專題08幾何最值問題(針對第10題)(真題2題模擬60題)(原卷版+解析)

專題08幾何最值問題（針對第10題）（真題2題模擬60題）1．（2023?安徽）如圖，E是線段AB上一點，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形，點P，F分別是CD，AB的中點．若AB＝4，則下列結論錯誤的是（）A．PA+PB的最小值為3 B．PE+PF的最小值為2 C．△CDE周長的最小值為6 D．四邊形ABCD面積的最小值為32．（2022?安徽）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長的最小值是（）A． B． C．3 D．一．選擇題（共60小題）1．（2023?蚌埠二模）如圖，M為Rt△ABC斜邊AB上的中點，等腰△MBD的底邊BD與AC交于點P，若∠A＝30°，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．32．（2023?宿州模擬）如圖，∠A＝∠B＝45°，，點C，D分別在∠A，∠B的另一邊上運動，并保持CD＝2，點M在邊BC上，BM＝2，點N是CD的中點，若點P為AB上任意一點，則PM+PN的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023?碭山縣二模）如圖，在?ABCD中，M是AD上一點，E是BC上一動點，過點E作EF∥CM交BM于點F，若BC＝20，CD＝15，，則S△MEF的最大值為（）A．40 B．30 C．20 D．154．（2023?包河區(qū)一模）如圖，已知線段AB＝6，點P為線段AB上一動點，以PB為邊作等邊△PBC，以PC為直角邊，∠CPE為直角，在△PBC同側構造Rt△PCE，點M為EC的中點，連接AM，則AM的最小值為（）A．1 B． C．3 D．65．（2023?肇源縣一模）如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB＝45°，則四邊形MANB面積的最大值是（）A．2 B．4 C．4 D．86．（2023?廬陽區(qū)校級三模）在邊長為2的正方形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩個動點，且始終保持BF﹣BE＝1，連接AE、CF，則AE+CF的最小值為（）A． B．3 C． D．7．（2023?天長市校級三模）如圖，P為矩形ABCD的邊AB的延長線上的動點，AH⊥PC于H，點E在邊AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，則線段EH的最大值為（）A． B． C． D．8．（2023?安慶模擬）如圖，菱形ABCD的對角線BD長度為4，邊長，M為菱形外一個動點，滿足BM⊥DM，N為MD中點，連接CN．則當M運動的過程中，CN長度的最大值為（）A．1+ B． C．1 D．29．（2023?迎江區(qū)校級三模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為（）A． B．4 C． D．10．（2023?瑤海區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC為邊作等腰直角△ACD，連BD，則BD的最大值是（）A． B． C． D．11．（2023?蕪湖一模）如圖，在正方形ABCD中，已知邊AB＝5，點E是BC邊上一動點（點E不與B、C重合），連接AE，作點B關于直線AE的對稱點F，則線段CF的最小值為（）?A．5 B． C． D．12．（2023?無為市二模）如圖，在正方形ABCD中，已知邊長AB＝5，點E是BC邊上一動點（點E不與B、C重合），連接AE，作點B關于直線AE的對稱點F，則線段CF的最小值為（）A． B． C． D．13．（2023?合肥模擬）如圖，在△BCP中，，PC＝4，現以BC為邊在BC的下方作正方形ABCD并連接AP，則AP的最大值為（）?A． B．6 C． D．14．（2023?銅官區(qū)校級一模）已知∠ABC＝∠EAD＝90°，D是線段AB上的動點且AC⊥ED于G，AB＝AE＝4，則BG的最小值為（）A． B． C． D．15．（2023?全椒縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延長BA至點D，連接CD，∠ADC＝45°，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，連接EF，則EF的最小值為（）A． B． C． D．16．（2023?譙城區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內一點，連接PA，PC，PD，若PA⊥PD，則PC的最小值為（）A． B． C．2 D．417．（2023?安徽模擬）如圖，P為等邊△ABC外的一個動點（P點與A點分別在BC所在直線的不同側），且∠APB＝60°，AB＝1，則PB+PC的最大值為（）A． B． C． D．18．（2023?蚌埠二模）如圖，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE繞點A旋轉，連接CD，點F是CD的中點，連接EF，則EF的最小值為（）A．2 B． C． D．19．（2023?合肥三模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．1220．（2023?貴池區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D為AC上任意一點，F為AB的中點，連接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，連結EF，則EF的最小值為（）A． B． C． D．321．（2023?合肥一模）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，點E為BD上動點，連接AE，則的最小值為（）A．1 B． C． D．222．（2023?天長市一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內一動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值是（）A． B．2 C．3 D．23．（2023?蕪湖三模）如圖，正方形ABCD的邊長是4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為G，連接AG，則AG長的最小值為（）A． B． C． D．224．（2023?迎江區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AC，AB于點E，F，再分別以E、F為圓心，以相同長度為半徑作弧，兩弧相交于點O，P為射線AO上任意一點，過點P作PM⊥AC，交AC于點M，連接PC，若AC＝2，BC＝，則PM+PC長度的最小值為（）A． B． C．4 D．25．（2023?蜀山區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延長AB至D，使得BD＝AB，點P為動點，且PB＝PC，連接PD，則PD的最小值為（）A． B．5 C． D．926．（2023?天長市校級二模）已知△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為（）A．10 B．12.5 C．25 D．1527．（2023?金安區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）?A． B． C． D．28．（2023?全椒縣三模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，頂點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，則點B到原點O的最大距離是（）A． B． C． D．29．（2023?金安區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．330．（2023?亳州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P從點A出發(fā)，按A→B→C的方向在邊AB和BC上移動，記AP＝x，點D到直線AP的距離DE為y，則y的最小值是（）A．6 B． C．5 D．431．（2023?肥西縣二模）如圖，在等邊△ABC中，點A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+232．（2023?