2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1課時(shí) 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪教學(xué)設(shè)計(jì)

15.2.3整數(shù)指數(shù)冪第1課時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪教學(xué)目標(biāo)課題15.2.3第1課時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.知道負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n是正整數(shù)).2.了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，會(huì)用文字和符號(hào)語(yǔ)言表述整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)，能根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)進(jìn)行冪的運(yùn)算.3.通過(guò)探索負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法，培養(yǎng)學(xué)生抽象、歸納的能力.教學(xué)重點(diǎn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引入新課設(shè)計(jì)意圖溫故知新，喚醒學(xué)生的知識(shí)體系，為本節(jié)課做知識(shí)的鋪墊.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】溫故知新，喚醒學(xué)生的知識(shí)體系，為本節(jié)課做知識(shí)的鋪墊.我們知道，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，你能補(bǔ)全以下正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)嗎？(1)同底數(shù)冪的乘法：am·an＝am＋n(m，n是正整數(shù))；(2)冪的乘方：(am)n＝amn(m，n是正整數(shù))；(3)積的乘方：(ab)n＝anbn(n是正整數(shù))；(4)同底數(shù)冪的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整數(shù)，m>n)；(5)商的乘方：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n是正整數(shù))；(6)0指數(shù)冪：a0＝1(a≠0).思考am中指數(shù)m可以是負(fù)整數(shù)嗎？如果可以，那么負(fù)整數(shù)指數(shù)冪am表示什么？【教學(xué)建議】教師需待學(xué)生獨(dú)立思考完成后再公布答案，激活學(xué)生原有的知識(shí)，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)是在原有知識(shí)上自我生成的過(guò)程.活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知設(shè)計(jì)意圖由問(wèn)題引入，再?gòu)臄?shù)到式，層層深入，通過(guò)可操作的數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的探究方法．并在探究中找到活動(dòng)一的問(wèn)題的答案，前后呼應(yīng).探究點(diǎn)1負(fù)整數(shù)指數(shù)冪問(wèn)題在am÷an中，當(dāng)m＝n時(shí)，產(chǎn)生0次冪，那么當(dāng)m<n時(shí)，會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們先來(lái)看看具體的例子：53÷55＝53－5＝5－2，53÷55＝eq\f(53,55)＝eq\f(1,52)，發(fā)現(xiàn)5－2＝eq\f(1,52).同樣地，將數(shù)字換成字母，算一算“a3÷a5＝？”，你發(fā)現(xiàn)了什么？eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a3÷a5＝\f(a3,a5)＝\f(a3,a3·a2)＝\f(1,a2),a3÷a5＝a3－5＝a－2))eq\o(→,\s\up7(（a≠0）))a－2＝eq\f(1,a2)所以，我們想到如果規(guī)定a－2＝eq\f(1,a2)(a≠0)，就能使am÷an＝am－n這條性質(zhì)也適用于像a3÷a5這樣的情形．為使上述運(yùn)算性質(zhì)適用范圍更廣，同時(shí)也可以更簡(jiǎn)便地表示分式，數(shù)學(xué)中規(guī)定：【教學(xué)建議】教學(xué)中，應(yīng)注意不要讓學(xué)生產(chǎn)生誤解，以為a－n＝eq\f(1,an)(n是正整數(shù))是證明出來(lái)的，而要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這是一種規(guī)定，這種規(guī)定是合理的.這樣可以擴(kuò)大原有的指數(shù)運(yùn)算法則的適用范圍.教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖例題的設(shè)計(jì)，底數(shù)由整數(shù)到負(fù)數(shù)再到分?jǐn)?shù)，并讓學(xué)生逐步掌握和理解底數(shù)符號(hào)與指數(shù)符號(hào)的差別.一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)．這就是說(shuō)，a－n(a≠0)是an的倒數(shù)．引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到全體整數(shù)．你現(xiàn)在能說(shuō)出當(dāng)m分別是正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)時(shí)，am各表示什么意思嗎？答：對(duì)于am，設(shè)a≠0，則：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m為正整數(shù)時(shí)，am＝am；,m為0時(shí)，am＝1；,m為負(fù)整數(shù)時(shí)，am＝\f(1,a－m).))