4.1.3同角基本關(guān)系的綜合應(yīng)用（教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)（北師大版2019）

北師大版必修第二冊(cè)第四章《三角恒等變換》4.1.3同角基本關(guān)系的綜合應(yīng)用（教學(xué)設(shè)計(jì)）【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握同角基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)；（數(shù)學(xué)運(yùn)算）2.掌握同角基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的證明（邏輯推理）【教學(xué)重點(diǎn)】同角基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)【教學(xué)難點(diǎn)】同角基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的證明【教學(xué)過(guò)程】一、復(fù)習(xí)回顧，提出問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們復(fù)習(xí)回顧三角函數(shù)的同角基本關(guān)系.1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.（2）商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z).2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的變形（1）sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.（2）tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα)，cos2α=1tan2上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“知一求二”，只要知道一個(gè)三角函數(shù)值，就能求出另外兩個(gè)三角函數(shù)的值，那么這節(jié)課，如果已知正切的值，能求出一個(gè)三角函數(shù)式的值嗎？例如已知tanα＝2，如何求出下列代數(shù)式的值eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα).從問(wèn)題出發(fā)，若能將eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)化為只含有tanα，那么問(wèn)題就解決了，如何能將弦化為切呢？用哪個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)呢？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合商數(shù)關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想，分式中各項(xiàng)含三角函數(shù)的次數(shù)是一致的，若eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)每部分都除以cosα的值，化簡(jiǎn)后是否就只含tanα的值.二、抽象概括，得出概念關(guān)于sinα，cosα的齊次式的求值方法（1）關(guān)于sinα，cosα的齊次式，就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，cosα的式子，且每一項(xiàng)的次數(shù)相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，原式可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值.（2）關(guān)于三角函數(shù)的代數(shù)式中不含分母，則可以視其分母為1，靈活地進(jìn)行1＝sin2α＋cos2α的代換，再將分子、分母同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tanα的代數(shù)式.三、典例剖析，理解概念例1已知tanα=3，求cosα-2解：由tanα=sinα將分式cosα-2sinαcosα-2例2．已知2sinθ=cosθ，解：由2sinθ=cos所以3sin【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2).(1)求sinα與tan(2)求sinα+3cos(3)求1+sinα解：（1）點(diǎn)(-1,2)到原點(diǎn)的距離r=(-1)所以sinα=（2）sinα+3（3）1+sin四、遷移應(yīng)用，掌握概念1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是代數(shù)式的恒等變形，要求使結(jié)果盡可能簡(jiǎn)單，也就是項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號(hào)，能求值的一定要求值.(1)化“切”為“弦”，即把正切函數(shù)化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.(2)對(duì)于含有根號(hào)的式子，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(3)對(duì)于含高次三角函數(shù)式的式子，往往借助因式分解或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.eq\o(,,\s\do4(,))例3．化簡(jiǎn)：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).解原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(（1－cosα）2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝eq\f(sinα,|sinα|)＝±1.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1.求1-2sin解：依題意1-2sin2.證明三角恒等式的方法證明三角恒等式的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程，常用以下方法：(1)證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn).(2)證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一).(3)證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0).(4)證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立eq\o(.,\s\do4(,))課本P149例6求證：cos分析：方法一：式子左邊分子分母同乘以cosα，再利用平方關(guān)系，變形分子即可得證解：[方法一]：【最優(yōu)解】左邊＝cos2αcosα(1-sinα)＝1-[方法二]：右邊＝(1+sinα)(1-sinα)cosα(1-sinα)[方法三]：左邊＝cos2右邊＝(1+sinα)(1-sinα)(1-sinα)cosα＝[方法四]：∵cosα1-sinα－1+sina∴等式成立.[方法五]：左邊＝cosα1-sinα＝cosα(1+sin[方法六]：∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，∴cosα1-sin[方法七]：若證cosα1-sinα＝1+sinacosα成立，只需證cosα·cosα＝(1－即證cos2α＝1－sin2α，此式成立，∴原等式cosα1-sinα【方法點(diǎn)撥】方法一：利用平方關(guān)系，從左邊證到右邊，是證明題的通性通法；方法二：利用平方關(guān)系，從右邊證到左邊；方法三：利用左邊=中間，右邊=中間證出；方法四：利用作差法證出；方法五：利用平方關(guān)系，從左邊證到右邊；方法六：根據(jù)平方關(guān)系變形證出；方法七：根據(jù)分析法證出.課本P149例7求證：1-2sin分析：利用同角的正弦余弦的平方和等于1，可證左邊=cosθ-sinθ證明：因?yàn)樽筮?=sin右邊=cos所以1-2【當(dāng)堂訓(xùn)練】課本P150A組第3題3．求證：(1)1+2sin(2)tan2(3)cosα-1(4)sin證明：（1）左邊=1+2sinx（2）左邊=tan2θ-（3）左邊=cosα-12（4）左邊=sin4x+cos五、當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固達(dá)標(biāo)1．已知cos100°=k，則cos10°=（A．k B．-k C．1-k2 D（多選題）2．已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（

）A．cosx1+sinC．sin53°-x3．已知銳角α滿足6cos2α-cos【參考答案】1．C【詳解】cos10°=故選