2020-2021學(xué)年重慶市主城區(qū)七校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析版

2020-2021學(xué)年重慶市主城區(qū)七校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可【詳解】故選：C2．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，，又，所以在點(diǎn)處的切線方程是，即.故選：D3．在的二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和：，求出，再由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得，通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，，所以的系數(shù)為40.故選：D4．某考生參加高中學(xué)業(yè)水平考試，其中語文、數(shù)學(xué)、英語考試達(dá)到優(yōu)秀的概率分別，且各科是否達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)是相互獨(dú)立的，該考生三科考試均要參加，則恰有兩科達(dá)到優(yōu)秀的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷恰有兩科達(dá)到優(yōu)秀有三種情況，分別計(jì)算概率，再求和即得結(jié)果.【詳解】依題意可知，恰有兩科達(dá)到優(yōu)秀，有三種情況：①語文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀，英語不優(yōu)秀，對(duì)應(yīng)概率為；②語文、英語優(yōu)秀，數(shù)學(xué)不優(yōu)秀，對(duì)應(yīng)概率為；③數(shù)學(xué)、英語優(yōu)秀，語文不優(yōu)秀，對(duì)應(yīng)概率為.所以恰有兩科達(dá)到優(yōu)秀的概率為.故選：C.5．已知隨機(jī)變量，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；丁：，如果上述四個(gè)命題中有且只有一個(gè)是假命題，則該命題為（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】先判斷甲、乙的真假性，然后判斷丙、丁的真假性，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于甲、乙的真假性相同，所以甲、乙都是真命題，故，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：丙：為假命題，，所以丁為真命題.故選：C6．2020年湖北新冠疫情爆發(fā)之初，全國各地紛紛派出醫(yī)療隊(duì)趕赴湖北.重慶某醫(yī)院有4名醫(yī)療專家和6名護(hù)士自愿報(bào)名奔赴湖北前線抗擊新冠疫情.現(xiàn)需將所有報(bào)名人員分成三組，若每組由兩名護(hù)士和至少有一名專家組成，則共有多少種不同分組方法（）A．90種 B．540種 C．1080種 D．180種【答案】B【分析】先分步，然后用平均分組和部分平均分組的方法對(duì)護(hù)士和專家分組，最后用分步乘法原理計(jì)算即可【詳解】第一步：先將6名護(hù)士按要求分成3組，每組2人，共有：種；第二步：將4名醫(yī)療專家分成3組，每組至少有1人，共有；第三步：將分好的醫(yī)療專家組分配到護(hù)士組有種；故符合題意的分組方式共有：種.故選：B.7．已知的定義域?yàn)?，且滿足為的導(dǎo)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．對(duì)，有B．對(duì)，有C．關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)性判斷ABD的正誤，根據(jù)判斷D錯(cuò)誤即可.【詳解】設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.，有，即，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；由知，，即，所以，而，所以，即D錯(cuò)誤；由知，，故當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：B.8．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合得到的大致圖象，再由函數(shù)在開區(qū)間上有最小值，數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于的不等式，計(jì)算可得答案.【詳解】解：由，可得，當(dāng)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，令，可得或，則的圖象如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)在開區(qū)間上有最小值，故需在處取最小值，故，解得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、多選題9．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．回歸直線必過樣本中心點(diǎn)B．期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值與其均值偏離程度C．殘差的平方和越小，說明模型的擬合效果越差D．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)變量越大，說明兩個(gè)變量的關(guān)系就越弱【答案】CD【分析】根據(jù)回歸直線的性質(zhì)可判斷A；由期望就是均值，方差反應(yīng)波動(dòng)程度可判斷B；根據(jù)殘差的定義可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可判斷D.【詳解】A，回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，正確；B，期望就是均值，方差反應(yīng)波動(dòng)程度，即反映了隨機(jī)變量取值與其均值偏離程度，正確；C，殘差的平方和越小，偏離程度越小，即模型的擬合效果好，錯(cuò)誤；D,在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)變量越大，兩個(gè)變量的關(guān)系越強(qiáng)，錯(cuò)誤.故選：CD10．已知，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】令，可判斷A；令，可判斷B；令，與令所得的式子聯(lián)立求解可判斷C；由，可判斷D.【詳解】令得，，所以，故A正確；令得，，所以，故B正確；令得，，所以，所以，故C不正確；，所以，故D正確，故選：ABD.