至△OB2A2，稱為第二次轉(zhuǎn)動(dòng)，…那么按照這種轉(zhuǎn)動(dòng)方式，轉(zhuǎn)動(dòng)2023次后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B． C． D．（2，4）32．（2023?太康縣一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)矩形ABOC，邊BO在x軸上，邊OC在y軸上，AB＝1，BO＝2．將矩形ABOC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到矩形A1B1OC1，再將矩形A1B1OC1，繞著點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A2B2O1C1，依次旋轉(zhuǎn)下去，則經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3033，1） B．（3033，2） C．（3033，0） D．（3032，0）【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列運(yùn)動(dòng)形式屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．飛馳的動(dòng)車 B．勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的摩天輪C．運(yùn)動(dòng)員投擲標(biāo)槍 D．乘坐升降電梯2．（2023·江西九江·校聯(lián)考一模）如圖，的位置經(jīng)過怎樣的運(yùn)動(dòng)和重合（

）A．沿翻折 B．平移C．繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90° D．繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．4．（2021秋·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，對(duì)連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到，…，則的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．6．（2023春·黑龍江綏化·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以為邊向的外側(cè)作正方形，將組成的圖形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．8．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，對(duì)角線、的交點(diǎn)為將正方形繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．9．（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．10．（2021秋·天津和平·九年級(jí)天津市雙菱中學(xué)?？计谥校┖褪堑冗吶切?，且在一條直線上，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．可以看作是平移而成的D．可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的二、填空題11．（2023·北京海淀·北京市十一學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平南直角坐標(biāo)系中，可以看作是經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由得到過程___________．

12．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖，若將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_______

13．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細(xì)長(zhǎng)的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標(biāo)本，葉片上兩點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為，將銀杏葉繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，葉柄上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．

14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將右邊的圖案變成左邊的圖案，是通過________變化得到的．15．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，．若的面積為，則邊的長(zhǎng)為________．

16．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是______．

17．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為___________．

18．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩塊全等的等腰直角三角板如圖放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D落在直線AB上時(shí)，若BC＝2，則AD＝______．三、解答題19．（2023春·江西宜春·九年級(jí)江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、．(1)將以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的；(2)平移，若A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫出平移后對(duì)應(yīng)的；(3)若將繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．20．（2021秋·廣東江門·九年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)校考期中）如圖，在中，，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)在圖中畫出繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的；(2)連接，求的面積．21．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉(zhuǎn)后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是______；（3）請(qǐng)說(shuō)出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.22．（2023·廣東深圳·深圳市海灣中學(xué)?？既＃┤鐖D，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法和理由）．

(1)將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，畫出；（請(qǐng)僅直尺畫圖）(2)連接，的面積為__________；(3)在線段上找一點(diǎn)D．連接，使得的面積是面積的．（請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫圖）23．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若時(shí)，，則n的取值范圍是______．(3)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且軸，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，以為鄰邊作正方形．①當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸平分正方形的面積時(shí)，求m的值．②設(shè)正方形的對(duì)稱中心為點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)R位于拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)R到拋物線對(duì)稱軸的距離與點(diǎn)R到x軸的距離相等時(shí)，直接寫出m的值．24．（2023·遼寧鞍山·?？既＃┤鐖D，四邊形中，，是對(duì)角線，是等邊三角形．線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．求證：．25．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長(zhǎng)向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長(zhǎng)與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．

