愛提分中考復(fù)習(xí) 4一輪-圖形的性質(zhì)-第07講 四邊形（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識(shí)圖譜四邊形（二）知識(shí)精講一．知識(shí)精講1．平行四邊形平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形用“□”表示．如右圖，平行四邊形記作“□”．（字母順序須按順時(shí)針或逆時(shí)針的順序書寫）．平行四邊形的性質(zhì)（1）邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等．如下圖：，，，．（2）角的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角相等．如下圖：，．（3）對(duì)角線的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．如下圖：，．平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．2．三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．性質(zhì)：平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．3．矩形矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是長(zhǎng)方形．矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有．此外，它還具有以下性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是直角；（2）對(duì)角線相等．（3）是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是邊的垂直平分線．矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（定義）；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．4．菱形菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有．此外，它還具有以下性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．（3）是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)角線所在的直線．菱形的判定：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（定義）；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形．面積問題：如下圖：．5．正方形正方形的定義：有一組鄰邊相等、一個(gè)內(nèi)角是的平行四邊形叫做正方形．正方形的性質(zhì)：（1）正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)．（3）正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有4條．正方形的判定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（3）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊相等且四個(gè)角是直角的四邊形是正方形．6．梯形梯形的概念：一組對(duì)邊平行，另外一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形．平行的兩邊叫做梯形的底，其中較短的底稱為上底，較長(zhǎng)的底稱為下底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底間的距離叫做梯形的高．等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等；（2）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等．等腰梯形的判定：（1）同一底邊上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；（2）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形．梯形中位線的定義：梯形兩腰中點(diǎn)的連線叫做梯形的中位線．梯形中位線的性質(zhì)：梯形的中位線平行于上、下底，且等于上、下底和的一半．三點(diǎn)剖析方法點(diǎn)撥1．任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有下列結(jié)論：（1）三條中位線組成一個(gè)三角形，周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半．（2）三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形．（3）三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形．（4）三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分．（5）任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等．2．任意兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．3．弦圖模型圖1圖2如圖1，；如圖2，．4．梯形中常見輔助線的作法（1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中；（2）“平移腰”：過上底端點(diǎn)做一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形和三角形；（3）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中；（4）“全等變形”：連接梯形一腰端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)并延長(zhǎng)，與底的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形．（（1）（2）（4）（3）5．四邊形與動(dòng)點(diǎn)問題或者與坐標(biāo)系綜合問題都要注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想．四邊形與全等三角形綜合例題例題1、如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG（1）連接GD，求證：；（2）連接FC，求證：，并說明理由；（3）當(dāng)E點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），連接FC，則等于多少度？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴，，，∴，∴，在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS）．（2）證明：過F作FQ⊥BC于Q，∵四邊形ABCD、AEFG是正方形，∴，，，∴，，∴，在△ABE和△EQF中，，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴，，∴，∴，∵，∴．