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．函數(shù)的極小值點(diǎn)是1B．若函數(shù)在上是單調(diào)的，則C．若不等式恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則D．若函數(shù)與的值域相同，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出的單調(diào)性，從而得出的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷；對(duì)于B：根據(jù)A選項(xiàng)的解析得的單調(diào)性，可判斷；對(duì)于C：進(jìn)行參變分離將問題轉(zhuǎn)化為恰有兩個(gè)正整數(shù)解，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，由此可判斷；對(duì)于D：根據(jù)A選項(xiàng)的解析的函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得出函數(shù)的值域，由此可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)是1，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)A選項(xiàng)的解析得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)，或時(shí)，函數(shù)單調(diào)，故B不正確；對(duì)于C：不等式化為，又，所以恰有兩個(gè)正整數(shù)解，令，則，令，則，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，要使恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則需，又，，所以，故C正確，對(duì)于D：由A選項(xiàng)的解析得函數(shù)的定義域?yàn)?，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，要使函數(shù)與的值域相同，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確，故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值問題的重要而有效的工具．本題就是以含參數(shù)m的函數(shù)解析式為背景，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力．12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則關(guān)于的方程的正整數(shù)解取值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象有個(gè)交點(diǎn)確定出的關(guān)系，所以可將方程轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)并分析的單調(diào)性確定出其值域，由此可求解出的取值范圍，則的值可確定.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的函數(shù)圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由圖象可知：時(shí)關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，又，所以，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，所以，顯然在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，且，所以可取，故選：AB.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解方程根的數(shù)目問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).三、填空題13．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且，則__________.【答案】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算求得m的值，再由復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限取值得答案.【詳解】因?yàn)椋?，解得，又?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，故答案為：.14．某批種子(數(shù)量很大)發(fā)芽率為，從中隨機(jī)選取4粒種子種植，至少一粒種子發(fā)芽的概率為__________.【答案】【分析】先設(shè)發(fā)芽的種子數(shù)為X，判斷，再利用二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)發(fā)芽的種子數(shù)為X，依題意可知，X服從二項(xiàng)分布，即，故至少一粒種子發(fā)芽的概率為.故答案為：.15．已知函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則的取值范圍__________.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【詳解】由題意可得恒成立，即恒成立，設(shè)，，令，即，解得，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以.即的取值范圍為.故答案為：16．2021年5月15日7時(shí)18分，天問一號(hào)著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)，我國首次火星探測(cè)任務(wù)著陸火星取到圓滿成功.航天工程是一項(xiàng)龐大而又復(fù)雜的系統(tǒng)工程.在完成某項(xiàng)工作時(shí)，設(shè)科研者要依次完成七項(xiàng)不同的任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)D?E必須排在一起，則這七項(xiàng)任務(wù)的安排方案共有__________種(用數(shù)字作答)【答案】【分析】首先將A排在前三位分三種情況，然后再利用捆綁法即可求解.【詳解】當(dāng)A排在第一位：；當(dāng)A排在第二位：；當(dāng)A排在第三位：當(dāng)D?E排在前面時(shí)，；當(dāng)D?E排在后面時(shí)，，這七項(xiàng)任務(wù)的安排方案共有.故答案為：四、解答題17．