第12講圖形的旋轉(zhuǎn)（4種題型）【知識(shí)梳理】一．生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（1）旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)．點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（2）注意：①旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時(shí)判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．②旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向．③旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點(diǎn)．．二．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．三．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．（2）常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．四．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【考點(diǎn)剖析】一．生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（共3小題）1．（2023?衡水模擬）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，已知OA＝OB＝8cm．使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，鉛筆芯端點(diǎn)B可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓，則圓的半徑AB不可能是（）A．10cm B．13cm C．15cm D．17cm【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得，8﹣8＜AB＜8+8，即0＜AB＜16．所以圓規(guī)的半徑不可能是17．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023?惠山區(qū)校級(jí)三模）一塊直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長(zhǎng)度為8的邊旋轉(zhuǎn)一周，則斜邊掃過的面積是（）A．45 B．45π C．60 D．60π【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，求出圓錐的側(cè)面積即可．【解答】解：如圖，一塊直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長(zhǎng)度為8的邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑為6，高為8的圓錐，斜邊l即圓錐的母線掃過的面積即為圓錐的側(cè)面積，∵r＝6，h＝8，∴l(xiāng)＝10．∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×6×10＝60π．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積，熟記圓錐的側(cè)面積公式S圓錐側(cè)＝πrl是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）下列現(xiàn)象中是旋轉(zhuǎn)的是（）A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屜來(lái)回運(yùn)動(dòng) C．電梯的上下移動(dòng) D．汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)．即可得到答案．【解答】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、抽屜來(lái)回運(yùn)動(dòng)是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、電梯的上下移動(dòng)是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線．二．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共21小題）4．（2023?晉江市模擬）如圖，在矩形ABCD中，將直角三角形ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AFE，點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上，F(xiàn)E交BC于點(diǎn)P，AE交BC于點(diǎn)Q，∠DAC＝30°．求證：△PQE是等邊三角形．?【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出旋轉(zhuǎn)角為30°，進(jìn)而可求出∠E＝60°，再求出∠QAB＝30°，進(jìn)而得∠AQB＝60°，據(jù)此即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DAB＝∠D＝∠B＝90°，∵△AFE是△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)F在AC上，∴旋轉(zhuǎn)角為∠DAC＝30°，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠FAE＝∠DAC＝30°，在Rt△AFE中，∠FAE＝30°，∠AFE＝90°，∴∠E＝60°，∵∠DAB＝90°，∠FAE＝∠DAC＝30°，∴∠QAB＝30°，∵∠B＝90°，∴∠AQB＝60°，∴∠PQE＝∠AQE＝60°，∴△PQE是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)變換，準(zhǔn)確的找出旋轉(zhuǎn)角，理解兩個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形．5．（2023?無(wú)錫）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α＝40°時(shí)，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時(shí)∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠B＝70°，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：∵將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝70°，∴∠C＝∠E＝55°，∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?淮安期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD＝60°，將?ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?AEFG的位置，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜60°）．BC、GF相交于點(diǎn)P，且∠FPC＝80°，則∠α的度數(shù)為20°．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)可求出∠B的度數(shù)，進(jìn)而得到∠D的度數(shù)，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可求出∠BAG的度數(shù)，所以∠GAD可求，即為旋轉(zhuǎn)角∠α的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣60°＝120°，∴∠D＝120°，∵∠FPC＝80°，∴∠BPG＝80°，∴∠BAG＝360°﹣120°﹣80°﹣120°＝40°，∴∠GAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠α＝20°，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．7．（2023?雙柏縣模擬）如圖，AE∥BF，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△DAC，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、A，AC與BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AC＝4，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ACD為等邊三角形，接著證明△ABC為等邊三角形，由此即可解決問題；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)首先求出BD，然后利用菱形的面積公式即可求解．【解答】（1）證明：∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△DAC，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A，AC與BD相交于點(diǎn)O，∴CA＝CD，∠ACD＝60°，CA＝CB，∴△ACD為等邊三角形，∵AE∥BF，∴∠ACB＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且互相平分，即∠BOC＝90°，而∠BCO＝60°，∴∠OBC＝30°，∵AC＝4，∴OC＝2，∴OB＝OC÷＝2，∴BD＝4，∴四邊形ABCD的面積＝×AC×BD＝×4×4＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)也利用了菱形的判定和面積公式，有一定的綜合性．8．（2023?香坊區(qū)三模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，過D作DE⊥BC于E，若AB＝4，則CE長(zhǎng)為（）?A． B． C． D．2【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求AC＝2，BC＝AC＝2，∠A＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝BD，∠ABD＝90°，由“AAS”可證△ABC≌△BDE，可得BE＝AC＝2，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝2，BC＝AC＝2，∠A＝60°，∵將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠DBE＝∠A＝60°，又∵∠C＝∠ABD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BE＝AC＝2，∴CE＝2﹣2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?仙居縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝6，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，則AP′的取值范圍為．【分析】由“SAS”可證△ADP'≌△HDP，可得AP'＝PH，即可求解．【解答】解：如圖，以AD為直角邊，作等腰直角三角形ADH，連接PH，∴AD＝DH，∠ADH＝90°，∵將點(diǎn)P繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，∴DP＝DP'，∠PDP'＝90°＝∠ADH，∴∠ADP'＝∠PDH，∴△ADP'≌△HDP（SAS），∴AP'＝PH，∵AC＝10，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝DH＝5，∵點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)PH⊥BC時(shí)，PH有最小值為5，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，PH有最大值為5，∴5≤HP≤5，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023?鐵嶺模擬）如圖，△ABC與△CDE是等邊三角形，連接AD，取AD的中點(diǎn)F，連接BF，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．若BC＝2CD＝4，則在△CDE旋轉(zhuǎn)過程中，則線段BF的最大值為2+1．