（3）解：，理由是：過F作FQ⊥BC于Q，∵四邊形ABCD、AEFG是正方形，∴，，，∴，，∴，在△ABE和△EQF中∴△ABE≌△EQF（AAS），∴，，∴，∴，∵，∴∴．例題2、已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交線段AE于F．（1）如圖1，若，，請(qǐng)直接寫出線段CD與之間所滿足的等量關(guān)系；（2）如圖2，若，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，若成立，對(duì)你的結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．圖二圖二圖三圖一【答案】（1）（2）仍然成立（3）或或【解析】該題考查的是四邊形綜合（1）證明：∵平分，∴又∴∵，∴∴又∴∴（2）（1）中的結(jié)論仍然成立證明：延長(zhǎng)到G，使得，連結(jié)∵四邊形是平行四邊形∴，∥，∵于點(diǎn)E∴∴∴∵∴△ABE≌△DAG∴，∴∵平分∴∴∴∴∴即（3）或或．例題3、在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH．（1）若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1．①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路．（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）【答案】（1）①見解析；②AH=PH，AH⊥PH．（2）見解析【解析】（1）①如圖1；②解法一：如圖1，連接CH，∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP=CQ，在△HDP與△HQC中．∵，∴△HDP≌△HQC（SAS），∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．∵BD是正方形ABCD的對(duì)稱軸，∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°，∴AH=PH，AH⊥PH．解法二：如圖1，連接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB=∠BCQ=90°，∴B、H、C、Q四點(diǎn)共圓，∴∠DHC=∠BQC，由正方形的性質(zhì)可知∠DHC=∠AHD，由平移性質(zhì)可知∠BQC=∠APD，∴∠AHD=∠APD，∴A、H、P、D四點(diǎn)共圓，∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°，∴△HAP是等腰直角三角形，∴AH=PH，AH⊥PH．（2）解法一：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD=CQ．作HR⊥PC于點(diǎn)R，∵∠AHQ=152°，∴∠AHB=62°，∴∠DAH=17°．設(shè)DP=x，則DR=HR=RQ=．∵tan17°=，即tan17°=，∴x=．解法二：由（1）②可知∠AHP=90°，∴∠AHP=∠ADP=90°，∴A、H、D、P四點(diǎn)共圓，又∠AHQ=152°，∠BHQ=90°，∴∠AHB=152°﹣90°=62°，由圓的性質(zhì)可知∠APD=∠AHB=62°，在Rt△APD中，∠PAD=90°﹣62°=28°，∴PD=AD?tan28°=tan28°．隨練隨練1、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H，連接CH.（1）如圖1，若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DH，過點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于點(diǎn)K，連接CK，請(qǐng)直接寫出線段CK長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）成立，證明見解析（3）【解析】（1）．…………………1分（2）結(jié)論成立．…………………2分證明：如圖，連接BE．在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°．∵DE=DF，∴AF=CE．在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE．∴∠1=∠2．…………3分∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴H，C兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上．∴∠3=∠2．∴∠3=∠1．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC．∴CH=CB．…………………5分∴CH=AB．…………………6分（3）．………………………7分隨練2、(2013中考西城區(qū)二模)在△ABC中，，AD，CE分別平分和，且AD與CE交于點(diǎn)M．點(diǎn)N在射線AD上，且．過點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)G，且與AC交于點(diǎn)F，再過點(diǎn)F作FH∥CE，且與AB交于點(diǎn)H．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M，N，G重合．①請(qǐng)根據(jù)題目要求在圖1中補(bǔ)全圖形；②連結(jié)EF，HM，則EF與HM的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，求證：AF=EH；A（3）當(dāng)時(shí)，我們稱△ABC為“黃金三角形”，此時(shí)．若，直接寫出GM的長(zhǎng)．ACCAEBDMNCBDGFMEHCEMBDA圖1 圖2 圖3【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】該題考查的是幾何綜合．（1）①補(bǔ)全圖形，（如圖1①）②連接，，（如圖1②）∵，∴是等邊三角形∴∵平分∴，即∵，即∴∴∥∵∥∴四邊形是平行四邊形∵∴平行四邊形是矩形∴∵點(diǎn)，重合∴故答案為：．（2）連接MF（如圖2）∵，分別平分和，且，∴，∵∴∵∴∴，∴∴∵，，∴是等邊三角形.∴在和中，∴……………3分∴∴是等邊三角形.∴，∴∴∥∵∥，∴四邊形是平行四邊形.………4分∴∴……………5分（3）連接BM，（如圖3）∵，∴∵平分∴∵，平分∴垂直平分∴∴∴，∴∴∴是黃金三角形∴∴∵，，∴在和中，∴≌∴∵∥∴∴∴∴的長(zhǎng)為……………7分隨練3、已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)B，C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點(diǎn)M．（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)M在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①，求證：AB+BE=AM；（提示：延長(zhǎng)MF，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，如圖③．請(qǐng)分別寫出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1），（2）的條件下，若BE=，∠AFM=15°，則AM=______．【答案】（1）見解析（2）BE=AM+AB（3）3﹣或．