瑤海區(qū)二模）已知，△ABC內接于⊙O，且∠BAC＝60°，，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D、E，AD、BE相交于點G．則DG的長度的最大值為（）A．2 B． C．1 D．33．（2023?蚌埠模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分別以點P，Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點R，作射線AR，交BC于點D．已知BC＝5，AD＝6．若點M、N分別是線段AD和線段AB上的動點，則BM+MN的最小值為（）A．4 B．5 C． D．234．（2023?定遠縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．235．（2023?蚌山區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點P為矩形內一動點，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．336．（2023?包河區(qū)校級一模）四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在BC邊上，連接AE，F為AE中點，連接BF，點G在DE上且BF＝FG，連接CG，則CG的最小值為（）A． B． C． D．37．（2023?貴池區(qū)二模）如圖，在等邊△ABC中，點A、C分別在x軸、y軸上，AC＝6，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．6 B．3 C．+3 D．938．（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．239．（2023?廬江縣模擬）如圖，AB，AC分別是半圓O的直徑和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是（）A．2 B．3 C．2 D．340．（2023?廬陽區(qū)校級三模）已知正方形EFGH的邊EF在△ABC的邊BC上，點G、H分別在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，則AB+AC的最小值為（）A． B． C． D．1041．（2023?合肥二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于點D，P是AB上的一個動點，以P為直角頂點向右作等腰Rt△CPE，連接DE，則DE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．42．（2023?合肥二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，點E是AB邊上的一個動點，連接DE，∠DEB的角平分線EF交CD邊于點F，若DM⊥EF于M點，連接AM、BM，則AM+BM的最小值是（）A． B． C． D．543．（2023?雨山區(qū)校級一模）如圖，點E是等邊三角形△ABC邊AC的中點，點D是直線BC上一動點，連接ED，并繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，連接DF．若運動過程中AF的最小值為，則AB的值為（）A．2 B． C． D．444．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．45．（2022?安徽三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點C為圓心，2為半徑作圓，P是⊙C上的任意一點，將點P繞點D按逆時針方向旋轉90°，得到點Q，連接BQ，則BQ的最大值是（）A．6 B． C． D．46．（2023?明光市二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點P是射線AD上一個動點，點Q在BP上，且滿足∠BCQ＝∠BPC，則線段CQ的最小值為（）?A． B．1 C． D．47．（2023?烈山區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標系中，A（6，0），B（0，8），點C在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，且CD＝6，以CD為直徑的第一象限作半圓，交線段AB于點E、F，則線段EF的最大值為（）A．3.6 B．4.8 C． D．48．（2023?無為市三模）如圖，點P是邊長為6的等邊三角形ABC內部一動點，連接BP，CP，AP，且滿足∠ACP＝∠CBP，D為AP的中點，過點P作PE⊥AB，垂足為E，連接DE，則DE長的最小值是（）A． B．2 C． D．349．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標系中，A（6，0）、B（0，8），點C在y軸正半軸上，點D在x軸正半軸上，且CD＝6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于E、F，則線段EF的最大值為（）A．3.6 B．4.8 C．3 D．350．（2023?六安模擬）如圖，點M是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點（不包括邊界），且AM⊥BM，P是FC上的一點，N是AF的中點，則PN+PM的最小值為（）A． B． C．3 D．251．（2023?合肥模擬）動點P在等邊△ABC的邊AC上，AB＝2，連接PB，AD⊥PB于D，以AD為一邊作等邊△ADE，ED的延長線交BC于F，當EF取最大值時，PB的長為（）A．2 B． C． D．52．（2023?黃山一模）在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為（）A． B． C．10 D．3453．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，點P為△ABC的內心，點O為AB邊中點，將BO繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連接DP，則DP長的最小值為（）A． B． C． D．54．（2023?懷寧縣一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，對稱軸與x軸交于點D，點C為拋物線的頂點，以C點為圓心的⊙C半徑為2，點G為⊙C上一動點，點P為AG的中點，則DP的最大值與最小值和為（）A． B． C． D．555．（2023?無為市四模）如圖，動點M在邊長為2的正方形ABCD內，且AM⊥BM，P是CD邊上的一個動點，E是AD邊的中點，則線段PE+PM的最小值為（）A．﹣1 B．+1 C． D．+156．（2023?淮南二模）如圖，在△BCP中，BP＝2，PC＝4，現以BC為邊在BC的下方作正方形ABCD并連接AP，則AP的最大值為（）?A． B．6 C． D．57．（2023?安徽模擬）如圖，正方形ABCD的邊長AB＝8，E為平面內一動點，且AE＝4，F為CD上一點，CF＝2，連接EF，ED，則EF+ED的最小值為（）A．6 B．4 C．4 D．658．（2023?瑤海區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D為AB邊上一動點（不與點A重合），△AED為等邊三角形，過點D作DE的垂線，F為垂線上任意一點，連接EF，G為EF的中點，連接BG，則BG的最小值是（）A．2 B．6 C．3 D．959．（2023?太湖縣校級三模）矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點M、N分別從頂點A、B同時出發(fā)，且分別沿著AD、BA運動，點N的速度是點M的2倍，點N到達頂點A時，則兩點同時停止運動，連接BM、CN交于點P，過點P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F，則線段EF的最小值為（）A． B．﹣1 C． D．60．（2023?惠來縣模擬）如圖，△ABC，△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝4，F為AC上一動點，E為DF中點，連接BE，則BE的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．4