【分析】由三角形中位線定理可得FH＝CD＝1，由勾股定理可求BH的長(zhǎng)，由三角形的三邊關(guān)系可求解．【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)H，連接FH，BH，∵BC＝2CD＝4，∴CD＝2，∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，∴FH＝CD＝1，AH＝CH＝2，∴BH＝＝＝2，在△FBH中，BF＜BH+FH，∴當(dāng)點(diǎn)F在BH的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF有最大值為2+1，故答案為：2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．11．（2023?蒙陰縣三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE，連接BE，DE．（1）用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAD，然后SAS證△ABE≌△ACD即可；（2）作EH⊥AB交BC于H，可證△BEF≌△BHF得BE＝BH，再證MH＝MD，再借助MN∥HF，由平行線分線段成比例即可證出．【解答】解：（1）BE+MD＝BM，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，∴BE+MD＝BM；（2）EN＝DN．理由如下：如圖，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△BHF中，，∴△BEF≌△BHF（ASA），∴BE＝BH，由（1）知：BE+MD＝BM，∴MH＝MD，∵M(jìn)N∥HF，∴，∴EN＝DN．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的對(duì)稱性等知識(shí)，作EH⊥AB構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2023?思明區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝5，BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使得CE∥AD，連接BE，與AD交于點(diǎn)F．（1）求證：∠CAD＝∠CBE；（2）求四邊形ACEF的面積．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，可得∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，由CE∥AD可得∠CDA＝∠ECD＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BCD＝90°，∠CBE＝30°，從而可得結(jié)論；（2）證明四邊形ACEF是平行四邊形，過點(diǎn)A作AG⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求得，根據(jù)平行四邊形的面積公式可得結(jié)論．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，∴∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，∵CE∥AD，∴∠CDA＝∠ECD＝30°，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∵∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝30°，∴∠BCD＝120°﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+30°＝120°，∵CB＝CE，∴，∴∠CAD＝∠CBE；（2）解：∵CE∥AD，∴∠EFD＝∠CEB＝30°，又∠CAD＝30°，∴∠EFD＝∠CAD＝30°，∴AC∥EF∴四邊形ACEF是平行四邊形，過點(diǎn)A作AG⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD﹣∠DCE＝180°﹣30°﹣90°﹣30°＝30°，∴，∴S?ACEF＝CE?AG＝4×＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定以及平行四邊形的面積等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023?邵陽(yáng)）如圖，在等邊三角形ABC中，D為AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平形線DE交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與D、E重合）．將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，連接EQ、PQ，PQ交AC于F．（1）證明：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠PEQ＝120°．（2）當(dāng)為何值時(shí)，△AQF是直角三角形？?【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA＝QA，∠PAQ＝60°，通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)E，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，可得∠PAQ+∠PEQ＝180°，即可得結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAQ＝60°，AP＝AQ，由角的數(shù)量關(guān)系可求∠DAP＝30°，∠APD＝90°，即可求解．【解答】（1）證明：∵將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴PA＝QA，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴∠AQP＝60°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝60°，∴∠AQP＝∠AED，∴點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)E，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，∴∠PAQ+∠PEQ＝180°，∴∠PEQ＝120°；（2）解：如圖，根據(jù)題意：只有當(dāng)∠AFQ＝90°時(shí)，成立，∵△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ，∴△APQ是等邊三角形，∴∠PAQ＝60°，∵∠AFQ＝90°，∴∠PAF＝∠QAF＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADP＝∠ABC＝60°，∴∠DAP＝30°，∠APD＝90°，∴tan∠ADP＝tan60°＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（2023?大興區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，且點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形，求證：∠BDF＝∠CAD；（2）用等式表示線段CD與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)可得CH＝DH，∠CAH＝∠DAH＝∠CAD，由余角的性質(zhì)可求解；（2）由“AAS”可證△DAH≌△FDN，可得FN＝DH，即可求解．【解答】（1）證明：如圖所示：過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，∵將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，∴AC＝AD，∵AH⊥BD，∴CH＝DH，∠CAH＝∠DAH＝∠CAD，∵DE⊥AC，∴∠ACD+∠BDF＝90°＝∠ACD+∠CAH，∴∠BDF＝∠CAH＝∠CAD；（2）解：BF＝CD，理由如下：如圖，過點(diǎn)F作FN⊥BD于N，∵∠B＝45°，AH⊥BD，F(xiàn)N⊥BD，∴△BNF和△BHA都是等腰直角三角形，∴BN＝FN，BF＝FN，∠BAH＝45°＝∠B，∵∠BDF＝∠CAH＝∠DAH＝∠CAD，∴∠B+∠BDF＝∠BAH+∠DAH，∴∠DFA＝∠DAF，∴AD＝DF，又∵∠FND＝∠AHD＝90°，∠BDF＝∠DAH，∴△DAH≌△FDN（AAS），∴FN＝DH，∴BF＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2023?南開區(qū)四模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，P是線段BF上一點(diǎn)，設(shè)BP＝m（0＜m≤2），連接AP并將它繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連接CE，EF，則在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．AP＝EP B．∠EFC＝45° C．△FCE的面積為m D．CE的最小值為【分析】過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷，證△BAP≌△HPE得BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，進(jìn)而可證EH＝FH＝m，據(jù)此根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判定；根據(jù)CF＝2，EH＝m求出△FCE的面積可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷；FH＝x，則CH＝2﹣x，然后利用勾股定理得到CE2與x之間的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的最值即可對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷．【解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，∵BP＝m（0＜m≤2），∴點(diǎn)P在線段BF上，∵F為BC中點(diǎn)，∵四邊形ABCD為矩形，且AB＝2，BC＝4，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴CF＝BF＝AB＝2，∠B＝90°，∴PF＝BF﹣BP＝2﹣m，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP＝EP，∠APE＝90°，即在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有AP＝EP，故選項(xiàng)A正確；∵∠B＝90°，EH⊥BC，∴∠B＝∠PHE＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，又∠APE＝90°，∴∠APB+∠HPE＝90°，∴∠BAP＝∠HPE，在△BAP和△HPE中，，∴△BAP≌△HPE（AAS），∴BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，∴FH＝PH﹣PF＝2﹣（2﹣m）＝m，∴EH＝FH＝m，又∠PHE＝90°，∴△HEF為等腰直角三角形，∴∠EFC＝45°，故選項(xiàng)B正確；∵CF＝2，EH＝m，EH⊥BC，∴，故選項(xiàng)D正確；設(shè)EH＝x，∵△HEF為等腰直角三角形，∴FH＝x，∴CH＝CF﹣FH＝2﹣x，在Rt△EHC中，由勾股定理得：CE2＝EH2+CH2，即：CE2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，CE2最小，此時(shí)CE為最小，當(dāng)x＝1時(shí)，則CE2＝2，∴，故選項(xiàng)D不正確．綜上所述：選項(xiàng)ABC均正確，選項(xiàng)D不正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，理解圖形的旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答此題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)AP＝EP，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，構(gòu)造全等三角形．16．（2023?臨高縣校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，則平移的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)可得B'C＝A'C，AB＝A′B′＝5，∠B＝∠A′B′C＝60°，可證△A′B′C′是等邊三角形，可得A'B'＝B'C＝5，即可求解．