絕密資料高中數(shù)學(xué)平面向量的概念與線性運(yùn)算（解析版）

第29講：平面向量的概念與線性運(yùn)算

一、課程標(biāo)準(zhǔn)

1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.

2.掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義.

4.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

二、基礎(chǔ)知識回顧

知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)零向量：長度為0的向量叫零向量，其方向是不確定的.

⑵平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我們規(guī)定零向量與任一向量壬隹

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(5)相反向量：與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.

2.向量的線性運(yùn)算

(1)向量加法滿足交換律a+b^b+a，結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).

向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則.

(2)向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個向量，記作瓶，它的長度和方向規(guī)定如下：

①口a|=|川|a|；

②當(dāng)/>0時，入a與a方向相同;

當(dāng)2<0時la與a方向相反;

當(dāng)a=0時，Xa=O；

當(dāng)X=0時>Xa=O.

(3)實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)Z，，a，b是向量，則有：

①;l(〃a)=(/l“)a；

②(%+〃)a=4a+“a；

?2(a+b)=>la+4b.

3.向量共線定理：

如果有一個實(shí)數(shù)九，使b=4a(a￥0)，那么b與a是共線向量;反之，如果b與a(arO)是共線向量，那么有

且只有一個實(shí)數(shù)X，使b=Aa.

三、自主熱身、歸納總結(jié)

1、在下列結(jié)論中，正確的是（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合

B.模相等的兩個平行向量是相等向量

C.若a和b都是單位向量>則a=b

D.兩個相等向量的模相等

【答案】D

【解析】由平面向量的基本概念可得，D是正確的.

2、對于非零向量a，b，“a+b=O”是，〃1?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若a+b=O,則2=—b5.'.a/7b.

若a〃b，則a+b=O不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件.故選A.

3、已知m=4ei+2e2，P5=2ei+ze2，若M、P、。三點(diǎn)共線，則t=（）

A.1B.2C.4D.-1

【答案】A

t一f一f4=2，

【解析】P、。三點(diǎn)共線，則亦與尸。共線，六前，即4ei+2e2=/（2ei+fe2）>得解得

t=l.故選A.

4、（2019秋?如皋市期末）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是AB,CD的中點(diǎn)，AC與

BD交于M,設(shè)通=M,AD=b,則下列結(jié)論正確的是（）

—?1——?1f----.12f—*1-??

A.AC=—a+bB.BC=——a+bC.BM=——a+—bD.EF=——a+b

22334

【答案］ABD

【解析】由題意可得，AC=AD+DC=b+-a,故A正確；

2

BC=BA+AC=-a+b+-a=b--a,故5正確；

22

___2,21?2

BM=BA+AM=-a+-AC=-a+-b+ax-=-b--a,故C錯誤；

33333

EF=EA+AD+DF=--a+b+-a^b--a,故D正確.

244

故選：ABD.

5、在AABC中，|魂|=|&|=|A6—亞I，則NBAC=.

【答案】600

【解析】：聞—雙|=尿|，.」@|=|R|=|剜，得AABC是等邊三角形，

.?.ZBAC=60°.

6、已知尸是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若,=%討+由\其中46R,則點(diǎn)P一定在（）

A.A4BC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.AB邊所在直線上D.8c邊所在直線上

【答案】B

【解析】由,=二次+下齊得布一￥才=4京，,=%次.則7N,友為共線向量，又七萬，友有

一個公共點(diǎn)尸，所以C,P,A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)尸在直線4c上.

四、例題選講

考點(diǎn)一、平面向量的有關(guān)概念

例1、（2019年徐州開學(xué)初考試）給出下列四個命題：

①若同=步|,則。=6；

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，貝卜屈=力占是"四邊形ABC。為平行四邊形”的充要條件;

⑤）右"a=b,b=Ci貝。a=c；

④a=b的充要條件是|。|=|旬且a//b.

其中正確命題的序號是（）

A.②③B.①②C.③④D.②④

【答案】A

【解析】①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.：屈=成，，|勘|=|比|且短〃皮，又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行

四邊形；反之，若四邊形ABC。為平行四邊形，則|屈|=|反1，

顯〃皮且就，成方向相同，因此屈=虎.

③正確.：a=6,b的長度相等且方向相同，又6=c,c的長度相等且方向相同，c的長

度相等且方向相同，故。=。.