【解析】（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)MF，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)M⊥AD，∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四邊形ABHM為矩形，∴AM=BH=BE+EH∵△AEF為等腰直角三角形，∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，∵∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB=∠EFH，在△ABE與△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∵AM=BH=BE+EH，∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；（2）解：如圖②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠EAB，在△ABE與△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH=EB+AM；如圖③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，∴∠BAE=∠HEF，在△ABE與△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∴BE=BH+EH=AM+AB；（3）解：如圖①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFM=60°，∴∠EFH=120°，在△EFH中，∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，∴此情況不存在；如圖②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=60°，∵△ABE≌△EHF，∴∠EAB=∠EFH=60°，∵BE=，∴AB=BE?tan60°=×=3，∵AB=EB+AM，∴AM=AB﹣EB=3﹣；如圖③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=45°﹣15°=30°，∴∠AEB=30°，∵BE=，∴AB=BE?tan30°==1，∵BE=AM+AB，AM=BE﹣AB=，故答案為：3﹣或．特殊四邊形問題例題例題1、我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：①小紅畫了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論；②由此小紅猜想：“對(duì)于任意‘等對(duì)角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例．（3）已知：在“等對(duì)角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．【答案】（1）130°（2）①見解析②小紅的猜想不正確（3）2或2．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；（2）①證明：如圖1，連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：小紅的猜想不正確，如圖：四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但是BC和CD不等，所以小紅的猜想不正確；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，如圖3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴∠E=30°，∴AE=2AB=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC=；②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，如圖4所示：則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=2，∴DM=2∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，∵四邊形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM=2，∵∠BCD=60°，∴CN=，∴BC=CN+BN=3，∴AC==2；綜上所述：AC的長(zhǎng)為2或2．例題2、類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件．（2）小紅猜想：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，小紅作了一個(gè)Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié)AA′，BC′．小紅要使得平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段B′B的長(zhǎng)）？【答案】（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB；（2）正確，理由見解析；（3）平移2或或或．【解析】（1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（2）解：小紅的結(jié)論正確．理由如下：∵四邊形的對(duì)角線互相平分，∴這個(gè)四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，∴這個(gè)“等鄰邊四邊形”是菱形，（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=，∵將Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如圖1，當(dāng)AA′=AB時(shí)，BB′=AA′=AB=2，（II）如圖2，當(dāng)AA′=A′C′時(shí)，BB′=AA′=AC′=，（III）當(dāng)AC′=BC′=時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)C′B′交AB于點(diǎn)D，則C′B′⊥AB∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，設(shè)B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′=x∵根據(jù)在Rt△BC′D中，BC′2=C′D2+BD2即x2+（x+1）2=5解得：x=1或x=﹣2（不合題意，舍去）∴BB′=，（IV）當(dāng)BC′=AB=2時(shí)，如圖4，與（III）方法同理可得：x=或x=，x=或x=（舍去）∴BB′=x=．故應(yīng)平移2或或或．隨練隨練1、如圖1，矩形MNPQ中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形，圖2，圖3中，四邊形ABCD為矩形，且，．112341234MNPQEFGHABCDABCDEFGHM圖1圖2圖3（1）在圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH；（2）求圖2中反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)；（3）矩形ABCD的反射四邊形是不唯一的，反射四邊形的周長(zhǎng)都是可以求的，如圖3中，為了求矩形ABCD的反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)，小明同學(xué)嘗試延長(zhǎng)GF交BC的延長(zhǎng)線于M，試?yán)眯∶魍瑢W(xué)給我們的啟發(fā)求反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】該題考查的是幾何綜合．