專(zhuān)題21.1 二次根式的概念及性質(zhì)（基礎(chǔ)檢測(cè)）（解析版）

專(zhuān)題21.1二次根式的概念及性質(zhì)（基礎(chǔ)檢測(cè)）一、單選題1．下列給出的式子是二次根式的是（）A．±3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．±3不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B.是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵3﹣π＜0，∴不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵的根指數(shù)是3，不是2，∴不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解題意二次根式的定義．2．當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式、、、、、是二次根式的有多少個(gè)（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴、、、四個(gè)是二次根式，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)時(shí)，、不能保證是非負(fù)數(shù)，因此與不是二次根式，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．3．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次根式的性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：，故A正確，C錯(cuò)誤；，故B、D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)進(jìn)行判斷．4．函數(shù)有意義的條件是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【詳解】要使函數(shù)有意義，則，且，∴且．5．若，則x等于（）A．0 B． C．0和 D．任意實(shí)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)，可得，從而可得x值．【詳解】解：，則x為任意實(shí)數(shù)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，難度中等偏難．解題時(shí)要根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)及絕對(duì)值的性質(zhì)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身．6．若代數(shù)式有意義，則必須滿(mǎn)足條件（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意，依據(jù)分式有意義分母不為零、根式大于等于零，即可；【詳解】由題知，代數(shù)式有意義，∴且；∴且；∴；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分式、二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵在二者結(jié)合進(jìn)行解決問(wèn)題；7．已知（）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得關(guān)于x的不等式組，進(jìn)而可求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】由題意得：x?2≥0，2?x≥0，所以x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=-3，所以(x+y)4=(2-3)4=1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、代數(shù)式求值和一元一次不等式組，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．下列等式一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)和算術(shù)平方根的定義逐項(xiàng)化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】A．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．B．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．C．，故該選項(xiàng)正確，符合題意．D．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和算術(shù)平方根的定義，正確的化簡(jiǎn)各數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．如果（2+）2=a+b（a，b為有理數(shù)），那么a+b等于（