④不正確.當(dāng)a//b且方向相反時，即使⑷=|例，也不能得到a=b,故間=|例且a//b不是a=b的充要條件，

而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號是②③.

變式1、設(shè)ao為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a卜ao；②若a與a0平行，則a

=|a|ao；③若a與ao平行且|a|=l,則a=ao，假命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a。

平行，則a與ao的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a=一|a|ao,故②③也是假命題.綜上所述，

假命題的個數(shù)是3.

變式2、給出下列命題：

①兩個具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

②加=0（%為實(shí)數(shù)），則力必為零；

③心〃為實(shí)數(shù)，若4a=〃b,則a與b共線.

其中錯誤的命題的個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯誤，當(dāng)a=0時，不論九為何值，/a=0.③

錯誤，當(dāng)4=〃=0時，2a=〃b=0,此時，a與b可以是任意向量.故錯誤的命題有3個，故選D.

變式3、（山東泰安一中2019屆高三模擬）給出下列命題：

①兩個具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

②而=0（4為實(shí)數(shù)），則2必為零；

③心〃為實(shí)數(shù)，若/la=〃b,則a與b共線.

其中錯誤的命題的個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯誤，當(dāng)a=0時，不論/為何值，布=

0.③錯誤，當(dāng)4=〃=0時，/la=〃b=O,此時，a與b可以是任意向量.故錯誤的命題有3個，故選D.

變式4、下列命題中，正確的是（）

A.|a|=|b|=>a=b;B.|a|>|b|=>a>b；

C.a=b=>|a|=|b|；D.|a|=O=>a=O

【答案】A

【解析】項(xiàng)向量相等除了模相等還要求方向相同；B項(xiàng)向量不能比大??；C項(xiàng)正確；D項(xiàng)a=0.故選C.

方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.

(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.

(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.

(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度.

(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.

考點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

例1、(1)(2019?安徽合肥二模)在AABC中，~BD^BC,若3=a,~AC^b,則正=()

2112

A.2a+^bB.^a+^b

（2）（一題多解）（2020?廣東一模）已知A,2,C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)。滿足16畝一12加一3/=0,則（）

A.-QA=12AB'+3ACB.~OA=12AB~3~AC

C^OA=-12AB+3ACD.~OA^~12AB-3~AC

【答案】（1）A（2）A

_,.l.----->----->----->1----->

【解析】（1）：AB=a,AC=b,BD=馬BC,

——>2——>1——>21

ADABAC=wa+gb.故選vA.

（2）法一：對于\7OA^\2AB+3AC^n（OB~~OA）^-3{OC-~OA）^\2OB+3OC~\5OA,整理，

可得16次一12萬才一3&'=0,這與題干中條件相符合，故選A.

法二：已知A,B,C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)。滿足16。4—1208—3。。=0,所以1604—12=0,

所以為1=12/3+3混，故選A.

變式1、(山西平遙中學(xué)2019屆期末)在AABC中，~AB^c,AC=b,若點(diǎn)。滿足麗=2萬則正等

于（）

B于一芋

12

D.jb+2c

【答案】A

【解析】'：~BD=2DC,

：.~AD~^B==2DC=2(AC-^D)9

：.3AD=2AC+AB,

——>2——>.1——>21

AD=,ACAB=&+下.

變式2、（2019?衡水中學(xué)五調(diào)）如圖所示，在正方形ABCD中，E為的中點(diǎn)，/為AE的中點(diǎn)，則勵=（）

A.—^A^+^AbB?十|AS

c.g顯一;D.^A^—^Ab

【答案】D

【解析】昉=春一歷，盛=盛+就.

???石為BC的中點(diǎn)，產(chǎn)為AE的中點(diǎn)，

.??#=；盛，就=3就，

：.Dp=Ap-Ab=^Ak-Ab=^Ah+Bk）-Ab

=^Ah+^Bt—Ab,

又發(fā)?=用，???/=3就一汕.故選D.

變式3、⑴如圖⑴所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個三等分點(diǎn)，a=a，At=b，則用

=（用a，b表示）.

圖⑵

（2）如圖（2），￡），￡，尸分另（j是AABC的邊4B，，C4的中點(diǎn)，則助+前+注=

【答案】(1)b+1a.(2)0

【解析】⑴連接CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD〃AB且E=玄&=%>：.Ab^At+cb^b

+%.

