2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第1課時 利用平方差公式分解因式教學(xué)設(shè)計

第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線段11.1.1三角形的邊教學(xué)目標(biāo)課題14.3.2第1課時利用平方差公式分解因式授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解平方差公式進行因式分解的意義，掌握公式的特點.2.能用平方差公式進行因式分解，發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力. 3.經(jīng)歷探索利用平方差公式進行因式分解的推導(dǎo)過程，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，感受數(shù)學(xué)知識的完整性. 教學(xué)重點利用平方差公式分解因式．教學(xué)難點領(lǐng)會分解因式的解題步驟和分解因式的徹底性.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引出新課設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的因式分解的概念和提公因式法分解因式，引出不能用此法分解的式子，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，從而引出新課.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】問題1首先想請大家回憶一下上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的因式分解的概念是什么？把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解.接下來大家動動手，分解因式：(1)5a－10ab；(2)6p(p＋q)－4q(p＋q)；(3)2mx－6my;(4)－3x2＋6xy－9xz.解：(1)原式＝5a(1－2b)；(2)原式＝2(p＋q)(3p－2q)；(3)原式＝2m(x－3y);(4)原式＝－3x(x－2y＋3z).問題2以上的分解因式大家用的是什么方法呀？提公因式法.那我們再來看兩個題：分解因式：x2－25，9x2－y2.大家試一試！問題3用提公因式法還能將它們分解因式嗎？我們發(fā)現(xiàn)提公因式法無法使用，那怎么才能將它們分解因式呢？這就是我們今天這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容！【教學(xué)建議】對于練習(xí)部分，先讓學(xué)生獨立演算，之后與同桌互相訂正，教師最后集體訂正．對于問題，教師鼓勵學(xué)生踴躍舉手發(fā)言展示自己，表達自己.活動二：實踐探究，獲取新知設(shè)計意圖從學(xué)生已有的知識出發(fā)，慢慢自我構(gòu)建新知識，增強學(xué)生的自信心．通過問題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力．讓學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、交流、歸納的過程，從而掌握新知.探究點利用平方差公式分解因式請同學(xué)們計算下列各式(大家在下面做，兩位同學(xué)上臺板演)：(1)(x＋5)(x－5)；(2)(3x＋y)(3x－y).解：(1)(x＋5)(x－5)＝x2－52＝x2－25；(2)(3x＋y)(3x－y)＝(3x)2－y2＝9x2－y2.問題1大家說說計算的依據(jù)是什么呢？平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.根據(jù)上面兩道題，請大家試著分解因式(大家在下面做，兩位同學(xué)上臺板演)：(1)x2－25;(2)9x2－y2.解：(1)x2－25＝(x＋5)(x－5)；(2)9x2－y2＝(3x＋y)(3x－y).問題2同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？把等號兩邊互換位置就可以得到因式分解的結(jié)果.問題3我們把這些式子推廣到一般式a2－b2，它有什么特點呢？你能將它分解因式嗎？【教學(xué)建議】教師引導(dǎo)學(xué)生完成題目，并運用數(shù)學(xué)“互逆”的思維，尋找因式分解的規(guī)律.【教學(xué)建議】平方差公式前面已經(jīng)學(xué)過，這里要提醒學(xué)生注意此處語言敘述的順序與乘法公式中的平方差公式不相同．這里是：“兩個數(shù)的平方差，等于……”，而乘法公式中平方差公式的語言敘述為：“兩個數(shù)的和與這兩教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界抽象出幾何模型的過程，認(rèn)識三角形的各個基本要素.這個多項式是兩個數(shù)的平方差的形式．由于整式的乘法與因式分解是方向相反的變形，把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的等號兩邊互換位置，就得到即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積. 這樣，我們就得到了將形如a2－b2的式子分解因式的辦法了！下面我們來看兩個例題． 例(教材P116例3)分解因式： (1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2分析：在(1)中，4x2＝(2x)2，9＝32，4x2－9＝(2x)2－32； 在(2)中，把x＋p和x＋q各看成一個整體，設(shè)x＋p＝m，x＋q＝n，則原式化為m2－n2. 解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；(2)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q).【對應(yīng)訓(xùn)練】 教材P117練習(xí)第1，2(1)(2)題. 