專題08幾何最值問題（針對第10題）（真題2題模擬60題）1．（2023?安徽）如圖，E是線段AB上一點，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形，點P，F分別是CD，AB的中點．若AB＝4，則下列結論錯誤的是（）A．PA+PB的最小值為3 B．PE+PF的最小值為2 C．△CDE周長的最小值為6 D．四邊形ABCD面積的最小值為3【分析】延長AD，BC交于M，過P作直線l∥AB，由△ADE和△BCE是等邊三角形，可得四邊形DECM是平行四邊形，而P為CD中點，知P為EM中點，故P在直線l上運動，作A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，當P運動到A'B與直線l的交點，即A'，P，B共線時，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B＝＝2，判斷選項A錯誤；由PM＝PE，即可得當M，P，F共線時，PE+PF最小，最小值為MF的長度，此時PE+PF的最小值為2，判斷選項B正確；過D作DK⊥AB于K，過C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等邊三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周長的最小值為6，判斷選項C正確；設AE＝2m，可得S四邊形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四邊形ABCD面積的最小值為3，判斷選項D正確．【解答】解：延長AD，BC交于M，過P作直線l∥AB，如圖：∵△ADE和△BCE是等邊三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四邊形DECM是平行四邊形，∵P為CD中點，∴P為EM中點，∵E在線段AB上運動，∴P在直線l上運動，由AB＝4知等邊三角形ABM的高為2，∴M到直線l的距離，P到直線AB的距離都為，作A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，當P運動到A'B與直線l的交點，即A'，P，B共線時，PA+PB＝PA'+PB最小，此時PA+PB最小值A'B＝＝＝2，故選項A錯誤，符合題意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴當M，P，F共線時，PE+PF最小，最小值為MF的長度，∵F為AB的中點，∴MF⊥AB，∴MF為等邊三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值為2，故選項B正確，不符合題意；過D作DK⊥AB于K，過C作CT⊥AB于T，如圖，∵△ADE和△BCE是等邊三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周長的最小值為6，故選項C正確，不符合題意；設AE＝2m，則BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m?m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC＝（m+2﹣m）?2＝2，∴S四邊形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴當m＝1時，四邊形ABCD面積的最小值為3，故選項D正確，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路徑問題，涉及等邊三角形的性質及應用，三角形面積等知識，解題的關鍵是求出P的運動軌跡是直線l．2．（2022?安徽）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長的最小值是（）A． B． C．3 D．【分析】如圖，不妨假設點P在AB的左側，證明△PAB的面積是定值，過點P作AB的平行線PM，連接CO并延長CO交AB于點R，交PM于點T．因為△PAB的面積是定值，推出點P的運動軌跡是直線PM，求出OT的值，可得結論．【解答】解：如圖，不妨假設點P在AB的左側，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等邊三角形，邊長為6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，過點P作AB的平行線PM，連接CO延長CO交AB于點R，交PM于點T．∵△PAB的面積是定值，∴點P的運動軌跡是直線PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴?AB?RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值為，當點P在②區(qū)域時，同法可得OP的最小值為，如圖，當點P在①③⑤區(qū)域時，OP的最小值為，當點P在②④⑥區(qū)域時，最小值為，∵＜，故選：B．【點評】本題考查等邊三角形的性質，解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關鍵是證明△PAB的面積是定值．一．選擇題（共60小題）1．（2023?蚌埠二模）如圖，M為Rt△ABC斜邊AB上的中點，等腰△MBD的底邊BD與AC交于點P，若∠A＝30°，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3【分析】由題意可知A，D，B，C在以點M為圓心的圓上，且AB為直徑，過點D作DN⊥AC，可得△DPN∽△BPC，則，則當DN最最大值時，即取最小值，即當點D在的中點時，亦即DN經過圓心（DM⊥AC）時，點D到弦AC的距離最大，如圖，設BC＝a，利用含30°的直角三角形可得，此時，，即可得的最小值為2．【解答】解：∵M為Rt△ABC斜邊AB上的中點，等腰△MBD的底邊BD與AC交于點P，∴AM＝BM＝DM，∠C＝90°，∴A，D，B，C在以點M為圓心的圓上，且AB為直徑，過點D作DN⊥AC，則∠DNP＝∠C＝90°，∵∠DPN＝∠BPC，∴△DPN∽△BPC，∴，由題意可知，BC為長度不發(fā)生變化，則當DN最最大值時，即取最小值，即：當點D在的中點時，亦即DN經過圓心（DM⊥AC）時，點D到弦AC的距離最大，如圖，設BC＝a，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴AB＝2a，AM＝BM＝DM＝a，∵DM⊥AC，∴，則，此時，，綜上，的最小值為2；故選：C．【點評】本題考查相似三角形的判定及性質，圓的相關知識，得到A，D，B，C在以點M為圓心的圓上，且AB為直徑，再添加輔助線構造相似是解決問題的關鍵．2．（2023?宿州模擬）如圖，∠A＝∠B＝45°，，點C，D分別在∠A，∠B的另一邊上運動，并保持CD＝2，點M在邊BC上，BM＝2，點N是CD的中點，若點P為AB上任意一點，則PM+PN的最小值為（）A． B． C． D．【分析】延長AD，BC，交于點O，作點M關于AB的對稱點M'，連接BM'，OM'，OM'交AB于點P'，MM'交AB于點F，則PM＝PM'，所以PM+PN＝PM'+PN＝PM'+OP﹣1，當O、N、P、M'四點在同一條直線上時，ON+PN+PM'＝OM'最小，即PM+PN＝OM'﹣1最小，利用勾股定理求出OM'＝＝＝2，即求出PM+PN的最小值為2﹣1．【解答】解：如圖，延長AD，BC，交于點O，作點M關于AB的對稱點M'，連接BM'，OM'，OM'交AB于點P'，MM'交AB于點F，則PM＝PM'，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠COD＝90°，∵CD＝2，N是CD的中點，連接ON，∴ON＝CD＝1，即點N在以O為圓心，半徑為1的圓位于△ABO的內部的弧上運動，∵PM+PN＝PM'+PN＝PM'+OP﹣1，∴當O、N、P、M'四點在同一條直線上時，ON+PN+PM'＝OM'最小，即PM+PN＝OM'﹣1最小，∵點M、M'關于AB對稱，∴AB垂直平分MM'，∴BM'＝BM＝2，∠M'BF＝∠MBF＝∠BMM'＝∠BM'M＝45°，∴∠MBM'＝90°，∵，∴OA＝OB＝4，∴OM＝OB﹣BM＝4﹣2＝2，∴OM'＝＝＝2．∴PM+PN的最小值為2﹣1．故選：D．【點評】本題考查了最短路線問題，熟練運用勾股定理、點與圓的位置關系是解題的關鍵．3．（2023?碭山縣二模）如圖，在?ABCD中，M是AD上一點，E是BC上一動點，過點E作EF∥CM交BM于點F，若BC＝20，CD＝15，，則S△MEF的最大值為（）A．40 B．30 C．20 D．15【分析】過點C作CN⊥AD于點N，設BE＝x（0＜x＜20），先解直角三角形可得CN＝12，從而可得S△BCM＝120，S△MBE＝6x，再根據相似三角形的判定可證△BEF∽△BCM，根據相似三角形的性質可得S△BEF＝，從而可得S△MEF＝，然后利用二次函數的性質求解即可．