例計(jì)算：6－2＝eq\f(1,36)；－2－2＝－eq\f(1,4)；(－2)－3＝－eq\f(1,8)；(eq\f(1,3))－3＝27；(－eq\f(3,2))－1＝－eq\f(2,3)；b－4＝eq\f(1,b4)(b≠0)．解析：6－2＝eq\f(1,62)＝eq\f(1,36)；－2－2＝－eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)；(－2)－3＝eq\f(1,（－2）3)＝－eq\f(1,8)；(eq\f(1,3))－3＝eq\f(1,（\f(1,3)）3)＝27；(－eq\f(3,2))－1＝eq\f(1,－\f(3,2))＝－eq\f(2,3)；b－4＝eq\f(1,b4)(b≠0)．【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P145上面練習(xí)第1題．【教學(xué)建議】教師需提醒學(xué)生數(shù)學(xué)中定義a－n＝eq\f(1,an)(n是正整數(shù))，從這個(gè)意義上說(shuō)a－n屬于分式．若學(xué)生不好理解，教師可以結(jié)合具體的例子加以說(shuō)明．設(shè)計(jì)意圖隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù)，通過(guò)逐一驗(yàn)證的方式，將正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指數(shù)冪．讓學(xué)生體驗(yàn)自主探究獲得結(jié)論的成就感和愉悅感，從而牢固地掌握所學(xué)知識(shí)．探究點(diǎn)2整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算問(wèn)題1引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))這條性質(zhì)能否推廣到m，n是任意整數(shù)的情形？a3·a－5＝eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,a2)＝a－2＝a3＋(－5)，即a3·a－5＝a3＋(－5)．a(chǎn)－3·a－5＝eq\f(1,a3)·eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a8)＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．a(chǎn)0·a－5＝1·eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a5)＝a－5＝a0＋(－5)，即a0·a－5＝a0＋(－5)．教師歸納am·an＝am＋n這條性質(zhì)對(duì)于m，n是任意整數(shù)的情形仍然適用．問(wèn)題2不僅僅是上面這個(gè)性質(zhì)，活動(dòng)一中的另外4個(gè)性質(zhì)也都限定了指數(shù)的范圍為正整數(shù)，現(xiàn)在我們希望把指數(shù)的范圍擴(kuò)大到全體整數(shù)，原來(lái)適合于正整數(shù)指數(shù)冪的其他運(yùn)算性質(zhì)，是否適合于全體整數(shù)指數(shù)冪？大家試著驗(yàn)證看看！驗(yàn)證冪的乘方(a－3)2＝(eq\f(1,a3))2＝eq\f(1,a6)＝a－6＝a(－3)×2，即(a－3)2＝a(－3)×2.歸納：(am)n＝amn這條性質(zhì)，對(duì)于m，n是任意整數(shù)的情形仍適用．驗(yàn)證同底數(shù)冪的除法a－2÷a－4＝eq\f(1,a2)÷eq\f(1,a4)＝eq\f(1,a2)·a4＝a2＝a(－2)－(－4)，即a－2÷a－4＝a(－2)－(－4)【教學(xué)建議】大部分學(xué)生會(huì)忘記附上對(duì)指數(shù)取值范圍的規(guī)定，學(xué)生對(duì)冪的指數(shù)的理解并不透徹，所以可以此為契機(jī)，引發(fā)學(xué)生對(duì)冪的指數(shù)的思考．【教學(xué)建議】在這個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生可能存在三個(gè)問(wèn)題，老師需要引導(dǎo)解決：1．有些學(xué)生可能會(huì)選取2個(gè)正整數(shù)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，當(dāng)數(shù)域進(jìn)行推廣之后，只要驗(yàn)證新推廣的數(shù)對(duì)于性質(zhì)是成立的就可以了．2．在驗(yàn)證冪的乘方教學(xué)步驟師生活動(dòng)通過(guò)例題鞏固知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，規(guī)范其解題書(shū)寫(xiě)格式.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練是為鞏固整數(shù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)而設(shè)計(jì)的.歸納：am÷an＝am－n這條性質(zhì)，對(duì)于m，n是任意整數(shù)的情形仍適用.驗(yàn)證分式的乘方(eq\f(a,b))－2＝(eq\f(b,a))2＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,a2)·b2＝a－2·eq\f(1,b－2)＝eq\f(a－2,b－2)，即(eq\f(a,b))－2＝eq\f(a－2,b－2).歸納：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)這條性質(zhì)，對(duì)于n是任意整數(shù)的情形仍適用.教師歸納：指數(shù)的范圍擴(kuò)大到全體整數(shù)后，活動(dòng)一中所列的性質(zhì)仍適用.即，整數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)am·an＝am＋n(m，n是整數(shù))；(2)(am)n＝amn(m，n是整數(shù))；(3)(ab)n＝anbn(n是整數(shù))；(4)am÷an＝am－n(a≠0，m，n是整數(shù))；(5)(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n是整數(shù))；(6)當(dāng)a≠0時(shí)，a0＝1.