個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差”.對于平方差公式中的字母a，b，教學(xué)中還要強調(diào)一下，它們可以表示數(shù)，也可以表示含字母的整式．【教學(xué)建議】例題(1)中兩項字母的系數(shù)都不是1，為使公式中的a2和b2分別相當(dāng)于已給的多項式的兩項，要經(jīng)過簡單變形．為了能熟練運用這個公式，最好讓學(xué)生熟記1到20這些正整數(shù)的平方.活動三：典例探究，鞏固提升設(shè)計意圖此活動的設(shè)計主要是以典例探究的形式強調(diào)分解因式要徹底的問題，并結(jié)合了上節(jié)課的提公因式法和本節(jié)課學(xué)習(xí)的公式法，體現(xiàn)了前后知識的關(guān)聯(lián)性和完整性.多步分解因式 問題1請同學(xué)們按照我們剛學(xué)的公式法來分解因式：x4－y4.看看大家會遇到什么新的問題呢？ x4－y4可以寫成(x2)2－(y2)2的形式，這樣就可以用平方差公式進行因式分解了，即x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2). 問題2有同學(xué)得到這樣的答案，大家思考一下，這個因式分解徹底了嗎？這是正確答案嗎？ 有同學(xué)已經(jīng)注意到了x2－y2還能分解！所以正確的解題過程是： x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y). 我們再來看一個例題：分解因式：a3b－ab. 分析：a3b－ab有公因式ab，應(yīng)先提出公因式，剩下a2－1，根據(jù)上一題的經(jīng)驗，我們發(fā)現(xiàn)此式子還可以進一步分解，具體過程如下. 解：a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1).【對應(yīng)訓(xùn)練】 教材P117練習(xí)第2(3)(4)題．【教學(xué)建議】教師提醒學(xué)生分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止．目前只在有理數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解．【教學(xué)建議】教學(xué)中教師需強調(diào)若多項式的各項含有公因式，通常先提公因式，再進一步分解因式．活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：怎樣利用平方差公式分解因式？用式子如何表示？分解因式時，必須遵循什么原則？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P119習(xí)題14.3第2，4(2)題．2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．教學(xué)步驟師生活動板書設(shè)計14.3.2公式法 第1課時利用平方差公式分解因式 符號語言：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 文字語言：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.教學(xué)反思上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用提公因式法分解因式，初步體會到了因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，本節(jié)課通過對乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的逆向變形，容易得出a2－b2＝(a＋b)(a－b)，但準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，進行因式分解對學(xué)生來說還有很大的難度，學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力，有條理的思考及語言表達能力還有待加強.解題大招一利用平方差公式分解因式分解因式前應(yīng)先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．如遇到不能直接套用公式，則將原式轉(zhuǎn)化為兩個式子的平方差的形式后，再運用平方差公式分解因式．例1分解因式：(1)a4－eq\f(1,16)b4；(2)x3y2－xy4；(3)(a＋b)2－4a2；(4)9x2(a－b)＋y2(b－a)．解：(1)a4－eq\f(1,16)b4＝(a2＋eq\f(1,4)b2)(a2－eq\f(1,4)b2)＝(a2＋eq\f(1,4)b2)(a＋eq\f(1,2)b)(a－eq\f(1,2)b)；(2)x3y2－xy4＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)；(3)(a＋b)2－4a2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)；(4)9x2(a－b)＋y2(b－a)＝9x2(a－b)－y2(a－b)＝(a－b)(9x2－y2)＝(a－b)(3x＋y)(3x－y)．解題大招二利用因式分解進行簡便運算對于形如“a2－b2”的數(shù)字類式子，可直接運用或簡單變形后運用平方差公式進行簡便運算，其中“1”可看作“12”．例2用簡便方法計算：(1)1012－992;(2)1－9992;(3)5722×eq\f(1,4)－4282×eq\f(1,4).解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝200×2＝400；(2)1－9992＝(1＋999)(1－999)＝1000×(－998)＝－998000；(3)5722×eq\f(1,4)－4282×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)×(5722－4282)＝eq\f(1,4)×(572＋428)(572－428)＝eq\f(1,4)×1000×144＝36000.解題