【解答】解：如圖，過點C作CN⊥AD干點N，設BE＝x（0＜x＜20），∴sinD＝，CD＝15，∴CN＝CD?sinD＝×15＝12，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴S△BCM＝BC?CN＝120，S△MBE＝BE?CN＝6x，∵EF∥CM，∴△BEF∽△BCM，∴＝（）2＝，∴S△MEF＝S△MBE﹣S△BEF＝6x﹣＝，由二次函數的性質可知，在0＜x＜20內，當x＝10時，S△MEF取得最大值，最大值為30，故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、二次函數的應用，正確求出△MEF的面積的函數表達式是解題關鍵．4．（2023?包河區(qū)一模）如圖，已知線段AB＝6，點P為線段AB上一動點，以PB為邊作等邊△PBC，以PC為直角邊，∠CPE為直角，在△PBC同側構造Rt△PCE，點M為EC的中點，連接AM，則AM的最小值為（）A．1 B． C．3 D．6【分析】連接PM，BM，并延長BM至F，由直角三角形的性質得出PM＝CM＝CE，證明△BCM≌△BPM（SSS），由全等三角形的性質得出∠CBM＝∠PBM＝30°，當AM⊥BF時，AM最小，則可得出答案．【解答】解：連接PM，BM，并延長BM至F，∵∠CPE＝90°，M為CE的中點，∴PM＝CM＝CE，又∵△PBC是等邊三角形，∴BC＝PB，∠PBC＝60°，∵BM＝BM，∴△BCM≌△BPM（SSS），∴∠CBM＝∠PBM＝30°，∴M在∠PBC的角平分線BF上運動，當AM⊥BF時，AM最小，∴AM＝AB＝＝3．故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，垂線段最短，直角三角形的性質，證明△BCM≌△BPM是解題的關鍵．5．（2023?肇源縣一模）如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB＝45°，則四邊形MANB面積的最大值是（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連接OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據圓周角定理推出△OAB為等腰直角三角形，求得AB＝OA＝2，根據已知條件即可得到結論．【解答】解：過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四邊形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運動到D點，N點運動到E點，此時四邊形MANB面積的最大值＝S四邊形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB?CD+AB?CE＝AB（CD+CE）＝AB?DE＝×2×4＝4．故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱藞A周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6．（2023?廬陽區(qū)校級三模）在邊長為2的正方形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩個動點，且始終保持BF﹣BE＝1，連接AE、CF，則AE+CF的最小值為（）A． B．3 C． D．【分析】通過證明四邊形EFHA是平行四邊形，可得AE＝FH，則當點F，點H，點C三點共線時，AE+CF有最小值，由勾股定理可得．【解答】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝1，連接HF，∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴AE＝FH，∴AE+CF＝FH+CF，∴當點F，點H，點C三點共線時，AE+CF有最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝2，∵AH∥DB，∴AC⊥CH，∴∠CAH＝90°，在Rt△ACH中，CH＝＝＝3，故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理，即可求解．7．（2023?天長市校級三模）如圖，P為矩形ABCD的邊AB的延長線上的動點，AH⊥PC于H，點E在邊AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，則線段EH的最大值為（）A． B． C． D．【分析】連接AC，以AC為直徑作△ABC的外接圓⊙O，當E，O，H三點共線時，EH取最大值，再過O作OF⊥AD于F，根據勾股定理求出，而，即可求出線段EH的最大值．【解答】解：連接AC，以AC為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∵AH⊥PC，∴點H在⊙O上，當E，O，H三點共線時，EH取最大值，過O作OF⊥AD于F，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∵F為AD的中點，∴，在Rt△OEF中，，，∴線段EH的最大值為．故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質，圓的性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，作輔助線并判斷出EH最大時的情況是解題的關鍵．8．（2023?安慶模擬）如圖，菱形ABCD的對角線BD長度為4，邊長，M為菱形外一個動點，滿足BM⊥DM，N為MD中點，連接CN．則當M運動的過程中，CN長度的最大值為（）A．1+ B． C．1 D．2【分析】連接AC，交BD于點O，連接ON，易得ON是△BDM的中位線，得到ON∥BM，取OD的中點E，連接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到當C，N，E三點共線時，CN最長，進行求解即可．【解答】解：連接AC，交BD于點O，連接ON，∵菱形ABCD的對角線BD長度為4，邊長，∴AC⊥BD，，，∴，∵N為MD中點，∴ON∥BM，∵BM⊥DM，∴ON⊥DM，∴∠OND＝90°，取OD的中點E，連接CE，NE，則：，∵CN≤CE+NE，∴當C，N，E三點共線時，CN的長度最大為；故選：A．【點評】本題考查菱形的性質，三角形的中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．掌握并靈活運用相關知識點，構造三角形的中位線是解題的關鍵．9．（2023?迎江區(qū)校級三模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為（）A． B．4 C． D．【分析】取BC中點G，連接HG，AG，由直角三角形的性質可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，由勾股定理可求AG＝2，由三角形的三邊關系可得AH≥AG﹣HG，當點H在線段AG上時，可求AH的最小值．【解答】解：如圖，取BC中點G，連接HG，AG，∵CH⊥DB，點G是BC中點∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2，在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即當點H在線段AG上時，AH最小值為2﹣2，故選：D．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形三邊關系，勾股定理，確定使AH值最小時點H的位置是本題的關鍵．10．（2023?瑤海區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC為邊作等腰直角△ACD，連BD，則BD的最大值是（）A． B． C． D．【分析】如圖所示，以AC為斜邊，作等腰直角△AOC，過點O作OE⊥AD交DA延長線于E，連接OD，則，∠OAC＝45°，先證明點B在以O為圓心，為半徑的圓周上運動（AB右側），故當點O在線段BD上時，BD最大，再求出OE，DE的長，進而利用勾股定理求出OD的長即可得到答案．【解答】解：如圖所示，以AC為斜邊，作等腰直角△AOC，過點O作OE⊥AD交DA延長線于E，連接OD，∴，∠OAC＝45°，∵∠ABC＝45°，∴點B在以O為圓心，為半徑的圓周上運動（AB右側），∴當點O在線段BD上時，BD最大，∵△ACD是以AC為邊的等腰直角三角形，∴∠CAD＝90°，AD＝AC＝2，∴∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴，∴DE＝AE+AD＝3，在Rt△DOE中，由勾股定理得，∴BD的最小值＝，故選：D．