【解答】解：∵將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，∴B'C＝A'C，∵將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C＝60°，∴△A′B′C是等邊三角形，∴A′B′＝B′C＝4，∴BB′＝BC﹣B′C＝3，∴平移的距離為3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．17．（2023?仙游縣校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是AC的中點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BCA＝60°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得BD＝AD＝AC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A＝∠DBA＝30°，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得BC＝BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BD＝BE，∠DBE＝90°，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BDE＝∠BED＝45°，推得BC＝BD＝BE，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠CBE＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BEC＝75°，即可求得．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠BCA＝60°，∵D是AC的中點(diǎn)，∴BD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴，∴∠A＝∠DBA＝30°，又∵∠BCA＝60°，BD＝DC，∴△BDC是等邊三角形，∴BC＝BD，∵將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，∴BD＝BE，∠DBE＝90°，∴∠BDE＝∠BED＝45°，BC＝BD＝BE，∵∠A＝∠DBA＝30°，∠DBE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠CBE＝30°，∴，∴∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝75°﹣45°＝30°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，等邊對(duì)等角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，余角的性質(zhì)等，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023?城區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，AB′，AC′分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE＝8，EF＝，則ED的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ADB＝45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAF＝∠BAC＝45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ADB＝45°，∵把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，∴∠EAF＝∠BAC＝45°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴EF?ED＝AE2，∵AE＝8，EF＝，∴?ED＝82，解得：ED＝4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出相關(guān)的相似三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，點(diǎn)O在邊AC上，且OA＝2OC，將OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落在△ABC的一條邊上的點(diǎn)D處，那么旋轉(zhuǎn)角∠AOD的度數(shù)是110°或120°．．【分析】分類討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB上，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和即可求得；當(dāng)點(diǎn)D在BC上，根據(jù)30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和三角形的外角性質(zhì)即可求得．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)D在AB上，如圖：∵AO＝OD，∴∠A＝∠ADO＝35°，∴∠AOD＝180°﹣35°﹣35°＝110°，當(dāng)點(diǎn)D在BC上，如圖：∵AO＝OD＝2OC，∴∠ODC＝30°，∴∠AOD＝90°+30°＝120°，故答案為：110°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和，30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用．20．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′C′．連接BB′，交AC于點(diǎn)D，則的值為5．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，利用勾股定理求得AB＝，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ABB'、△DFB是等腰直角三角形，可得DF＝BF，再由S△ADB＝×BC××DF×AB，AD＝DF，證明△AFD∽△ACB，可得，即AF＝3DF，再由，求得，從而求得，，即可求解．【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB'C'，，∠BAB'＝90°，∴△ABB'是等腰直角三角形，∴∠ABB'＝45°∵DF⊥AB，∠DFB＝45°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF＝BF，S△DBA＝×BC×AD＝×DF×AB，即，∵∠C＝∠AFD＝90°，∠CAB＝∠FAD，∴△AFD∽△ACB，∴，即AF＝3DF，又∵，∴，∴，∴，∴＝＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，則練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．（2023?順義區(qū)二模）已知：∠ABC＝120°，D，E分別是射線BA，BC上的點(diǎn)，連接DE，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接EF，BF．（1）如圖1，當(dāng)BD＝BE時(shí)，求證：BF＝2BD；（2）當(dāng)BD≠BE時(shí)，依題直補(bǔ)全圖2，用等式表示線段BD，BF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由題意證明△BDF是含30°的直角三角形，從而得到BF＝2BD；（2）先由題意畫出圖形，然后證明全等即可得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：∵將線段DE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，∴∠EDF＝60°，DE＝DF，∴△DEF為等邊三角形．∴DF＝EF，∠DEF＝∠DFE＝FED＝60°．在△DBF和△EBF中，，∴△DBF≌△EBF（SSS）．∴∠DFB＝∠EFB＝∠∠DFE＝30°，∠DBF＝∠EBF＝∠DBE＝60°，∴∠FDB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BF＝2BD．（2）解：DB+BE＝BF，理由如下：連接BF，延長(zhǎng)DB到G，使得BG＝BE，連接EG，如圖：∵∠DBE＝120°，∴∠GBE＝60°，∴△GBE為等邊三角形，∴∠BEG＝∠BGE＝60°，EB＝EG＝BG，由（1）知∠FED＝60°，∴∠FED＝∠BEG，∴∠FED+∠BED＝∠BEG+∠BED，∴∠FEB＝∠DEG，在△DEG和△FEB中，，∴△DEG≌△FEB（SAS）．∴DG＝FB．又∵DG＝DB+BG＝DB+BE，∴DB+BE＝BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的全等三角形的性質(zhì)，找到全等三角形是解題關(guān)鍵．22．（2023?上杭縣模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上．且點(diǎn)A、B、E在同一條直線上．（1）求證：DA平分∠BDE；（2）若AC⊥DE，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等邊對(duì)等角可得∠2＝∠B，從而可得∠1＝∠2，即可解答；（2）設(shè)AC與DE交于點(diǎn)O，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，再根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝90°，從而可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠2＝∠B＝90°﹣α，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠4＝∠B+∠C，從而可得α＝90°﹣α+90°﹣α，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠1＝∠B，AD＝AB，∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2，∴DA平分∠EDB；（2）解：如圖，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)O，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，∵AC⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，∵AB＝AD，∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，∵∠4是△ABC的一個(gè)外角，∴∠4＝∠B+∠C，∴α＝90°﹣α+90°﹣α，解得：α＝72°，∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．23．（2023?香洲區(qū)二模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFH，點(diǎn)E在AD上，連接CE，CH．（1）求證：CE平分∠BED；（2）若BC＝4，∠EBC＝30°，求CH的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出BE＝BC，推出∠BEC＝∠BCE，由四邊形ABCD是矩形可得AD∥BC，得出∠DEC＝∠BCE，從而得到∠BEC＝∠BCE，可證得結(jié)果；（2）作CG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)BE與HC交于點(diǎn)M，先證明△HBM≌△CGM，得到，由勾股定理求出，再計(jì)算即可得出答案．【解答】（1）證明：∵矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFH，∴∠BEC＝∠BCE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴CE平分∠BED；（2）作CG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)BE與HC交于點(diǎn)M，又∵∠EBC＝30°，BC＝4，∴，∵CE平分∠BED，CG⊥BE，CD⊥ED，∴CG＝CD，又∵∠HBM＝∠CGM＝90°，∠HMB＝∠CMG，CD＝AB＝BH，∴GC＝BH，在△HBM與△CGM中，，∴△HBM≌△CGM（AAS），∴，∴在Rt△MGC中，，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確得出三角形全等是解題的關(guān)鍵．24．（2023春?