（1）（2）根據(jù)格點(diǎn)分布，可知：∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（3）延長(zhǎng)GH交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．∵，∴而∴Rt△FCE≌Rt△FCM∴，同理：，∴∵，∴∴過點(diǎn)G作交MN于點(diǎn)K，則∴∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為隨練2、對(duì)某一種四邊形給出如下定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．則∠C=__________度，∠D=__________度．（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：①小紅畫了一個(gè)“等對(duì)角四邊形ABCD”（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論；②在①的條件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等對(duì)角四邊形ABCD的面積．【答案】（1）130，80；（2）①見解析②16【解析】（1）∵四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°，故答案為：130，80；（2）①證明：如圖1，連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：如圖1，連接AC，∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=×60°=30°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=AD=4，∴AC=2AB=8，∴BC=，∴S四邊形ABCD=2S△ABC=2××4×4．四邊形與坐標(biāo)系綜合例題例題1、如圖，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，使點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，直角邊OB、BC在y軸上．已知點(diǎn)，過A、D兩點(diǎn)的直線交y軸 于點(diǎn)F．若△ECD沿DA方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速平移，設(shè)平移的時(shí)間為（秒），記△ECD在平移過程中某時(shí)刻為△，與AB交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，與AB交于點(diǎn)Q，與y軸交于點(diǎn)P(注：平移過程中，點(diǎn)始終在線段DA上，且不與點(diǎn)A重合)．（1）求直線AD的函數(shù)解析式；（2）試探究在△ECD平移過程中，四邊形MNPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及的取值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）以MN為邊，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【答案】（1）（3）時(shí)，（3）【解析】該題考查的是三角形和函數(shù)綜合．（1）由題意…………1分∵，∴設(shè)直線AD解析式為，將A，D坐標(biāo)代入，解得，∴直線AD解析式為………………2分（2）∵，同（1）得直線AB解析式為，直線BD解析式：．CD與AB交點(diǎn)J坐標(biāo)為，在△ECD平移t秒時(shí)，由，可得，，設(shè)直線解析式為，可得………………3分，，∵BD//，//，∴△∽△BJD，∴，可得………4分………5分，當(dāng)時(shí)，…………6分（3）當(dāng)點(diǎn)H在x軸上時(shí)，此時(shí)正方形與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)正方形再沿DA向下平移時(shí)，則與坐標(biāo)軸交點(diǎn)數(shù)大于2，∵，，∴，設(shè)直線MH的解析式為，∵M(jìn)N斜率為，∴直線MH的斜率為2，∴直線MH的解析式為，將M點(diǎn)代入直線方程，，解得，∴直線MH的解析式為，∴H坐標(biāo)為，∵，∴解得，∴正方形MNRH與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，………………………8分例題2、如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BP，過P點(diǎn)作BP的垂線，與過點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D．BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）∠PBD的度數(shù)為____，點(diǎn)D的坐標(biāo)為____（用t表示）；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？（3）探索△POE周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個(gè)定值．【答案】（1）45°；（t，t）（2）4或（3）8【解析】（1）如圖1，由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四邊形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴AP=QD，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t．∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t）．故答案為：45°，（t，t）．（2）①若PB=PE，由△PAB≌△DQP得PB=PD，顯然PB≠PE，∴這種情況應(yīng)舍去．②若EB=EP，則∠PBE=∠BPE=45°．∴∠BEP=90°．∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB（AAS）．∴OE=CB=OC．∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合（EC=0）．∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合（PO=0）．∵點(diǎn)B（-4，4），∴AO=CO=4．此時(shí)t=AP=AO=4．③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP=CE．∵AP=t，∴CE=t．∴PO=EO=4-t．∵∠POE=90°，∴PE==（4-t）．延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB．∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°．∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．∴∠FBP=∠EBP．