2024～2025學年度八年級數學上冊第1課時 利用平方差公式分解因式教學設計

第十一章三角形11.1與三角形有關的線段11.1.1三角形的邊教學目標課題14.3.2第1課時利用平方差公式分解因式授課人素養(yǎng)目標1.理解平方差公式進行因式分解的意義，掌握公式的特點.2.能用平方差公式進行因式分解，發(fā)展學生的運算能力和推理能力. 3.經歷探索利用平方差公式進行因式分解的推導過程，發(fā)展學生的逆向思維，感受數學知識的完整性. 教學重點利用平方差公式分解因式．教學難點領會分解因式的解題步驟和分解因式的徹底性.教學活動教學步驟師生活動活動一：復習導入，引出新課設計意圖通過復習上節(jié)課學習的因式分解的概念和提公因式法分解因式，引出不能用此法分解的式子，激發(fā)學生的好奇心和探索欲，從而引出新課.【復習導入】問題1首先想請大家回憶一下上節(jié)課我們學習的因式分解的概念是什么？把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解.接下來大家動動手，分解因式：(1)5a－10ab；(2)6p(p＋q)－4q(p＋q)；(3)2mx－6my;(4)－3x2＋6xy－9xz.解：(1)原式＝5a(1－2b)；(2)原式＝2(p＋q)(3p－2q)；(3)原式＝2m(x－3y);(4)原式＝－3x(x－2y＋3z).問題2以上的分解因式大家用的是什么方法呀？提公因式法.那我們再來看兩個題：分解因式：x2－25，9x2－y2.大家試一試！問題3用提公因式法還能將它們分解因式嗎？我們發(fā)現提公因式法無法使用，那怎么才能將它們分解因式呢？這就是我們今天這節(jié)課要學習的內容！【教學建議】對于練習部分，先讓學生獨立演算，之后與同桌互相訂正，教師最后集體訂正．對于問題，教師鼓勵學生踴躍舉手發(fā)言展示自己，表達自己.活動二：實踐探究，獲取新知設計意圖從學生已有的知識出發(fā)，慢慢自我構建新知識，增強學生的自信心．通過問題培養(yǎng)學生的逆向思維能力．讓學生經歷思考、探究、交流、歸納的過程，從而掌握新知.探究點利用平方差公式分解因式請同學們計算下列各式(大家在下面做，兩位同學上臺板演)：(1)(x＋5)(x－5)；(2)(3x＋y)(3x－y).解：(1)(x＋5)(x－5)＝x2－52＝x2－25；(2)(3x＋y)(3x－y)＝(3x)2－y2＝9x2－y2.問題1大家說說計算的依據是什么呢？平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.根據上面兩道題，請大家試著分解因式(大家在下面做，兩位同學上臺板演)：(1)x2－25;(2)9x2－y2.解：(1)x2－25＝(x＋5)(x－5)；(2)9x2－y2＝(3x＋y)(3x－y).問題2同學們發(fā)現了什么規(guī)律呢？把等號兩邊互換位置就可以得到因式分解的結果.問題3我們把這些式子推廣到一般式a2－b2，它有什么特點呢？你能將它分解因式嗎？【教學建議】教師引導學生完成題目，并運用數學“互逆”的思維，尋找因式分解的規(guī)律.【教學建議】平方差公式前面已經學過，這里要提醒學生注意此處語言敘述的順序與乘法公式中的平方差公式不相同．這里是：“兩個數的平方差，等于……”，而乘法公式中平方差公式的語言敘述為：“兩個數的和與這兩教學步驟師生活動設計意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯系，使學生經歷從現實世界抽象出幾何模型的過程，認識三角形的各個基本要素.這個多項式是兩個數的平方差的形式．由于整式的乘法與因式分解是方向相反的變形，把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的等號兩邊互換位置，就得到即兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積. 這樣，我們就得到了將形如a2－b2的式子分解因式的辦法了！下面我們來看兩個例題． 例(教材P116例3)分解因式： (1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2分析：在(1)中，4x2＝(2x)2，9＝32，4x2－9＝(2x)2－32； 在(2)中，把x＋p和x＋q各看成一個整體，設x＋p＝m，x＋q＝n，則原式化為m2－n2. 解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；(2)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q).【對應訓練】 教材P117練習第1，2(1)(2)題. 個數的差的積等于這兩個數的平方差”.對于平方差公式中的字母a，b，教學中還要強調一下，它們可以表示數，也可以表示含字母的整式．【教學建議】例題(1)中兩項字母的系數都不是1，為使公式中的a2和b2分別相當于已給的多項式的兩項，要經過簡單變形．