銀海區(qū)期中）如圖，正方形ABCD和正方形GECF，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將正方形GECF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜180°）．（1）如圖2，連接BE、DF，求證：BE＝DF；（2）如圖3，若BC＝+1，EC＝1，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到CD邊上時(shí)，連接BE、連接DF，并將延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)H，求證：BH垂直平分DF．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD和GECF為正方形可得BC＝DC，EC＝FC，∠BCE＝∠DCF，再運(yùn)用SAS證明△BCE≌△DCF即可得到結(jié)論；（2）證明BD＝BF，DE＝EF即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD和GECF為正方形，∴BC＝DC，EC＝FC，∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，∴∠BCE＝∠DCF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF；（2）連接BD，EF，如圖，∵四邊形ABCD和GECF為正方形，∴，，，CF＝CE＝1，∴，，∴，∴BH垂直平分DF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的判斷，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．三．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（共3小題）25．（2023?鯉城區(qū)模擬）如所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義對(duì)四個(gè)圖形進(jìn)行分析即可．【解答】解：只有選項(xiàng)D旋轉(zhuǎn)120°與原圖形重合，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．26．（2023?張家口一模）將一個(gè)正n邊形旋轉(zhuǎn)90°或旋轉(zhuǎn)120°后，均能與自身重合，則n可以為（）A．90 B．120 C．2022 D．2023【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有是整數(shù)，是整數(shù)，且是整數(shù)，據(jù)此結(jié)合選項(xiàng)即可作答．【解答】解：若旋轉(zhuǎn)90°后與自身重合，則是整數(shù)，即是整數(shù)，同理，若旋轉(zhuǎn)120°后與自身重合，則是整數(shù)，題中符合條件的只有120．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，掌握相應(yīng)的定義是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）觀察如圖所示的圖形，繞著它的中心旋轉(zhuǎn)120°后能與自身重合有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)題中圖形進(jìn)行分析，判定正確選項(xiàng)．【解答】解：①旋轉(zhuǎn)120°后，圖形可以與原來(lái)的位置重合，故正確；②旋轉(zhuǎn)120°后，圖形無(wú)法與原來(lái)的位置重合，故錯(cuò)誤；③旋轉(zhuǎn)120°后，圖形無(wú)法與原來(lái)的位置重合，故錯(cuò)誤；④旋轉(zhuǎn)120°后，圖形與原來(lái)的位置重合，故正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)與重合，理解旋轉(zhuǎn)圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．四．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共5小題）28．（2023春?六盤水期中）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，﹣1），將OA繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣6，1） B．（﹣1，﹣6） C．（﹣6，﹣1） D．（﹣1，6）【分析】作BC⊥x軸于點(diǎn)C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念和三角函數(shù)值解答即可．【解答】解：作BC⊥x軸于點(diǎn)C，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，﹣1），將OA繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．29．（2023?通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)A（4，1），以點(diǎn)P為中心，把點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四個(gè)點(diǎn)中，直線PB經(jīng)過的點(diǎn)是（）A．M1 B．M2 C．M3 D．M4【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得B（2，1+2），利用待定系數(shù)法可得直線PB的解析式，依次將M1，M2，M3，M4四個(gè)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)代入y＝x+1中可解答．【解答】解：∵點(diǎn)A（4，1），點(diǎn)P（0，1），∴PA⊥y軸，PA＝4，由旋轉(zhuǎn)得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如圖，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，1+2），設(shè)直線PB的解析式為：y＝kx+b，則，∴，∴直線PB的解析式為：y＝x+1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣+1，∴點(diǎn)M1（﹣1，﹣）不在直線PB上，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣1+1＝0，∴M2（﹣，0）在直線PB上，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝+1，∴M3（1，）不在直線PB上，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2+1，∴M4（2，2）不在直線PB上．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．30．（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）如圖，A（2，0），C（0，4），將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AB，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（6，2） B．（2，6） C．（2，4） D．（4，2）【分析】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，證明．△AOC≌△BAD（AAS），推出BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，可得結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，?∴∠ACO＝∠BAD，在△AOC和△BAD中，，∴△AOC≌△BAD（AAS），∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，∴OD＝AD+OA＝6，∴C（6，2）．故答案為：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．31．（2023?中原區(qū)校級(jí)三模）小星利用平面直角坐標(biāo)系繪制了如下風(fēng)車圖形，他先將△OBA固定在坐標(biāo)系中，其中A（2，4），B（2，0），接著他將△OBA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°至△OB1A1，稱為第一次轉(zhuǎn)動(dòng)，然后將△OB1A1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°至△OB2A2，稱為第二次轉(zhuǎn)動(dòng)，…那么按照這種轉(zhuǎn)動(dòng)方式，轉(zhuǎn)動(dòng)2023次后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B． C． D．（2，4）【分析】依題意不難發(fā)現(xiàn)第4次旋轉(zhuǎn)后△OBA回到初始位置，而2023÷4＝505……3，據(jù)此可得當(dāng)△OBA旋轉(zhuǎn)2023次后的位置與旋轉(zhuǎn)第3次后的位置重合，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：∵△OBA每次繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴第4次旋轉(zhuǎn)后△OBA回到初始位置，又∵2023÷4＝505……3，∴當(dāng)△OBA旋轉(zhuǎn)2023次后的位置與旋轉(zhuǎn)第3次后的位置重合，即此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)A3重合，∵點(diǎn)A（2，4），∴點(diǎn)A3（4，﹣2），∴轉(zhuǎn)動(dòng)2023次后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣2）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是找出第4次旋轉(zhuǎn)后△OBA回到初始位置．32．（2023?太康縣一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)矩形ABOC，邊BO在x軸上，邊OC在y軸上，AB＝1，BO＝2．將矩形ABOC繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到矩形A1B1OC1，再將矩形A1B1OC1，繞著點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A2B2O1C1，依次旋轉(zhuǎn)下去，則經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3033，1） B．（3033，2） C．（3033，0） D．（3032，0）【分析】根據(jù)題意得出A點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點(diǎn)A2023的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意，A1（1，2），A2（3，0），A3（3，0），A4（4，1），……，四次應(yīng)該循環(huán)，∵2023÷4＝505…3，∴A2023在x軸上，坐標(biāo)為（505×6+3，0），即（3033，0）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，得出A點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列運(yùn)動(dòng)形式屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．飛馳的動(dòng)車 B．勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的摩天輪C．運(yùn)動(dòng)員投擲標(biāo)槍 D．乘坐升降電梯【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得出結(jié)論即可．【詳解】由題意知，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的摩天輪屬于旋轉(zhuǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的定義，旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．2．（2023·江西九江·校聯(lián)考一模）如圖，的位置經(jīng)過怎樣的運(yùn)動(dòng)和重合（

