高一數(shù)學必修第一章空間幾何體知識點

第一章空間幾何體1.1空間幾何體的構造1.多面體及旋轉體：〔1〕由假設干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱及棱的公共點叫做多面體的頂點.〔2〕由一個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體，叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸.2.棱柱：〔1〕有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面〔簡稱底〕，其余各面叫做棱柱的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱，側面及底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.〔2〕側棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱?！?〕棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按側棱及底面的關系分為直棱柱和斜棱柱?！?〕底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側棱及底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長方體；底面為正方形的長方體叫正四棱柱；棱長都相等的正四棱柱叫正方體?！?〕棱柱的性質：①兩底面是對應邊平行的全等多邊形；②側面、對角面都是平行四邊形；③側棱平行且相等；④平行于底面的截面是及底面全等的多邊形。3.棱錐：〔1〕有一個面是多邊形，其余各面都是有一公共點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面，各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱.〔2〕底面是正多邊形，頂點在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點及底面中心的連線段叫正棱錐的高；正棱錐側面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高?！?〕棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.〔4〕棱錐的性質：①側面、對角面都是三角形；②平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于頂點到截面間隔及高的比的平方.〔5〕正棱錐的性質：①正棱錐各側棱都相等，各側面都是全等的等腰三角形。②正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高，側棱，側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形。③正棱錐的側棱及底面所成的角都相等。④正棱錐的側面及底面所成的二面角都相等。4.圓柱及圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,其余兩邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線.5.棱臺及圓臺：〔1〕用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺；用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺.〔2〕棱臺的性質：兩底面所在平面相互平行；兩底面是對應邊相互平行的相像多邊形；側面是梯形；側棱的延長線相交于一點.〔3〕圓臺的性質：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；隨意兩條母線的延長線交于一點；母線長都相等.〔4〕棱臺及圓臺統(tǒng)稱為臺體.：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體，叫球體，簡稱球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.7.簡潔組合體：由簡潔幾何體〔如柱、錐、臺、球等〕組合而成的幾何體叫簡潔組合體.【常見題型】1．如下四個命題：①棱柱的側面都是平行四邊形；②棱錐的側面為三角形，且全部側面都有一個共同的公共點；③多面體至少有四個面；④棱臺的側棱所在直線均相交于同一點.其中正確的命題有〔D〕個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．圓錐底面半徑為１，高為，其中有一個內接正方體，求這個內接正方體的棱長．SDEOC1CFDSDEOC1CFD1過圓錐的頂點S和正方體底面的一條對角線作圓錐的截面，得圓錐的軸截面，正方體對角面1C1，如下圖.設正方體棱長為x，則1，C1D1.作于O，則，1，，∴，即.∴，即內接正方體棱長為1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.中心投影及平行投影：〔1〕光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影.〔2〕在一束平行光線照耀下形成的投影，稱為平行投影.〔3〕平行投影依據(jù)投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種.2.柱、錐、臺、球的三視圖：〔1〕三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面對后面正投影得到的投影圖；側視圖：光線從幾何體的左面對右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面對下面正投影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖．〔2〕三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度.3.直觀圖：“直觀圖〞最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出程度放置的直觀圖，其本質就是在坐標系中確定點的位置的畫法.根本步驟如下：〔1〕建系：在圖形中取相互垂直的x軸和y軸，得到直角坐標系，直觀圖中畫成斜坐標系，兩軸夾角為.〔2〕平行不變：圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x’或y’軸的線段.〔3〕長度規(guī)則：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半.留意：1.“視圖〞是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自物體的前面對后投影所得的投影圖成為“正視圖〞，自左向右投影所得的投影圖稱為“側視圖〞，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖〞.用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何構造，稱為“三視圖〞.2.畫三視圖之前，先把幾何體的構造弄清晰，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側〔和右側〕、正上方三個不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個平面圖形，并發(fā)揮空間想象實力.在繪制三視圖時，分界限和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來．3.三視圖中反響的長、寬、高的特點：“長對正〞，“高平齊〞，“寬相等〞．4.空間幾何體的三視圖及直觀圖有親密聯(lián)絡.三視圖從細微環(huán)節(jié)上刻畫了空間幾何體的構造，依據(jù)三視圖可以得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應用〔零件圖紙、建筑圖紙〕.