第四章-概率基礎(chǔ)

第四章概率基礎(chǔ)第一節(jié)概率含義和古典概型第二節(jié)概率的基本運(yùn)算第三節(jié)概率分布第四節(jié)常見(jiàn)的概率分布（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件第一節(jié)概率含義和古典概型（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件一、隨機(jī)事件（一）概念

1.定義試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”,簡(jiǎn)稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素2.兩個(gè)特殊事件:必然事件S、不可能事件

.例如

對(duì)于試驗(yàn)E2

，以下A、B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件:A＝“至少出一個(gè)正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH再如，試驗(yàn)E6中D＝“燈泡壽命超過(guò)1000小時(shí)”＝{x:1000<x<T(小時(shí)）}。（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件

可見(jiàn)，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實(shí)質(zhì)，且更便于今后計(jì)算概率還應(yīng)注意，同一樣本空間中不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗(yàn)E2

，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是HHH時(shí)，可以說(shuō)事件A和B同時(shí)發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時(shí)發(fā)生。事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點(diǎn)所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來(lái)描述。

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件

1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A

BA＝B

A

B且B

A.（二）事件之間的關(guān)系（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件2.和事件：“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB2’n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件3.積事件:A與B同時(shí)發(fā)生，記作A

B＝AB3’n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作A1A2…An（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生思考：何時(shí)A-B=?何時(shí)A-B=A？（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件5.互斥的事件：AB＝

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件6.互逆的事件

A

B＝,且AB＝

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件

1.3頻率與概率

從直觀上來(lái)看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件二、隨機(jī)事件的概率

（一）概率的統(tǒng)計(jì)定義（頻率與概率）1.定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件2.概率的性質(zhì)

(1)有限可加性：設(shè)A1，A2，…An,是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);

(3)事件差

A、B是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調(diào)不減性：若事件A

B，則P(A)≥P(B)

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件(4)加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有P(A

B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，…，An的情形；(5)互補(bǔ)性：P(A)＝1－P(A);(6)可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有P(A)＝P(AB)＋P(AB).

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.EX解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件（一）古典概型中的概率三、古典概型設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0

P(A)

1；(2)P(

)＝1；P(

)=0(3)AB＝，則

P(A

B

)＝P(A)＋P(B)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件四、幾何概型定義：若幾何型隨機(jī)試驗(yàn)E的事件A的度量大小為，E的的樣本空間的度量為，則事件發(fā)生的概率為并稱此概率為幾何概型?；拘再|(zhì)：1）非負(fù)性；0

P(A)

12）規(guī)范性；P(

)＝13）有限可加性；若AB＝，則P(A

B

)＝P(A)＋P(B)4）完全可加性；（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….例題(會(huì)面問(wèn)題)兩人約定在早上8點(diǎn)至9點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等15分鐘離去。假定每人在1小時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，求兩人會(huì)面的概率。解：設(shè)兩人的到達(dá)時(shí)刻分別為x和y,則兩人能會(huì)面的充要條件是如圖，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域：（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件隨機(jī)地投一點(diǎn)（x,y),則故由公式有：（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件第二節(jié)概率的基本運(yùn)算

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件一、條件概率例1設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件S=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率

一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件?“條件概率”是“概率”嗎？何時(shí)P(A|B)=P(A)?何時(shí)P(A|B)>P(A)?何時(shí)P(A|B)<P(A)?概率定義

若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：P(A)≥0；(2)P(S)＝1;(3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,

有P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例2.一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設(shè)A--從盒中隨機(jī)取到一只紅球.B--從盒中隨機(jī)取到一只新球.AB（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件乘法公式設(shè)A、B

S，P（A）>0,則P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.5.2)式(1.5.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。

式(1.5.2)還可推廣到三個(gè)事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.5.3)一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.5.4)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例3合中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件二、全概率公式與貝葉斯公式例4.市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。B（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件定義事件組A1，A2，…，An(n可為

)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：A1A2……………AnB（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件定理1、設(shè)A1，…,An是S的一個(gè)劃分，P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件BS有

式(1.5.5)就稱為全概率公式。（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例5有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)球．這六個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)此球是紅球的概率？解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；

甲乙（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件定理2設(shè)A1，…,An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件BS，有

式(1.4.6)就稱為貝葉斯公式。思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例題：商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例6數(shù)字通訊過(guò)程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問(wèn)發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：設(shè)A---發(fā)射端發(fā)射0，B---接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件第三節(jié)概率分布

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件一、隨機(jī)變量定義.

設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)e

S，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、、等表示。隨機(jī)變量的特點(diǎn):

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機(jī)事件（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件?請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：①將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件A={有1個(gè)空格}，B={有2個(gè)空格}，C={全有球}。②進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件D={試驗(yàn)成功一次}，F(xiàn)={試驗(yàn)至少成功一次}，G={至多成功3次}（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件二、離散型隨機(jī)變量及其分布律1、定義：若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)為X的分布律或概率分布。可表為X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性質(zhì)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例2.某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律解：設(shè)Ai

第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨(dú)立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件3、一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例1

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例2

向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時(shí),特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？?ab（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件三、連續(xù)型隨機(jī)變量

（一）概率密度

1.定義.

對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-

<x<+

)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-

<x<+

)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件密度函數(shù)的幾何意義為（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件2.密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)性f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

EX設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求常數(shù)a.答:（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則EX設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求f(x)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=b}＝0。于是（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例.已知隨機(jī)變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x),2)求P{X

(0.5,1.5)}（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件第四節(jié)常見(jiàn)的概率分布

（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件一、貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布1.(0-1)分布若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。

記作X~B（n,p),其分布律為：2.定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。泊松定理：設(shè)隨機(jī)變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.二、泊松(Poisson)分布P(

)X～P{X＝k}＝k＝0,1,2,…(0)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例5.設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為

的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。

解:由題意,（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例6.進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。解:m=1時(shí),m>1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次}（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件三、均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X～U(a,b)對(duì)任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例.長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車,設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率.1545解：設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件四、指數(shù)分布若X～則稱X服從參數(shù)為

>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)、求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。(2)、已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件例.某公路橋每天第一輛汽車過(guò)橋時(shí)刻為T，設(shè)[0，t]時(shí)段內(nèi)過(guò)橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當(dāng)t≤0時(shí)，當(dāng)t>0時(shí)，=1-{在t時(shí)刻之前無(wú)汽車過(guò)橋}于是（本科）第四章概率基礎(chǔ)ppt課件

正態(tài)分布是