）A．沿翻折 B．平移C．繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90° D．繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°【答案】D【分析】根據(jù)圖形的位置判定運(yùn)動(dòng)過程即可．【詳解】解：繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°可以與重合．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱的定義，能正確識(shí)別變化過程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，∴第四個(gè)圖形是D．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)三個(gè)圖形找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（2021秋·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出，分別以A,B,C為旋轉(zhuǎn)中心即可從正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置．【詳解】解：如圖，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可到正方乙的位置；繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可到正方乙的位置；繞AC的中點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，可到正方乙的位置；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；特別注意容易忽略點(diǎn)B．5．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，對(duì)連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到，…，則的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目提供的信息，可知旋轉(zhuǎn)三次為一個(gè)循環(huán)，圖中第三次和第四次的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)相同，由①→③時(shí)直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出來(lái)，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，旋轉(zhuǎn)三次和原來(lái)的相對(duì)位置一樣，點(diǎn)，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)到第三次時(shí)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：，∴旋轉(zhuǎn)第15次的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：，又∵旋轉(zhuǎn)第16次直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第15次一樣，∴旋轉(zhuǎn)第16次的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律性：點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律找出所求問題需要的條件．6．（2023春·黑龍江綏化·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，即可得出結(jié)果．【詳解】解：將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，如圖，