（2）由題意知:

Ab=Fk，就=訪，Cp=Eb，而厘+說+赤=0，,Af）+盛+衽=0.

變式4、（2019無錫區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算錯誤的是（）

B.AC+Cl5+Dd=OA

C.AB+AC+CD=ADD.AC+BA+DA=0

【答案】BC..

【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，AB+AD=AC,，A正確;

AC+CD+Dd=AO,錯誤;

AB+AC+W=AB+AD=AC,;.C錯誤；AC+BA+DA=BC+DA=O,二。正確.

故選：BC.

變式5、（2019宿遷期末）如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB//CD,AB=2CD,M,N分別為他,

CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC=AD+-ABB.MC=-AC+-BCC.MN=AD+-ABD.BC=AD--AB

22242

【答案】ABD

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為梯形，其中AB//CD,AB=2CD,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn)，

.-.AC=AD+DC=AD+-AB-,A對

2

CM為AACB的中線；

CM=-CA+-CB^>MC^-AC+-BC；3對

2222

BC=AC-AB=AD+-AB-AB=AD--AB；的、。對

22

MN=MC+G^=-AC+-BC--DC=-(AD+-AB)+-(AD--AB)--AB=AD--AB；C錯;

222222244

方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：一般共起點(diǎn)的向量求和用平行

四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則.

考點(diǎn)3共線定理的應(yīng)用

例3、如圖，在AABO中，ot=1oA，Of)=1o6，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)OA=a，^=b.試用a和b表

示次

【解析】設(shè)況/=ma+〃b，則田^=屈/—3A=ma+〃b—a=(根一l)a+九b.A力=玩)一次=g彷一次=一a+；

b.又YA、M、。三點(diǎn)共線,

碗與勸共線.，存在實(shí)數(shù)t，使得斯=珞力，即(％—l)a+〃b=(一a+1b).

m—l=—t5

(m—l)a+nb——/a+}b..'.<t消去/得，nt—1——2n?BPm+2n——0^J=

[n=2'

ma+nb—^a=(m—^)a+wb，逃=加一求=b—；a=—；a+b.又〈C、M、5三點(diǎn)共線，.?.Gtf與國共線.

f11

二?存在實(shí)數(shù)介，使得漢/=九昆，.?.(加-Ra+九b=A(一公+切，?:消去人得?4m+n=1(2).

、〃二九，

1313

由①②得m=j，n=7j，，況f=]a+7b.

變式1、(2019?河南鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)已知A,B,。是直線/上不同的三個點(diǎn)，點(diǎn)。不在直線,上，則使

等式x2次+x彷+求=0成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為（）

A.{0}B.0

C.{-1}D.{0,-1}

【答案】C

【解析】

方法一若要f5A+x協(xié)+反1=0成立，發(fā)1必須與記次+x協(xié)共線，由于次一彷=或與前共線，所以

次和彷的系數(shù)必須互為相反數(shù)，則r=-X,解得x=0或尤=—1,而當(dāng)x=0時，fit=0,此時8,C兩點(diǎn)

重合，不合題意，舍去.故x=-1.

方法二二%2/+x彷+衣一彷=0,即求=一/次一。一1）彷，VA,B,C三點(diǎn)共

線，

/.—%2—（X—1）=1,即r+xu。，解得x=0或尤=—1.當(dāng)x=0時，^oX+xOh+Bt—O,此時2,C兩點(diǎn)

重合，不合題意，舍去.故x=-1.

變式2、（2019秋?清遠(yuǎn)期末）等邊三角形ABC中，BD=DC,EC=2AE,AD與3E交于尸，則下列結(jié)論正

確的是（）

—.2-~,1~.

A.AD=^(AB+AC)B.BE=-BC+-BA

33

—?1—、

C.AF=-ADD.BF=-BA+-BC

223

【答案】AC.

【解析】如圖，

:BD=DC,二。為3c的中點(diǎn)，

AD=1(AB+AC),正確；

EC=2AE,AE^^AC=^(BC-BA),

_112?

/.BE=BA+AE=BA+-(BC-BA)=-BC+-BA,「.5錯誤；

333

設(shè)/=尢歷=4詬+4/=4屈+"屈，且區(qū)，F(xiàn),石三點(diǎn)共線，

2222

—=1,解得4=工，

222

AF=-AD,「.C正確；

2

BF=BA+AF=BA+-AD=BA+-(BD-BA)=BA-}--BC--BA=-BA+-BC,二。錯誤.