在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP=EP．∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．∴EP=t+t=2t．∴（4-t）=2t．解得：t=4-4∴當(dāng)t為4秒或（4-4）秒時(shí)，△PBE為等腰三角形．（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8．∴△POE周長(zhǎng)是定值，該定值為8．隨練隨練1、平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)A在x軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OB，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過C、O、A三點(diǎn)．（1）直接寫出這條拋物線的解析式；（2）如圖1，對(duì)于所求拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)E，設(shè)△EBO的面積為S1，菱形ABCO的面積為S2，當(dāng)S1≤S2時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)n的取值范圍；（3）如圖2，D（0，-）為y軸上一點(diǎn)，連接AD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/秒的速度沿OB方向運(yùn)動(dòng)，1秒后，動(dòng)點(diǎn)Q從O出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿折線O-A-B方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤6），是否存在實(shí)數(shù)t，使得以P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△ADO相似？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=x2-x（2）0≤n≤10且n≠5（3）2或【解析】（1）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4），四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC=5，A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），根據(jù)題意得：，解得：，則拋物線的解析式是：y=x2-x；（2）設(shè)BC與y軸相交于點(diǎn)G，則S2=OG?BC=20，∴S1≤5，又OB所在直線的解析式是y=2x，OB==2，∴當(dāng)S1=5時(shí)，△EBO的OB邊上的高是．如圖1，設(shè)平行于OB的直線為y=2x+b，則它與y軸的交點(diǎn)為M（0，b），與拋物線對(duì)稱軸x=交于點(diǎn)E（，n）．過點(diǎn)O作ON⊥ME，點(diǎn)N為垂足，若ON=，由△MNO∽△OGB，得OM=5，∴y=2x-5，由，解得：y=0，即E的坐標(biāo)是（，0）．∵與OB平行且到OB的距離是的直線有兩條．∴由對(duì)稱性可得另一條直線的解析式是：y=2x+5．則E′的坐標(biāo)是（，10）．由題意得得，n的取值范圍是：0≤n≤10且n≠5．（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q按題意運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)1＜t＜3.5時(shí)，OP=t，BP=2-t，OQ=2（t-1），連接QP，當(dāng)QP⊥OP時(shí)，有=sin∠BOQ=sin∠OBC=，∴PQ=（t-1），若=，則有=，又∵∠QPB=∠DOA=90°，∴△BPQ∽△AOD，此時(shí)，PB=2PQ，即2-t=（t-1），10-t=8（t-1），∴t=2；當(dāng)3.5≤t≤6時(shí)，QB=10-2（t-1）=12-2t，連接QP．若QP⊥BP，則有∠PBQ=∠ODA，又∵∠QPB=∠AOD=90°，∴△BPQ∽△DOA，此時(shí)，QB=PB，即12-2t=（2-t），12-2t=10-t，∴t=2（不合題意，舍去）．若QP⊥BQ，則△BPQ∽△DAO，此時(shí)，PB=BQ，即2-t=（12-2t），2-t=12-2t，解得：t=．則t的值為2或．隨練2、如圖1，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，3），定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（12，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，PQ兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=____時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B；（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，過定點(diǎn)E（5，0）作EF⊥BC，垂足為F，當(dāng)△PQR的頂點(diǎn)R落在矩形OABC的內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點(diǎn)M、N，若∠MAN=45°，求t的值．【答案】（1）t=1（2）S=（3）8-2【解析】（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即3=4-t，∴t=1．即當(dāng)t=1秒時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B．（2）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如答圖1-1所示．設(shè)PR交BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．S=S矩形OABC-S梯形OPGC=8×3-（2t+2t+3）×3=-6t；②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如答圖1-2所示．設(shè)PR交BC于點(diǎn)G，RQ交BC、AB于點(diǎn)S、T．過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．QD=t，則AQ=AT=4-t，∴BT=BS=AB-AQ=3-（4-t）=t-1．S=S矩形OABC-S梯形OPGC-S△BST=8×3-（2t+2t+3）×3-（t-1）2=-t2-5t+19；③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖1-3所示．設(shè)RQ與AB交于點(diǎn)T，則AT=AQ=4-t．PQ=12-3t，∴PR=RQ=（12-3t）．S=S△PQR-S△AQT=PR2-AQ2=（12-3t）2-（4-t）2=t2-14t+28．綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：S=．（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，∴四邊形ABFE是正方形．如答圖2，將△AME繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM′，其中AE與AB重合．∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM′+∠NAB=45°，∴∠MAN=∠M′AN．連接MN．在△MAN與△M′AN中，∴△MAN≌△M′AN（SAS）．∴MN=M′N=M′B+BN∴MN=EM+BN．設(shè)EM=m，BN=n，則FM=3-m，F(xiàn)N=3-n．在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3-m）2+（3-n）2=（m+n）2，整理得：mn+3（m+n）-9=0．①延長(zhǎng)NR交x軸于點(diǎn)S，則m=EM=RS=PQ=（12-3t），∵QS=PQ=（12-3t），AQ=4-t，∴n=BN=AS=QS-AQ=（12-3t）-（4-t）=2-t．∴m=3n，代入①式，化簡(jiǎn)得：n2+4n-3=0，解得n=-2+或n=-2-（舍去）∴2-t=-2+解得：t=8-2．∴若∠MAN=45°，則t的值為（8-2）秒．拓展拓展1、在平行四邊形中，的平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）在圖1中證明；（2）若，是的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出的度數(shù)；（3）若，，，分別連結(jié)、（如圖3），求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）（3）60°【解析】該題考查四邊形綜合．（1）證明：如圖1：∵AF平分，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB//CD，∴,∴∴（2）連結(jié)GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分，∴，∵，DF∥AB∴，，∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點(diǎn)，∴，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，∴∵∴在△BEG和△DCG中，∵∴△BEG≌△DCG（SAS）∴∵，∴，又∴△DGB為等腰直角三角形，∴（3）延長(zhǎng)AB、FG交于H，連結(jié)HD．∵AD∥GF，AB∥DF∴四邊形AHFD為平行四邊形∵，AF平分∴，，∴△DAF為等腰三角形∴，∴平行四邊形AHFD為菱形∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形∴，∵，，，∴在△BHD與△GFD中，∵∴△BHD≌△GFD（SAS）∴∴拓展2、（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，滿足．求證：；（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F、G分別是BC、CD、AD邊上的點(diǎn)，滿足EG⊥BF，此時(shí)必有，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出你證明這個(gè)結(jié)論時(shí)需要添加的輔助線；（3）如圖3，在（2）的情況下，連接GF．求證：．AABDFCEABDFCEGABDFCEG圖1圖2圖3【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】該題考查的正方形綜合．（1）∵正方形ABCD，∴，，∴在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF，∴，∵，∴，∴；（2）AABDFCEGH（3）將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則△BCF是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，∴BH//GE，∴四邊形BEGH是平行四邊形，∴，在△GHF中，，∴．拓展3、如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，射線BP交DE于點(diǎn)K，點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn)．（1）求證：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n?PK，試求出n的值；（3）作BM丄AE于點(diǎn)M，作KN丄AE于點(diǎn)N，連結(jié)MO、NO，如圖2所示，請(qǐng)證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）n=3（3）∠MON=120°【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在△ADP和△ECP中，，∴△ADP≌△ECP；（2）如圖1，作PI∥CE交DE于I，則，又點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，∴，∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，∴，∴BP=3PK，∴n=3；（3）如圖2，作OG⊥AE于G，∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，∴BM∥OG∥KN，∵點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn)，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，設(shè)BC=2，則CP=1，由勾股定理得，BP=，則AP=，根據(jù)三角形面積公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，∴OG=BM=，MG=MP=，tan∠MOG=，∴∠MOG=60°，∴∠MON的度數(shù)為120°．拓展4、閱讀下列材料：

我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則稱這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．

結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：

（1）下列哪個(gè)四邊形一定是和諧四邊形（）

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

（2）如圖，等腰中，．若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．AABD【答案】（1）C（2）或或【解析】該題考查的是新定義問題和三角形角度計(jì)算問題．（1）菱形的四條邊等長(zhǎng)，因此，任意菱形的一條對(duì)角線均能將該菱形劃分為兩個(gè)分別以菱形兩邊為腰的等腰三角形．故答案選擇Ｃ．（2）∵等腰Rt△ABD中，，∴.

∵AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且，

∴分三種情況討論：

若，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，∴；

若，如圖2，則，△ABC是等邊三角形，；

若，如圖3，則可求．綜上∠ABC的度數(shù)為，，．拓展5、我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD；（3）12﹣．【解析】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴=，即=，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=1