直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，依據(jù)直觀圖的結設想象實物的形象．【常見題型】1．如圖，圖〔1〕是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖.【解】分析：畫三視圖之前，先把幾何體的構造弄清晰，確定一個正前方，從三個不同的角度進展視察.在繪制三視圖時，分界限和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來.圖〔1〕為圓柱和正六棱柱的組合體.從三個方向視察，得到三個平面圖形，繪制的三視圖如下列圖所示.2．畫棱長為4的正方體的直觀圖.【解】分析：依據(jù)斜二測畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先畫下底面，再畫棱，再畫上底面.〔1〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在的直角三角形中取直角邊所在的直線為x軸，及垂直的直線為y軸，畫出對應的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.〔2〕畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作程度放置的正方形的直觀圖，使.第二步，過A作軸，使.分別過點作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.1.3空間幾何體的外表積及體積1.3.1柱體、錐體、臺體的外表積及體積1.圓柱：側面綻開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高〔母線〕，2，2，其中為圓柱底面半徑，為母線長；.2.圓錐：側面綻開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線，弧長等于圓錐底面周長，側面綻開圖扇形中心角為，，，其中為圓錐底面半徑，為母線長.S為底面面積，h為高〕3.圓臺：側面綻開圖是扇環(huán)，內弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，側面綻開圖扇環(huán)中心角為，，.〔S，分別上、下底面積，h為高〕→〔r、R分別為圓臺上底、下底半徑〕4．柱、錐、臺的外表積及體積的計算公式的關系外表積相關公式外表積相關公式棱柱圓柱〔r：底面半徑，h：高〕棱錐圓錐〔r：底面半徑，l：母線長〕棱臺圓臺〔r：下底半徑，r’：上底半徑，l：母線長〕體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺棱錐圓錐圓臺5．柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進展改變，當臺體的上底面漸漸收縮為一個點時，它就成了錐體；當臺體的上底面漸漸擴展到及下底面全等時，它就成了柱體.因此體積會有以下的關系：.【常見題型】1．圓臺的上下底面半徑分別是2，5，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.【解】設圓臺的母線長為，則，圓臺的上底面面積為，圓臺的上底面面積為，所以圓臺的底面面積為.又圓臺的側面積，于是，即為所求.2．一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2，3，6，則長方體的體積是.【解】解析：長方體的長寬高分別為，求出的值，再求體積.設長方體的長寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長方體的體積為61.3.2球的體積和外表積1.球的體積是對球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函數(shù)，設球的半徑為，則球的體積2.球的外表積是對球的外表大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設球的半徑為，則球的外表積為，它是球的大圓面積的4倍3.用一個平面去截球，所得到的截面是一個圓.【常見題型】1．如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，假如，則球的外表積是A.B.C.D.【解】如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，及平面垂直，是棱錐的高，，，，所以，解得2，則球的外表積是，選D.2．半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，假設正方體棱長為，求球的外表積和體積．【解】分析：作出軸截面，利用勾股定理求解.作軸截面如下圖，，，設球半徑為，則∴，∴，．練習題一、選擇題1有一個幾何體的三視圖如下列圖所示，這個幾何體應是一個()A棱臺B棱錐C棱柱D都不對2棱長都是的三棱錐的外表積為〔〕ABCD3長方體的一個頂點上三條棱長分別是，它的個頂點都在同一球面上，這個球的外表積是〔〕ABCD都不對4正方體的內切球和外接球的半徑之比為〔〕ABCD5一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為，則球的外表積是〔〕ＡＢＣＤ6圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側面積為，則圓臺較小底面的半徑為〔〕AＢＣＤ7下列圖是由哪個平面圖形旋轉得到的〔〕〔2〕〔3〕〔4〕A〔1〕B〔2〕C〔3〕D〔4〕8在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是〔〕ABCD9圓柱及圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則〔〕ABCD10假如兩個球的體積之比為,則兩個球的外表積之比為()ABCD11有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下〔單位〕，則該幾何體外表積及體積為：〔〕665A，B，C，D以上都不正確12正方體的全面積為182，則它的體積是〔〕A43；B83；C3；D33。填空題13假設三個球的外表積之比是，則它們的體積之比是14一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個長方體的對角長是；假設長方體的共頂點的三個側面面積分別為，則它的體積為15中，，將三角形繞直角邊旋轉一周所成的幾何體的體積為16等體積的球和正方體,它們的外表積的大小關系是17圖〔1〕為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由塊木塊堆成;圖〔2〕中的三視圖表示的實物為圖〔2圖〔2〕圖〔1〕18假設圓錐的外表積為平方米，且它的側面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的直徑為19球的半徑擴大為原來的倍,它的體積擴大為原來的倍20一個直徑為厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面上升厘米則此球的半徑為厘米21棱臺的上下底面面積分別為4、16，高為3,則該棱臺的體積為三、解答題22將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側面，求圓錐的外表積和體積23有一個正四棱臺形態(tài)的油槽，可以裝油，假設它的兩底面邊長分別等于和，求它的深度為多少？24圓臺的上下底面半徑分別是,且側面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長25如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉一周所成幾何體的外表積及體積參考答案一、選擇題1A從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以推斷是棱臺2A因為四個面是全等的正三角形，則3B長方體的對角線是球的直徑