高一數(shù)學(xué)必修第一章空間幾何體知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體1.1空間幾何體的構(gòu)造1.多面體及旋轉(zhuǎn)體：〔1〕由假設(shè)干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱及棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).〔2〕由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.2.棱柱：〔1〕有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面〔簡(jiǎn)稱底〕，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面及底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).〔2〕側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱?！?〕棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按側(cè)棱及底面的關(guān)系分為直棱柱和斜棱柱?！?〕底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側(cè)棱及底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長(zhǎng)方體；底面為正方形的長(zhǎng)方體叫正四棱柱；棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體?！?〕棱柱的性質(zhì)：①兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；②側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；③側(cè)棱平行且相等；④平行于底面的截面是及底面全等的多邊形。3.棱錐：〔1〕有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一公共點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.棱錐中，這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.〔2〕底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點(diǎn)及底面中心的連線段叫正棱錐的高；正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高?！?〕棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.〔4〕棱錐的性質(zhì)：①側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；②平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于頂點(diǎn)到截面間隔及高的比的平方.〔5〕正棱錐的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。②正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。③正棱錐的側(cè)棱及底面所成的角都相等。④正棱錐的側(cè)面及底面所成的二面角都相等。4.圓柱及圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.5.棱臺(tái)及圓臺(tái)：〔1〕用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)；用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺(tái).〔2〕棱臺(tái)的性質(zhì)：兩底面所在平面相互平行；兩底面是對(duì)應(yīng)邊相互平行的相像多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn).〔3〕圓臺(tái)的性質(zhì)：兩底面是兩個(gè)半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；隨意兩條母線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；母線長(zhǎng)都相等.〔4〕棱臺(tái)及圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體，簡(jiǎn)稱球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.7.簡(jiǎn)潔組合體：由簡(jiǎn)潔幾何體〔如柱、錐、臺(tái)、球等〕組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)潔組合體.【常見(jiàn)題型】1．如下四個(gè)命題：①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且全部側(cè)面都有一個(gè)共同的公共點(diǎn)；③多面體至少有四個(gè)面；④棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn).其中正確的命題有〔D〕個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．圓錐底面半徑為１，高為，其中有一個(gè)內(nèi)接正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)．SDEOC1CFDSDEOC1CFD1過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和正方體底面的一條對(duì)角線作圓錐的截面，得圓錐的軸截面，正方體對(duì)角面1C1，如下圖.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則1，C1D1.作于O，則，1，，∴，即.∴，即內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)為1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.中心投影及平行投影：〔1〕光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影.〔2〕在一束平行光線照耀下形成的投影，稱為平行投影.〔3〕平行投影依據(jù)投射方向是否正對(duì)著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種.2.柱、錐、臺(tái)、球的三視圖：〔1〕三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面對(duì)后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面對(duì)右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面對(duì)下面正投影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖．〔2〕三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.3.直觀圖：“直觀圖〞最常用的畫(huà)法是斜二測(cè)畫(huà)法，由其規(guī)則能畫(huà)出程度放置的直觀圖，其本質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法.根本步驟如下：〔1〕建系：在圖形中取相互垂直的x軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系，直觀圖中畫(huà)成斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為.〔2〕平行不變：圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x’或y’軸的線段.〔3〕長(zhǎng)度規(guī)則：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.留意：1.“視圖〞是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖.光線自物體的前面對(duì)后投影所得的投影圖成為“正視圖〞，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖〞，自上向下投影所得的圖形稱為“俯視圖〞.用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何構(gòu)造，稱為“三視圖〞.2.畫(huà)三視圖之前，先把幾何體的構(gòu)造弄清晰，確定一個(gè)正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)〔和右側(cè)〕、正上方三個(gè)不同的方向看幾何體，畫(huà)出所得到的三個(gè)平面圖形，并發(fā)揮空間想象實(shí)力.在繪制三視圖時(shí)，分界限和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分用虛線表示出來(lái)．3.三視圖中反響的長(zhǎng)、寬、高的特點(diǎn)：“長(zhǎng)對(duì)正〞，“高平齊〞，“寬相等〞．4.空間幾何體的三視圖及直觀圖有親密聯(lián)絡(luò).三視圖從細(xì)微環(huán)節(jié)上刻畫(huà)了空間幾何體的構(gòu)造，依據(jù)三視圖可以得到一個(gè)精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用〔零件圖紙、建筑圖紙〕.直觀圖是對(duì)空間幾何體的整體刻畫(huà)，依據(jù)直觀圖的結(jié)設(shè)想象實(shí)物的形象．【常見(jiàn)題型】1．