【點評】本題主要考查了圓外一點到圓上一點距離的最大值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，正確作出輔助線確定點B的運動軌跡是解題的關鍵．11．（2023?蕪湖一模）如圖，在正方形ABCD中，已知邊AB＝5，點E是BC邊上一動點（點E不與B、C重合），連接AE，作點B關于直線AE的對稱點F，則線段CF的最小值為（）?A．5 B． C． D．【分析】連接AF，AC，利用勾股定理、軸對稱的性質可得AC、AF的長．依據AF+CF≥AC，即可得到當C，F，A在同一直線上時，CF存在最小值．【解答】解：如圖所示，連接AF，AC，∵正方形ABCD的邊長為5，∴AC＝，∵B，F關于AE成軸對稱，∴AE垂直平分BF，∴AB＝AF＝5，∵AF+CF≥AC，∴當C，F，A在同一直線上時，CF的最小值為AC﹣AF＝﹣5，故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是依據兩點之間，線段最短進行判斷．12．（2023?無為市二模）如圖，在正方形ABCD中，已知邊長AB＝5，點E是BC邊上一動點（點E不與B、C重合），連接AE，作點B關于直線AE的對稱點F，則線段CF的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由對稱性質可得AF＝AB＝5，由正方形的性質可得AC＝AB＝5，當點F在線段AC上時，CF最小，即可求解．【解答】解：如圖，連接AC，AF，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝5，∴AC＝AB＝5，∵點B關于直線AE的對稱點為F，∴AF＝AB＝5，當點F在AC上時，CF最小，∵AC﹣AF＝5﹣5，∴線段CF的最小值為5﹣5，故選：B．【點評】本題考查正方形的性質，軸對稱的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，靈活運用軸對稱的性質．13．（2023?合肥模擬）如圖，在△BCP中，，PC＝4，現以BC為邊在BC的下方作正方形ABCD并連接AP，則AP的最大值為（）?A． B．6 C． D．【分析】將△ABP繞點B逆時針旋轉90°得△BCE，連接PE，則△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，再利用三角形三邊關系可得答案．【解答】解：將△ABP繞點B逆時針旋轉90°得△BCE，連接PE，則△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，∴PE＝BP＝2，在△CPE中，CE≤PE+CP，∴CE的最大值為2+4＝6，即AP的最大值為6，故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，三角形三邊關系等知識，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．14．（2023?銅官區(qū)校級一模）已知∠ABC＝∠EAD＝90°，D是線段AB上的動點且AC⊥ED于G，AB＝AE＝4，則BG的最小值為（）A． B． C． D．【分析】取AE中點F，連接BF，GF，由△AGE是直角三角形，F是AE中點，可得FG＝AE＝2＝AF，故G的軌跡是以F為圓心，2為半徑的弧，而BF＝＝2，當B，F，G構成三角形時，BG＞2﹣2，從而可得B，F，G共線時，BG最小值為2﹣2．【解答】解：取AE中點F，連接BF，GF，如圖：∵AC⊥ED，∴△AGE是直角三角形，∵F是AE中點，∴FG＝AE＝2＝AF，∴G的軌跡是以F為圓心，2為半徑的弧，∵∠EAD＝90°，AB＝4，∴BF＝＝＝2，當B，F，G構成三角形時，BG＞BF﹣FG，即BG＞2﹣2，∴當B，F，G共線時，BG取最小值，最小值即為2﹣2．故選：C．【點評】本題考查直角三角形中的動點問題，解題的關鍵是求出G的運動軌跡．15．（2023?全椒縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延長BA至點D，連接CD，∠ADC＝45°，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，連接EF，則EF的最小值為（）A． B． C． D．【分析】連接DP，取DP的中點M，分別連接ME，MF，得點P，F，D，E四點共圓，當MF取最小值時，EF也取最小值，由此解答即可．【解答】解：如圖，連接DP，取DP的中點M，分別連接ME、MF，過C作CH⊥BD交BD于H．∵PE⊥AB，PF⊥CD，∴點P，F，D，E四點共圓，∴．∵∠ADC＝45°，∴∠EMF＝90°，∴當MF取最小值時，EF也取最小值，∴DP⊥BC時，DP取最小值．∵BC＝4，∴，BH＝2，∴，∵CH×BD＝DP×BC，∴，∴，∴，即EF的最小值為．故選：C．【點評】本題考查等邊三角形性質，能得出點P，F，D，E四點共圓是解題的關鍵．16．（2023?譙城區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內一點，連接PA，PC，PD，若PA⊥PD，則PC的最小值為（）A． B． C．2 D．4【分析】由PA⊥PD可得點P在以AD中點O為圓心AD為直徑的圓上，連接CO交圓于一點即為最短距離點，即可得到答案．【解答】解：∵PA⊥PD，∴點P在以AD中點O為圓心AD為直徑的圓上，如圖所示，∴連接CO交圓于一點即為最短距離點P，如圖所示，∵AB＝4，BC＝6，∴OD＝3，DC＝4，根據勾股定理可得，，∴CP＝5﹣3＝2，故選：C．【點評】本題考查圓上最短距離問題，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握圓外一點到圓上最短距離點為與圓心連線的交點．17．（2023?安徽模擬）如圖，P為等邊△ABC外的一個動點（P點與A點分別在BC所在直線的不同側），且∠APB＝60°，AB＝1，則PB+PC的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由“SAS”可證△ABH≌△CBP，可得PC＝AH，則PB+PC＝AP，通過證明點A，點B，點P，點C四點共圓，可得當AP為直徑時，BP+PC有最大值，即可求解．【解答】解：如圖，在AP上截取PH＝BP，連接BH，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BP＝PH，∠APB＝60°，∴△BPH是等邊三角形，∴BP＝BH＝PH，∠PBH＝60°＝∠ABC，∴∠ABH＝∠PBC，在△ABH和△CBP中，，∴△ABH≌△CBP（SAS），∴PC＝AH，∴BP+PC＝AH+PH＝AP，∵∠APB＝∠ACB＝60°，∴點A，點B，點P，點C四點共圓，設過點A，點B，點P，點C的圓的圓心為O，連接CO，AO，并延長AO交BC于E，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠BCO＝30°，∴∠OEC＝∠AOC﹣∠BCO＝90°，∴EC＝AC＝，AE＝EC＝，OC＝2OE＝OA，∴AO＝，∵AP是圓O的弦，∴當AP為直徑時，AP有最大值為，∴PB+PC的最大值為，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，圓的有關知識，直角三角形的性質等知識，添加恰當的輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．18．（2023?蚌埠二模）如圖，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE繞點A旋轉，連接CD，點F是CD的中點，連接EF，則EF的最小值為（）A．2 B． C． D．【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAH，可得BD＝CH，由三角形中位線定理可得EF＝CH＝BD，可得當BD為最小值時，EF有最小值，即可求解．【解答】解：如圖，延長DE至H，使EH＝DE，連接BD，AH，CH，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠AED，AD＝AE＝2，又∵DE＝EH，∴AD＝AH，∴∠ADE＝∠AHE＝45°，∴∠DAH＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAH，∴△BAD≌△CAH（SAS），∴BD＝CH，∵DE＝EH，點F是CD的中點，∴EF＝CH＝BD，∴當BD為最小值時，EF有最小值，當點D在AB上時，BD有最小值為4﹣2，∴EF＝2﹣，故選：B．【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形中位線定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．