專題10圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題10圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 1【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 3【考點(diǎn)三利用垂徑定理求值】 5【考點(diǎn)四利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 8【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 11【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 13【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 15【典型例題】【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過(guò)直線上兩點(diǎn)和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓；④圓是軸對(duì)稱圖形，直徑是它的對(duì)稱軸．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的半徑，，在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，C是弧AB中點(diǎn)．求證：∠A＝∠B．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長(zhǎng)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長(zhǎng)為，則圓心到的距離為．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為寸．

【考點(diǎn)四利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)校考期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是寸．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?、鄞怪庇谙业闹本€必過(guò)圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法有（）個(gè)①對(duì)角線相等的四邊形是矩形

②在同圓或等圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角相等③相等的圓心角所對(duì)的弧相等

④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?、莸饺切稳吘嚯x相等的點(diǎn)是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（

）A．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，線段是的直徑，于點(diǎn)E，若長(zhǎng)為16，長(zhǎng)為6，則半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．104．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，連接，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于，，，四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）為的直徑，弦于，且，，則．7．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是．-8．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）半徑為的內(nèi)有一點(diǎn)，且，則過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是．9．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考二模）已知半徑為5的圓O中有一條長(zhǎng)度為8的弦，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為．10．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是小文家的木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點(diǎn)是所在圓的圓心，，點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，水平距離．則．當(dāng)半徑轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，木馬就有翻倒的風(fēng)險(xiǎn)，為安全起見(jiàn)，點(diǎn)離地高度應(yīng)小于．三、解答題11．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，，，求的度數(shù)．

12．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．13．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．(1)求的半徑長(zhǎng)；(2)連接，作于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．14．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）圖1是某種型號(hào)圓形車載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動(dòng)，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動(dòng)桿的中點(diǎn)，（即當(dāng)支架水平放置時(shí)直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過(guò)滑動(dòng)A、B可以調(diào)節(jié)的高度．當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，它的寬度達(dá)到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當(dāng)滑動(dòng)桿的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時(shí)，求此時(shí)支撐桿的高度．(2)如圖3，當(dāng)某手機(jī)被支架鎖住時(shí)，鎖住高度與手機(jī)寬度恰好相等（），求該手機(jī)的寬度．15．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖1，是的弦，點(diǎn)C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過(guò)圓心O作，交于P、Q兩點(diǎn)，交、于M、N兩點(diǎn)，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長(zhǎng)．

專題10圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 1【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 3【考點(diǎn)三利用垂徑定理求值】 5【考點(diǎn)四利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 8【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 11【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 13【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 15【典型例題】【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【詳解】解：∵在中，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，熟知同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過(guò)直線上兩點(diǎn)和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓；④圓是軸對(duì)稱圖形，直徑是它的對(duì)稱軸．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷①，根據(jù)垂徑定理的推論判斷②；根據(jù)不共線的三點(diǎn)共圓可判斷③；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷④．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；②平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤；③過(guò)直線上兩點(diǎn)和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓，正確；④圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤，正確的只有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理的推論，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，圓的性質(zhì)，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的半徑，，在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得，然后根據(jù)弧、弦和圓心角的關(guān)系證明即可．【詳解】證明：∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定定理以及弧、弦和圓心角的關(guān)系等知識(shí)，準(zhǔn)確證明是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)∠ABD=∠CDB，可知，則有，由此可得，進(jìn)而可證AB=CD．【詳解】證明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，即在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，能夠熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，C是弧AB中點(diǎn)．求證：∠A＝∠B．【答案】見(jiàn)解析【分析】連接，通過(guò)證明即可得結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，是的中點(diǎn)，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】由題意易得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長(zhǎng)為，則圓心到的距離為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，由垂徑定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圓心到的距離．【詳解】解：如圖，的半徑為，弦的長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，

則，，∴，即圓心到的距離為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為寸．

【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求出的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，

，且寸，寸，設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，化簡(jiǎn)得：，即，（寸）．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．【考點(diǎn)四利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦與在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過(guò)點(diǎn)O作，垂足為F，交于點(diǎn)E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當(dāng)弦與在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【答案】7cm或17cm．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【答案】【分析】連接，設(shè)的半徑為R，利用垂徑定理以及勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為R，則，由題意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，則的半徑為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】連接，作于點(diǎn)D，交優(yōu)弧于點(diǎn)C，利用垂徑定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)D，交優(yōu)弧于點(diǎn)C，則厘米．由題意得厘米，在中，厘米，∴厘米，則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是寸．【答案】【分析】連接，依題意，得出，設(shè)半徑為，則，在中，，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，為的半徑，∴，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴直徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點(diǎn)，，根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點(diǎn)B為劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，，但不能證明，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。咀兪接?xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧③垂直于弦的直線必過(guò)圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯(cuò)誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對(duì)的?。虎坼e(cuò)誤．垂直于弦且平分弦的直線必過(guò)圓心；④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】注意概念性質(zhì)的語(yǔ)言敘述，有時(shí)是專門來(lái)混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的習(xí)慣．2．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法有（）個(gè)①對(duì)角線相等的四邊形是矩形