為了能熟練運用這個公式，最好讓學生熟記1到20這些正整數的平方.活動三：典例探究，鞏固提升設計意圖此活動的設計主要是以典例探究的形式強調分解因式要徹底的問題，并結合了上節(jié)課的提公因式法和本節(jié)課學習的公式法，體現了前后知識的關聯性和完整性.多步分解因式 問題1請同學們按照我們剛學的公式法來分解因式：x4－y4.看看大家會遇到什么新的問題呢？ x4－y4可以寫成(x2)2－(y2)2的形式，這樣就可以用平方差公式進行因式分解了，即x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2). 問題2有同學得到這樣的答案，大家思考一下，這個因式分解徹底了嗎？這是正確答案嗎？ 有同學已經注意到了x2－y2還能分解！所以正確的解題過程是： x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y). 我們再來看一個例題：分解因式：a3b－ab. 分析：a3b－ab有公因式ab，應先提出公因式，剩下a2－1，根據上一題的經驗，我們發(fā)現此式子還可以進一步分解，具體過程如下. 解：a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1).【對應訓練】 教材P117練習第2(3)(4)題．【教學建議】教師提醒學生分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止．目前只在有理數范圍內進行因式分解．【教學建議】教學中教師需強調若多項式的各項含有公因式，通常先提公因式，再進一步分解因式．活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：怎樣利用平方差公式分解因式？用式子如何表示？分解因式時，必須遵循什么原則？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P119習題14.3第2，4(2)題．2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．教學步驟師生活動板書設計14.3.2公式法 第1課時利用平方差公式分解因式 符號語言：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 文字語言：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積.教學反思上一節(jié)課已經學習了利用提公因式法分解因式，初步體會到了因式分解與整式乘法的互逆關系，本節(jié)課通過對乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的逆向變形，容易得出a2－b2＝(a＋b)(a－b)，但準確理解和掌握公式的結構特征，進行因式分解對學生來說還有很大的難度，學生的觀察、歸納、類比、概括等能力，有條理的思考及語言表達能力還有待加強.解題大招一利用平方差公式分解因式分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．如遇到不能直接套用公式，則將原式轉化為兩個式子的平方差的形式后，再運用平方差公式分解因式．例1分解因式：(1)a4－eq\f(1,16)b4；(2)x3y2－xy4；(3)(a＋b)2－4a2；(4)9x2(a－b)＋y2(b－a)．解：(1)a4－eq\f(1,16)b4＝(a2＋eq\f(1,4)b2)(a2－eq\f(1,4)b2)＝(a2＋eq\f(1,4)b2)(a＋eq\f(1,2)b)(a－eq\f(1,2)b)；(2)x3y2－xy4＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)；(3)(a＋b)2－4a2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)；(4)9x2(a－b)＋y2(b－a)＝9x2(a－b)－y2(a－b)＝(a－b)(9x2－y2)＝(a－b)(3x＋y)(3x－y)．解題大招二利用因式分解進行簡便運算對于形如“a2－b2”的數字類式子，可直接運用或簡單變形后運用平方差公式進行簡便運算，其中“1”可看作“12”．例2用簡便方法計算：(1)1012－992;(2)1－9992;(3)5722×eq\f(1,4)－4282×eq\f(1,4).解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝200×2＝400；(2)1－9992＝(1＋999)(1－999)＝1000×(－998)＝－998000；(3)5722×eq\f(1,4)－4282×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)×(5722－4282)＝eq\f(1,4)×(572＋428)(572－428)＝eq\f(1,4)×1000×144＝36000.解題