19．（2023?合肥三模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】過點C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，在Rt△DFC中，當A，D，F在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長．【解答】解：過點C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，如圖所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴，∵＝2（AD+DF），∴當A，D，F在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，此時，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝4，∴BC＝8，∴DC＝BC﹣BD＝4，∴2AD+DC＝2×4+4＝12，∴2AD+DC的最小值為12，故選：D．【點評】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造胡不歸模型，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．20．（2023?貴池區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D為AC上任意一點，F為AB的中點，連接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，連結EF，則EF的最小值為（）A． B． C． D．3【分析】根據銳角三角函數得到，再利用中位線定理得到，最后根據E、F、Q三點共線的時，EF的值最小即可解答．【解答】解：取BC的中點Q，連接DQ，FQ，∵F為AB的中點，∴，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴，∴，∵∠BEC＝90°，∴，當E、F、Q三點共線的時，EF的值最小，∴．故選：C．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，直角三角形的性質，三角形中位線定理，掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．21．（2023?合肥一模）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，點E為BD上動點，連接AE，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2【分析】過E作EM⊥BC于M，過H作AH⊥BC于H，交BD于E'，由△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，可得EM＝BE，當AE+BE最小時，AE+EM最小，此時E與E'重合，M與H重合，AE+BE的最小值為AH的長度，在Rt△ABH中，有AH＝AB?sin∠ABH＝2×sin60°＝，故AE+BE最小值為．【解答】解：過E作EM⊥BC于M，過H作AH⊥BC于H，交BD于E'，如圖：∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠EBM＝30°，∴EM＝BE，∴AE+BE＝AE+EM，當AE+BE最小時，AE+EM最小，此時E與E'重合，M與H重合，AE+BE的最小值為AH的長度，在Rt△ABH中，AH＝AB?sin∠ABH＝2×sin60°＝，∴AE+BE最小值為，故選：C．【點評】本題考查等邊三角形的性質，涉及胡不歸問題，解題的關鍵是轉化思想的應用．22．（2023?天長市一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內一動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值是（）A． B．2 C．3 D．【分析】利用SAS證明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再說明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的長，再利用三角形三邊關系可得答案．【解答】解：連接DG，將DG繞點D逆時針旋轉90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值為2﹣2，故選：A．【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．23．（2023?蕪湖三模）如圖，正方形ABCD的邊長是4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為G，連接AG，則AG長的最小值為（）A． B． C． D．2【分析】設EF交BD與點O，證明BO＝OD．連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．【解答】解：設EF交BD與點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∵AB∥CD，∴∠∠BEO＝∠DFO，∵∠EOB＝∠DOF，∴△BEO≌△DFO（AAS），∴BO＝OD，連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，∴MA＝，MG＝OB＝，AG≥AM﹣MG＝﹣，當A，M，G三點共線時，AG最小值＝（﹣）cm，故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質，連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，利用兩點之間線段最短解決問題是解決本題的關鍵．24．（2023?迎江區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AC，AB于點E，F，再分別以E、F為圓心，以相同長度為半徑作弧，兩弧相交于點O，P為射線AO上任意一點，過點P作PM⊥AC，交AC于點M，連接PC，若AC＝2，BC＝，則PM+PC長度的最小值為（）A． B． C．4 D．【分析】如圖，過點P作PT⊥AB于T，過點C作CR⊥AB于R．證明PM+PC＝PC+PT≥CR，利用面積法求出CR即可．【解答】解：如圖，過點P作PT⊥AB于T，過點C作CR⊥AB于R．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝，∵CR⊥AB，∴?AB?CR＝?AC?BC，∴CR＝，由作圖可知，AO平分∠CAB，∵PM⊥AC，PT⊥AB，∴PM＝PT，∴PM+PB＝PC+PM，∵PC+PT≥CR，∴PM+PC≥，∴PM+PC的最小值為，故選：B．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質定理，三角形的面積等知識，解題的關鍵是證明PM＝PT，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．25．（2023?蜀山區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延長AB至D，使得BD＝AB，點P為動點，且PB＝PC，連接PD，則PD的最小值為（）A． B．5 C． D．9【分析】由線段垂直平分線的判定可知：直線AP為線段BC的垂直平分線，即可判定當DP⊥AP時，PD有最小值，此時BC∥PD，再證明△AEB∽△APD，列比例式可求解PD的最小值．【解答】解：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，∴直線AP為線段BC的垂直平分線，當DP⊥AP時，PD有最小值，此時BC∥PD，∴∠ABC＝∠D，∠AEB＝∠APD，∴△AEB∽△APD，∴，∵AP垂直平分BC，BC＝6，∴BE＝3，∵AB＝10，∴BD＝AB＝5，∴AD＝AB+BD＝15，∴，解得PD＝，即PD的最小值為，故選：A．【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定與性質，確定P點位置是解題的關鍵．26．（2023?天長市校級二模）已知△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為（）A．10 B．12.5 C．25 D．