如圖，圖〔1〕是常見(jiàn)的六角螺帽，試畫(huà)出它的三視圖.【解】分析：畫(huà)三視圖之前，先把幾何體的構(gòu)造弄清晰，確定一個(gè)正前方，從三個(gè)不同的角度進(jìn)展視察.在繪制三視圖時(shí)，分界限和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分用虛線表示出來(lái).圖〔1〕為圓柱和正六棱柱的組合體.從三個(gè)方向視察，得到三個(gè)平面圖形，繪制的三視圖如下列圖所示.2．畫(huà)棱長(zhǎng)為4的正方體的直觀圖.【解】分析：依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的步驟畫(huà)正方體的直觀圖，先畫(huà)下底面，再畫(huà)棱，再畫(huà)上底面.〔1〕畫(huà)法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在的直角三角形中取直角邊所在的直線為x軸，及垂直的直線為y軸，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過(guò)作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.〔2〕畫(huà)法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作程度放置的正方形的直觀圖，使.第二步，過(guò)A作軸，使.分別過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.1.3空間幾何體的外表積及體積1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的外表積及體積1.圓柱：側(cè)面綻開(kāi)圖是矩形，長(zhǎng)是圓柱底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的高〔母線〕，2，2，其中為圓柱底面半徑，為母線長(zhǎng)；.2.圓錐：側(cè)面綻開(kāi)圖為一個(gè)扇形，半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，側(cè)面綻開(kāi)圖扇形中心角為，，，其中為圓錐底面半徑，為母線長(zhǎng).S為底面面積，h為高〕3.圓臺(tái)：側(cè)面綻開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，側(cè)面綻開(kāi)圖扇環(huán)中心角為，，.〔S，分別上、下底面積，h為高〕→〔r、R分別為圓臺(tái)上底、下底半徑〕4．柱、錐、臺(tái)的外表積及體積的計(jì)算公式的關(guān)系外表積相關(guān)公式外表積相關(guān)公式棱柱圓柱〔r：底面半徑，h：高〕棱錐圓錐〔r：底面半徑，l：母線長(zhǎng)〕棱臺(tái)圓臺(tái)〔r：下底半徑，r’：上底半徑，l：母線長(zhǎng)〕體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺(tái)棱錐圓錐圓臺(tái)5．柱、椎、臺(tái)之間，可以看成一個(gè)臺(tái)體進(jìn)展改變，當(dāng)臺(tái)體的上底面漸漸收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面漸漸擴(kuò)展到及下底面全等時(shí)，它就成了柱體.因此體積會(huì)有以下的關(guān)系：.【常見(jiàn)題型】1．圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng).【解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則，圓臺(tái)的上底面面積為，圓臺(tái)的上底面面積為，所以圓臺(tái)的底面面積為.又圓臺(tái)的側(cè)面積，于是，即為所求.2．一個(gè)長(zhǎng)方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2，3，6，則長(zhǎng)方體的體積是.【解】解析：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，求出的值，再求體積.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長(zhǎng)方體的體積為61.3.2球的體積和外表積1.球的體積是對(duì)球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的體積2.球的外表積是對(duì)球的外表大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的外表積為，它是球的大圓面積的4倍3.用一個(gè)平面去截球，所得到的截面是一個(gè)圓.【常見(jiàn)題型】1．如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，假如，則球的外表積是A.B.C.D.【解】如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，及平面垂直，是棱錐的高，，，，所以，解得2，則球的外表積是，選D.2．半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，假設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，求球的外表積和體積．【解】分析：作出軸截面，利用勾股定理求解.作軸截面如下圖，，，設(shè)球半徑為，則∴，∴，．練習(xí)題一、選擇題1有一個(gè)幾何體的三視圖如下列圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)()A棱臺(tái)B棱錐C棱柱D都不對(duì)2棱長(zhǎng)都是的三棱錐的外表積為〔〕ABCD3長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是，它的個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的外表積是〔〕ABCD都不對(duì)4正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為〔〕ABCD5一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為，則球的外表積是〔〕ＡＢＣＤ6圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的倍，母線長(zhǎng)為，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則圓臺(tái)較小底面的半徑為〔〕AＢＣＤ7下列圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的〔〕〔2〕〔3〕〔4〕A〔1〕B〔2〕C〔3〕D〔4〕8在棱長(zhǎng)為的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，則截去個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是〔〕ABCD9圓柱及圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則〔〕ABCD10假如兩個(gè)球的體積之比為,則兩個(gè)球的外表積之比為()ABCD11有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下〔單位〕，則該幾何體外表積及體積為：〔〕665A，B，C，D以上都不正確12正方體的全面積為182，則它的體積是〔〕A43；B83；C3；D33。填空題13假設(shè)三個(gè)球的外表積之比是，則它們的體積之比是14一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、、，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角長(zhǎng)是；假設(shè)長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為，則它的體積為15中，，將三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為16等體積的球和正方體,它們的外表積的大小關(guān)系是17圖〔1〕為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由塊木塊堆成;圖〔2〕中的三視圖表示的實(shí)物為圖〔2圖〔2〕圖〔1〕18假設(shè)圓錐的外表積為平方米，且它的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面的直徑為19球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的倍,它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍20一個(gè)直徑為厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面上升厘米則此球的半徑為厘米21棱臺(tái)的上下底面面積分別為4、16，高為3,則該棱臺(tái)的體積為三、解答題22將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的外表積和體積23有一個(gè)正四棱臺(tái)形態(tài)的油槽，可以裝油，假設(shè)它的兩底面邊長(zhǎng)分別等于和，求它的深度為多少？24圓臺(tái)的上下底面半徑分別是,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)25如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的外表積及體積參考答案一、選擇題1A從俯視圖來(lái)看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以推斷是棱臺(tái)2A因?yàn)樗膫€(gè)面是全等的正三角形，則3B長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