②在同圓或等圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角相等③相等的圓心角所對(duì)的弧相等

④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧⑤到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)矩形的判定方法、圓的性質(zhì)、垂徑定理、三角形的有關(guān)性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤；②在同圓或等圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角不一定相等，∵同一條弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，故不正確；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤；④平分非直徑的弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，故錯(cuò)誤；⑤到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，而內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，故正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)基礎(chǔ)概念的考查，熟記概念是解題關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（

）A．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸【答案】D【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定能作一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤，不符合題意；D、圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分優(yōu)弧，劣弧兩種情況，求解即可．【詳解】解：∵弦AB把圓周分成兩部分，∴劣弧的度數(shù)為：，即：劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，優(yōu)弧的度數(shù)為：，即：優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，∴弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為或；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查弦，弧，角之間的關(guān)系．注意弦分弧為優(yōu)弧和劣弧兩種情況．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，線段是的直徑，于點(diǎn)E，若長(zhǎng)為16，長(zhǎng)為6，則半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接，由垂徑定理可得，由勾股定理計(jì)算即可獲得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵線段是的直徑，于點(diǎn)E，，∴，∴在中，可有，∴半徑是10．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理等知識(shí)，理解并掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，連接，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，∴，，，∴，，而不一定成立，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于，，，四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理可以得到，，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可．【詳解】設(shè)圓心為O，為紙條寬，連接，，

則，，∴，，設(shè)，則，又∵，∴，即，解得：，∴半徑，即直徑為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）為的直徑，弦于，且，，則．【答案】【分析】由垂徑定理可知，在中由勾股定理可求得即的值．【詳解】解：如圖：依題意可知，為的直徑，弦于，，在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)．7．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是．-【答案】/34度【分析】先由平角的定義求出的度數(shù)，由，根據(jù)相等的弧所對(duì)的圓心角相等可得，即可求解．【詳解】∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）半徑為的內(nèi)有一點(diǎn)，且，則過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是．【答案】610【分析】過(guò)點(diǎn)的最短的弦是垂直于的弦，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦是直徑，利用勾股定理和垂徑定理進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，在直徑上，于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)的最短的弦是垂直于的弦，即的長(zhǎng)，，由勾股定理得：，，過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是6；過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦是直徑，即的長(zhǎng)，，．過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是10，故答案為：6；10．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考二模）已知半徑為5的圓O中有一條長(zhǎng)度為8的弦，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為．【答案】2或8【分析】根據(jù)作圖可知，為的中垂線，則必過(guò)圓心O，連接，利用垂徑定理求出的長(zhǎng)，分點(diǎn)在劣弧上和點(diǎn)在優(yōu)弧上兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：是弦的中垂線，為的中點(diǎn)，如圖，連接，則：，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，∴，∴；①當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)：；②當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)：；故答案為：2或8【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的作圖，垂徑定理．根據(jù)作圖方法得到是的中垂線，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．10．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是小文家的木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點(diǎn)是所在圓的圓心，，點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，水平距離．則．當(dāng)半徑轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，木馬就有翻倒的風(fēng)險(xiǎn)，為安全起見(jiàn)，點(diǎn)離地高度應(yīng)小于．【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形即可得到的長(zhǎng)度；根據(jù)題意做出示意圖再利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，∵，，∴，∵點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，∴，∴在中，，∴，∴，故答案為；過(guò)點(diǎn)作，垂直于地面，垂足分別是，如圖，∵，設(shè)，，∴，∴在中，，在中，，∴，∴．∴則點(diǎn)離地面的高度應(yīng)小于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解一元一次方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟記垂徑定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：在中，AB是的直徑，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對(duì)的圓心角相等．12．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）由垂徑定理得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，從而證明；（2）設(shè)的半徑是，由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于的方程，即可求出的半徑．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：連接，設(shè)的半徑是，，，，的半徑是5．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程．13．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．(1)求的半徑長(zhǎng)；(2)連接，作于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．【答案】(1)的半徑長(zhǎng)為5(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）連接，設(shè)的半徑長(zhǎng)為