15【分析】延長AB，CD交點于E，可證△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，則S△BDC＝S△BCE，當BE⊥BC時，S△BEC最大面積為20，即S△BDC最大面積為10【解答】解：如圖：延長AB，CD交點于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝5，∴AE﹣AB＝5，即BE＝5；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∵S△BEC最大時，S△BDC面積最大，∴當BE⊥BC時，S△BDC面積最大，即S△BDC最大面積＝××10×5＝12.5．故選：B．【點評】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；利用三角形中線的性質得到S△BDC＝S△BEC是解題的關鍵．27．（2023?金安區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）?A． B． C． D．【分析】連接MP，根據矩形的判定和性質得出EF＝AP，根據當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，利用勾股定理解答即可．【解答】解：連接MP．∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF與AP互相平分，∵M是EF的中點，∴M為AP的中點，∴AM＝AP，∵AP⊥BC時，AP最短，同樣AM也最短，∴當AP⊥BC時，AP＝＝4.8，∴AP最短時，AP＝4.8，∴當AM最短時，AM＝AP＝2.4．即AM的最小值為2.4．故選：B．【點評】此題考查矩形的判定和性質，關鍵是根據矩形的判定和性質得出EF＝AP解答．28．（2023?全椒縣三模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，頂點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，則點B到原點O的最大距離是（）A． B． C． D．【分析】作AC的中點D，連接OD、BD、OB，求出OD與BD的長度，根據三角形三邊關系可得BD+OD≥OB，即可解答．【解答】解：如圖，作AC的中點D，連接OD、BD、OB，∵AC＝2，點D是AC的中點，∠AOC＝90°，∴，∵∠C＝90°，BC＝1，∴，結合圖形，可得BD+OD≥OB，即，故點B到原點O的最大距離是，故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，三角形三邊關系，作出正確的輔助線是解題的關鍵．29．（2023?金安區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．3【分析】根據三角形斜邊中線的性質求得CN＝＝，CM＝＝3，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值為：﹣3．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝2，∵DE＝6，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN＝＝，CM＝＝3，當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：﹣3，故選：B．【點評】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理的應用等，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關鍵．30．（2023?亳州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P從點A出發(fā)，按A→B→C的方向在邊AB和BC上移動，記AP＝x，點D到直線AP的距離DE為y，則y的最小值是（）A．6 B． C．5 D．4【分析】根據題意和圖形可知，當點P在AB段時，y的值是定值8，當點P在BC段時，y隨x的變化而變化，然后根據相似三角形的判定和性質，可以得到y(tǒng)和x的關系，再根據題意，可以得到x的取值范圍，從而可以得到y(tǒng)的最小值．【解答】解：連接AC，當點B在AB上運動時，y的值恒為8，當點P在BC上時，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝8，∴∠BAP+∠DAE＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，∴∠DAE＝∠APB，∵DE⊥AP，∴∠DEA＝90°，∴∠B＝∠DEA，∴△ABP∽△DEA，∴，即，∴y＝，∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，∴AC＝10，∴6＜x≤10，∴當x＝10時，y取得最小值＝，故選：B．【點評】本題考查矩形的性質、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．31．（2023?肥西縣二模）如圖，在等邊△ABC中，點A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+2【分析】過點B作BM⊥AC于點M，連接OM，先根據等邊三角形的性質求出BM，再根據直角三角形的性質求出OM，即可得出答案．【解答】解：過點B作BM⊥AC于點M，連接OM，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴M是AC的中點，∵AC＝4，∴BC＝4，MC＝2，根據勾股定理，得BM＝，根據題意，得∠AOC＝90°，∴OM＝＝2，∴OM+MB＝2+，∴點B到原點的最大距離是2+，故選：D．【點評】本題考查了等邊三角形與直角三角形的綜合，涉及等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，最大值問題等，綜合性較強．32．（2023?瑤海區(qū)二模）已知，△ABC內接于⊙O，且∠BAC＝60°，，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D、E，AD、BE相交于點G．則DG的長度的最大值為（）A．2 B． C．1 D．【分析】當AD經過圓心時，AD取得最大值，DG的長度也取得最大值，此時，△ABC是等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：∵△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，∴當AD取得最大值，DG的長度也取得最大值，∵弦BC＝4是定值，∴當AD經過圓心時，AD取得最大值，由垂徑定理得，BD＝CD＝2，∴AD是線段BC的垂直平分線，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAD＝BAC＝30°，∵BE⊥AC，∴，在Rt△AGE中，AG＝，在Rt△ACD中，AD＝＝6，∴DG的長度的最大值為6﹣4＝2，故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質，垂徑定理，解直角三角形，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．33．（2023?蚌埠模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分別以點P，Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點R，作射線AR，交BC于點D．已知BC＝5，AD＝6．若點M、N分別是線段AD和線段AB上的動點，則BM+MN的最小值為（）A．4 B．5 C． D．2【分析】過點B作BH⊥AC于點H，交AD于點M′，根據等腰三角形的性質和勾股定理求出AC，然后根據S△ABC＝?BC?AD＝?AC?BH，可得BH＝．作點H關于AD的對稱點交AB于點N，連接M′N，可得M′H＝M′N，進而可以解決問題．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC于點H，交AD于點M′，由作圖可知，AD平分∠BAC，BM⊥AC，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝，∵AD＝6．∴AC＝＝＝，∵S△ABC＝?BC?AD＝?AC?BH，∴5×6＝BH，∴BH＝．∵AB＝AC，AD⊥BC，作點H關于AD的對稱點交AB于點N，連接M′N，∴M′H＝M′N，∴BH＝BM′+M′H＝BM′+M′N，則BM+MN的最小值為．故選C．