224224

故選：AC.

變式3、如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)況=a，昉=b，腑=疑，兩=鋁)，試用a，b表示曲，ok

及曲.

【解析】由題意知，在平行四邊形OADB中，俞=標(biāo)=痂='而一面=/a—b)=：a—，則曲=協(xié)

+B^=b+^a—^b=^a+|b.^=]濟(jì)=,(次+,)=,(a+b)=]a+|b'M^=ok—oh=^(a+b)—^a~^o=

變式4、設(shè)兩個非零向量a與b不共線.

(l)/^=a+b,鋌=2a+8b,CD=3(a-b),求證：A,B,。三點(diǎn)共線;

(2)試確定實(shí)數(shù)左，使左a+b和a+Zb共線.

【解析】(1)證明：V^4B>=a+b,/=2a+8b,布=3(a—b),

：.~BD^1BC+~CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5而,

Z.AB,BD共線,又它們有公共點(diǎn)2,

：.A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)?.次a+b與a+Zb共線，

.?.存在實(shí)數(shù)2,使ka+b=〃a+kb),即(k—/l)a=(〃-l)b.

又a,b是兩個不共線的非零向量，

左一2=0,

，標(biāo)一1=0..??％=±1.

求—1=0.

方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法

（1以〃1）02=為（13邦）是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

⑵證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共

線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線.即4B,C三點(diǎn)共線式，溫共線.

（3）若a與b不共線且%a=〃b,則4=〃=0.

（4）W=XOB+^rdc（/,〃為實(shí)數(shù)），若A,B,C三點(diǎn)共線，貝!M+〃=1.

五、優(yōu)化提升與真題演練

1、（多選）設(shè)a,b是不共線的兩個平面向量，已知R"=a+sina-b,其中aG（0,27t）,/=2a—b.若尸，Q,

R三點(diǎn)共線，則角a的值可以為（）

【答案】CD

【解析】因?yàn)閍,b是不共線的兩個平面向量，所以2a—b/）.即蘇加，因?yàn)镻,Q,R三點(diǎn)共線，所以可與

蘇共線，所以存在實(shí)數(shù)；I,使亞=/1涼，所以a+sina-b=2；la—/lb,所以「解得sina=-J.

Isina=-A,2

7兀11IT

又a￡(0,2K),故?？蔀?或

2、（2019秋?連云港期末）已知O是平行四邊形對角線的交點(diǎn)，貝I"）

B.DA+DC=DBC.AB-AD=BDD.OB=^(DA+BA)

A.AB=DC

【答案】AB

【解析】平行四邊形/WCD中，=且AB//CD,結(jié)合向量相等定義可知，AB=DC,故A正確;

由向量加法平行四邊形法則可得，DA+DC=DB,故3正確;

結(jié)合向量減法的平行四邊形法則可得，AB-AD=DB,故C錯誤;

結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可知，-祇=3（礪+麗）=況，故。錯誤.

故選：AB.

D

B

3、(2019秋?宿遷期末)如圖，已知點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF中心，下列結(jié)論中正確的是()

A.OA+OC+OB=CB.(OA-AF).(EF-DC)=0

C.(OA-AF)BC=OA(AF.BC)D.\OF+OD\=\FA+OI)-CB\

【答案】BC

【解析】解：對于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故選項(xiàng)A錯誤；

對于3,(OA-AF).(EF-DC)=(OA-OE)-(EF-EO)=EA-OF=0,故選項(xiàng)3正確；

對于C,由平面向量公式可知，(麗.而)配=礪(/.配)，故選項(xiàng)C正確；

對于。，I礪+礪|=|而+而|=|礪I，I而+而一國|=|麗一礪+麗|=|防+兩|=|而|,顯然I麗用而I，

故選項(xiàng)。錯誤.

故選：BC.

4、設(shè)兩個非零向量a與b不共線，若a與b的起點(diǎn)相同，且a,lb,4a+b)的終點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)r

的值為.

【答案w

【解析】

Va,fb,g(a+b)三個向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b的起點(diǎn)相同，

121

.'.a—rb與a—§(a+b)共線，即a—rb與ga一共線，

J存在實(shí)數(shù)九使a—小=HV，

5、【2018年高考全國I卷理數(shù)】在zM5c中，AD為3C邊上的中線，E為的中點(diǎn)，則麗=

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-AC