由于負(fù)整數(shù)指數(shù)的出現(xiàn)，使得am÷an＝am·a－n＝am－n，(同底數(shù)冪的除法eq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化))同底數(shù)冪的乘法)(eq\f(a,b))n＝(ab－1)n＝anb－n.(分式的乘方eq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化))積的乘方)于是，整數(shù)指數(shù)冪的前5條運(yùn)算性質(zhì)，實(shí)際上可以合并為3條，即(1)am·an＝am＋n(m，n是整數(shù))；(2)(am)n＝amn(m，n是整數(shù))；(3)(ab)n＝anbn(n是整數(shù)).例(教材P144例9)計(jì)算：(1)a－2÷a5；(2)(eq\f(b3,a2))－2；(3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝eq\f(1,a7)；(2)(eq\f(b3,a2))－2＝eq\f(b－6,a－4)＝a4b－6＝eq\f(a4,b6)；(3)(a－1b2)3＝a－3b6＝eq\f(b6,a3)；(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝eq\f(b8,a8).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P145上面練習(xí)第2題.這條性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)列舉出(a－2)3和(a2)－3這兩種形式，要幫助學(xué)生理解符號(hào)和指數(shù)在這里的含義.3.在驗(yàn)證分式的乘方這條性質(zhì)時(shí)，要用到an＝eq\f(1,a－n)這個(gè)公式，需要給學(xué)生講解.【教學(xué)建議】解對(duì)應(yīng)訓(xùn)練中的習(xí)題時(shí)應(yīng)直接應(yīng)用這些性質(zhì)，而不要先急于轉(zhuǎn)化為分式形式，具體解題過(guò)程可以參考例題．但最后的結(jié)果通常要轉(zhuǎn)化為分式的形式.活動(dòng)三：知識(shí)延伸，補(bǔ)充新知設(shè)計(jì)意圖例題是為補(bǔ)充和強(qiáng)化0次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪有意義的條件而設(shè)計(jì)的.知識(shí)，學(xué)會(huì)規(guī)范答題，感悟幾何計(jì)算的嚴(yán)謹(jǐn)性，明白學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)的意義.例若(x－3)0－2(3x－6)－2有意義，則x的取值范圍是什么？思路分析：解：根據(jù)題意，若(x－3)0有意義，則x－3≠0，即x≠3.若(3x－6)－2有意義，則3x－6≠0，即x≠2.所以x≠3且x≠2.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】若(x－1)－1＋x0有意義，則x取值范圍應(yīng)是x≠0且x≠1.【教學(xué)建議】教師強(qiáng)調(diào)：若要原式有意義，則底數(shù)不能為0.教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？2.an的倒數(shù)是什么？3.整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P147習(xí)題15.2第7題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)15.2.3整數(shù)指數(shù)冪第1課時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 1.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 2.冪的運(yùn)算性質(zhì)的推廣．教學(xué)反思本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)及運(yùn)算之后的教學(xué)，在復(fù)習(xí)正整數(shù)指數(shù)冪的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)后精心設(shè)置問(wèn)題讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論并學(xué)習(xí)如何描述，加深學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)與前面所學(xué)知識(shí)的不同，逐步完善運(yùn)算性質(zhì)的限制條件，不但調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)也達(dá)到了預(yù)期效果.解題大招一含整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪與絕對(duì)值的混合運(yùn)算分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．例1計(jì)算：－22＋(－eq\f(1,2))－2－(2060－π)0－|－eq\r(9)|.解：－22＋(－eq\f(1,2))－2－(2060－π)0－|－eq\r(9)|＝－4＋4－1－3＝－4.解題大招二負(fù)整數(shù)指數(shù)冪比較大小的方法方法①：直接計(jì)算后進(jìn)行比較．方法②：先轉(zhuǎn)化為正整數(shù)指數(shù)冪，再將其化為底數(shù)或指數(shù)相同的冪進(jìn)行比較．例2若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，則a，b，c的大小關(guān)系是a＞c＞b.解析：∵a＝(－eq\f(2,3))－2＝(－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq\f(3,2))0＝1，∴a＞c＞b.例3比較大?。?1－31＜27－41.解析：81－31＝eq\f(1,8131)＝eq\f(1,34×31)＝eq\f(1,3124)，27－41＝eq\f(1,2741)＝eq\f(1,33×41)＝eq\f(1,3123).∵3124＞3123，∴eq\f(1,3124)＜eq\f(1,3123)，∴81－31＜27－41.培優(yōu)點(diǎn)運(yùn)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)求待定字母的值例已知3m＝eq\f(1,27)，(eq\f(1,2))n＝16，求