為了解某校學(xué)生每周參加課外體育活動(dòng)的時(shí)間情況，采用問卷調(diào)查的形式，按性別進(jìn)行分層抽樣.已知抽取樣本中21名男生周課外體育活動(dòng)的時(shí)間分別為：3.0；6.0；9.0；3.8；5.0；10；5.5；6.0；4.5；7.0；8.0；4.5；5.8；5.6；3.0；7.7；5.0；3.0；7.0；6.9；7.0.15名女生周課外體育活動(dòng)的時(shí)間分別為：3.0；4.5；5.0；3.0；8.0；3.0；6.0；3.5；3.0；3.0；2.0；3.0；5.0；3.0；3.0.（1）通過上述抽樣數(shù)據(jù)試完成答題卡上的列聯(lián)表超過4小時(shí)人數(shù)不超過4小時(shí)人數(shù)合計(jì)男21女15合計(jì)36（2）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加課外體育活動(dòng)的時(shí)間超過4小時(shí)與性別有關(guān)？附：0001【答案】（1）詳見解析；（2）有.【分析】（1）根據(jù)樣本中21名男生15名女生周課外體育活動(dòng)時(shí)間完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求得值，再與臨界值表對(duì)比下結(jié)論.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：超過4小時(shí)人數(shù)不超過4小時(shí)人數(shù)合計(jì)男17421女51015合計(jì)221436（2）由（1）中表中數(shù)據(jù)得：，所以有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加課外體育活動(dòng)的時(shí)間超過4小時(shí)與性別有關(guān).18．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，由即可求解.（2）由題意可得在上無解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)無交點(diǎn)即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，，，所以可得，解得.（2）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，即在上無解，即在上無解，令，，，在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，若在上無解，則或，即或.所以的取值范圍為19．某學(xué)校組建了演講?舞蹈?航模?合唱?機(jī)器人五個(gè)社團(tuán)，全校3000名學(xué)生每人都參加且只參加其中一個(gè)社團(tuán)，校團(tuán)委從這3000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖：（1）請(qǐng)補(bǔ)全答題卡上的柱形圖；（2）現(xiàn)從舞蹈?航模兩個(gè)社團(tuán)按照分層抽樣分別抽取了3人和4人共抽取7人，現(xiàn)從所抽取的7人中隨機(jī)逐次抽取3人，記來自舞蹈社團(tuán)的人數(shù)為，在第一次抽取的人是來自舞蹈社團(tuán)的條件下，求的分布列和期望.【答案】（1）答案見解析；（2）的分布列見解析，期望為.【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)求得從這3000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生的人數(shù)，分別求得舞蹈團(tuán)的人數(shù)，航模團(tuán)的人數(shù)，合唱團(tuán)的人數(shù)所占的比例，機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)，由此可完善的條形圖；（2）從舞蹈?航模兩個(gè)社團(tuán)按照分層抽樣分別抽取了3人和4人，在第一次抽取的人是來自舞蹈社團(tuán)的條件下，隨機(jī)變量X的取值為：1，2，3，分別求得，，，由此可得隨機(jī)變量X的分布列和隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）由已知得從這3000名學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生的人數(shù)為（人），所以舞蹈團(tuán)的人數(shù)為（人），航模團(tuán)的人數(shù)為（人），合唱團(tuán)的人數(shù)所占的比例為，機(jī)器人社團(tuán)的人數(shù)為人，完善的條形如下圖所示：（2）舞蹈團(tuán)和航模團(tuán)的人數(shù)之比為，所以從舞蹈?航模兩個(gè)社團(tuán)按照分層抽樣分別抽取了3人和4人，所以在第一次抽取的人是來自舞蹈社團(tuán)的條件下，隨機(jī)變量X的取值為：1，2，3，；，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X123所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.20．某游戲公司去年開發(fā)了一款游戲產(chǎn)品，該游戲每月成本及月維護(hù)費(fèi)用記為(單位：元)，與售價(jià)(單位：元/件)滿足.為了了解該游戲裝備月銷售量(單位：萬件)與當(dāng)月售價(jià)之間的關(guān)系，收集了5組數(shù)據(jù)處理并得到如下表：56789863附注：相關(guān)系數(shù)是用來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，若，則認(rèn)為相關(guān)性很強(qiáng)；若，則認(rèn)為相關(guān)性一般；若，則認(rèn)為相關(guān)性很弱.（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)的值(精確到0.01)；（2）判斷與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.若相關(guān)性強(qiáng)，則求出關(guān)于的線性回歸方程，并根據(jù)該方程，計(jì)算當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，月銷售利潤最大？(月銷售利潤=月銷售金額-月成本及月維護(hù)費(fèi))；若弱，則說明理由.參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程【答案】（1），（2）與的線性相關(guān)性強(qiáng)，，當(dāng)元時(shí)，月銷售利潤最大【分析】（1）利用表中的數(shù)據(jù)直接套公式求解即可；（2）先利用公式求出線性回歸方程，設(shè)月銷售利潤為，則有，化簡(jiǎn)后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值【詳解