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，角平分線的定義，等腰三角形的性質等知識，解題關鍵是讀懂圖形信息，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．34．（2023?定遠縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應該過O作BC的垂線P′O，然后根據△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴＝，∴＝，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝2.4，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質以及垂線段最短的性質，解題的關鍵是作出高線構造出相似三角形．35．（2023?蚌山區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點P為矩形內一動點，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．3【分析】先證明∠BPC＝90°，則利用圓周角定理可判斷點P在以BC為直徑的⊙O上，連接OD交⊙O于P′，連接OP、PD，如圖，由于PD≥OD﹣OP（當且僅當O、P、D共線時，取等號），然后求出DP′即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的⊙O上，連接OD交⊙O于P′，連接OP、PD，如圖，∵PD≥OD﹣OP（當且僅當O、P、D共線時，取等號），即P點運動到P′位置時，PD的值最小，最小值為DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴線段PD的最小值為1．故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．36．（2023?包河區(qū)校級一模）四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在BC邊上，連接AE，F為AE中點，連接BF，點G在DE上且BF＝FG，連接CG，則CG的最小值為（）A． B． C． D．【分析】連接AG，可得G點在⊙F上，取AD的中點H，則DH＝AH＝2＝HG，得出G在⊙H上，進而根據兩點之間線段最短，當H，G，C三點共線時，CG取得最小值，勾股定理求得HC的長，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，∵F是AE的中點，∴，又∵FB＝FG，∴G點在半徑為FG的⊙F上，∴AG⊥FD，取AD的中點H，則DH＝AH＝2＝HG，∴G在⊙H上，∴當H，G，C三點共線時，CG取得最小值，最小值為，故選：C．【點評】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，直角所對的弦是直徑，正方形的性質，勾股定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．37．（2023?貴池區(qū)二模）如圖，在等邊△ABC中，點A、C分別在x軸、y軸上，AC＝6，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．6 B．3 C．+3 D．9【分析】作BH⊥CA于H，連接OB，OH，由等邊三角形的性質，銳角的正切求出BH的長，由直角三角形的性質求出OH的長，由OB≤BH+OH，即可解決問題．【解答】解：作BH⊥CA于H，連接OB，OH，∵△ABC是等邊三角形，∠BCH＝60°，∴CH＝AH＝AC＝×6＝3，∵tan∠BCH＝，∴BH＝3×tan60°＝9，∵∠AOC＝90°，∴OH＝AC＝3，∵OB≤BH+OH＝9+3，∴點B到原點的最大距離是9+3．故選：D．【點評】本題考查等邊三角形、直角三角形的性質，三角形的三邊關系，坐標與圖形性質，關鍵是通過作輔助線得到OB≤BH+OH．38．（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應該過O作BC的垂線P′O，然后根據△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質以及垂線段最短的性質，解題的關鍵是作出高線構造出相似三角形．39．（2023?廬江縣模擬）如圖，AB，AC分別是半圓O的直徑和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是（）A．2 B．3 C．2 D．3【分析】取AC中點M，連接MB，EM，BC，由勾股定理求出BC，MB的長，由直角三角形的性質求出ME的長，由ME+BE≥BM，即可解決問題．【解答】解：取AC中點M，連接MB，EM，BC，∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∵MC＝AC＝×4＝2，∴MB＝＝＝，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴ME＝AC＝2，∵ME+BE≥BM，∴BE≥MB﹣ME＝﹣2，∴BE的最小值是﹣2．故選：A．【點評】本題考查求線段的最小值，關鍵是掌握圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質．40．（2023?廬陽區(qū)校級三模）已知正方形EFGH的邊EF在△ABC的邊BC上，點G、H分別在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，則AB+AC的最小值為（）A． B． C． D．10【分析】過點A作AM⊥BC，根據相似三角形的判定和性質得出AM＝3，作直線l∥BC，作點C關于直線l的對稱點D，連接BD交直線l于點A，根據兩點之間線段最短及勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示，過點A作AM⊥BC，∵S正方形EFGH＝4，∴EF＝GF＝HG＝HE＝2，GH∥BC，∴△AHG∽△ACB，∴＝＝，∴＝，∵GF∥AM，∴△BGF∽△BAM，∴＝＝，∴AM＝3，作直線l∥BC，作點C關于直線l的對稱點D，連接BD交直線l于點A，此時AB+AC＝AB+AD＝BD取得最小值，∴CD＝2AM＝6，∴BD＝＝6，∴AB+AC的最小值為6，故選：A．【點評】本題主要考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質及勾股定理解三角形，理解題意，作出相應輔助線是解題關鍵．41．（2023?合肥二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于點D，P是AB上的一個動點，以P為直角頂點向右作等腰Rt△CPE，連接DE，則DE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】利用等腰直角三角形的性質求得BD的長度，得到∠PEC＝∠B＝45°，從而點P，E，B，C四點共圓；利用圓的內接四邊形的性質求得∠CBE＝90°，則BE∥AC，可得點E的運動軌跡為過點B且平行于AC的直線，再利用垂線段最短的性質得到當DE⊥BE時，DE取得最小值，利用等腰直角三角形的性質即可得出結論．【解答】解：連接BE，如圖∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴∠ABC＝∠A＝45°，AD＝BD＝AB，AB＝AC＝4，∴AD＝BD＝2，∵Rt△CPE是等腰三角形，∴∠PEC＝∠PCE＝45°，∴∠PEC＝∠B＝45°，∴點P，E，B，C四點共圓，即四邊形PEBC為圓的內接四邊形，∴∠CPE+∠CBE＝180°，∵∠CPE＝90°，∴∠CBE＝90°，∴∠ACB+∠CBE＝180°，∴AC∥BE，∴點E的運動軌跡為過點B且平行于AC的直線，∴當DE⊥BE時，DE取得最小值．∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝45°，∵DE⊥BE，∴△DBE為等腰直角三角形，∴DE＝DB＝＝2，∴DE的最小值為2．故選：C．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，四點共圓的判定與性質，平行線的判定與性質點軌跡，垂線段最短，利用已知條件找出點E的關鍵是解題的關鍵．42．（2023?合肥二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，點E是AB邊上的一個動點，連接DE，∠DEB的角平分線EF交CD邊于點F，若DM⊥EF于M點，連接AM、BM，則AM+BM的最小值是（）A． B． C． D．5【分析】作MG⊥