由圖可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以為邊向的外側(cè)作正方形，將組成的圖形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得每8次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∴每8次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，∵由題意可得，最后的位置是，如圖，

∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴∵在中，，∴是等腰直角三角形∴∴，∴∴∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．8．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，，對(duì)角線、的交點(diǎn)為將正方形繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)D作軸，垂足為N，證明．求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為．進(jìn)一步求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為．分析可知點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一周需要旋轉(zhuǎn)(次)，利用，，，可知第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)和第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的位置在軸正半軸上，勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，．過點(diǎn)D作軸，垂足為N，如解圖所示，則．∵四邊形ABCD為正方形，∴，．∴．∴．∴，．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．由題意，可知正方形繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)也繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周需要旋轉(zhuǎn)(次)．又∵，，∴第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)和第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的位置在軸正半軸上，∵∴，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律，正方形性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)和第7次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的位置在軸上．9．（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，結(jié)合，，可得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，易得，然后證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在第一象限，即可獲得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如下圖，

則，∵，，∴，，根據(jù)題意，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵點(diǎn)在第一象限，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．10．（2021秋·天津和平·九年級(jí)天津市雙菱中學(xué)?？计谥校┖褪堑冗吶切?，且在一條直線上，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．可以看作是平移而成的D．可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的【答案】C【分析】A、利用等邊三角形的定義可得：，由同位角相等可得：；B、先證明，則，根據(jù)外角的性質(zhì)得：，C、因?yàn)閮蓚€(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)不確定，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由B選項(xiàng)中的全等可得結(jié)論．【詳解】解：A、∵和是等邊三角形，∴，∴，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵和是等邊三角形，∴，∴，即，∴（SAS），∴，∴，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵和是等邊三角形，但邊長(zhǎng)不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、∵，且，∴可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成，選項(xiàng)正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，本題是常考題型，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)識(shí)圖，找準(zhǔn)全等的三角形．二、填空題11．（2023·北京海淀·北京市十一學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平南直角坐標(biāo)系中，可以看作是經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由得到過程___________．