）A．7 B．8

C．10 D．10【答案】D【分析】直接利用完全平方公式將原式展開(kāi)，進(jìn)而得出a，b的值，即可得出答案．【詳解】解：∵（2+）2=a+b（a，b為有理數(shù)）∴6＋4＝a＋b，∴a＝6，b＝4，∴a＋b＝10．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．10．若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的概念可知使分式有意義的條件為a≠0，根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0可知，使該等式成立的條件為a＞0且1-a≥0，故a的取值范圍是0＜a≤1.【詳解】解：∵，∴，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的概念和分式的概念，需注意在任何時(shí)候都要考慮分母不為0，這也是本題最容易出錯(cuò)的地方．二、填空題11．已知，則的值為_(kāi)______．【答案】9【分析】直接根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【詳解】解：∵∴∴故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，解答此題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根和平方互為逆運(yùn)算．12．如果x＝1是關(guān)于x的方程＝x的一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么k＝_____．【答案】0【分析】先把x＝1代入方程，兩邊平方求出k的值．【詳解】解：把x＝1代入方程，得＝1，兩邊平方，得1+k＝1，解得k＝0．經(jīng)檢驗(yàn)，k＝0符合題意．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，熟練掌握方程解的定義是解題的關(guān)鍵．13．若整數(shù)x滿(mǎn)足，則使為整數(shù)的x的值是____________．【答案】-2【分析】先求出x的取值范圍，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答．【詳解】解：∵|x|≤2，∴-2≤x≤2，∴當(dāng)x=-2時(shí)，，故使為整數(shù)的x的值是-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，熟記常見(jiàn)的平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．已知，則____________．【答案】-8【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0可求出x的值，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得x=3，∴y=-2，∴，故答案為：-8．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，被開(kāi)方數(shù)大于等于0．15．已知實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：_______．【答案】m【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置，判斷m、m+n、n-m的符號(hào)，再根據(jù)二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由實(shí)數(shù)m、n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置可知，m＜0，m+n＜0，n-m＞0，所以=-m-（n-m）+（m+n）=-m-n+m+m+n=m，故答案為：m．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)，絕對(duì)值以及二次根式的化簡(jiǎn)，掌握絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．16．已知是實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的平方根是____________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可求得x，然后求得y，最后求平方根即可．【詳解】解：∵是實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，∴并且，解得，此時(shí)，∴，其平方根是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，求一個(gè)數(shù)的平方根，二次根式的化簡(jiǎn)，理解二次根式有意義被開(kāi)方數(shù)非負(fù)是解題關(guān)鍵．17．已知，，當(dāng)分別取1，2，3，…，2021時(shí)，所對(duì)應(yīng)的值的總和是______．【答案】2027【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值即可求出答案．【詳解】解：由二次函數(shù)的性質(zhì)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴對(duì)應(yīng)的值的總和是：==；故答案為：2027．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．已知正方形的面積為，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】將正方形的面積開(kāi)平方，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵正方形的面積為，∴這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與應(yīng)用，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是正方形的面積利用完全平方公式轉(zhuǎn)化．19．已知1，，2分別是三角形的三邊長(zhǎng)，則__________．【答案】2【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】解：∵1，，2分別是三角形的三邊長(zhǎng)，∴，∴原式．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，以及二次根式與絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，掌握三角形的三邊關(guān)系以及二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．“七巧板”是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，可以拼出許多有趣的圖形，被譽(yù)為“東方魔板”．圖①是由邊長(zhǎng)為的正方形薄板分為7塊制作成的“七巧板”，圖②是用該“七巧板”拼成的一個(gè)“家”的圖形，該“七巧板”中7塊圖形之一的正方形邊長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】【分析】由正方形的性質(zhì)先求解的長(zhǎng)，再結(jié)合圖②可得：是等腰直角三角形，可得【詳解】解：如圖，在正方形中，結(jié)合圖②可得：是等腰直角三角形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了七巧板，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是得到該“七巧板”中7塊圖形之一的正方形的邊長(zhǎng)與七巧板中圖形的邊長(zhǎng)的關(guān)系．三、解答題21．計(jì)算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）2；（2）11；（3）；（4）0【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)算；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接計(jì)算即可；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分別計(jì)算每一項(xiàng)，再合并即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和算術(shù)平方根的定義，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．若時(shí)，試化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：因?yàn)?，所?=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，利用差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)是解題關(guān)鍵．23．已知a，b滿(mǎn)足（1）a=_______，b=______（2）把a(bǔ)，b的值代下以下方程并求解關(guān)于的方程【答案】（1）-4，；（2）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)，通過(guò)求解一元一次方程方程，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，通過(guò)求解一元一次方程方程，即可完成求解．【詳解】（1）∵∴∴∴故答案為：-4，；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得：∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程、二次根式、絕對(duì)值的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、絕對(duì)值的性質(zhì)，并通過(guò)求解一元一次方程，從而完成求解．24．已知二次根式.（1）求x的取值范圍；（2）求當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式的值；（3）若二次根式的值為零，求x的值.【答案】（1）x≤6（2）2（3）x=6【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即可求解；（2）直接把x=-2代入，進(jìn)而求出答案；（3）由0的算術(shù)平方根是0可得，=0，解方程即可求x的值.【詳解】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可得，解得x，∴x的取值范圍是：x；（2）當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式===2；（3）由題意可得=0，解得x=6.故答案為（1）x≤6（2）2（3）x=6.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).25．計(jì)算，其中，小明算出了這樣的結(jié)果：當(dāng)a=-1時(shí)，；請(qǐng)你說(shuō)出小明的錯(cuò)誤在哪里．【答案】小明的錯(cuò)誤在最后一步【分析】根據(jù)算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)判斷即可．【詳解】，故小明的錯(cuò)誤在最后一步．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的求值，理解算術(shù)平方根的非負(fù)性是解答的關(guān)鍵．26．物體自由下落時(shí)，下落距離h（米）可用公式h=9t2來(lái)估計(jì)，其中t（秒）表示物體下落所經(jīng)過(guò)的時(shí)間.（1）把這個(gè)公式變形成用h表示t的公式；（2）一個(gè)物體從64米高的塔頂自由下落，落到地面需幾秒？【答案】（1）t=（2）秒【分析】（1）根據(jù)平方根的定義和等式的性質(zhì)將公式h=9變形成用h表示t的公式；（2）將h=64代入用h表示t的公式中求解，即可求出物體落到地面所用的時(shí)間.【詳解】（1）h=9根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊除以9，得=，t=，因?yàn)閠為時(shí)間，t所以t=；（2）將h=64代入t=，得t==（秒）.故答案為：（1）t=（2）秒.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用.27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，且、滿(mǎn)足，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求，的值；（2）求三角形的面積．【答案】（1）a=﹣2，b=4；（2）9【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a、b的方程，解方程即得結(jié)果；（2）由（1）可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：（1）∵，∴a+2=0，b－4=0，∴a=﹣2，b=4；（2）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（