第二章一元二次函數(shù)方程和不等式（13類題型清單）（原卷版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記知識點01：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)可開方性知識點02：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）基本不等式:,,（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．如果，有（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，“”號成立.知識點03：基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）知識點04：四個二次的關(guān)系4.1一元二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點．4.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個不相等的實數(shù)根，()有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根()的解集()的解集知識點05：解分式不等式5.11、分式不等式5.1定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。5.2分式不等式的解法①移項化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤0303題型歸納題型一作差法比較代數(shù)式的大小例題1．（2324高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知且，，則、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定例題2．（2324高一上·浙江·期中）設(shè)，，則有（）A． B． C． D．例題3．（2324高一上·新疆·階段練習(xí)）（1）比較與的大小：（2）已知，都是正實數(shù)，比較與的大?。柟逃?xùn)練1．（2324高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．P與Q的大小關(guān)系不確定2．（2324高一上·河南鄭州·期中）設(shè)，，則a，b的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）若，則A、B的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定題型二利用不等式求取值范圍例題1．（2425高一上·全國·假期作業(yè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2324高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（2425高一上·上海·假期作業(yè)）如果，則（1）的取值范圍是；（2）的取值范圍是；（3）的取值范圍是；（4）的取值范圍是.鞏固訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·山東青島·期中）已知，則的取值范圍是.3．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為．題型三利用基本不等式求積的最大值例題1．（2324高二下·浙江寧波·期末）已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為．例題2．（2324高一上·重慶·期中）已知，且滿足，則的最大值為．例題3．（2324高一上·貴州黔西·階段練習(xí)）已知實數(shù)，，且，則的最大值為.鞏固訓(xùn)練1．（2324高三上·河南·階段練習(xí)）若，且，則的最大值為.2．（2425高一上·上海·假期作業(yè)）設(shè)，求二次函數(shù)的最大值．3．（2324高一上·江西宜春·階段練習(xí)）利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若，求的最小值，并求此時x的值；(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；(3)若，求的最大值．題型四利用基本不等式求和的最小值例題1．（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．例題2．（2324高二下·云南昆明·期中）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2324高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是鞏固訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值是2．（2324高一下·上海黃浦·期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是.3．（2425高一上·上海·假期作業(yè)）（1）若，且，求：（i）的最小值；（ii）的最小值.（2）求的最小值.題型五商式的最值問題例題1．（2324高一下·江西吉安·期末）函數(shù)（）的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2324高三上·吉林松原·階段練習(xí)）若存在，使成立，則的取值范圍是.例題3．（2324高一上·四川成都·階段練習(xí)）(1)已知正數(shù)、滿足，求的最小值；(2)求函數(shù)的最小值．鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·上海閔行·期中）已知，的最小值為.2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知，則的最大值是3．（2324高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.題型六“1”的妙用例題1．（2324高一下·陜西榆林·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．例題2．（2324高二下·山東聊城·階段練習(xí)）若，且，則的最小值為.例題3．（2324高二下·浙江麗水·期末）已知，，則的最小值為.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一下·湖南·期中）已知正數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時，，．2．（2324高一下·云南玉溪·階段練習(xí)）已知均為正數(shù)，且，則的最小值為.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為．題型七條件等式求最值例題1．（多選）（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．例題2．（2324高二上·安徽六安·期末）已知，則的最大值為．例題3．（2324高一上·甘肅慶陽·期末）已知，，.(1)求的最大值；(2)求的最小值.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2324高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，下列說法正確的是（

）A．的最小值為25 B．的最大值為20C．的最小值為11 D．的最小值為12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為3．（2324高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為．題型八基本不等式的恒成立問題例題1．（2324高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）若，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.例題2．（2324高一上·云南昆明·期中）兩個正實數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·陜西漢中·期末）“”是“不等式對于任意正實數(shù)恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2324高二下·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）若對于任意，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.題型九解不含參的一元二次不等式例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）關(guān)于的不等式：的解集為（

）A． B．C．或 D．或例題2．（2425高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求不等式的解集：(1)；(2).例題3．（2324高一上·上海松江·期末）解下列不等式：(1):(2).鞏固訓(xùn)練1．（1516高二上·甘肅白銀·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁?3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.(1)；(2)4．（2425高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）解下列不等式：(1)；(2)；(3).題型十解含有參數(shù)的一元二次不等式例題1．（2425高一上·上海·假期作業(yè)）解關(guān)于的不等式：(1)；(2).例題2．（2324高一上·遼寧·期中）（1）若不等式的解集為或，求，的值；（2）求關(guān)于的一元二次不等式的解集．例題3．（2324高一上·福建福州·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)解不等式.鞏固訓(xùn)練1．（2324高一上·安徽·階段練習(xí)）解關(guān)于的一元二次不等式．（結(jié)果用集合表示）2．（2324高三上·福建莆田·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.3．（2324高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）求下列不等式的解集.(1)；(2)；(3).題型十一由一元二次不等式的解確定參數(shù)例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，其中，，為常數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．例題2．（2324高一上·廣東潮州·期中）若關(guān)于的不等式的解集為或，則的值為.例題3．（2324高一上·河北石家莊·期中）解決下列問題.(1)已知關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2324高二下·浙江寧波·期末）若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．2．（2324高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式，若此不等式的解集為，則實數(shù)m的取值范圍是3．（2425高一上·上海·假期作業(yè)）（1）若不等式的解集是，求的值；（2）已知不等式的解集為，求不等式的解集.題型十二一元二次不等式的有解問題例題1．（2324高二下·遼寧阜新·期末）若命題“，”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（

）.A．或 B．或C． D．例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為.例題3．（2324高一上·四川瀘州·期中）若函數(shù)，使不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍為鞏固訓(xùn)練1．（2324高二上·浙江·期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．2．（2324高一上·湖北孝感·期中）已知命題：“，使得成立”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是.3．（2324高三上·上海·期中）若存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍．題型十三一元二次不等式的恒成立問題例題1．（2324高二下·江蘇南京·期末）“，”為真命題，請寫出一個滿足條件的實數(shù)a的值