【答案】將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度（答案不唯一）【分析】根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到由得到的過程．【詳解】解：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故答案為：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形變化-平移，解題時(shí)需要注意：平移的距離等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的長(zhǎng)度．12．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖，若將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_______

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，即可得出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】如圖，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，

則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細(xì)長(zhǎng)的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標(biāo)本，葉片上兩點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為，將銀杏葉繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，葉柄上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．

【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定坐標(biāo)系的位置，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵B，C的坐標(biāo)分別為，∴坐標(biāo)系的位置如圖所示：

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，如圖，葉柄上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)．解題的關(guān)鍵是確定原點(diǎn)的位置，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將右邊的圖案變成左邊的圖案，是通過________變化得到的．【答案】旋轉(zhuǎn)【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：將右邊的圖案旋轉(zhuǎn)90°即可得到左邊的圖案．故答案為：旋轉(zhuǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何變換的類型，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．15．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，．若的面積為，則邊的長(zhǎng)為________．

【答案】【分析】將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，首先證明出是等邊三角形，然后設(shè)，則，得到，根據(jù)求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴解得（負(fù)值舍去），∴，，，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)綜合題，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．16．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是______．

【答案】/【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動(dòng)點(diǎn)．∴∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴∴∴，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則在中，，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周長(zhǎng)的最小值為，故答案為